第3节 带电粒子在复合场中的运动
【考纲知识梳理】
一、复合场
复合场是指电场、磁场和重力场并存，或其中某两场并存，或其中某两场并存，或分区域存在。
二、带电粒子在复合场中的运动分类
1、当带电粒子在复合场中所受的合外力为0时，粒子将做匀速直线运动或静止．
2、当带电粒子所受的合外力与运动方向在同一条直线上时，粒子将做变速直线运动．
3、当带电粒子所受的合外力充当向心力时，粒子将做匀速圆周运动．
4、当带电粒子所受的合外力的大小、方向均是不断变化的时，粒子将做变加速运动，这类问题一般只能用能量关系处理．
三、带电粒子在复合场中运动的应用实例
1、粒子速度选择器
速度选择器是近代物理学研究中常用的一种实验工具，其功能是为了选择某种速度的带电粒子
（1）．结构：
①平行金属板M、N，将M接电源正极，N板接电源负极，M、N间形成匀强电场，设场强为E；
②在两板之间的空间加上垂直纸面向里的匀强磁场，设磁感应强度为B；
③在极板两端加垂直极板的档板，档板中心开孔S1、S2，孔S1、S2水平正对。
（2）．原理
工作原理。设一束质量、电性、带电量、速度均不同的粒子束（重力不计），从S1孔垂直磁场和电场方向进入两板间，当带电粒子进入电场和磁场共存空间时，同时受到电场力和洛伦兹力作用
若
。
即：当粒子的速度 时，粒子匀速运动，不发生偏转，可以从S2孔飞出。由此可见，尽管有一束速度不同的粒子从S1孔进入，但能从S2孔飞出的粒子只有一种速度，而与粒子的质量、电性、电量无关
（3）．几个问题
①粒子受力特点??电场力F与洛仑兹力f方向相反
②粒子匀速通过速度选择器的条件??带电粒子从小孔S1水平射入， 匀速通过叠加场， 并从小孔S2水平射出，电场力与洛仑兹力平衡， 即 ;即;
③使粒子匀速通过选择器的两种途径:
当 一定时??调节E和B的大小;
当E和B一定时??调节加速电压U的大小; 根据匀速运动的条件和功能关系， 有， 所以， 加速电压应为 。
④如何保证F和f的方向始终相反??将 、E、B三者中任意两个量的方向同时改变， 但不能同时改变三个或者其中任意一个的方向， 否则将破坏速度选择器的功能。
⑤如果粒子从S2孔进入时，粒子受电场力和洛伦兹力的方向相同，所以无论粒子多大的速度，所有粒子都将发生偏转
⑥两个重要的功能关系??当粒子进入速度选择器时速度， 粒子将因侧移而不能通过选择器。如图， 设在电场方向侧移后粒子速度为v，
当 时: 粒子向f方向侧移， F做负功??粒子动能减少， 电势能增加， 有
当 时:粒子向F方向侧移， F做正功??粒子动能增加， 电势能减少， 有;
2、磁流体发电机
磁流体发电就是利用等离子体来发电。
（1）．等离子体的产生：在高温条件下（例如2000K）气体发生电离，电离后的气体中含有离子、电子和部分未电离的中性粒子，因为正负电荷的密度几乎相等，从整体看呈电中性，这种高度电离的气体就称为等离子体，也有人称它为“物质的第四态”。
（2）．工作原理:
磁流体发电机结构原理如图（1）所示，其平面图如图（2）所示。M、N为平行板电极，极板间有垂直于纸面向里的匀强磁场，让等离子体平行于极板从左向右高速射入极板间，由于洛伦兹力的作用，正离子将向M板偏转，负离子将向N板偏转，于是在M板上积累正电荷，在N板上积累负电荷。这样在两极板间就产生电势差，形成了电场，场强方向从M指向N，以后进入极板间的带电粒子除受到洛伦兹力 之外，还受到电场力 的作用，只要 ，带电粒子就继续偏转，极板上就继续积累电荷，使极板间的场强增加，直到带电粒子所受的电场力 与洛伦兹力 大小相等为止。此后带电粒子进入极板间不再偏转，极板上也就不再积累电荷而形成稳定的电势差
