第一讲 坐标系与参数方程
1．（2010湖南理 数）3、极坐标方程 和参数方程 （ 为参数）所表示的 图形分别是
A、圆、直线 B、直线、圆
C、圆、圆 D、直线、直线
2．（2010安徽理数）7、设曲线 的参数方程为 （ 为参数），直线 的方程为 ，则曲线 上到直线 距离为 的点的个数为
A、1B、2C、3D、4
7.B
【解析】化曲线 的参数方程为普通方程： ，圆心 到直线 的距离 ，直线和圆相交，过圆心和 平行的直线和圆的2个交点符合要求，又 ，在直线 的另外一侧没有圆上的点符合要求，所以选B.
【方法总结】解决这类问题首先把曲线 的参数方程为普通方程，然后利用圆心 到直线的距离判断直线与圆的位置关系，这就是曲线 上到直线 距离为 ，然后再判断知 ，进而得出结论.
3．（坐标系与参数方程选做题）参数方程 （ 为参数）化成普通方程为
x2＋（y－1）2＝1.
解析：
4．（2010广东文数）15.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标 系 中，曲线 与 的交点的极坐标为 .
5．（2010辽宁理数）（ 23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知P为半圆C： （ 为参数， ）上的点，点A的坐标为（1,0），
O为坐标原点，点M在射线OP上，线段OM与C的弧 的长度均为 。
（I）以O为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M的极坐标；
（II）求直线AM的参数方程。
解：
（Ⅰ）由已知，M点的极角为 ，且M点的极径等于 ，
故点M的极坐标为（ ， ）. ……5分
（Ⅱ）M点的直角坐标为（ ），A（0,1），故直线AM的参数方程为
（t为参数） ……10分
6．已知曲线C ： （t为参数）， C ： （ 为参数）。
（1）化C ，C 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
（2）若C 上的点P对应的参数为 ，Q为C 上的动点，求 中点 到直线
（t为参数）距离的最 小值
解析：
（Ⅰ）
为圆心是 ，半径是1的圆。
为中心是 坐标原点，焦点在 轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆。
（Ⅱ）当 时， ，故
为直线 ，
M到 的距离
从而当 时， 取得最 小 值
7．已知点 是圆 上的动点，
（1）求 的取值范围；
（2）若 恒成立，求实数 的取值范围。
解析：（1）设圆的参数方程为 ，
（2）
8．在平面直角坐标系中，动点P的坐标（x,y）满足方程组：
（1） 若k为参数， 为常数（ ），求P点轨迹的焦点坐标。
（2） 若 为参数，k为非零常数，则P点轨迹上任意两点间的距离是否存在最大值，若存在，求出最大值；若不存在，说明理由。
解析：（1）
得：
（2）
9．已知曲线C的参数方程为 （ 为参数， ）.
求曲线C的普通方程。
解析：本小题主要考查参数方程和普通方程的基本知识，考查转化问题的能力。满分10分。
解：因 为 所以
故曲线C的普通方程为： .
10．在曲线 ： ,在曲线 求一点，使它到直线 ： 的距离最小，并求出该点坐标和最小距离.
解析：直线 化成普通方程是 ………………………………2分
设所求的点为 ,则C到直线 的距离
…………………… …………………………………4分
= …………………………………………………………………………6分
当 时，即 时， 取最小值1 ………………………………8分
此时，点 的坐标是 …………………………………………………10分
11．在极坐标系中，从极点O作直线与另一直线l:ρcosθ=4相交于点M，在OM上取一点P，使OM?OP=12．
（1） 求点P的轨迹方程；
（2）设R为l上任意一点，试求RP的最小值．
解析：（1）设动点P的极坐标为 ，则点M为 ．
于是ρ=3cosθ(ρ＞0)为所求的点P的轨迹方程．
（2）由于点P的轨迹方程为
所以点P的轨迹是圆心为 ，半径为 的圆．又直线l:ρcosθ=4过点(4,0)且垂直于极轴，点R在直线l上，由此可知RP的最小值为了．
12.水库排放的水流从溢流坝下泄时，通常采用挑流的方法减弱水流的冲击作用，以保护水坝的坝基.下图是运用鼻坝进行挑流的示意图.已知水库的水位与鼻坝的落差为9米，鼻坝的鼻坎角为30°，鼻坝下游的基底比鼻坝低18米.求挑出水流的轨迹方程，并计算挑出的水流与坝基的水平距离.
