第三章 磁场 章末总结 学案（粤教版选修3-1）
一、“磁偏转”与“电偏转”的区别
所谓“电偏转”与“磁偏转”是分别利用电场和磁场对运动电荷施加作用，从而控制其运动方向，但电场和磁场对电荷的作用特点不同，因此这两种偏转有明显的差别.
磁偏转电偏转
受力
特征
及运
动规
律若v⊥B，则洛伦兹力f洛＝qvB，使粒子做匀速圆周运动，v的方向变化，又导致FB的方向变化，其运动规律可由r＝mvqB和T＝2πmqB进行描述
电场力F＝qE为恒力，粒子做匀变速曲线运动 类平抛运动，其运动规律可由vx＝v0，x＝v0t，vy＝qEmt，y＝12qEmt2进行描述
偏转
情况粒子的运动方向能够偏转的角度不受限制，θB＝ωt＝vrt＝qBmt，且相等时间内偏转的角度相等粒子运动方向所能偏转的角度θE＜π2，且相等时间内偏转的角度不同
动能
的变
化由于f洛始终不做功，所以其动能保持不变由于F与粒子速度的夹角越来越小，所以 其动能不断增大，并且增大得越来越快
图1
例1 如图1所示，在空间存在一个变化的匀强电场和另一个变化的匀强磁场．从t＝1 s开始，在A点每隔2 s有一个相同的带电粒子(重力不计)沿AB方向(垂直于BC)以速度v0射出，恰好能击中C点．AB＝BC＝l，且粒子在点A、C间的运动时间小于1 s．电场的方向水平向右，场强变化规律如图2甲所示；磁感应强度变化规律如图乙所示，方向垂直于纸面．求：
图2
(1)磁场方向；
(2)E0和B0的比值；
(3)t＝1 s射出的粒子和t＝3 s射出的粒子由A点运动到C点所经历的时间t1和t2之比．
二、有界匀强磁场问题
1．有界磁场及边界类型
(1)有界匀强磁场是指在局部空间存在着匀强磁场，带电粒子从磁场区域外垂直磁场方向射入磁场区域，经历一段匀速圆周运动后，又离开磁场区域．
(2)边界的类型，如图3所示
图3
2．解决带电粒子在有界磁场中运动问题的方法
解决此类问题时，先画出运动轨迹草图，找到粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心位置、半径大小以及与半径相关的几何关系是解题的关键．解决此类问题时应注意下列结论：
(1)刚好穿出或刚好不能穿出磁场的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切．
(2)当以一定的速率垂直射入磁场时，运动的弧长越长，圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动时间越长．
(3)当比荷相同，速率v不同时，在匀强磁场中运动的圆心角越大，运动时间越长．
图4
例2 半径为r的圆形空间内，存在着垂直于纸面向里的匀强磁场，一个带电粒子(不计重力)从A点以速度v0垂直磁场方向射入磁场中，并从B点射出．∠AOB＝120°，如图4所示，则该带电粒子在磁场中运动的时间为( )
A.2πr3v0 B.23πr3v0 C.πr3v0 D. 3πr3v0
听课记录：
图5
变式训练1 图5是某离子速度选择器的原理示意图，在一半径R＝10 cm的圆柱形筒内有B＝1×10－4 T的匀强磁场，方向平行于圆筒的轴线．在圆柱形筒上某一直径两端开有小孔a、b，分别作为入射孔和出射孔．现有一束比荷qm＝2×1011 C/kg的正离子，以不同角度α入射，最后有不同速度的离子束射出．其中入射角α＝30°，且不经碰撞而直接从出射孔射出的离子的速度v的大小是( )
A．4×105 m/s B．2×105 m/s
C．4 ×106 m /s D．2×106 m/s
三、洛伦兹力作用下形成多解的问题
带电粒子在洛伦兹力作用 下做匀速圆周运动，由于某些条件不确定，使问题出现多解．
1．带电粒子电性不确定形成多解
带电粒子由于电性不确定，在初速度相同的条件下，正、负带电粒子在磁场中运动轨迹不同．
2．磁场方向不确定形成多解
对于某一带电粒子在磁场中运动，若只知道磁感应强度的大小，而不能确定方向，带电粒子的运动轨迹也会不同．
3．临界状态不惟一形成多解
带电粒子在洛伦兹力作用下飞入有界磁场时，由于粒子运动轨迹呈圆弧状，因此，它可能穿过去了，也可能转过大于180 °的角度从入射界面这边反向飞出，于是形成了多解．