（3）．电动势的计算: 设两极板间距为d， 根据两极电势差达到最大值的条件 ， 即 ， 则磁流体发电机的电动势。
3、电磁流量计
电磁流量计是利用霍尔效应来测量管道中液体流量（单位时间内通过管内横截面的液体的体积）的一种设备。其原理为：
如图所示
圆形管道直径为d（用非磁性制成），管道内有向左匀速流动的导电液体，在管道所在空间加一垂直管道向里的匀强磁场，设磁感应强度为B；管道内随液体一起流动的自由电荷（正、负离子）在洛伦兹力作用下垂直磁场方向偏转，使管道上ab两点间有电势差，管道内形成电场；当自由电荷受电场力和洛伦兹力平衡时，ab间电势差就保持稳定，测出ab间电势差的大小U，则有：
，
故管道内液体的流量
4. 霍尔效应
（1）．霍尔效应。金属导体板放在垂直于它的匀强磁场中，当导体板中通过电流时，在平行于磁场且平行于电流的两个侧面间会产生电势差，这种现象叫霍尔效应。
（2）．霍尔效应的解释。如图，截面为矩形的金属导体，在ｘ方向通以电流Ｉ，在ｚ方向加磁场Ｂ，导体中自由电子逆着电流方向运动。由左手定则可以判断，运动的电子在洛伦兹力作用下向下表面聚集，在导体的上表面A就会出现多余的正电荷，形成上表面电势高，下表面电势低的电势差，导体内部出现电场，电场方向由A指向A’，以后运动的电子将同时受洛伦兹力 和电场力 作用，随着表面电荷聚集，电场强度增加， 也增加，最终会使运动的电子达到受力平衡（ ）而匀速运动，此时导体上下两表面间就出现稳定的电势差。
（3）．霍尔效应中的结论。
设导体板厚度为h(y轴方向)、宽度为d、通入的电流为I，匀强磁场的磁感应强度为B，导体中单位体积内自由电子数为n，电子的电量为e，定向移动速度大小为v，上下表面间的电势差为U；
①由 ①。
②实验研究表明，U、I、B的关系还可表达为 ②，k为霍尔系数。又由电流的微观表达式有： ③。联立①②③式可得 。由此可通过霍尔系数的测定来确定导体内部单位体积内自由电子数。
③考察两表面间的电势差 ，相当于长度为h的直导体垂直匀强磁场B以速度v切割磁感线所产生的感应电动势
【要点名师透析】
一、带电粒子在复合场中的运动分析
1.带电粒子在复合场中运动的分析方法
(1)弄清复合场的组成.如磁场、电场的复合,磁场、重力场的复合,磁场、电场、重力场三者的复合等.
(2)正确受力分析,除重力、弹力、摩擦力外要特别注意静电力和磁场力的分析.
(3)确定带电粒子的运动状态,注意运动情况和受力情况的结合.
(4)对于粒子连续通过几个不同种类的场时,要分阶段进行处理.
(5)画出粒子运动轨迹,灵活选择不同的运动规律.
①当带电粒子在复合场中做匀速直线运动时,根据受力平衡列方程求解.
②当带电粒子在复合场中做匀速圆周运动时,应用牛顿定律结合圆周运动规律求解.
③当带电粒子做复杂曲线运动时,一般用动能定理或能量守恒定律求解.
④对于临界问题,注意挖掘隐含条件.
2.复合场中粒子重力是否考虑的三种情况
(1)对于微观粒子，如电子、质子、离子等，因为其重力一般情况下与电场力或磁场力相比太小，可以忽略；而对于一些实际物体，如带电小球、液滴、金属块等一般应当考虑其重力.
(2)在题目中有明确说明是否要考虑重力的，这种情况按题目要求处理比较正规，也比较简单.
(3)不能直接判断是否要考虑重力的，在进行受力分析与运动分析时，要结合运动状态确定是否要考虑重力.
【例1】(16分)如图所示, 在水平地面上方有一范围足够大的互相正交的匀强电场和匀强磁场区域.磁场的磁感应强度为B,方向垂直纸面向里.一质量为m、带电荷量为q的带正电微粒在此区域内沿竖直平面(垂直于磁场方向的平面)做速度大小为v的匀速圆周运动,重力加速度为g.
