2.3 函数的奇偶性
典例精析 题型一 函数奇偶性的判断 【例1】判断下列函数的奇偶性. (1)f(x)＝； (2)f(x)＝ 【解析】(1)由 得定义域为(－1,0)∪(0,1)， 这时f(x)＝＝－， 因为f(－x)＝－＝－＝f(x)，所以f(x)为偶函数. (2)当x＜0时，－x＞0，则 f(－x)＝－(－x)2－x＝－(x2＋x)＝－f(x)， 当x＞0时，－x＜0，则f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)， 所以对任意x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)都 有f(－x)＝－f(x)，故f(x)为奇函数. 【点拨】判断函数的奇偶性时，应先确定函数的定义域是否关于原点对称，再分析 f(－x)与f(x)的关系，必要时可对函数的解 析式进行化简变形. 【变式训练1】(2010广东)若函数f(x)＝3x＋ 与g(x)＝3x－ 的定义域均为R，则( ) A. f (x)与g(x)均为偶函数 B. f (x)为偶函数，g(x)为奇函数 C. f (x)与g(x)均为奇函数 D. f (x)为奇函数，g(x)为偶函数 【解析】B. 题型二 由奇偶性的条件求函数的解析式 【例2】若函数f(x)＝是定义在(－1,1)上的奇函数，求f(x)的解析式. 【解析】因为函数f(x)＝是定义在(－1,1)上的奇函数， 所以f(0)＝0，从而得m＝0. 又f()＋f(－)＝0，解得n＝0. 所以f(x)＝(－1＜x＜1). 【变式训练2】已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数，求a，b的值. 【解析】因为f(x)是奇函数，所以f(0)＝0，即＝0，解得b＝1，所以f(x)＝ . 又由f(1)＝－f(－1)，所以＝－，解得a＝2. 故a＝2，b＝1. 题型三 函数奇偶性的应用 【例3】设函数f(x)的定义域为R，对于任意实数x，y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，当x＞0时，f(x)＞0且f(2)＝6. (1)求证：函数f(x)为奇函数； (2)求证：函数f(x)在R上是增函数； (3)在区间[－4,4]上，求f(x)的最值. 【解析】(1)证明：令x＝y＝0，得f(0)＝f(0)＋f(0)，所以f(0)＝0， 令y＝－x，有f(0)＝f(x)＋f(－x)，所以f(－x)＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数. (2)证明：设x1，x2∈R，且x1＜x2，则f(x2)－f(x1)＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2－x1)， 又x＞0时，f(x)＞0，所以f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)＞0，即f(x2)＞f(x1)， 所以函数f(x)在R上是增函数. (3)因为函数f(x)在R上是增函数， 所以f(x)在区间[－4,4]上也是增函数， 所以函数f(x)的最大值为f(4)，最小值为f(－4)， 因为f(2)＝6，所以f(4)＝f(2)＋f(2)＝12， 又f(x)为奇函数，所以f(－4)＝－f(4)＝－12， 故函数f(x)在区间[－4,4]上的最大值为12，最小值为－12. 【点拨】函数的最值问题，可先通过判断函数的奇偶性、单调性，再求区间上的最值. 【变式训练3】定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝ 则f(－1)＝ ，f(33)＝ . 【解析】4；－2. 总结提高 1.判定函数的奇偶性时，应先确定函数的定义域是否关于原点对称，再看f(－x)与f(x)的关系，必要时可对函数解析式进行化简变形. 2.