函数的专题复习－函数的单调性
高考命题规律
内容上，主要考查求函数的单调区间或应用单调性求值域，或用导数法求单调区间（选修内容），是高考命题的热点问题。
函数的单调性是与不等式直接联系的，对函数的单调性的考查与解不等式、求函数的值域、数形结合等相结合。
知识清单：
1单调性的定义：设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值 时，（1）若＿＿＿＿＿＿＿＿，则f(x)在＿＿＿上是增函数。
（2）若＿＿＿＿＿＿＿＿，则f(x)在＿＿＿＿上是减函数。
2函数的单调区间的定义：若函数f(x)在区间D上是＿＿＿＿或＿＿＿＿，则称函数f(x)在这一区间上具有单调性，＿＿＿＿叫做f(x)的单调区间。
3判别函数单调性的方法：（1）定义法：利用定义严格判断；（2）利用函数的运算性质：如若f(x),g(x)为增函数，则①f(x)+g(x)为增函数，② 为减函数（f(x)>0）③ 为增函数（f(x)≥0）④f(x)g(x)为增函数（f(x)>0,g(x)>0）⑤-f(x)为减函数。
4利用复合函数关系判断单调性：法则是：＿＿＿＿＿＿＿，即两个简单函数的单调性相同，则它们的复合函数为＿＿＿＿，若两个简单函数的单调性相反，则它们的复合函数为＿＿＿。
5图象法 6导数法：（1）若f(x)在某个区间内可导，当f(x)’>0时，f(x)为＿＿函数，当f(x)’<0时，f(x)为＿＿＿函数；反之也真。
7函数的单调性是针对确定的区间而言的，所以要受到区间的限制。如：
8熟练掌握函数解析式的化简与转化方法，使问题转化为熟悉的简单函数的单调性问题，缩短对问题的判断过程，即转化为一次函数、二次函数、指、对数函数、三角函数等。
【2011考题精选】
1.北京）已知函数 ，（I）求 的单调区间；
（II）求 在区间 上的最小值。
2福建22）已知a、b为常数，且a≠0，函数f(x)＝－ax＋b＋axlnx，f(e)＝2，（e＝2.71828…是自然对数的底数）。
（Ⅰ）求实数b的值；
（Ⅱ）求函数f(x)的单调区间；
（Ⅲ）当a＝1时，是否同时存在实数m和M（m＜M），使得对每一个t∈[m，M]，直线y＝t与曲线y＝f(x)（x∈[1e，e]）都有公共点？若存在，求出最小的实数m和最大的实数M；若不存在，说明理由。
3江苏2. ）函数 的单调增区间是__________
4江西）设 ，则 的解集为＿＿＿＿＿
5四川）16．函数 的定义域为A，若 且 时总有 ，则称 为单函数．例如，函数 =2x+1( )是单函数．下列命题：
①函数 （x R）是单函数；
②若 为单函数， 且 ，则 ；
③若f：A→B为单函数，则对于任意 ，它至多有一个原象；
④函数 在某区间上具有单调性，则 一定是单函数．
其中的真命题是_________．（写出所有真命题的编号）
6(天津8）设函数 若 ，则实数 的取值范围是7(天津6)．设 ， ， ，则a,b,c的大小关系＿＿＿．
8(天津10)．设函数 ， 则 的值域是＿＿＿＿＿．
【10－08考题精选】
1（2010江苏卷14）、将边长为1m正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记 ,则S的最小值是____▲____。
2(2010重庆文数（4））函数 的值域是________
3（2010重庆文数）(12)已知 ，则函数 的最小值为____________ .
4（2009全国卷Ⅱ文）设 则＿＿＿＿＿＿
5（2009天津卷文）设函数 则不等式 的解集是＿＿
6(09江苏）函数 的单调减区间为 ★ .
7(09江苏）已知 ，函数 ，若实数 满足 ，则 的大小关系为 ★ .
8(09江苏20）设 为实数，函数 .