(1)求此区域内电场强度的大小和方向.
(2)若某时刻微粒在场中运动到P点时,速度与水平方向的夹角为60°,且已知P点与水平地面间的距离等于其做圆周运动的半径.求该微粒运动到最高点时与水平地面间的距离.
(3)当带电微粒运动至最高点时,将电场强度的大小变为原来的 (方向不变,且不计电场变化对原磁场的影响),且带电微粒能落至地面,求带电微粒落至地面时的速度大小.
【详解】(1)由于带电微粒可以在电场、磁场和重力场共存的区域内沿竖直平面做匀速圆周运动,表明带电微粒所受的电场力和重力大小相等、方向相反,因此电场强度的方向竖直向上. (1分)
设电场强度为E,则有mg=qE (2分)
即 (1分)
(2)设带电微粒做匀速圆周运动的轨道半径为R,根据牛顿第二定律和洛伦兹力公式有 (1分)解得 (1分)
依题意可画出带电微粒做匀速圆周运动的轨迹如图所示,由几何关系可知,该微粒运动至最高点时与水平地面间的距离 (4分)
(3)将电场强度的大小变为原来的 则电场力F电= 带电微粒运动过程中,洛伦兹力不做功,所以在它从最高点运动至地面的过程中,只有重力和电场力做功,设带电微粒落地时的速度大小为v1,根据动能定理有 (4分) 解得：
二、带电粒子在复合场中运动的分类
1.带电粒子在复合场中无约束情况下的运动
(1)磁场力、重力并存
①若重力和洛伦兹力平衡，则带电体做匀速直线运动.
②若重力和洛伦兹力不平衡，则带电体将做复杂的曲线运动，因F洛不做功，故机械能守恒，由此可求解问题.
(2)电场力、磁场力并存(不计重力的微观粒子)
①若电场力和洛伦兹力平衡，则带电体做匀速直线运动.
②若电场力和洛伦兹力不平衡，则带电体做复杂的曲线运动，因F洛不做功，可用动能定理求解问题.
(3)电场力、磁场力、重力并存
①若三力平衡，一定做匀速直线运动.
②若重力与电场力平衡，一定做匀速圆周运动.
③若合力不为零且与速度方向不垂直，做复杂的曲线运动，因F洛不做功，可用能量守恒或动能定理求解问题.
2.带电粒子在复合场中有约束情况下的运动
带电体在复合场中受轻杆、轻绳、圆环、轨道等约束的情况下，常见的运动形式有直线运动和圆周运动，此时解题要通过受力分析明确变力、恒力做功情况，并注意洛伦兹力不做功的特点，运用动能定理、能量守恒定律结合牛顿运动定律求出结果.
3.带电粒子在复合场中运动的临界值问题
由于带电粒子在复合场中受力情况复杂、运动情况多变，往往出现临界问题，这时应以题目中的“最大”、“最高”、“至少”等词语为突破口，挖掘隐含条件，根据临界条件列出辅助方程，再与其他方程联立求解.