判定函数的奇偶性时，有时可通过其等价形式：f(－x)±f(x)＝0或＝±1 (f(x)≠0)进行处理. 3.奇偶性与单调性、不等式相结合的问题，要注意数形结合求解. 2.4 二次函数 典例精析 题型一 求二次函数的解析式 【例1】已知二次函数y＝f(x)的图象的对称轴方程为x＝－2，在y轴上的截距为1，在x轴上截得的线段长为2，求f(x)的解析式. 【解析】设f(x)＝ax2＋bx＋c (a≠0)，由已知有 解得a＝，b＝2，c＝1，所以f(x)＝x2＋2x＋1. 【点拨】求二次函数的解析式，要根据已知条件选择恰当的形式，三种形式可以相互转化，若二次函数图象与x轴相交，则两点间的距离为x1－x2＝. 【变式训练1】已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象过点A(c,0)，且关于直线x＝2对称，则这个二次函数的解析式是 . 【解析】由已知x＝c为它的一个根，故另一根为1. 所以1＋b＋c＝0，又－＝2?b＝－4，所以c＝3. 所以f(x)＝x2－4x＋3. 题型二 二次函数的最值 【例2】已知二次函数f(x)的二次项系数为a，且不等式f(x)＞－2x的解集为(1,3). (1)若方程f(x)＋6a＝0有两个相等实根，求f(x)的解析式； (2)若f(x)的最大值为正数，求a的取值范围. 【解析】(1)因为f(x)＋2x＞0的解集为(1,3). 所以f(x)＝a(x－1)(x－3)－2x＝ax2－(2＋4a)x＋3a.① 由f(x)＋6a＝0?ax2－(2＋4a)x＋9a＝0，② 由②知，Δ＝[－(2＋4a)]2－4a×9a＝0?5a2－4a－1＝0，所以a＝1或a＝－. 因为a＜0，所以a＝－，代入①得f(x)＝－x2－x－. (2)由于f(x)＝ax2－2(1＋2a)x＋3a＝a(x－)2－， 又a＜0，可得[f(x)]max＝－. 由 ?a＜－2－或－2＋＜a＜0. 【点拨】(1)利用Δ＝0；(2)利用配方法. 【变式训练2】已知二次函数y＝x2－2x＋3在区间[0，m]上有最大值3和最小值2，则m的取值范围是 . 【解析】[1,2]. 题型三 二次函数在方程、不等式中的综合应用 【例3】设函数 f(x)＝ax2＋bx＋c (a≠0)，x1＜x2，f(x1)≠f(x2)，对于方程f(x)＝[ f(x1)＋f(x2)]，求证： (1)方程在区间(x1，x2)内必有一解； (2)设方程在区间(x1，x2)内的根为m，若x1，m－，x2成等差数列，则－＜m2. 【证明】(1)令g(x)＝f(x)－[ f(x1)＋f(x2)]， 则g(x1)g(x2)＝[ f(x1)－f(x2)] [ f(x2)－f(x1)]＝－ [ f(x1)－f(x2)]2＜0， 所以方程g(x)＝0在区间(x1，x2)内必有一解. (2)依题意2m－1＝x1＋x2，即2m－x1－x2＝1， 又f(m)＝[ f(x1)＋f(x2)]，即2(am2＋bm＋c)＝ax＋bx1＋c＋ax＋bx2＋c. 整理得a(2m2－x－x)＋b(2m－x1－x2)＝0， a(2m2－x－x)＋b＝0， 所以－＝m2－＜m2. 【点拨】二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的分布问题，一般情况下，需要从三个方面考虑：①判别式；②区间端点对应二次函数的函数值的正负；③相应二次函数的对称轴x＝－与区间的位置关系. 【变式训练3】已知f(x)＝(x－a)(x－b)－2(a＜b)，α，β是f(x)＝0的两根(α＜β)，则实数α，β，a，b大小关系为( ) A.α＜a＜b＜β B.a＜α＜β＜b C.a＜α＜b＜β D.α＜a＜β＜b 【解析】A. 总结提高 1.二次函数的表达式有多种形式，形 式的选择要依据题目的已知条件和所求结论的特征而定. 2.利用二次函数的知识解题始终要把握二次函数图象的关键要素：①开口方向；②对称轴；③与坐标轴的交点. 3.二次函数、一元二次方程和一元二次不等式是一个有机的整体，相互渗透，解题时要注意三者的相互转化，重视用函数思想处理方程和不等式问题.