(1)若 ，求 的取值范围； 求 的最小值；
(2)设函数 ，写出(不需演算步骤)不等式 的解集.
2011参考答案：
1解：（I） ，令 ；所以 在 上递减，在 上递增；
（II）当 时，函数 在区间 上递增，所以 ；
当 即 时，由（I）知，函数 在区间 上递减， 上递增，所以 ；
当 时，函数 在区间 上递减，所以 。
2解析（Ⅰ）b＝2；（Ⅱ）a＞0时单调递增区间是（1，＋∞），单调递减区间是（0，1），a
＜0时单调递增区间是（0，1），单调递减区间是（1，＋∞）；（Ⅲ）存在m，M；m的最小值
为1，M的最大值为2。
3解析： 在 在 大于零,且增.
4【解析】 定义域为 ，又由 ，解得
或 ，所以 的解集
5答案：②③
解析：对于①，若 ，则 ，不满足；②实际上是单函数命题的逆否
命题，故为真命题；对于③，若任意 ，若有两个及以上的原象，也即当 时，
不一定有 ，不满足题设，故该命题为真；根据定义，命题④不满足条件．
6【解】若 ，则 ，即 ，所以 ，
若 则 ，即 ，所以 ， 。
所以实数 的取值范围是 或 ，即 ．
7【解】因为 ， ， ，
所以 ，所以 ，
8【解】解 得 ，则 或 ．因此
的解为： ．于是
当 或 时， ．
当 时， ，则 ，
又当 和 时， ，所以 ．
由以上，可得 或 ，因此 的值域是 ．
10-08参考答案：
1[解析] 设剪成的小 正三角形的边长为 ， 则：
（方法一）利用导数求函数最小值。
，
，当 时， 递减；
当 时， 递增； 故当 时，S的最小值是 。
（方法二）利用函数的方法求最小值。
令 ，则：
故当 时，S的最小值是 。
2解析：
3解析： ，当且仅当 时，
4解析 考查对数函数的增减性，由1>lge>0,知a>b,又c= lge, 作商比较知c>b,选
。
5解析 由已知，函数先增后减再增
当 ， 令 解得 。
当 ， 故 ，解得
【考点定位】本试题考查分段函数的单调性问题的运用。以及一元二次不等式的求解。
6解析： ，由 得单调
减区间为
7解析： 。
8解析：（1）若 ，则
（2）当 时，
当 时，
综上
(3) 时， 得 ，
当 时， ；
综合能力训练：
1、若函数 的定义域和值域都是[0,1]则a=__
2.函数 的单调递减区间是_________
3函数 的值域是R，则m的取值范围是______
4.函数f(x)(x∈R)的图象如图所示，则函数g(x)=f(logax) (05(2011重庆）下列区间中，函数 = 在其上为增函数的是 ＿＿＿＿＿
6(2011重庆6)设 , , ,则 , , 的大小关系是＿＿＿＿＿＿
7(2011天津20)．（本小题满分 分）已知函数 ，其中 ．
（Ⅰ）若 ，求曲线 在点 处的切线方程；
（Ⅱ）若在区间 上， 恒成立，求 的取值范围．
训练参考答案：1.a=2 2.[ ,4) 3.m≤1 4.[ ] 5解析：
6解析：
7【解】（Ⅰ）当 时， ， ． ， ．
所以曲线 在点 处的切线方程为 ，即 ．
（Ⅱ） ．
令 ，解得 或 ．针对区间 ，需分两种情况讨论：
(1) 若 ,则 ．
当 变化时， 的变化情况如下表：
增极大值减
所以 在区间 上的最小值在区间的端点得到．因此在区间 上， 恒成立，等价于
即 解得 ，又因为 ，所以 ．
(2) 若 ，则 ．
当 变化时， 的变化情况如下表：
增极大值减极小值增
所以 在区间 上的最小值在区间的端点或 处得到．
因此在区间 上， 恒成立，等价于 即
解得 或 ，又因为 ，所以 ．
综合(1),(2), 的取值范围为 .