【例2】(14分)如图所示,足够长的光滑绝缘斜面与水平面的夹角为α(sinα=0.6)，放在匀强电场和匀强磁场中，电场强度E=50 V/m，方向水平向左，磁场方向垂直纸面向外.一个电荷量为q=4×10-2C，质量m=0.40 kg的光滑小球，以初速度v0=20 m/s从斜面底端向上滑，然后又下滑，共经过3 s脱离斜面，求磁场的磁感应强度.(g取10 m/s2)
【详解】小球沿斜面向上运动过程中受力分析如图所示，由牛顿第二定律，得
qEcosα+mgsinα=ma1， (3分)故 (1分)
代入数据得a1=10 m/s2， (1分)
上行时间 (1分)
小球沿斜面下滑过程中受力分析如图所示，小球在离开斜面前做匀加速直线运动，a2=10 m/s2 (1分)
运动时间t2=1 s (1分)
脱离斜面时的速度v=a2t2=10 m/s (1分)
在垂直斜面方向上小球脱离斜面受力条件有： qvB+qEsinα=mgcosα， (3分)
故 (2分)
【感悟高考真题】
1.（2011?新课标全国卷?T25）如图，在区域I（0≤x≤d）和区域II（d≤x≤2d）内分别存在匀强磁场，磁感应强度大小分别为B和2B，方向相反，且都垂直于Oxy平面。一质量为m、带电荷量q（q＞0）的粒子a于某时刻从y轴上的P点射入区域I，其速度方向沿x轴正向。已知a在离开区域I时，速度方向与x轴正方向的夹角为30°；此时，另一质量和电荷量均与a相同的粒子b也从p点沿x轴正向射入区域I，其速度大小是a的1/3。不计重力和两粒子之间的相互作用力。求
（1）粒子a射入区域I时速度的大小；
（2）当a离开区域II时，a、b两粒子的y坐标之差。
【详解】（1）设粒子a在I内做匀速圆周运动的圆心为C（在y轴上），半径为Ra1，粒子速率为va,运动轨迹与两磁场区域边界的交点为P′，如图，由洛伦兹力公式和牛顿第二定律有，
qvaB=mva2Ra1 ①
由几何关系有∠PCP′=θ ②
Ra1=dsinθ ③
式中θ=30°，由上面三式可得
va=2dqBm ④
（2）设粒子a在II内做圆周运动的圆心为Oa，半径为Ra2，射出点为Pa（图中未画出轨迹），
∠P′OaPa=θ′，由洛伦兹力公式和牛顿第二定律有，
q va（2B）=mva2Ra2 ⑤
由①⑤式得Ra2=Ra12 ⑥
C、P′、Oa三点共线，且由⑥式知Oa点必位于
x=32 d ⑦
的平面上，由对称性知，Pa点与P′的纵坐标相同，即
yPa=Ra1cosθ＋h ⑧
式中，h是C点的纵坐标。
设b在I中运动的轨道半径为Rb1，由洛仑兹力公式和牛顿第二定律有，
q（va3 ）B= m Rb1 （va3 ）2 ⑨
设a到达Pa点时，b位于Pb点，转过的角度为α，如果b没有飞出I，则
tTa2 =θ′2π ⑩
tTb1 =α2π ⑾
式中，t是a在区域II中运动的时间，而
Ta2=2πRa2va ⑿
Tb1=2πRb1va/3 ⒀
由⑤⑨⑩⑾⑿⒀式得
α=30° ⒁
由①③⑨⒁式可见，b没有飞出I。Pb点的y坐标为
yP2=Rb1（2+cosα）+h ⒂
由①③⑧⑨⒁⒂式及题给条件得，a、b两粒子的y坐标差为
yP2－yPa=23 （3 －2）d
2.（2011?安徽高考?T23）如图所示，在以坐标原点O为圆心、半径为R的半圆形区域内，有相互垂直的匀强电场和匀强磁场，磁感应强度为B，磁场方向垂直于xOy平面向里。一带正电的粒子（不计重力）从O点沿y轴正方向以某一速度射入，带电粒子恰好做匀速直线运动，经 时间从p点射出。
（1）求电场强度的大小和方向。
（2）若仅撤去磁场，带电粒子仍从O点以相同的速度射
入，经 时间恰从半圆形区域的边界射出。求粒子运动加
速度的大小。
（3）若仅撤去电场，带电粒子仍从O点射入，且速度为
原来的4倍，求粒子在磁场中运动的时间。
【答案】(1) (2) (3)