2.5 指数与指数函数
典例精析 题型一 指数及其运算 【例1】计算： (1) ； (2)(0.027) －(－)－2＋(2) －(－1)0. 【解析】(1)原式＝ ? ? ? ? ＝. (2)原式＝( －(－1)－2()－2＋( －1 ＝－49＋－1＝－45. 【点拨】进行指数的乘除运算时，一般先化成相同的底数. 【变式训练1】已知a，b是方程9x2－82x＋9＝0的两根，求 － 的值. 【解析】a＋b＝，ab＝1. 原式＝2 ＝2(ab) ＝2. 题型二 指数函数性质的应用 【例2】已知函数f(x)＝，其中x∈R. (1)试判断函数f(x)的奇偶性； (2)证明f(x)是R上的增函数. 【解析】(1)因为函数f(x)的定义域为x∈R， 且f(－x)＝ ＝＝－f(x)， 所以f(x)为R上的奇函数. (2)证明：设x1，x2∈R，且x1＜x2， 则f(x1)－f(x2)＝ － = ＜0， 所以f(x)是R上的增函数. 【点拨】在讨论指数函数的性质或利用其性质解题时，要特别注意底数是大于1还是小于1，如果不能确定底数的范围应分类讨论. 【变式训练2】函数y＝的图象大致为( ) 【解析】A. 题型三 指数函数的综合应用 【例3】已知函数f(x)＝2x－. (1)若f(x)＝2，求x的值； (2)若2tf(2t)＋mf(t)≥0对于t∈[1,2]恒成立，求实数m的取值范围. 【解析】f(x)＝2x－＝ (1)因为f(x)＝2，所以2x－＝2. 因为x≥0，所以2x＝1＋，解得x＝log2(1＋). (2)因为t∈[1,2]，所以2tf(2t)＋mf(t)≥0可化为2t(22t－)＋m(2t－)≥0， 即m(22t－1)≥－(24t－1). 因为22t－1＞0，所以上式可化为m≥－(22t＋1). 又因为－(22t＋1)的最大值为－5，所以m≥－5. 故使得2tf(2t)＋mf(t)≥0对于t∈[1,2]恒成立的实数m的取值范围是[－5，＋∞). 【变式训练3】已知函数f(x)＝2x－1，a＜b＜c，且f(a)＞f(c)＞f(b)，则下列结论中 一定成立的是( ) A.a＜0，b＜0，c＜0 B.a＜0，b≥0，c＞0 C.2－a＜2c D.2a＋2c＜2 【解析】D. 总结提高 1.增强分类讨论的意识，对于根式的意义及其性质要分清n是奇数，还是偶数，指数函数的图象和性质与底数a的取值范围有关，研究与指数函数有关的问题时，要注意分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论. 2.深化概念的理解与应用，对于分数指数幂中幂指数为负数的情形，要注意底数a的取值限制. 3.掌握指数函数的图象与性质，能利用数形结合的思想解决有关问题.