解析：建立如图所示的直角坐标系．设轨迹上任意一点为P（x,y）．
由机械能守恒定律，得
鼻坝出口处的水流速度为
取时间t为参数，则有
所以挑出水流的轨迹的参数方程为
消去参数t，得
所以挑出的水流与坝基的水平距离为
故挑出水流的轨迹方程为
1．（2010湖南理 数）3、极坐标方程 和参数方程 （ 为参数）所表示的 图形分别是
A、圆、直线 B、直线、圆
C、圆、圆 D、直线、直线
2．（2010安徽理数）7、设曲线 的参数方程为 （ 为参数），直线 的方程为 ，则曲线 上到直线 距离为 的点的个数为
A、1B、2C、3D、4
7.B
【解析】化曲线 的参数方程为普通方程： ，圆心 到直线 的距离 ，直线和圆相交，过圆心和 平行的直线和圆的2个交点符合要求，又 ，在直线 的另外一侧没有圆上的点符合要求，所以选B.
【方法总结】解决这类问题首先把曲线 的参数方程为普通方程，然后利用圆心 到直线的距离判断直线与圆的位置关系，这就是曲线 上到直线 距离为 ，然后再判断知 ，进而得出结论.
3．（坐标系与参数方程选做题）参数方程 （ 为参数）化成普通方程为
x2＋（y－1）2＝1.
解析：
4．（2010广东文数）15.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标 系 中，曲线 与 的交点的极坐标为 .
5．（2010辽宁理数）（ 23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知P为半圆C： （ 为参数， ）上的点，点A的坐标为（1,0），
O为坐标原点，点M在射线OP上，线段OM与C的弧 的长度均为 。
（I）以O为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M的极坐标；
（II）求直线AM的参数方程。
解：
（Ⅰ）由已知，M点的极角为 ，且M点的极径等于 ，
故点M的极坐标为（ ， ）. ……5分
（Ⅱ）M点的直角坐标为（ ），A（0,1），故直线AM的参数方程为
（t为参数） ……10分
6．已知曲线C ： （t为参数）， C ： （ 为参数）。
（1）化C ，C 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
（2）若C 上的点P对应的参数为 ，Q为C 上的动点，求 中点 到直线
（t为参数）距离的最 小值
解析：
（Ⅰ）
为圆心是 ，半径是1的圆。
为中心是 坐标原点，焦点在 轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆。
（Ⅱ）当 时， ，故
为直线 ，
M到 的距离
从而当 时， 取得最 小 值
7．已知点 是圆 上的动点，
（1）求 的取值范围；
（2）若 恒成立，求实数 的取值范围。
解析：（1）设圆的参数方程为 ，
（2）
8．在平面直角坐标系中，动点P的坐标（x,y）满足方程组：
（1） 若k为参数， 为常数（ ），求P点轨迹的焦点坐标。
（2） 若 为参数，k为非零常数，则P点轨迹上任意两点间的距离是否存在最大值，若存在，求出最大值；若不存在，说明理由。
解析：（1）
得：
（2）
9．已知曲线C的参数方程为 （ 为参数， ）.
求曲线C的普通方程。
解析：本小题主要考查参数方程和普通方程的基本知识，考查转化问题的能力。满分10分。
解：因 为 所以
故曲线C的普通方程为： .
10．在曲线 ： ,在曲线 求一点，使它到直线 ： 的距离最小，并求出该点坐标和最小距离.
解析：直线 化成普通方程是 ………………………………2分
设所求的点为 ,则C到直线 的距离
…………………… …………………………………4分
= …………………………………………………………………………6分
当 时，即 时， 取最小值1 ………………………………8分
此时，点 的坐标是 …………………………………………………10分
11．在极坐标系中，从极点O作直线与另一直线l:ρcosθ=4相交于点M，在OM上取一点P，使OM?OP=12．
（1） 求点P的轨迹方程；
（2）设R为l上任意一点，试求RP的最小值．
解析：（1）设动点P的极坐标为 ，则点M为 ．
于是ρ=3cosθ(ρ＞0)为所求的点P的轨迹方程．
（2）由于点P的轨迹方程为
所以点P的轨迹是圆心为 ，半径为 的圆．又直线l:ρcosθ=4过点(4,0)且垂直于极轴，点R在直线l上，由此可知RP的最小值为了．
12.水库排放的水流从溢流坝下泄时，通常采用挑流的方法减弱水流的冲击作用，以保护水坝的坝基.下图是运用鼻坝进行挑流的示意图.已知水库的水位与鼻坝的落差为9米，鼻坝的鼻坎角为30°，鼻坝下游的基底比鼻坝低18米.求挑出水流的轨迹方程，并计算挑出的水流与坝基的水平距离.
解析：建立如图所示的直角坐标系．设轨迹上任意一点为P（x,y）．
由机械能守恒定律，得
鼻坝出口处的水流速度为
取时间t为参数，则有
所以挑出水流的轨迹的参数方程为
消去参数t，得
所以挑出的水流与坝基的水平距离为
故挑出水流的轨迹方程为