【详解】（1）设带电粒子质量为m，电荷量为q，初速度为v,电场强度为E，可判断出粒子受到的洛伦兹力沿x轴负方向，由于粒子的重力不计且粒子受力平衡，故粒子受到的电场力和洛伦兹力大小相等方向相反，电场强度沿沿x轴正方向， ①
② 得
（2）仅有电场时，带电粒子在匀强电场中作类平抛运动在y方向作匀速直线运动，位移为 ③
由②③式得 ，设在水平方向位移为x，因射出位置在半圆线边界上，于是 ,又因为粒子在水平方向上做匀速直线运动，则 ④
得 ⑤
（3）仅有磁场时入射速度 ，带电粒子在匀强磁场中作匀速圆周运动，设轨道半径为 ，由牛顿第二定律有 ⑥，
又有 ⑦，
由②⑤⑥⑦得
【考纲知识梳理】
一、复合场
复合场是指电场、磁场和重力场并存，或其中某两场并存，或其中某两场并存，或分区域存在。
二、带电粒子在复合场中的运动分类
1、当带电粒子在复合场中所受的合外力为0时，粒子将做匀速直线运动或静止．
2、当带电粒子所受的合外力与运动方向在同一条直线上时，粒子将做变速直线运动．
3、当带电粒子所受的合外力充当向心力时，粒子将做匀速圆周运动．
4、当带电粒子所受的合外力的大小、方向均是不断变化的时，粒子将做变加速运动，这类问题一般只能用能量关系处理．
三、带电粒子在复合场中运动的应用实例
1、粒子速度选择器
速度选择器是近代物理学研究中常用的一种实验工具，其功能是为了选择某种速度的带电粒子
（1）．结构：
①平行金属板M、N，将M接电源正极，N板接电源负极，M、N间形成匀强电场，设场强为E；
②在两板之间的空间加上垂直纸面向里的匀强磁场，设磁感应强度为B；
③在极板两端加垂直极板的档板，档板中心开孔S1、S2，孔S1、S2水平正对。
（2）．原理
工作原理。设一束质量、电性、带电量、速度均不同的粒子束（重力不计），从S1孔垂直磁场和电场方向进入两板间，当带电粒子进入电场和磁场共存空间时，同时受到电场力和洛伦兹力作用
若
。
即：当粒子的速度 时，粒子匀速运动，不发生偏转，可以从S2孔飞出。由此可见，尽管有一束速度不同的粒子从S1孔进入，但能从S2孔飞出的粒子只有一种速度，而与粒子的质量、电性、电量无关
（3）．几个问题
①粒子受力特点??电场力F与洛仑兹力f方向相反
②粒子匀速通过速度选择器的条件??带电粒子从小孔S1水平射入， 匀速通过叠加场， 并从小孔S2水平射出，电场力与洛仑兹力平衡， 即 ;即;
③使粒子匀速通过选择器的两种途径:
当 一定时??调节E和B的大小;
当E和B一定时??调节加速电压U的大小; 根据匀速运动的条件和功能关系， 有， 所以， 加速电压应为 。
④如何保证F和f的方向始终相反??将 、E、B三者中任意两个量的方向同时改变， 但不能同时改变三个或者其中任意一个的方向， 否则将破坏速度选择器的功能。
⑤如果粒子从S2孔进入时，粒子受电场力和洛伦兹力的方向相同，所以无论粒子多大的速度，所有粒子都将发生偏转
⑥两个重要的功能关系??当粒子进入速度选择器时速度， 粒子将因侧移而不能通过选择器。如图， 设在电场方向侧移后粒子速度为v，
当 时: 粒子向f方向侧移， F做负功??粒子动能减少， 电势能增加， 有
当 时:粒子向F方向侧移， F做正功??粒子动能增加， 电势能减少， 有;
2、磁流体发电机
磁流体发电就是利用等离子体来发电。
（1）．等离子体的产生：在高温条件下（例如2000K）气体发生电离，电离后的气体中含有离子、电子和部分未电离的中性粒子，因为正负电荷的密度几乎相等，从整体看呈电中性，这种高度电离的气体就称为等离子体，也有人称它为“物质的第四态”。
（2）．工作原理:
磁流体发电机结构原理如图（1）所示，其平面图如图（2）所示。M、N为平行板电极，极板间有垂直于纸面向里的匀强磁场，让等离子体平行于极板从左向右高速射入极板间，由于洛伦兹力的作用，正离子将向M板偏转，负离子将向N板偏转，于是在M板上积累正电荷，在N板上积累负电荷。这样在两极板间就产生电势差，形成了电场，场强方向从M指向N，以后进入极板间的带电粒子除受到洛伦兹力 之外，还受到电场力 的作用，只要 ，带电粒子就继续偏转，极板上就继续积累电荷，使极板间的场强增加，直到带电粒子所受的电场力 与洛伦兹力 大小相等为止。此后带电粒子进入极板间不再偏转，极板上也就不再积累电荷而形成稳定的电势差