4．运动的重复性形成多解
带电粒子在部分是电场、部分是磁场的空间运动时，往往运动具有往复性，因而形成多解．
例3 如图6所示，长为L的水平极板间，有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，板间距离为L，极板不带电．现有质量为m、电荷量为q的带正电粒子(重力不计)，从左边极板间中点处垂直磁场以速度v水平入射．欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是( )
图6
A．使粒子速度v＜BqL4m
B．使粒子速度v＞5BqL4m
C．使粒子速度v＞BqL4m
D．使粒子速度BqL4m＜v＜5BqL4m
听课记录：
图7
变式训练2 如图7所示，左右边界分别为PP′、QQ′的匀强磁场的宽度为d，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里．一个质量为m、电荷量为q的微观粒子，沿图示方向以速度v 0垂直射入磁场．欲使粒子不能从边界QQ′射出，粒子入射速度v0的最大值可能是( )
A.Bqdm B.?2＋2?Bqdm
C.?2－2?Bqdm
D.2Bqd2m
【即学即练】
图8
1．如图8所示，一带正电的粒子沿平行金属板中央直线以速度v0射入互相垂直的匀强电场和匀强磁场区域，粒子质量为m、带电荷量为q，磁场的磁感应强度为B，电场强度为E，粒子从P点离开电磁场区域时速度为v，P与中央直线相距为d.下列说法正确的是( )
A．粒子在运动过程中所受磁场力可能比所受电场力小
B．粒子沿电场方向的加速度大小始终是Bqv0－Eqm
C．粒子的运动轨迹是抛物线
D．粒子到达P时的速度大小v＝v20－2Eqdm
2.
图9
如图9所示，表面粗糙的斜面固定于地面上，并处于方向垂直纸面向外、强度为B的匀强磁场中．质量为m、带电量为＋Q的小滑块从斜面顶端由静止下滑．在滑块下滑的过程中，下列判断正确的是( )
A．滑块受到的摩擦力不变
B．滑块到达地面时的动能与B的大小无关
C．滑块受到的洛伦兹力方向垂直斜面向下
D．B很大时，滑块可能静止于斜面上
3.
图10
如图10所示，为一速度选择器的原理图，K为电子枪，由枪中沿KA方向射出的电子速度大小不一，当电子通过方向互相垂直的匀强电场和磁场后，只有一定速率的电子能沿直线前进并通过小孔S，设产生匀强电场的平行板间电压为300 V，间距为5 cm，垂直纸面的匀强磁场的磁感应强度为0.06 T，则：(电子的质量不计)
(1)磁场的指向应该向里还是向外？
(2)速度为多大的电子才能通过小孔？
参考答案
知识体系构建
运动 FIL N BS 右 B I 左 B v mvqB 2πmqB
解题方法探究
例1 (1)垂直 纸面向外 (2)2v0∶1 (3)2∶π
解析 (1)由题图可知，电场与磁场是交替存在的，即同一时刻不可能同时既有电场，又有磁场．根据题意，对于同一粒子，从点A到点C，它只受电场力或磁场力中的一种．粒子能在电场力作用下从点A运动到点C，说明受向右的电场力，又因场强方向也向右，故粒子带正电．因为粒子能在磁场力作用下由点A运动到点C，说明它受到向右的磁场力，又因其带正电，根据左手定则可判断出磁场方向垂直于纸面向外．
(2)粒子只在磁场中运动时，它在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动．因为AB＝BC＝l，则运动半径R＝l.由牛顿第二定律知：
qv0B0＝mv20R，则B0＝mv0ql.
粒子只在电场中运动时，它做类平抛运动，从点A到点B方向上，有l＝v0t.
从点B到点C方向上，有a＝qE0m，l＝12at2.解得E0＝2mv20ql，则E0B0＝2v01.
(3)t＝1 s射出的粒子仅受到电场力作用，则粒子由A点运动到C点所经历的时间t1＝lv0，因E0＝2mv20ql，
则t1＝2mv0qE0.
t＝3 s射出的粒子仅受到磁场力作用，则粒子由A点运动到C点所经历的时间t2＝14 T，因为T＝2πmqB0，
所以t2 ＝πm2qB0.故t1∶t2＝2∶π.
