不等关系
【三维目标】：
一、知识与技能
1.通过具体情景，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式（组）的实际背景；
2.掌握作差比较法判断两实数或代数式大小；
二、过程与方法
1.经历由实际问题建立数学模型的过程，体会其基本方法
2.以问题方式代替例题，学习如何利用不等式研究及表示不等式，利用不等式的有关基本性质研究不等关系；
3.通过讲练结合，培养学生转化的数学思想和逻辑推理能力.
三、情感、态度与价值观
1.通过解决具体问题，体会数学在生活中的重要作用，培养严谨的思维习惯。
2.通过学生在学习过程中的感受、体验、认识状况及理解程度，注重问题情境、实际背景的的设置，通过学生对问题的探究思考，广泛参与，改变学生学习方式，提高学习质量。
【重点与难点】：
重点：(1)通过具体情景，建立不等式模型；
(2) 掌握作差比较法判断两实数或代数式大小．
（3）掌握不等式的性质和利用不等式的性质证明简单的不等式；
难点：用不等式（组）正确表示出不等关系；利用不等式的性质证明简单的不等式。
【学法与用具】：
1. 学法：
2. 教学用具：多媒体、实物投影仪.
【授课类型】：新授课
【课时安排】：1课时
【教学思路】：
一、创设情景，揭示课题
在日常生活、生产实际和科学研究中经常要进行大小、多少、高低、轻重、长短和远近的比较，反映在数量关系上就是相等与不等两种情况，例如：
(1) 某博物馆的门票每位10元，20人以上(含20人)的团体票8折优惠．那么不足20人时，应该选择怎样的购票策略?
(2)某杂志以每本2元的价格发行时，发行量为10万册．经过调查，若价格每提高0.2元，发行量就减少5000册．要使杂志社的销售收入大于22.4万元，每本杂志的价格应定在怎样的范围内？
(3)下表给出了三种食物 , , 的维生素含量及成本：
维生素 (单位/kg)维生素 (单位/kg)[来源:高@考%资*源+#网ZXXK]成本(元/kg)
3007005
5001004
3003003
某人欲将这三种食物混合成100kg的食品，要使混合食物中至少含35000单位的维生素 及40000单位的维生素 ，设 , 这两种食物各取 kg， kg，那么 , 应满足怎样的关系？
问题：用怎样的数学模型刻画上述问题？
二、研探新知
在问题(1)中,设 人( )买20人的团体票不比普通票贵,则有 ．
在问题(2)中,设每本杂志价格提高 元,则发行量减少 万册,杂志社的销售收入为 万元．根据题意，得 ，化简，得 ．
在问题(3)中,因为食物 , 分别为 kg， kg，故食物 为 kg，则有 即
上面的例子表明，我们可以用不等式(组)来刻画不等关系．表示不等关系的式子叫做不等式,常用( )表示不等关系.
总结：建立不等式模型：通过具体情景，对问题中包含的数量关系进行认真、细致的分析，找出其中的不等关系，并由此建立不等式．问题(1)中的数学模型为一元一次不等式, 问题(1)中的数学模型为一元二次不等式, 问题(1)中的数学模型为线形规划问题．
三、质疑答辩，排难解惑，发展思维
例1 某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm两种．按照生产的要求，600mm钢管的数量不能超过500mm钢管的3倍．怎样写出满足上述所有不等关系的不等式呢？
解：假设截得的500mm钢管 根，截得的600mm钢管 根．
根据题意，应有如下的不等关系：
（1）解得两种钢管的总长度不能超过4000mm；
（2）截得600mm钢管的数量不能超过500mm钢管数量的3倍；
（3）解得两钟钢管的数量都不能为负。
由以上不等关系，可得不等式组：：
说明：关键是找出题目中的限制条件，利用限制条件列出不等关系．
例2 某校学生以面粉和大米为主食．已知面食每100克含蛋白质6个单位，含淀粉4个单位；米饭每100克含蛋白质3个单位，含淀粉7个单位．某快餐公司给学生配餐，现要求每盒至少含8个单位的蛋白质和10个单位的淀粉．设每盒快餐需面食 百克、米饭 百克，试写出 满足的条件．
解： 满足的条件为 ．
文字语言与数学符号之间的转换.
