一、映射
（１）映射的概念：设Ａ，Ｂ是两个集合，如果按照某种对应法则 ，对于集合Ａ中的任何一个元素，在集合Ｂ中都有惟一的元素与它对应，这样的对应关系叫做从集合Ａ到集合Ｂ的映射，记作 ．
（２）象和原象：给定一个集合Ａ到Ｂ的映射，且 ， ，如果元素 和元素 对应，那么，我们把元素 叫做元素 的象，元素 叫做元素 的原象．
二、函数
（１）传统定义：如果在某变化过程中有两个变量 ， ，并且对于 在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则 ， 都有惟一确定的值和它对应，那么 就是 的函数，记为 ．
（２）近代定义：函数是由一个非空数集到另一个非空数集的映射．
（３）函数的三要素：函数是由定义域、值域以及从定义域到值域的对应法则三部分组成的特殊的映射．
（４）函数的表示法：解析法、列表法、图象法．
理解好函数概念还必须注意以下几点：
①函数是一种特殊的映射，集合Ａ、Ｂ都是非空的数的集合．
②确定函数的映射是从定义域Ａ到值域Ｃ上的映射，允许Ａ中的不同元素在Ｃ中有相同的象，但不允许Ｃ中的元素在Ａ中没有原象．
③两个函数只有当定义域、值域、对应法则都分别相同时，这两个函数才相同．
④函数的定义域、值域、对应法则 统称为函数的三要素，其中对应法则 是核心， 是使对应得以实现的方法和途径，是联系 与 的纽带．定义域是自变量 的取值范围，是函数的一个重要组成部分．同一个函数的对应法则，由于定义域不相同，函数的图像与性质一般也不相同．
⑤函数的图像可以是一条或几条平滑的曲线也可以是一些离散的点，一些线段等．
⑥ 的含义与 的含义不同． 表示自变量 时所得的函数值，它是一个常量； 是 的函数，通常它是一个变量．
定义法
用数学概念的基本定义解决相关问题的方法，称之为定义法．利用定义解题的关键是把握住定义的本质特征．
[例1] 已知函数f(x)的定义域为[－1,5]，在同一直角坐标系下，函数y＝f(x)的图象与直线x＝1的交点个数为( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．0个或1个
解析：∵f(x)的定义域为[－1,5]，而1∈[－1,5]
∴点(1，f(1))在函数y＝f(x)的图象上
而点(1，f(1))又在直线x＝1上
∴直线x＝1与函数y＝f(x)的图象必有一个交点(1，f(1))
根据函数的定义知，函数是一个特殊的映射，即对于定义域[－1,5]中的任何一个元素，在其值域中有唯一确定的元素f(1)与之对应，故直线x＝1与y＝f(x)的图象有且只有一个交点．选B.
三、典型例题
题型一.映射与函数的概念
[例1] 判断下列各组中两个函数是否为同一函数．
解析：(1)函数的定义域、对应法则均相同，所以是同一函数．
(2)y＝ ＝x＋1，但x≠1，故两函数定义域不同，所以它们不是同一函数．
(3)函数f(x)＝ ?的定义域为{xx≥0}．
而g(x)＝ 的定义域为{xx≤－1或x≥0}，
它们的定义域不同，所以它们不是同一函数．
(4)去掉绝对值号可知f(x)与g(x)是同一函数．
总结评述：当一个函数的对应法则和定义域确定后，其值域随之得到确定，故函数的三要素(定义域、值域、对应法则)可简化为两要素(定义域、对应法则)，所以两个函数当且仅当定义域和对应法则相同时为同一函数．
练习：下列各组函数中，表示相同函数的是 （D）
例2、下列对应是否为从A到B的映射？能否构成函数？
不，不
是，是
。是，不
（4） ，B=R f:x ，不，不
总结评述：欲判断对应f：A→B是否是从A到B的映射，必须做两点工作：①明确集合A、B中的元素．②根据对应法则判断A中的每个元素是否在B中能找到惟一确定的对应元素．
例3（ 06年浙江卷）函数f:{1,2,3}→ {1,2,3}，满足f(f(x))=f(x),这样的函数个数（ D ）
A. 1 B. 4 C. 8 D. 10
练习： 都有
x+f(x)+xf(x)是奇数，这样的映射f共有（）个
A、22 B、15 C、50 D、27
解:分步为-1,0,1找象,当x为偶数时,f(x)必为奇数,当x为奇数时,f(x)可奇可偶,所以当x=0时,f(x)只取3,5中一个,当x=-1或,1,f(x)可取2,3,4,5,6中任意一个,由乘法原理知,这个的映射的个数共有5×5×2=50
题型二.求定义域
例4（1）求下列函数的定义域： 的定义域．
（2）已知函数 的定义域是 ，求函数 的定义域．
（3）已知函数f(2x）的定义域是［-1，1］，求f(log2x)的定义域.?