2.6 对数与对数函数
典例精析 题型一 对数的运算 【例1】计算下列各题： (1)2(lg)2＋lg lg 5＋； (2). 【解析】 (1)原式＝2×(lg 2)2＋lg 2lg 5＋ ＝lg 2(lg 2＋lg 5)＋1－lg 2＝1. (2)原式＝＝＝1. 【点拨】运用对数的运算性质以及式子的恒等变形. 【变式训练1】已知log89＝a，log25＝b，用a，b表示lg 3为 . 【解析】由 ?lg 3＝. 题型二 对数函数性质的应用 【例2】设函数f(x)＝loga(x－2) (a＞0，且a≠1). (1)求函数f(x)经过的定点坐标； (2)讨论函数f(x)的单调性； (3)解不等式log3(x－2)＜1. 【解析】(1)当x＝3时，loga1＝0恒成立，所以函数f(x)所经过的定点坐标为(3,0). (2)当a＞1时，函数f(x)在区间(2，＋∞)上为单调递增函数；当0＜a＜1时，函数f(x)在区间(2，＋∞)上为单调递减函数. (3)不等式log3(x－2)＜1等价于不等式组 解得2＜x＜5，所以原不等式的解集为(2,5). 【变式训练2】已知函数f(x)＝ 若f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围为 . 【解析】要保证函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，则分段函数应该在各自定义域内分别单调递增.若f(x)＝(a－2)x－1在区间(－∞，1]上单调递增，则a－2＞0，即a＞2.若f(x)＝logax在区间(1，＋∞)上单调递增，则a＞1.另外要保证函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增还必须满足(a－2)×1－1≤loga1＝0，即a≤3.故实数a的取值范围为2＜a≤3. 题型三 对数函数综合应用 【例3】已知函数f(x)＝loga(3－ax). (1)当x∈[0,2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围； (2)是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由. 【解析】(1)由题设知3－ax＞0对一切x∈[0,2]恒成立，a＞0，且a≠1. 因为a＞0，所以g(x)＝3－ax在[0,2]上为减函数， 从而g(2)＝3－2a＞0，所以a＜， 所以a的取值范围为(0,1)∪(1，). (2)假设存在这样的实数a，由题设知f(1)＝1， 即loga(3－a)＝1，所以a＝， 此时f(x)＝ (3－x). 当x＝2时，f(x)没有意义，故这样的实数不存在. 【点拨】这是一道探索性问题，注意函数、方程、不等式之间的相互转化，存在性问题的处理，一般是先假设存在，再结合已知条件进行转化求解，如推出矛盾，则不存在，反之，存在性成立. 【变式训练3】给出下列四个命题： ①函数f(x)＝ln x－2＋x在区间(1，e)上存在零点； ②若f′(x0)＝0，则函数y＝f(x)在x＝x0处取得极值； ③若m≥－1，则函数y＝ (x2－2x－m)的值域为R； ④“a＝1”是“函数f(x)＝在定义域上是奇函数”的充分不必要条件. 则其中正确的序号是 (把全部正确命题的序号都填上). 【解析】因为f(1)＝ln 1－2＋1＝－1＜0，f(e)＝ln e－2＋e＝e－1＞0，故函数f(x)在区间(1，e)上存在零点，命题①正确；对于函数f(x)＝x3来说，f′(x)＝3x2，显然有f′(0)＝0，但f(x)在定义域上为增函数，故x＝0不是函数的极值点，命题②错误；令t＝x2－2x－m，若m≥－1，则Δ＝(－2)2－4×1×(－m)＝4＋4m≥0，所以t＝x2－2x－m可以取遍所有的正数，所以函数 y＝ (x2－2x－m)的值域为R，命题③正确；由f(－x)＝－f(x)，可得＝－，解得a＝±1，即函数f(x)为奇函数的充要条件为a＝±1，故 “a＝1”是“函数f(x)＝为奇函数”的充分不必要条件，所以命题④正确.综上所述，正确的命题为①③④. 总结提高 1.熟练运用对数的运算公式是解决对数运算的基础和前提，运用对数的运算法则，要注意各字母的取值范围，同时，不要将积、商、幂、方根的对数与对数的积、商、幂、方根混淆起来. 2.研究对数问题时，要尽量化成同底，另外，研究对数问题时要注意对数的底数与真数的限制条件. 3.对数函数的重要性质是单调性，比较大小是单调性的重要运用，在比较时，通常利用函数的单调性或借助于中间量－1,0,1来比较，但要注意分类讨论. 4.利用对数函数的概念、图象、性质讨论一些函数的应用问题是常考题型，应注意数形结合、分类讨论、化归等数学思想方法的灵活运用.