例2 D [从AB弧所对圆心角θ＝60°，知t＝ 16T＝πm3qB.但题中已知条件不够，没有此选项，另想办法找规律表示t.由匀速圆周运动t＝ABv0，从图示分析 有R＝ 3r，则：AB＝R?θ＝ 3r×π3＝33πr，则t＝ABv0＝ 3πr3v0.D正确．]
变式训练1 C
例3 AB [粒子速度的大小将影响到带电粒子轨道半径，分析速度大时粒子运动情况和速度小时粒子的运动情况．问题归结为求粒子能从右边穿出的运动半径临界值r1和从左边穿出的运动半径临界值r2，轨迹如图所示．
粒子刚好从右边穿出时圆心在O点，有r21＝L2＋r1－L22，得r1＝54 L.
又因为r1＝mv1qB，得v1＝5BqL4m，所以v＞5BqL4m时粒子能从右边穿出．[来源:高.考.资.源.网]
粒子刚好从左边穿出时圆心在O′点，有r2＝12×L2＝L4，得v2＝qBL4m.
所以v＜qBL4m时，粒子能从左边穿出．]
变式训练2 BC
即学即练
1．AD [由题意知，带正电的粒子从中央线的上方离开混合场，说明在进入电、磁场时，竖直向上的洛伦兹力大于竖直向下的电场力．在运动过程中，由于电场力做负功，洛伦兹力不做功，所以粒子的动能减小，从而使所受到的磁场力可能比所受电场力小，选项A正确．又在运动过程中，洛伦兹力的方向不断发生改变，其加速度大小也是变化的，运动轨迹是复杂的曲线而并非简单的抛物线，所 以选项B、C错误．由动能定理得：－Eqd＝12mv2－12mv20，故选项D正确．]
2．C [据左手定则可知，滑块受到垂直斜面向下的洛伦 兹力，C对．随着滑块速度的变化，洛伦兹力大小变化，它对斜面的压力大小发生变化，故滑块受到的摩擦力大小变化，A错．B越大，滑块受到的洛伦兹力越大，受到的摩擦力也越大，摩擦力做功越多，据动能定理，滑块到达地面时的动能就越小，B错．由于开始滑块不受洛伦兹力时就能下滑，故B再大，滑块也不可能静止在斜面上．]
3．(1)垂直纸面向里 (2)105 m/s
解析 (1)因电场力竖直向上，故洛伦兹力应向下，由左手定则可判断，磁场方向应垂直纸面向里．
一、“磁偏转”与“电偏转”的区别
所谓“电偏转”与“磁偏转”是分别利用电场和磁场对运动电荷施加作用，从而控制其运动方向，但电场和磁场对电荷的作用特点不同，因此这两种偏转有明显的差别.
磁偏转电偏转
受力
特征
及运
动规
律若v⊥B，则洛伦兹力f洛＝qvB，使粒子做匀速圆周运动，v的方向变化，又导致FB的方向变化，其运动规律可由r＝mvqB和T＝2πmqB进行描述
电场力F＝qE为恒力，粒子做匀变速曲线运动 类平抛运动，其运动规律可由vx＝v0，x＝v0t，vy＝qEmt，y＝12qEmt2进行描述
偏转
情况粒子的运动方向能够偏转的角度不受限制，θB＝ωt＝vrt＝qBmt，且相等时间内偏转的角度相等粒子运动方向所能偏转的角度θE＜π2，且相等时间内偏转的角度不同
动能
的变
化由于f洛始终不做功，所以其动能保持不变由于F与粒子速度的夹角越来越小，所以 其动能不断增大，并且增大得越来越快
图1
例1 如图1所示，在空间存在一个变化的匀强电场和另一个变化的匀强磁场．从t＝1 s开始，在A点每隔2 s有一个相同的带电粒子(重力不计)沿AB方向(垂直于BC)以速度v0射出，恰好能击中C点．AB＝BC＝l，且粒子在点A、C间的运动时间小于1 s．电场的方向水平向右，场强变化规律如图2甲所示；磁感应强度变化规律如图乙所示，方向垂直于纸面．求：
图2
(1)磁场方向；
(2)E0和B0的比值；
(3)t＝1 s射出的粒子和t＝3 s射出的粒子由A点运动到C点所经历的时间t1和t2之比．
二、有界匀强磁场问题
1．有界磁场及边界类型
(1)有界匀强磁场是指在局部空间存在着匀强磁场，带电粒子从磁场区域外垂直磁场方向射入磁场区域，经历一段匀速圆周运动后，又离开磁场区域．
(2)边界的类型，如图3所示
图3
2．解决带电粒子在有界磁场中运动问题的方法
解决此类问题时，先画出运动轨迹草图，找到粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心位置、半径大小以及与半径相关的几何关系是解题的关键．解决此类问题时应注意下列结论：