（3）．电动势的计算: 设两极板间距为d， 根据两极电势差达到最大值的条件 ， 即 ， 则磁流体发电机的电动势。
3、电磁流量计
电磁流量计是利用霍尔效应来测量管道中液体流量（单位时间内通过管内横截面的液体的体积）的一种设备。其原理为：
如图所示
圆形管道直径为d（用非磁性制成），管道内有向左匀速流动的导电液体，在管道所在空间加一垂直管道向里的匀强磁场，设磁感应强度为B；管道内随液体一起流动的自由电荷（正、负离子）在洛伦兹力作用下垂直磁场方向偏转，使管道上ab两点间有电势差，管道内形成电场；当自由电荷受电场力和洛伦兹力平衡时，ab间电势差就保持稳定，测出ab间电势差的大小U，则有：
，
故管道内液体的流量
4. 霍尔效应
（1）．霍尔效应。金属导体板放在垂直于它的匀强磁场中，当导体板中通过电流时，在平行于磁场且平行于电流的两个侧面间会产生电势差，这种现象叫霍尔效应。
（2）．霍尔效应的解释。如图，截面为矩形的金属导体，在ｘ方向通以电流Ｉ，在ｚ方向加磁场Ｂ，导体中自由电子逆着电流方向运动。由左手定则可以判断，运动的电子在洛伦兹力作用下向下表面聚集，在导体的上表面A就会出现多余的正电荷，形成上表面电势高，下表面电势低的电势差，导体内部出现电场，电场方向由A指向A’，以后运动的电子将同时受洛伦兹力 和电场力 作用，随着表面电荷聚集，电场强度增加， 也增加，最终会使运动的电子达到受力平衡（ ）而匀速运动，此时导体上下两表面间就出现稳定的电势差。
（3）．霍尔效应中的结论。
设导体板厚度为h(y轴方向)、宽度为d、通入的电流为I，匀强磁场的磁感应强度为B，导体中单位体积内自由电子数为n，电子的电量为e，定向移动速度大小为v，上下表面间的电势差为U；
①由 ①。
②实验研究表明，U、I、B的关系还可表达为 ②，k为霍尔系数。又由电流的微观表达式有： ③。联立①②③式可得 。由此可通过霍尔系数的测定来确定导体内部单位体积内自由电子数。
③考察两表面间的电势差 ，相当于长度为h的直导体垂直匀强磁场B以速度v切割磁感线所产生的感应电动势
【要点名师透析】
一、带电粒子在复合场中的运动分析
1.带电粒子在复合场中运动的分析方法
(1)弄清复合场的组成.如磁场、电场的复合,磁场、重力场的复合,磁场、电场、重力场三者的复合等.
(2)正确受力分析,除重力、弹力、摩擦力外要特别注意静电力和磁场力的分析.
(3)确定带电粒子的运动状态,注意运动情况和受力情况的结合.
(4)对于粒子连续通过几个不同种类的场时,要分阶段进行处理.
(5)画出粒子运动轨迹,灵活选择不同的运动规律.
①当带电粒子在复合场中做匀速直线运动时,根据受力平衡列方程求解.
②当带电粒子在复合场中做匀速圆周运动时,应用牛顿定律结合圆周运动规律求解.
③当带电粒子做复杂曲线运动时,一般用动能定理或能量守恒定律求解.
④对于临界问题,注意挖掘隐含条件.
2.复合场中粒子重力是否考虑的三种情况
(1)对于微观粒子，如电子、质子、离子等，因为其重力一般情况下与电场力或磁场力相比太小，可以忽略；而对于一些实际物体，如带电小球、液滴、金属块等一般应当考虑其重力.
(2)在题目中有明确说明是否要考虑重力的，这种情况按题目要求处理比较正规，也比较简单.
(3)不能直接判断是否要考虑重力的，在进行受力分析与运动分析时，要结合运动状态确定是否要考虑重力.
【例1】(16分)如图所示, 在水平地面上方有一范围足够大的互相正交的匀强电场和匀强磁场区域.磁场的磁感应强度为B,方向垂直纸面向里.一质量为m、带电荷量为q的带正电微粒在此区域内沿竖直平面(垂直于磁场方向的平面)做速度大小为v的匀速圆周运动,重力加速度为g.