解：由函数解析式有意义，得
故函数的定义域是 ．
(2）由 ．
∵ 函数的定义域不可能为空集，∴ 必有 ，即
此时， ，函数的定义域为（ ）；
(2)∵y=f(2x)的定义域是［-1，1］，即-1≤x≤1,∴ ≤2x≤2.?
∴函数y=f(log2x)中 ≤log2x≤2.即log2 ≤log2x≤log24,∴ ≤x≤4.?
故函数f(log2x)的定义域为［ ，4］
练习：
题型三.实际问题中函数定义域的确定
四、作业：
1.求函数f(x)= 的定义域.?
解 由
∴-1＜x＜0.?
∴函数f(x)= 的定义域为（-1,0）.
2．已知向量 满足 ，且 ，
（１）求向量 （２）若映射 ，
①求映射 下 的原象；
②若将 作点的坐标，问是否存在直线 ，使得直线 上任一点在映射 的作用下，仍在直线 上，若存在，求出 的方程，若不存在，请说明理由．
解：（１）设 则 ∴ ∴
（２）①∵ ， ∴ ∴原象是 ；
②假设 存在，设其方程为
∴ ．∵点 在直线 上，∴
即 与 表示同一直线
（１）映射的概念：设Ａ，Ｂ是两个集合，如果按照某种对应法则 ，对于集合Ａ中的任何一个元素，在集合Ｂ中都有惟一的元素与它对应，这样的对应关系叫做从集合Ａ到集合Ｂ的映射，记作 ．
（２）象和原象：给定一个集合Ａ到Ｂ的映射，且 ， ，如果元素 和元素 对应，那么，我们把元素 叫做元素 的象，元素 叫做元素 的原象．
二、函数
（１）传统定义：如果在某变化过程中有两个变量 ， ，并且对于 在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则 ， 都有惟一确定的值和它对应，那么 就是 的函数，记为 ．
（２）近代定义：函数是由一个非空数集到另一个非空数集的映射．
（３）函数的三要素：函数是由定义域、值域以及从定义域到值域的对应法则三部分组成的特殊的映射．
（４）函数的表示法：解析法、列表法、图象法．
理解好函数概念还必须注意以下几点：
①函数是一种特殊的映射，集合Ａ、Ｂ都是非空的数的集合．
②确定函数的映射是从定义域Ａ到值域Ｃ上的映射，允许Ａ中的不同元素在Ｃ中有相同的象，但不允许Ｃ中的元素在Ａ中没有原象．
③两个函数只有当定义域、值域、对应法则都分别相同时，这两个函数才相同．
④函数的定义域、值域、对应法则 统称为函数的三要素，其中对应法则 是核心， 是使对应得以实现的方法和途径，是联系 与 的纽带．定义域是自变量 的取值范围，是函数的一个重要组成部分．同一个函数的对应法则，由于定义域不相同，函数的图像与性质一般也不相同．
⑤函数的图像可以是一条或几条平滑的曲线也可以是一些离散的点，一些线段等．
⑥ 的含义与 的含义不同． 表示自变量 时所得的函数值，它是一个常量； 是 的函数，通常它是一个变量．
定义法
用数学概念的基本定义解决相关问题的方法，称之为定义法．利用定义解题的关键是把握住定义的本质特征．
[例1] 已知函数f(x)的定义域为[－1,5]，在同一直角坐标系下，函数y＝f(x)的图象与直线x＝1的交点个数为( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．0个或1个
解析：∵f(x)的定义域为[－1,5]，而1∈[－1,5]
∴点(1，f(1))在函数y＝f(x)的图象上
而点(1，f(1))又在直线x＝1上
∴直线x＝1与函数y＝f(x)的图象必有一个交点(1，f(1))
根据函数的定义知，函数是一个特殊的映射，即对于定义域[－1,5]中的任何一个元素，在其值域中有唯一确定的元素f(1)与之对应，故直线x＝1与y＝f(x)的图象有且只有一个交点．选B.