(1)刚好穿出或刚好不能穿出磁场的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切．
(2)当以一定的速率垂直射入磁场时，运动的弧长越长，圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动时间越长．
(3)当比荷相同，速率v不同时，在匀强磁场中运动的圆心角越大，运动时间越长．
图4
例2 半径为r的圆形空间内，存在着垂直于纸面向里的匀强磁场，一个带电粒子(不计重力)从A点以速度v0垂直磁场方向射入磁场中，并从B点射出．∠AOB＝120°，如图4所示，则该带电粒子在磁场中运动的时间为( )
A.2πr3v0 B.23πr3v0 C.πr3v0 D. 3πr3v0
听课记录：
图5
变式训练1 图5是某离子速度选择器的原理示意图，在一半径R＝10 cm的圆柱形筒内有B＝1×10－4 T的匀强磁场，方向平行于圆筒的轴线．在圆柱形筒上某一直径两端开有小孔a、b，分别作为入射孔和出射孔．现有一束比荷qm＝2×1011 C/kg的正离子，以不同角度α入射，最后有不同速度的离子束射出．其中入射角α＝30°，且不经碰撞而直接从出射孔射出的离子的速度v的大小是( )
A．4×105 m/s B．2×105 m/s
C．4 ×106 m /s D．2×106 m/s
三、洛伦兹力作用下形成多解的问题
带电粒子在洛伦兹力作用 下做匀速圆周运动，由于某些条件不确定，使问题出现多解．
1．带电粒子电性不确定形成多解
带电粒子由于电性不确定，在初速度相同的条件下，正、负带电粒子在磁场中运动轨迹不同．
2．磁场方向不确定形成多解
对于某一带电粒子在磁场中运动，若只知道磁感应强度的大小，而不能确定方向，带电粒子的运动轨迹也会不同．
3．临界状态不惟一形成多解
带电粒子在洛伦兹力作用下飞入有界磁场时，由于粒子运动轨迹呈圆弧状，因此，它可能穿过去了，也可能转过大于180 °的角度从入射界面这边反向飞出，于是形成了多解．
4．运动的重复性形成多解
带电粒子在部分是电场、部分是磁场的空间运动时，往往运动具有往复性，因而形成多解．
例3 如图6所示，长为L的水平极板间，有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，板间距离为L，极板不带电．现有质量为m、电荷量为q的带正电粒子(重力不计)，从左边极板间中点处垂直磁场以速度v水平入射．欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是( )
图6
A．使粒子速度v＜BqL4m
B．使粒子速度v＞5BqL4m
C．使粒子速度v＞BqL4m
D．使粒子速度BqL4m＜v＜5BqL4m
听课记录：
图7
变式训练2 如图7所示，左右边界分别为PP′、QQ′的匀强磁场的宽度为d，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里．一个质量为m、电荷量为q的微观粒子，沿图示方向以速度v 0垂直射入磁场．欲使粒子不能从边界QQ′射出，粒子入射速度v0的最大值可能是( )
A.Bqdm B.?2＋2?Bqdm
C.?2－2?Bqdm
D.2Bqd2m
【即学即练】
图8
1．如图8所示，一带正电的粒子沿平行金属板中央直线以速度v0射入互相垂直的匀强电场和匀强磁场区域，粒子质量为m、带电荷量为q，磁场的磁感应强度为B，电场强度为E，粒子从P点离开电磁场区域时速度为v，P与中央直线相距为d.下列说法正确的是( )
A．粒子在运动过程中所受磁场力可能比所受电场力小
B．粒子沿电场方向的加速度大小始终是Bqv0－Eqm
C．粒子的运动轨迹是抛物线
D．粒子到达P时的速度大小v＝v20－2Eqdm
2.
图9
如图9所示，表面粗糙的斜面固定于地面上，并处于方向垂直纸面向外、强度为B的匀强磁场中．质量为m、带电量为＋Q的小滑块从斜面顶端由静止下滑．在滑块下滑的过程中，下列判断正确的是( )
A．滑块受到的摩擦力不变
B．滑块到达地面时的动能与B的大小无关
C．滑块受到的洛伦兹力方向垂直斜面向下
D．B很大时，滑块可能静止于斜面上
3.