文字语言数学符号文字语言数学符号
大于>至多≤
小于<至少≥
大于等于≥不少于≥
小于等于≤不多于≤
例3 比较大小：
（1） 与 ；（2） 与 （其中 ， ）．
分析：此题属于两代数式比较大小，实际上是比较它们的值的大小，可以作差，然后展开，合并同类项之后，判断差值正负，并根据实数运算的符号法则来得出两个代数式的大小．
解：（1）
∴ ．
（2） ，∵ ， ，∴ ，所以 ．
说明：不等式 （ ， ）在生活中可以找到原型： 克糖水中有 克糖（ ），若再添加 克糖（ ），则糖水便甜了．（浓度＝ ）
例4 已知 比较 与 的大小．
解：
= …………………（*）
①当 时，（*）式 ，所以 ；
②当 时，（*）式 ，所以 ；
③当 时，（*）式 ，所以
说明：1．比较大小的步骤：作差－变形－定号－结论；
2．实数比较大小的问题一般可用作差比较法，其中变形常用因式分解、配方、通分等方法才能定号．
四、巩固深化，反馈矫正
1．（1）比较 的大小；
（2）如果 ,比较 的大小．
（3）比较 和 的大小
（4）当 、 都为正数且 时，试比较代数式 与 的大小
注意：（3）、（4）是用作差比较法来比较两个实数的大小，其一般步骤是：作差??变形??判断符号这样把两个数的大小问题转化为判断它们差的符号问题，至于差本身是多少，在此无关紧要
（5）比较 与 的大小
（6）比较 的大小，其中 .
（7）比较当 时， 的大小.
（8）设实数 满足 的大小关系是_________.
（9）配制 两种药剂需要甲、乙两种原料，已知配一剂 种药需甲料3毫克，乙料5毫克，配一剂 药需甲料5毫克，乙料4毫克。今有甲料20毫克，乙料25毫克，若 两种药至少各配一剂，则 两种药在配制时应满足怎样的不等关系呢？用不等式表示出来.
五、归纳整理，整体认识
1．现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系；通过具体情景，建立不等式模型；
2．比较两实数大小的方法??求差比较法．
六、承上启下，留下悬念
1．比较 与 的大小；
2．已知 且 ，比较 与 的大小．
七、板书设计（略）
八、课后记：
【三维目标】：
一、知识与技能
1.通过具体情景，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式（组）的实际背景；
2.掌握作差比较法判断两实数或代数式大小；
二、过程与方法
1.经历由实际问题建立数学模型的过程，体会其基本方法
2.以问题方式代替例题，学习如何利用不等式研究及表示不等式，利用不等式的有关基本性质研究不等关系；
3.通过讲练结合，培养学生转化的数学思想和逻辑推理能力.
三、情感、态度与价值观
1.通过解决具体问题，体会数学在生活中的重要作用，培养严谨的思维习惯。
2.通过学生在学习过程中的感受、体验、认识状况及理解程度，注重问题情境、实际背景的的设置，通过学生对问题的探究思考，广泛参与，改变学生学习方式，提高学习质量。
【重点与难点】：
重点：(1)通过具体情景，建立不等式模型；
(2) 掌握作差比较法判断两实数或代数式大小．
（3）掌握不等式的性质和利用不等式的性质证明简单的不等式；
难点：用不等式（组）正确表示出不等关系；利用不等式的性质证明简单的不等式。
【学法与用具】：
1. 学法：
2. 教学用具：多媒体、实物投影仪.
【授课类型】：新授课
【课时安排】：1课时
【教学思路】：
一、创设情景，揭示课题
在日常生活、生产实际和科学研究中经常要进行大小、多少、高低、轻重、长短和远近的比较，反映在数量关系上就是相等与不等两种情况，例如：
(1) 某博物馆的门票每位10元，20人以上(含20人)的团体票8折优惠．那么不足20人时，应该选择怎样的购票策略?
