2.函数值域求法
一、知识梳理：
1、基本初等函数的值域：
（1）一次函数 的值域：R
（2）反比例函数 的值域：
（3）二次函数 的值域：
时， ； 时， ；
二次函数 在给定区间 上的值域：
由图象考虑取：
（4）指数函数 的值域：
（5）对数函数 的值域：R
（6）幂函数 的值域： 时，值域为 或 ， 时，值域为 ， 时，值域为 或
（7）三角函数 的值域分别为：
2、求函数值域的方法：
（1）直接法：初等函数或初等函数的复合函数，从自变量x的范围出发，推出y=f(x)的取值范围；
（2）二次函数法：形如 的函数利用换元法将函数转化为二次函数求值域；
（3）换元法：代数换元，三角换元，均值换元等。
（4）反表示法：将求函数的值域转化为求它的反函数的值域；
（5）判别式法：运用方程思想，依据二次方程有根，求出y的取值范围；
（6）单调性法：利用函数在定义域上的单调性求值域；
（7）基本不等式法：利用各基本不等式求值域；
（8）图象法：当一个函数图象可作时，通过图象可求其值域；
（9）求导法：当一个函数在定义域上可导时，可据其导数求最值，再得值域；
（10）几何意义法：由数形结合，转化斜率、距离等求值域。
二、典例讨论：
题型一。初等函数的复合函数：
例1、求下列函数的值域：
（1）
（2）
（3）
（4） 呢？
（5）已知 ，求函数 的值域。
解： 的定义域为 ，由此可得值域为[0，3]；
题型二。其它函数
例2、求下列函数的值域：
（1）分子常数化法：
点评：适用一次分式函数 型
（2）反表示法：
点评：类似地：
（3） 法：求函数y= 值域 先因式分解，能约先约。
解：∵ ，∴函数的定义域R，原式可化为 ,整理得 ，若y=1,即2x=0,则x=0；若y 1,∵ R，即有 0，∴ ,解得 且 y 1.
综上：函数是值域是{y }.
点评：适用二次分式函数 型，先因式分解，能约先约。
（4）特殊地：基本不等式法，求导法：
（5）配方法：
解： ，
（6）换元法： 换元法：
三角换元法：
（7）函数单调性法： 用 的单调性：
点评：可用导数法求之
（8）分段函数图象法：求 y=x+1+x-2的值域.
解：将函数化为分段函数形式： ，画出它的图象（下图），由图象可知，函数的值域是{yy 3}.
（9）几何意义法、数形结合：
解： 构造点
得：
点评：亦可用合一法解之。
题型三。给定函数值域,求参数的取值范围
例3、已知函数 的定义域为R，值域为[0，2]，求m,n的值。
解： ， ，因为值域为[0，2]，设 ，其 ， ，
所以， ，验证：得
四、课后作业：
1． 求下列函数的最值与值域：?
（1）y=2x- ;?
(2)y=x+ ;(4)y= .?
解 （1）方法一 令 =t(t≥0),则x= .∴y=1-t2-t=-（t+ 2+ .?
∵二次函数对称轴为t=- ,∴在［0，+∞）上y=-(t+ 2+ 是减函数，?
故ymax=-(0+ 2+ =1.故函数有最大值1，无最小值，其值域为（-∞，1］.?
方法二 ∵y=2x与y=- 均为定义域上的增函数，∴y=2x- 是定义域为{xx≤ }上的增函数，
故ymax=2× =1,无最小值.故函数的值域为(-∞,1］.?
(2)方法一 函数y=x+ 是定义域为{xx≠0}上的奇函数,故其图象关于原点对称,故只讨论x＞0时,即可知x＜0时的最值.?
∴当x＞0时,y=x+ ≥2 =4，等号当且仅当x=2时取得.
当x＜0时，y≤-4,等号当且仅当x=-2时取得.
综上函数的值域为（-∞，-4］∪［4，+∞），无最值.?
方法二 任取x1,x2,且x1＜x2,?
因为f(x1)-f(x2)=x1+ -(x2+ )= ?
所以当x≤-2或x≥2时，f(x)递增,当-2＜x＜0或0＜x＜2时，f(x)递减.?
故x=-2时，f(x)最大值=f(-2)=-4,x=2时，f(x)最小值=f(2)=4,?
所以所求函数的值域为（-∞，-4］∪［4，+∞），无最大（小）值.?
（3）将函数式变形为?
y= ,?
可视为动点M（x,0）与定点A（0，1）、B（2，-2）距离之和，连结AB，则直线AB与x轴的交点（横坐标）即为所求的最小值点.?
ymin=AB= ，可求得x= 时，ymin= .?
显然无最大值.故值域为［ ，+∞）.?