图10
如图10所示，为一速度选择器的原理图，K为电子枪，由枪中沿KA方向射出的电子速度大小不一，当电子通过方向互相垂直的匀强电场和磁场后，只有一定速率的电子能沿直线前进并通过小孔S，设产生匀强电场的平行板间电压为300 V，间距为5 cm，垂直纸面的匀强磁场的磁感应强度为0.06 T，则：(电子的质量不计)
(1)磁场的指向应该向里还是向外？
(2)速度为多大的电子才能通过小孔？
参考答案
知识体系构建
运动 FIL N BS 右 B I 左 B v mvqB 2πmqB
解题方法探究
例1 (1)垂直 纸面向外 (2)2v0∶1 (3)2∶π
解析 (1)由题图可知，电场与磁场是交替存在的，即同一时刻不可能同时既有电场，又有磁场．根据题意，对于同一粒子，从点A到点C，它只受电场力或磁场力中的一种．粒子能在电场力作用下从点A运动到点C，说明受向右的电场力，又因场强方向也向右，故粒子带正电．因为粒子能在磁场力作用下由点A运动到点C，说明它受到向右的磁场力，又因其带正电，根据左手定则可判断出磁场方向垂直于纸面向外．
(2)粒子只在磁场中运动时，它在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动．因为AB＝BC＝l，则运动半径R＝l.由牛顿第二定律知：
qv0B0＝mv20R，则B0＝mv0ql.
粒子只在电场中运动时，它做类平抛运动，从点A到点B方向上，有l＝v0t.
从点B到点C方向上，有a＝qE0m，l＝12at2.解得E0＝2mv20ql，则E0B0＝2v01.
(3)t＝1 s射出的粒子仅受到电场力作用，则粒子由A点运动到C点所经历的时间t1＝lv0，因E0＝2mv20ql，
则t1＝2mv0qE0.
t＝3 s射出的粒子仅受到磁场力作用，则粒子由A点运动到C点所经历的时间t2＝14 T，因为T＝2πmqB0，
所以t2 ＝πm2qB0.故t1∶t2＝2∶π.
例2 D [从AB弧所对圆心角θ＝60°，知t＝ 16T＝πm3qB.但题中已知条件不够，没有此选项，另想办法找规律表示t.由匀速圆周运动t＝ABv0，从图示分析 有R＝ 3r，则：AB＝R?θ＝ 3r×π3＝33πr，则t＝ABv0＝ 3πr3v0.D正确．]
变式训练1 C
例3 AB [粒子速度的大小将影响到带电粒子轨道半径，分析速度大时粒子运动情况和速度小时粒子的运动情况．问题归结为求粒子能从右边穿出的运动半径临界值r1和从左边穿出的运动半径临界值r2，轨迹如图所示．
粒子刚好从右边穿出时圆心在O点，有r21＝L2＋r1－L22，得r1＝54 L.
又因为r1＝mv1qB，得v1＝5BqL4m，所以v＞5BqL4m时粒子能从右边穿出．[来源:高.考.资.源.网]
粒子刚好从左边穿出时圆心在O′点，有r2＝12×L2＝L4，得v2＝qBL4m.
所以v＜qBL4m时，粒子能从左边穿出．]
变式训练2 BC
即学即练
1．AD [由题意知，带正电的粒子从中央线的上方离开混合场，说明在进入电、磁场时，竖直向上的洛伦兹力大于竖直向下的电场力．在运动过程中，由于电场力做负功，洛伦兹力不做功，所以粒子的动能减小，从而使所受到的磁场力可能比所受电场力小，选项A正确．又在运动过程中，洛伦兹力的方向不断发生改变，其加速度大小也是变化的，运动轨迹是复杂的曲线而并非简单的抛物线，所 以选项B、C错误．由动能定理得：－Eqd＝12mv2－12mv20，故选项D正确．]
2．C [据左手定则可知，滑块受到垂直斜面向下的洛伦 兹力，C对．随着滑块速度的变化，洛伦兹力大小变化，它对斜面的压力大小发生变化，故滑块受到的摩擦力大小变化，A错．B越大，滑块受到的洛伦兹力越大，受到的摩擦力也越大，摩擦力做功越多，据动能定理，滑块到达地面时的动能就越小，B错．由于开始滑块不受洛伦兹力时就能下滑，故B再大，滑块也不可能静止在斜面上．]
3．(1)垂直纸面向里 (2)105 m/s
解析 (1)因电场力竖直向上，故洛伦兹力应向下，由左手定则可判断，磁场方向应垂直纸面向里．