(1)求此区域内电场强度的大小和方向.
(2)若某时刻微粒在场中运动到P点时,速度与水平方向的夹角为60°,且已知P点与水平地面间的距离等于其做圆周运动的半径.求该微粒运动到最高点时与水平地面间的距离.
(3)当带电微粒运动至最高点时,将电场强度的大小变为原来的 (方向不变,且不计电场变化对原磁场的影响),且带电微粒能落至地面,求带电微粒落至地面时的速度大小.
【详解】(1)由于带电微粒可以在电场、磁场和重力场共存的区域内沿竖直平面做匀速圆周运动,表明带电微粒所受的电场力和重力大小相等、方向相反,因此电场强度的方向竖直向上. (1分)
设电场强度为E,则有mg=qE (2分)
即 (1分)
(2)设带电微粒做匀速圆周运动的轨道半径为R,根据牛顿第二定律和洛伦兹力公式有 (1分)解得 (1分)
依题意可画出带电微粒做匀速圆周运动的轨迹如图所示,由几何关系可知,该微粒运动至最高点时与水平地面间的距离 (4分)
(3)将电场强度的大小变为原来的 则电场力F电= 带电微粒运动过程中,洛伦兹力不做功,所以在它从最高点运动至地面的过程中,只有重力和电场力做功,设带电微粒落地时的速度大小为v1,根据动能定理有 (4分) 解得：
二、带电粒子在复合场中运动的分类
1.带电粒子在复合场中无约束情况下的运动
(1)磁场力、重力并存
①若重力和洛伦兹力平衡，则带电体做匀速直线运动.
②若重力和洛伦兹力不平衡，则带电体将做复杂的曲线运动，因F洛不做功，故机械能守恒，由此可求解问题.
(2)电场力、磁场力并存(不计重力的微观粒子)
①若电场力和洛伦兹力平衡，则带电体做匀速直线运动.
②若电场力和洛伦兹力不平衡，则带电体做复杂的曲线运动，因F洛不做功，可用动能定理求解问题.
(3)电场力、磁场力、重力并存
①若三力平衡，一定做匀速直线运动.
②若重力与电场力平衡，一定做匀速圆周运动.
③若合力不为零且与速度方向不垂直，做复杂的曲线运动，因F洛不做功，可用能量守恒或动能定理求解问题.
2.带电粒子在复合场中有约束情况下的运动
带电体在复合场中受轻杆、轻绳、圆环、轨道等约束的情况下，常见的运动形式有直线运动和圆周运动，此时解题要通过受力分析明确变力、恒力做功情况，并注意洛伦兹力不做功的特点，运用动能定理、能量守恒定律结合牛顿运动定律求出结果.
3.带电粒子在复合场中运动的临界值问题
由于带电粒子在复合场中受力情况复杂、运动情况多变，往往出现临界问题，这时应以题目中的“最大”、“最高”、“至少”等词语为突破口，挖掘隐含条件，根据临界条件列出辅助方程，再与其他方程联立求解.