高考命题规律
内容上，主要考查求函数的单调区间或应用单调性求值域，或用导数法求单调区间（选修内容），是高考命题的热点问题。
函数的单调性是与不等式直接联系的，对函数的单调性的考查与解不等式、求函数的值域、数形结合等相结合。
知识清单：
1单调性的定义：设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值 时，（1）若＿＿＿＿＿＿＿＿，则f(x)在＿＿＿上是增函数。
（2）若＿＿＿＿＿＿＿＿，则f(x)在＿＿＿＿上是减函数。
2函数的单调区间的定义：若函数f(x)在区间D上是＿＿＿＿或＿＿＿＿，则称函数f(x)在这一区间上具有单调性，＿＿＿＿叫做f(x)的单调区间。
3判别函数单调性的方法：（1）定义法：利用定义严格判断；（2）利用函数的运算性质：如若f(x),g(x)为增函数，则①f(x)+g(x)为增函数，② 为减函数（f(x)>0）③ 为增函数（f(x)≥0）④f(x)g(x)为增函数（f(x)>0,g(x)>0）⑤-f(x)为减函数。
4利用复合函数关系判断单调性：法则是：＿＿＿＿＿＿＿，即两个简单函数的单调性相同，则它们的复合函数为＿＿＿＿，若两个简单函数的单调性相反，则它们的复合函数为＿＿＿。
5图象法 6导数法：（1）若f(x)在某个区间内可导，当f(x)’>0时，f(x)为＿＿函数，当f(x)’<0时，f(x)为＿＿＿函数；反之也真。
7函数的单调性是针对确定的区间而言的，所以要受到区间的限制。如：
8熟练掌握函数解析式的化简与转化方法，使问题转化为熟悉的简单函数的单调性问题，缩短对问题的判断过程，即转化为一次函数、二次函数、指、对数函数、三角函数等。
【2011考题精选】
1.北京）已知函数 ，（I）求 的单调区间；
（II）求 在区间 上的最小值。
2福建22）已知a、b为常数，且a≠0，函数f(x)＝－ax＋b＋axlnx，f(e)＝2，（e＝2.71828…是自然对数的底数）。
（Ⅰ）求实数b的值；
（Ⅱ）求函数f(x)的单调区间；
（Ⅲ）当a＝1时，是否同时存在实数m和M（m＜M），使得对每一个t∈[m，M]，直线y＝t与曲线y＝f(x)（x∈[1e，e]）都有公共点？若存在，求出最小的实数m和最大的实数M；若不存在，说明理由。
3江苏2. ）函数 的单调增区间是__________
4江西）设 ，则 的解集为＿＿＿＿＿
5四川）16．函数 的定义域为A，若 且 时总有 ，则称 为单函数．例如，函数 =2x+1( )是单函数．下列命题：
①函数 （x R）是单函数；
②若 为单函数， 且 ，则 ；
③若f：A→B为单函数，则对于任意 ，它至多有一个原象；
④函数 在某区间上具有单调性，则 一定是单函数．
其中的真命题是_________．（写出所有真命题的编号）
6(天津8）设函数 若 ，则实数 的取值范围是7(天津6)．设 ， ， ，则a,b,c的大小关系＿＿＿．
8(天津10)．设函数 ， 则 的值域是＿＿＿＿＿．
【10－08考题精选】
1（2010江苏卷14）、将边长为1m正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记 ,则S的最小值是____▲____。
2(2010重庆文数（4））函数 的值域是________
3（2010重庆文数）(12)已知 ，则函数 的最小值为____________ .
4（2009全国卷Ⅱ文）设 则＿＿＿＿＿＿
5（2009天津卷文）设函数 则不等式 的解集是＿＿
6(09江苏）函数 的单调减区间为 ★ .
7(09江苏）已知 ，函数 ，若实数 满足 ，则 的大小关系为 ★ .
8(09江苏20）设 为实数，函数 .