(2)某杂志以每本2元的价格发行时，发行量为10万册．经过调查，若价格每提高0.2元，发行量就减少5000册．要使杂志社的销售收入大于22.4万元，每本杂志的价格应定在怎样的范围内？
(3)下表给出了三种食物 , , 的维生素含量及成本：
维生素 (单位/kg)维生素 (单位/kg)[来源:高@考%资*源+#网ZXXK]成本(元/kg)
3007005
5001004
3003003
某人欲将这三种食物混合成100kg的食品，要使混合食物中至少含35000单位的维生素 及40000单位的维生素 ，设 , 这两种食物各取 kg， kg，那么 , 应满足怎样的关系？
问题：用怎样的数学模型刻画上述问题？
二、研探新知
在问题(1)中,设 人( )买20人的团体票不比普通票贵,则有 ．
在问题(2)中,设每本杂志价格提高 元,则发行量减少 万册,杂志社的销售收入为 万元．根据题意，得 ，化简，得 ．
在问题(3)中,因为食物 , 分别为 kg， kg，故食物 为 kg，则有 即
上面的例子表明，我们可以用不等式(组)来刻画不等关系．表示不等关系的式子叫做不等式,常用( )表示不等关系.
总结：建立不等式模型：通过具体情景，对问题中包含的数量关系进行认真、细致的分析，找出其中的不等关系，并由此建立不等式．问题(1)中的数学模型为一元一次不等式, 问题(1)中的数学模型为一元二次不等式, 问题(1)中的数学模型为线形规划问题．
三、质疑答辩，排难解惑，发展思维
例1 某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm两种．按照生产的要求，600mm钢管的数量不能超过500mm钢管的3倍．怎样写出满足上述所有不等关系的不等式呢？
解：假设截得的500mm钢管 根，截得的600mm钢管 根．
根据题意，应有如下的不等关系：
（1）解得两种钢管的总长度不能超过4000mm；
（2）截得600mm钢管的数量不能超过500mm钢管数量的3倍；
（3）解得两钟钢管的数量都不能为负。
由以上不等关系，可得不等式组：：
说明：关键是找出题目中的限制条件，利用限制条件列出不等关系．
例2 某校学生以面粉和大米为主食．已知面食每100克含蛋白质6个单位，含淀粉4个单位；米饭每100克含蛋白质3个单位，含淀粉7个单位．某快餐公司给学生配餐，现要求每盒至少含8个单位的蛋白质和10个单位的淀粉．设每盒快餐需面食 百克、米饭 百克，试写出 满足的条件．
解： 满足的条件为 ．
文字语言与数学符号之间的转换.
文字语言数学符号文字语言数学符号
大于>至多≤
小于<至少≥
大于等于≥不少于≥
小于等于≤不多于≤
例3 比较大小：
（1） 与 ；（2） 与 （其中 ， ）．
分析：此题属于两代数式比较大小，实际上是比较它们的值的大小，可以作差，然后展开，合并同类项之后，判断差值正负，并根据实数运算的符号法则来得出两个代数式的大小．
解：（1）
∴ ．
（2） ，∵ ， ，∴ ，所以 ．
说明：不等式 （ ， ）在生活中可以找到原型： 克糖水中有 克糖（ ），若再添加 克糖（ ），则糖水便甜了．（浓度＝ ）
例4 已知 比较 与 的大小．
解：
= …………………（*）
①当 时，（*）式 ，所以 ；
②当 时，（*）式 ，所以 ；
③当 时，（*）式 ，所以
说明：1．比较大小的步骤：作差－变形－定号－结论；
2．实数比较大小的问题一般可用作差比较法，其中变形常用因式分解、配方、通分等方法才能定号．
四、巩固深化，反馈矫正
1．（1）比较 的大小；
（2）如果 ,比较 的大小．
（3）比较 和 的大小
（4）当 、 都为正数且 时，试比较代数式 与 的大小
注意：（3）、（4）是用作差比较法来比较两个实数的大小，其一般步骤是：作差??变形??判断符号这样把两个数的大小问题转化为判断它们差的符号问题，至于差本身是多少，在此无关紧要
（5）比较 与 的大小
（6）比较 的大小，其中 .
（7）比较当 时， 的大小.
（8）设实数 满足 的大小关系是_________.
（9）配制 两种药剂需要甲、乙两种原料，已知配一剂 种药需甲料3毫克，乙料5毫克，配一剂 药需甲料5毫克，乙料4毫克。今有甲料20毫克，乙料25毫克，若 两种药至少各配一剂，则 两种药在配制时应满足怎样的不等关系呢？用不等式表示出来.
五、归纳整理，整体认识
1．现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系；通过具体情景，建立不等式模型；
2．比较两实数大小的方法??求差比较法．
六、承上启下，留下悬念
1．比较 与 的大小；
2．已知 且 ，比较 与 的大小．
七、板书设计（略）
八、课后记：