2.7 幂函数与函数的图象
典例精析 题型一 幂函数的图象与性质 【例1】点(，2)在幂函数f(x)的图象上，点(－2，)在幂函数g(x)的图象上. (1)求f(x)、g(x)的解析式； (2)问当x为何值时，有：①g(x)＜f(x)；②f(x)＝g(x)；③f(x)＜g(x). 【解析】(1)设f(x)＝xa，因为点(，2)在幂函数f(x)的图象上，将(，2)代入f(x)＝xa中，得2＝()a，解得a＝2，即f(x)＝x2. 设g(x)＝xb，因为点(－2，)在幂函数g(x)的图象上，将(－2，)代入g(x)＝xb中，得＝(－2)b，解得b＝－2，即g(x)＝x－2. (2)在同一坐标系中作出f(x)和g(x)的图象，如图所示，由图象可知： ①当x＞1或x＜－1时，g(x)＜f(x)； ②当x＝±1时，f(x)＝g(x)； ③当－1＜x＜1且x≠0时，f(x)＜g(x). 【点拨】(1)求幂函数解析式的步骤： ①设出幂函数的一般形式y＝xa(a为常数)； ②根据已知条件求出a的值； ③写出幂函数的解析式. 本题的第(2)问采用了数形结合的思想，即在同一坐标系下画出两函数的图象，借助图象求出不等式和方程的解.这一问也可用分类讨论的思想.x2＝，即x4＝1，x＝±1，以x＝1，－1为分界点分x＞1，－1＜x＜1，x＜－1，x＝±1五种情况进行讨论，也能得到同样的结果. 【变式训练1】函数f(x)＝(m2－m－1) 是幂函数，且当x∈(0，＋∞)时是减函数，求实数m. 【解析】因为f(x)为幂函数， 所以m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1. 当m＝2时，f(x)＝x－3在(0，＋∞)上是减函数； 当m＝－1时，f(x)＝x0在(0，＋∞)上不是减函数. 所以m＝2. 题型二 作函数图象 【例2】作下列函数图象： (1)y＝1＋log2x； (2)y＝2x－1； (3)y＝x2－4. 【解析】(1)y＝1＋log2x的图象是： (2)y＝2x－1的图象是： (3)y＝x2－4的图象是： 【变式训练2】在下列图象 中，二次函数y＝ax2＋bx与指数函数y＝()x的图象只可能是( ) 【解析】A. 题型三 用数形结合思想解题 【例3】已知f(x)＝x2－4x＋3. (1)求f(x)的单调区间； (2) 求m的取值范围，使方程f(x)＝mx有4个不同实根. 【解析】 递增区间为[1,2]，[3，＋∞)； 递减区间为(－∞，1)，(2,3). (2)设y＝mx与y＝f(x)有四个公共点，过原点的直线l与y＝f(x)有三个公共点，如图所示.令它的斜率为k，则0＜m＜k. 由 ?x2＋(k－4)x＋3＝0.① 令Δ＝(k－4)2－12＝0?k＝4±2. 当k＝4＋2时，方程①的根x1＝x2＝－?(1,3)，舍去；当k＝4－2时，方程①的根x1＝x2＝∈(1,3)，符合题意.故0＜m＜4－2. 【点拨】(1)作出f(x)的图象；(2)利用(1)的图象，研究函数y＝mx与y＝f(x)的交点情况. 【变式训练3】若不等式x2－logax＜0对x∈(0，)恒成立，则实数a的取值范围是( ) A.0＜a＜1 B.≤a＜1 C.a＞1 D.0＜a≤ 【解析】原不等式为x2＜logax，设f(x)＝x2，g(x)＝logax，因为0＜x＜＜1，而logax＞x2＞0，所以0＜a＜1，作出f(x)在x∈(0，)内的图象，如图所示. 因为f()＝，所以A(，)，当g(x)图象经过点A时，＝loga?a＝，因为当x∈(0，)时，logax＞x2，g(x)图象按如图虚线位置变化，所以≤a＜1，故答案为B. 题型四 有关图象的对称问题 【例4】设函数f(x)＝x＋，x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)的图象为C1，C1关于点A(2,1)对称的图象为C2，C2对应的函数为g(x). (1)求函数y＝g(x)的解析式，并确定其定义域； (2)若直线y＝b与C2只有一个交点，求b的值，并求出交点的坐标. 