2．若函数 的最大值为4，最小值为-1，求实数a，b的值
一、知识梳理：
1、基本初等函数的值域：
（1）一次函数 的值域：R
（2）反比例函数 的值域：
（3）二次函数 的值域：
时， ； 时， ；
二次函数 在给定区间 上的值域：
由图象考虑取：
（4）指数函数 的值域：
（5）对数函数 的值域：R
（6）幂函数 的值域： 时，值域为 或 ， 时，值域为 ， 时，值域为 或
（7）三角函数 的值域分别为：
2、求函数值域的方法：
（1）直接法：初等函数或初等函数的复合函数，从自变量x的范围出发，推出y=f(x)的取值范围；
（2）二次函数法：形如 的函数利用换元法将函数转化为二次函数求值域；
（3）换元法：代数换元，三角换元，均值换元等。
（4）反表示法：将求函数的值域转化为求它的反函数的值域；
（5）判别式法：运用方程思想，依据二次方程有根，求出y的取值范围；
（6）单调性法：利用函数在定义域上的单调性求值域；
（7）基本不等式法：利用各基本不等式求值域；
（8）图象法：当一个函数图象可作时，通过图象可求其值域；
（9）求导法：当一个函数在定义域上可导时，可据其导数求最值，再得值域；
（10）几何意义法：由数形结合，转化斜率、距离等求值域。
二、典例讨论：
题型一。初等函数的复合函数：
例1、求下列函数的值域：
（1）
（2）
（3）
（4） 呢？
（5）已知 ，求函数 的值域。
解： 的定义域为 ，由此可得值域为[0，3]；
题型二。其它函数
例2、求下列函数的值域：
（1）分子常数化法：
点评：适用一次分式函数 型
（2）反表示法：
点评：类似地：
（3） 法：求函数y= 值域 先因式分解，能约先约。
解：∵ ，∴函数的定义域R，原式可化为 ,整理得 ，若y=1,即2x=0,则x=0；若y 1,∵ R，即有 0，∴ ,解得 且 y 1.
综上：函数是值域是{y }.
点评：适用二次分式函数 型，先因式分解，能约先约。
（4）特殊地：基本不等式法，求导法：
（5）配方法：
解： ，
（6）换元法： 换元法：
三角换元法：
（7）函数单调性法： 用 的单调性：
点评：可用导数法求之
（8）分段函数图象法：求 y=x+1+x-2的值域.
解：将函数化为分段函数形式： ，画出它的图象（下图），由图象可知，函数的值域是{yy 3}.
（9）几何意义法、数形结合：
解： 构造点
得：
点评：亦可用合一法解之。
题型三。给定函数值域,求参数的取值范围
例3、已知函数 的定义域为R，值域为[0，2]，求m,n的值。
解： ， ，因为值域为[0，2]，设 ，其 ， ，
所以， ，验证：得
四、课后作业：
1． 求下列函数的最值与值域：?
（1）y=2x- ;?
(2)y=x+ ;(4)y= .?
解 （1）方法一 令 =t(t≥0),则x= .∴y=1-t2-t=-（t+ 2+ .?
∵二次函数对称轴为t=- ,∴在［0，+∞）上y=-(t+ 2+ 是减函数，?
故ymax=-(0+ 2+ =1.故函数有最大值1，无最小值，其值域为（-∞，1］.?
方法二 ∵y=2x与y=- 均为定义域上的增函数，∴y=2x- 是定义域为{xx≤ }上的增函数，
故ymax=2× =1,无最小值.故函数的值域为(-∞,1］.?
(2)方法一 函数y=x+ 是定义域为{xx≠0}上的奇函数,故其图象关于原点对称,故只讨论x＞0时,即可知x＜0时的最值.?
∴当x＞0时,y=x+ ≥2 =4，等号当且仅当x=2时取得.
当x＜0时，y≤-4,等号当且仅当x=-2时取得.
综上函数的值域为（-∞，-4］∪［4，+∞），无最值.?
方法二 任取x1,x2,且x1＜x2,?
因为f(x1)-f(x2)=x1+ -(x2+ )= ?
所以当x≤-2或x≥2时，f(x)递增,当-2＜x＜0或0＜x＜2时，f(x)递减.?
故x=-2时，f(x)最大值=f(-2)=-4,x=2时，f(x)最小值=f(2)=4,?
所以所求函数的值域为（-∞，-4］∪［4，+∞），无最大（小）值.?
（3）将函数式变形为?
y= ,?
可视为动点M（x,0）与定点A（0，1）、B（2，-2）距离之和，连结AB，则直线AB与x轴的交点（横坐标）即为所求的最小值点.?
ymin=AB= ，可求得x= 时，ymin= .?
显然无最大值.故值域为［ ，+∞）.?
2．若函数 的最大值为4，最小值为-1，求实数a，b的值