【例2】(14分)如图所示,足够长的光滑绝缘斜面与水平面的夹角为α(sinα=0.6)，放在匀强电场和匀强磁场中，电场强度E=50 V/m，方向水平向左，磁场方向垂直纸面向外.一个电荷量为q=4×10-2C，质量m=0.40 kg的光滑小球，以初速度v0=20 m/s从斜面底端向上滑，然后又下滑，共经过3 s脱离斜面，求磁场的磁感应强度.(g取10 m/s2)
【详解】小球沿斜面向上运动过程中受力分析如图所示，由牛顿第二定律，得
qEcosα+mgsinα=ma1， (3分)故 (1分)
代入数据得a1=10 m/s2， (1分)
上行时间 (1分)
小球沿斜面下滑过程中受力分析如图所示，小球在离开斜面前做匀加速直线运动，a2=10 m/s2 (1分)
运动时间t2=1 s (1分)
脱离斜面时的速度v=a2t2=10 m/s (1分)
在垂直斜面方向上小球脱离斜面受力条件有： qvB+qEsinα=mgcosα， (3分)
故 (2分)
【感悟高考真题】
1.（2011?新课标全国卷?T25）如图，在区域I（0≤x≤d）和区域II（d≤x≤2d）内分别存在匀强磁场，磁感应强度大小分别为B和2B，方向相反，且都垂直于Oxy平面。一质量为m、带电荷量q（q＞0）的粒子a于某时刻从y轴上的P点射入区域I，其速度方向沿x轴正向。已知a在离开区域I时，速度方向与x轴正方向的夹角为30°；此时，另一质量和电荷量均与a相同的粒子b也从p点沿x轴正向射入区域I，其速度大小是a的1/3。不计重力和两粒子之间的相互作用力。求
（1）粒子a射入区域I时速度的大小；
（2）当a离开区域II时，a、b两粒子的y坐标之差。
【详解】（1）设粒子a在I内做匀速圆周运动的圆心为C（在y轴上），半径为Ra1，粒子速率为va,运动轨迹与两磁场区域边界的交点为P′，如图，由洛伦兹力公式和牛顿第二定律有，
qvaB=mva2Ra1 ①
由几何关系有∠PCP′=θ ②
Ra1=dsinθ ③
式中θ=30°，由上面三式可得
va=2dqBm ④
（2）设粒子a在II内做圆周运动的圆心为Oa，半径为Ra2，射出点为Pa（图中未画出轨迹），
∠P′OaPa=θ′，由洛伦兹力公式和牛顿第二定律有，
q va（2B）=mva2Ra2 ⑤
由①⑤式得Ra2=Ra12 ⑥
C、P′、Oa三点共线，且由⑥式知Oa点必位于
x=32 d ⑦
的平面上，由对称性知，Pa点与P′的纵坐标相同，即
yPa=Ra1cosθ＋h ⑧
式中，h是C点的纵坐标。
设b在I中运动的轨道半径为Rb1，由洛仑兹力公式和牛顿第二定律有，
q（va3 ）B= m Rb1 （va3 ）2 ⑨
设a到达Pa点时，b位于Pb点，转过的角度为α，如果b没有飞出I，则
tTa2 =θ′2π ⑩
tTb1 =α2π ⑾
式中，t是a在区域II中运动的时间，而
Ta2=2πRa2va ⑿
Tb1=2πRb1va/3 ⒀
由⑤⑨⑩⑾⑿⒀式得
α=30° ⒁
由①③⑨⒁式可见，b没有飞出I。Pb点的y坐标为
yP2=Rb1（2+cosα）+h ⒂
由①③⑧⑨⒁⒂式及题给条件得，a、b两粒子的y坐标差为
yP2－yPa=23 （3 －2）d
2.（2011?安徽高考?T23）如图所示，在以坐标原点O为圆心、半径为R的半圆形区域内，有相互垂直的匀强电场和匀强磁场，磁感应强度为B，磁场方向垂直于xOy平面向里。一带正电的粒子（不计重力）从O点沿y轴正方向以某一速度射入，带电粒子恰好做匀速直线运动，经 时间从p点射出。
（1）求电场强度的大小和方向。
（2）若仅撤去磁场，带电粒子仍从O点以相同的速度射
入，经 时间恰从半圆形区域的边界射出。求粒子运动加
速度的大小。
（3）若仅撤去电场，带电粒子仍从O点射入，且速度为
原来的4倍，求粒子在磁场中运动的时间。
【答案】(1) (2) (3)
【详解】（1）设带电粒子质量为m，电荷量为q，初速度为v,电场强度为E，可判断出粒子受到的洛伦兹力沿x轴负方向，由于粒子的重力不计且粒子受力平衡，故粒子受到的电场力和洛伦兹力大小相等方向相反，电场强度沿沿x轴正方向， ①
② 得
（2）仅有电场时，带电粒子在匀强电场中作类平抛运动在y方向作匀速直线运动，位移为 ③
由②③式得 ，设在水平方向位移为x，因射出位置在半圆线边界上，于是 ,又因为粒子在水平方向上做匀速直线运动，则 ④
得 ⑤
（3）仅有磁场时入射速度 ，带电粒子在匀强磁场中作匀速圆周运动，设轨道半径为 ，由牛顿第二定律有 ⑥，
又有 ⑦，
由②⑤⑥⑦得