【解析】(1)设P(u，v)是y＝x＋上任意一点，所以v＝u＋.① 设P关于A(2,1)对称的点为Q(x，y)， 所以 ? 代入①得2－y＝4－x＋?y＝x－2＋. 所以g(x)＝x－2＋，其定义域为(－∞，4)∪(4，＋∞). (2)联立方程得 ?x2－(b＋6)x＋4b＋9＝0， 所以Δ＝(b＋6)2－4×(4b＋9)＝b2－4b＝0?b＝0或b＝4.所以，当b＝0时，交点为(3,0)；当b＝4时，交点为(5,4). 【变式训练4】函数f(x)的定义域为R，且满足：f(x)是偶函数，f(x－1)是奇函数.若f(0.5)＝9，则f(8.5)等于( ) A.－9 B.9 C.－3 D.0 【解析】因为f(－x)＝f(x)，f(－x－1)＝－f(x－1)，所以f(－2＋x)＝－f(－x)＝－f(x)，则f(4＋x)＝－f(x＋2)＝f(x)，即4是函数f(x)的一个周期，所以f(8.5)＝f(0.5)＝9，故应选B.本题考查了抽象函数周期性的判断及其函数值的求解问题，合理进行转化是解题的关键. 总结提高 掌握描绘函数图象的两种基本方法 描点法和图象变换法.函数图象为研究函数的性质，解决方程、不等式中的问题提供了一种直观方法，用数形结合思想、分类讨论思想和转化变换的思想分析解决数学问题.函数的图象是沟通“数”与“形”的一个重要桥梁.应用函数图象法解数学问题往往具有直观易懂、运算量小的优点，但用图象法求变量的取值范围时，要特别注意端点值的取舍和特殊情况. 2.8 函数与方程
典例精析 题型一 确定函数零点所在的区间 【例1】已知函数f(x)＝x＋log2x，问方程f(x)＝0在区间[，4]上有没有实根，为什么？ 【解析】因为f ()＝＋log2＝－2＝－＜0， f(4)＝4＋log24＝4＋2＝6＞0，f() f(4)＜0，又f(x)＝x＋log2x在区间[，4]是连续的， 所以函数f(x)在区间[，4]上有零点，即存在c∈[，4]，使f(c)＝0， 所以方程f(x)＝0在区间[，4]上有实根. 【点拨】判断函数f(x)的零点是否在区间(a，b)内，只需检验两条：①函数f(x)在区间(a，b)上是连续不断的；②f(a) f(b)＜0. 【变式训练1】若x0是函数f(x)＝x＋2x－8的一个零点，则[x0](表示不超过x0的最大整数)＝ . 【解析】因为函数f(x)＝x＋2x－8在区间(－∞，＋∞)上是连续不间断的单调递增函数，且f(2) f(3)＜0，所以函数f(x)在区间(2,3)上存在唯一的零点x0，所以[x0]＝2. 题型二 判断函数零点的个数 【例2】判断下列函数的零点个数. (1)f(x)＝x2＋mx＋(m－2)； (2)f(x)＝x－4＋log2x. 【解析】(1)由Δ＝m2－4(m－2)＝(m－2)2＋4＞0，得知f(x)＝x2＋mx＋(m－2)＞0有两个不同的零点. (2)因为函数f(x)＝x－4＋log2x在区间(0，＋∞)上是连续不间断的单调递增函数，且f(2) f(3)＜0，所以函数f(x)在区间(0，＋∞)上存在唯一的零点. 【点拨】判断函数的零点个数有以下两种方法： (1) 方程f(x)＝0的根的个数即为函数f(x)的零点个数； (2)函数f(x)与x轴的交点个数，即为函数f(x)的零点个数； 特殊情况下，还可以将方程f(x)＝0化为方程g(x)＝h(x)，然后再看函数y＝g(x)与y＝h(x)的交点个数. 【变式训练2】问a为何值时，函数f(x)＝x3－3x＋a有三个零点，二个零点，一个零点？ 【解析】f′(x)＝3x2－3＝0，得x1＝1，x2＝－1，此时f(x)有极大值f(－1)＝2＋a，极小值f(1)＝－2＋a.由图象(图略)得知： 当－2＜a＜2时，函数f(x)有三个零点； 当a＝－2或a＝2时，函数f(x)有两个零点； 当a＜－2或a＞2时，函数f(x)有一个零点. 