(1)若 ，求 的取值范围； 求 的最小值；
(2)设函数 ，写出(不需演算步骤)不等式 的解集.
2011参考答案：
1解：（I） ，令 ；所以 在 上递减，在 上递增；
（II）当 时，函数 在区间 上递增，所以 ；
当 即 时，由（I）知，函数 在区间 上递减， 上递增，所以 ；
当 时，函数 在区间 上递减，所以 。
2解析（Ⅰ）b＝2；（Ⅱ）a＞0时单调递增区间是（1，＋∞），单调递减区间是（0，1），a
＜0时单调递增区间是（0，1），单调递减区间是（1，＋∞）；（Ⅲ）存在m，M；m的最小值
为1，M的最大值为2。
3解析： 在 在 大于零,且增.
4【解析】 定义域为 ，又由 ，解得
或 ，所以 的解集
5答案：②③
解析：对于①，若 ，则 ，不满足；②实际上是单函数命题的逆否
命题，故为真命题；对于③，若任意 ，若有两个及以上的原象，也即当 时，
不一定有 ，不满足题设，故该命题为真；根据定义，命题④不满足条件．
6【解】若 ，则 ，即 ，所以 ，
若 则 ，即 ，所以 ， 。
所以实数 的取值范围是 或 ，即 ．
7【解】因为 ， ， ，
所以 ，所以 ，
8【解】解 得 ，则 或 ．因此
的解为： ．于是
当 或 时， ．
当 时， ，则 ，
又当 和 时， ，所以 ．
由以上，可得 或 ，因此 的值域是 ．
10-08参考答案：
1[解析] 设剪成的小 正三角形的边长为 ， 则：
（方法一）利用导数求函数最小值。
，
，当 时， 递减；
当 时， 递增； 故当 时，S的最小值是 。
（方法二）利用函数的方法求最小值。
令 ，则：
故当 时，S的最小值是 。
2解析：
3解析： ，当且仅当 时，
4解析 考查对数函数的增减性，由1>lge>0,知a>b,又c= lge, 作商比较知c>b,选
。
5解析 由已知，函数先增后减再增
当 ， 令 解得 。
当 ， 故 ，解得
【考点定位】本试题考查分段函数的单调性问题的运用。以及一元二次不等式的求解。
6解析： ，由 得单调
减区间为
7解析： 。
8解析：（1）若 ，则
（2）当 时，
当 时，
综上
(3) 时， 得 ，
当 时， ；
综合能力训练：
1、若函数 的定义域和值域都是[0,1]则a=__
2.函数 的单调递减区间是_________
3函数 的值域是R，则m的取值范围是______
4.函数f(x)(x∈R)的图象如图所示，则函数g(x)=f(logax) (05(2011重庆）下列区间中，函数 = 在其上为增函数的是 ＿＿＿＿＿
6(2011重庆6)设 , , ,则 , , 的大小关系是＿＿＿＿＿＿
7(2011天津20)．（本小题满分 分）已知函数 ，其中 ．
（Ⅰ）若 ，求曲线 在点 处的切线方程；
（Ⅱ）若在区间 上， 恒成立，求 的取值范围．
训练参考答案：1.a=2 2.[ ,4) 3.m≤1 4.[ ] 5解析：
6解析：
7【解】（Ⅰ）当 时， ， ． ， ．
所以曲线 在点 处的切线方程为 ，即 ．
（Ⅱ） ．
令 ，解得 或 ．针对区间 ，需分两种情况讨论：
(1) 若 ,则 ．
当 变化时， 的变化情况如下表：
增极大值减
所以 在区间 上的最小值在区间的端点得到．因此在区间 上， 恒成立，等价于
即 解得 ，又因为 ，所以 ．
(2) 若 ，则 ．
当 变化时， 的变化情况如下表：
增极大值减极小值增
所以 在区间 上的最小值在区间的端点或 处得到．
因此在区间 上， 恒成立，等价于 即
解得 或 ，又因为 ，所以 ．
综合(1),(2), 的取值范围为 .