三、典型例题
题型一.映射与函数的概念
[例1] 判断下列各组中两个函数是否为同一函数．
解析：(1)函数的定义域、对应法则均相同，所以是同一函数．
(2)y＝ ＝x＋1，但x≠1，故两函数定义域不同，所以它们不是同一函数．
(3)函数f(x)＝ ?的定义域为{xx≥0}．
而g(x)＝ 的定义域为{xx≤－1或x≥0}，
它们的定义域不同，所以它们不是同一函数．
(4)去掉绝对值号可知f(x)与g(x)是同一函数．
总结评述：当一个函数的对应法则和定义域确定后，其值域随之得到确定，故函数的三要素(定义域、值域、对应法则)可简化为两要素(定义域、对应法则)，所以两个函数当且仅当定义域和对应法则相同时为同一函数．
练习：下列各组函数中，表示相同函数的是 （D）
例2、下列对应是否为从A到B的映射？能否构成函数？
不，不
是，是
。是，不
（4） ，B=R f:x ，不，不
总结评述：欲判断对应f：A→B是否是从A到B的映射，必须做两点工作：①明确集合A、B中的元素．②根据对应法则判断A中的每个元素是否在B中能找到惟一确定的对应元素．
例3（ 06年浙江卷）函数f:{1,2,3}→ {1,2,3}，满足f(f(x))=f(x),这样的函数个数（ D ）
A. 1 B. 4 C. 8 D. 10
练习： 都有
x+f(x)+xf(x)是奇数，这样的映射f共有（）个
A、22 B、15 C、50 D、27
解:分步为-1,0,1找象,当x为偶数时,f(x)必为奇数,当x为奇数时,f(x)可奇可偶,所以当x=0时,f(x)只取3,5中一个,当x=-1或,1,f(x)可取2,3,4,5,6中任意一个,由乘法原理知,这个的映射的个数共有5×5×2=50
题型二.求定义域
例4（1）求下列函数的定义域： 的定义域．
（2）已知函数 的定义域是 ，求函数 的定义域．
（3）已知函数f(2x）的定义域是［-1，1］，求f(log2x)的定义域.?
解：由函数解析式有意义，得
故函数的定义域是 ．
(2）由 ．
∵ 函数的定义域不可能为空集，∴ 必有 ，即
此时， ，函数的定义域为（ ）；
(2)∵y=f(2x)的定义域是［-1，1］，即-1≤x≤1,∴ ≤2x≤2.?
∴函数y=f(log2x)中 ≤log2x≤2.即log2 ≤log2x≤log24,∴ ≤x≤4.?
故函数f(log2x)的定义域为［ ，4］
练习：
题型三.实际问题中函数定义域的确定
四、作业：
1.求函数f(x)= 的定义域.?
解 由
∴-1＜x＜0.?
∴函数f(x)= 的定义域为（-1,0）.
2．已知向量 满足 ，且 ，
（１）求向量 （２）若映射 ，
①求映射 下 的原象；
②若将 作点的坐标，问是否存在直线 ，使得直线 上任一点在映射 的作用下，仍在直线 上，若存在，求出 的方程，若不存在，请说明理由．
解：（１）设 则 ∴ ∴
（２）①∵ ， ∴ ∴原象是 ；
②假设 存在，设其方程为
∴ ．∵点 在直线 上，∴
即 与 表示同一直线