题型三 利用导数工具研究函数零点问题 【例3】设函数f(x)＝x3＋2x2－4x＋2a. (1)求函数f(x)的单调区间； (2)关于x的方程f(x)＝a2在[－3,2]上有三个相异的零点，求a的取值范围. 【解析】(1)f′(x)＝3x2＋4x－4. 由f′(x)＞0，得x＜－2或x＞；由f′(x)＜0，得－2＜x＜. 故f(x)的递增区间为(－∞，－2)、(，＋∞)， f(x)的递减区间为(－2，). (2)由f(x)＝a2?x3＋2x2－4x－a2＋2a＝0， 令g(x)＝x3＋2x2－4x－a2＋2a. 所以g′(x)＝3x2＋4x－4. 由(1)可知，g(x)在(－∞，－2)和(，＋∞)上递增，在(－2，)上递减，故g(x)在[－3， －2]和[，2)上为增函数，在[－2，]上为减函数. 关于x的方程f(x)＝a2在[－3,2]上有三个不同的零点，则 解得－2＜a≤－1或3≤a＜4. 【点拨】(1)先求f′(x)，由f′(x)＝0求出极值点，再讨论单调性；(2)利用(1)及函数f(x)的大致图形，找到满足题设的a的条件. 【变式训练3】已知函数f(x)＝＋ax2＋2bx＋c的两个极值分别为f(x1)和f(x2)，若x1和x2分别在区间(0,1)与(1,2)内，则的取值范围为( ) A.(－1，－) B.(－∞，)∪(1，＋∞) C.(，1) D.(，2) 【解析】因为f′(x)＝x2＋ax＋2b，由题意可知， 画出a，b满足的可行域，如图中的阴影部分(不包括边界)所示，表示可行域内的点与点D(1,2)的连线的斜率，记为k，观察图形可知，kCD＜k＜kBD，而kCD＝＝，kBD＝＝1，所以＜＜1，故选C. 总结提高 函数的零点就是方程的实数根，也就是函数的图象与x轴的交点的横坐标，注意零点不是“点”，并不是所有的函数都有零点，或者说不是所有的函数图象都与x轴有交点.二分法是求一般函数零点的一种通法，但要注意使用二分法的条件.二分法是利用“逐步逼近”的数学思想得到零点的近似值，但二分法也存在局限性，一是二分法一次只能求一个零点，二是在(a，b)内有零点时，未必f(a) f(b)＜0成立，三是二分法计算量较大，常要借助计算器完成.
2.9 函数模型及其应用
典例精析 题型一 运用指数模型求解 【例1】按复利计算利率的一种储蓄，本金为a元，每期利率为r，设本利和为y，存期为x，写出本利和y随期数x的变化函数式.如果存入本金10 000元，每期利率为2.25%，计算5期的本息和是多少？ 【解析】已知本金为a元， 1期后的本利和为y1＝a＋a×r＝a(1＋r)； 2期后的本利和为y2＝a(1＋r)＋a(1＋r)r＝a(1＋r)2； 3期后的本利和为y3＝a(1＋r)2＋a(1＋r)2r ＝a(1＋r)3； ? ? x期后的本利和为y＝a(1＋r)x. 将a＝10 000， r＝2.25%， x＝5代入上 式得 y＝10 000(1＋2.25%)5＝11 176.8， 所以5期后的本利和是11 176.8元. 【点拨】在实际问题中，常遇到有关平均增长率的问题，如果原来产值的基础数为N，平均增长率为p，则总产值y与时间x的关系为y＝N(1＋p)x. 【变式训练1】某工厂去年十二月的产值为a，已知月平均增长率为p，则今年十二月的月产值较去年同期增长的倍数是( ) A.(1＋p)12－1 B.(1＋p)12 C.(1＋p)11 D.12p 【解析】今年十二月产值为a(1＋p)12，去年十二月产值为a，故比去年增长了[(1＋p)12－1]a，故选A. 题型二 分段函数建模求解 【例2】在对口脱贫活动中，为了尽快脱贫(无债务)致富，企业甲经营状况良好的某种消费品专卖点以5.8万元的优惠价格转给尚有5万元无息贷款没有偿还的小型残病人企业乙，并约定从该经营利润中，首先保证企业乙的全体职工每月的最低生活费开支3600元后，逐步偿还转让费(不计息). 