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2012届高考数学函数值域求法知识归纳复习教案

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2.函数值域求法
一、知识梳理:
1、基本初等函数的值域:
(1)一次函数 的值域:R
(2)反比例函数 的值域:
(3)二次函数 的值域:
时, ; 时, ;
二次函数 在给定区间 上的值域:
由图象考虑取:
(4)指数函数 的值域:
(5)对数函数 的值域:R
(6)幂函数 的值域: 时,值域为 或 , 时,值域为 , 时,值域为 或
(7)三角函数 的值域分别为:
2、求函数值域的方法:
(1)直接法:初等函数或初等函数的复合函数,从自变量x的范围出发,推出y=f(x)的取值范围;
(2)二次函数法:形如 的函数利用换元法将函数转化为二次函数求值域;
(3)换元法:代数换元,三角换元,均值换元等。
(4)反表示法:将求函数的值域转化为求它的反函数的值域;
(5)判别式法:运用方程思想,依据二次方程有根,求出y的取值范围;
(6)单调性法:利用函数在定义域上的单调性求值域;
(7)基本不等式法:利用各基本不等式求值域;
(8)图象法:当一个函数图象可作时,通过图象可求其值域;
(9)求导法:当一个函数在定义域上可导时,可据其导数求最值,再得值域;
(10)几何意义法:由数形结合,转化斜率、距离等求值域。



二、典例讨论:
题型一。初等函数的复合函数:
例1、求下列函数的值域:
(1)
(2)
(3)
(4) 呢?
(5)已知 ,求函数 的值域。
解: 的定义域为 ,由此可得值域为[0,3];
题型二。其它函数
例2、求下列函数的值域:
(1)分子常数化法:
点评:适用一次分式函数 型
(2)反表示法:
点评:类似地:
(3) 法:求函数y= 值域   先因式分解,能约先约。
解:∵ ,∴函数的定义域R,原式可化为 ,整理得 ,若y=1,即2x=0,则x=0;若y 1,∵ R,即有 0,∴ ,解得 且 y 1.
综上:函数是值域是{y }.
点评:适用二次分式函数 型,先因式分解,能约先约。
(4)特殊地:基本不等式法,求导法:
(5)配方法:
解: ,
(6)换元法: 换元法:
三角换元法:
(7)函数单调性法: 用 的单调性:
点评:可用导数法求之
(8)分段函数图象法:求 y=x+1+x-2的值域.
解:将函数化为分段函数形式: ,画出它的图象(下图),由图象可知,函数的值域是{yy 3}.
(9)几何意义法、数形结合:
解: 构造点
得:
点评:亦可用合一法解之。
题型三。给定函数值域,求参数的取值范围
例3、已知函数 的定义域为R,值域为[0,2],求m,n的值。
解: , ,因为值域为[0,2],设 ,其 , ,
所以, ,验证:得



四、课后作业:
1. 求下列函数的最值与值域:?
(1)y=2x- ;?
(2)y=x+ ;(4)y= .?
解 (1)方法一 令 =t(t≥0),则x= .∴y=1-t2-t=-(t+ 2+ .?
∵二次函数对称轴为t=- ,∴在[0,+∞)上y=-(t+ 2+ 是减函数,?
故ymax=-(0+ 2+ =1.故函数有最大值1,无最小值,其值域为(-∞,1].?
方法二 ∵y=2x与y=- 均为定义域上的增函数,∴y=2x- 是定义域为{xx≤ }上的增函数,
故ymax=2× =1,无最小值.故函数的值域为(-∞,1].?
(2)方法一 函数y=x+ 是定义域为{xx≠0}上的奇函数,故其图象关于原点对称,故只讨论x>0时,即可知x<0时的最值.?
∴当x>0时,y=x+ ≥2 =4,等号当且仅当x=2时取得.
当x<0时,y≤-4,等号当且仅当x=-2时取得.
综上函数的值域为(-∞,-4]∪[4,+∞),无最值.?
方法二 任取x1,x2,且x1<x2,?
因为f(x1)-f(x2)=x1+ -(x2+ )= ?
所以当x≤-2或x≥2时,f(x)递增,当-2<x<0或0<x<2时,f(x)递减.?
故x=-2时,f(x)最大值=f(-2)=-4,x=2时,f(x)最小值=f(2)=4,?
所以所求函数的值域为(-∞,-4]∪[4,+∞),无最大(小)值.?
(3)将函数式变形为?
y= ,?
可视为动点M(x,0)与定点A(0,1)、B(2,-2)距离之和,连结AB,则直线AB与x轴的交点(横坐标)即为所求的最小值点.?
ymin=AB= ,可求得x= 时,ymin= .?
显然无最大值.故值域为[ ,+∞).?
2.若函数 的最大值为4,最小值为-1,求实数a,b的值
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