在甲提供资料中有：①这种消费品的进价每件14元；②该店月销售量Q(百件)与销价p(元)关系如图；③每月需各种开支2 000元. (1)试问为使该店至少能维持职工生活，商品价格应控制在何种范围？ (2)当商品价格为每件多少元时，月利润扣除职工最低生活费的余额最大？并求最大余额； (3)企业乙只依靠该厂，最早可望几年后脱贫？ 【解析】设该店月利润额为L，则由假设 得 L＝Q(p－14)×100－3 600－2 000，① (1)当14≤p≤20时，由L≥0得18≤p≤20， 当20＜p≤26时，由L≥0得20＜p≤22， 故商店销售价应控制在18≤p≤22之内. (2)当18≤p≤20时，L最大＝450元，此时，p＝19.5元. 当20＜p≤22时，L最大＝416元，此时，p＝20元. 故p＝19.5元时，月利润最大余额为450元. (3)设可在n年内脱贫，依题意得 12n×450－50 000－58 000≥0，解得n≥20， 即最少可望在20年后脱贫. 【点拨】解答这类题关键是要仔细审题，理解题意，建立相应数学模型，求解时，也可利用导数，此外要注意问题的实际意义. 【变式训练2】国家税务部门规定个人稿费的纳税办法是：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4 000元的按照超过800元部分的14%纳税；超过4 000元的按全稿费的11%纳税.某人出版了一本书，共纳税550元，问此人的稿费为多少元？ 【解析】设纳税y(元)时稿费为x(元)，则 由y＞500知x＞4 000，所以x×11%＝550?x＝5 000， 所以此人稿费为5 000元. 题型三 生活中的优化问题 【例3】(2010湖北)为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和. (1)求k的值及f(x)的表达式； (2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小？并求最小值. 【解析】(1)设隔热层厚度为x cm，由题设，每年能源消耗费用为C(x)＝， 再由C(0)＝8得k＝40，因此C(x)＝.而建造费用为C1(x)＝6x. 最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为 f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20×＋6x＝＋6x(0≤x≤10). (2)f′(x)＝6－，令f′(x)＝0，即＝6， 解得x＝5，x＝－(舍去). 当0＜x＜5时，f′(x)＜0；当5＜x＜10，f′(x)＞0， 故x＝5是f(x)的最小值点，对应的最小值为f(5)＝6×5＋＝70. 当隔热层修建5 cm厚时，总费用达到最小值70万元. 【点拨】如果根据数据判断函数的类型，可由数据的变化情况对其单调性、对称性和特定值进行判断，也可以从所给的部分数据求出模拟函数解析式，再由其他数据进一步判断. 【变式训练3】某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x、y应为x＝ ，y＝ . 【解析】如图，由已知有＝， 即4x＋5y－120＝0， S＝xy＝(4x 5y)≤()2＝180. 所以 ?x＝15，y＝12. 总结提高 利用数学模型解决实际问题，运用数学建模思想、不同的函数模型刻画现实世界中不同的增长变化规律.一次函数、二次函数、指数函数、对数函数及幂函数就是常用的描述现实世界中不同增长规律的函数模型，它们的增长存在很大的差异，如指数函数增长是指数“爆炸”，对数函数增长是逐步趋于平衡，而幂函数增长远低于指数函数，因此建立恰当数学模型并利用所得函数模型解释有关现象，对某些发展趋势进行预测具有很强的现实意义.
函数的综合应用
