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2012届高考数学备考复习平面向量教案

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专题二:三角函数、三角变换、解三角形、平面向量
第三讲 平面向量
【最新考纲透析】
1.平面向量的实际背景及基本概念
(1)了解向量的实际背景。
(2)理解平面向量的概念,理解两个向量相等的含义。
(3)理解向量的几何意义。
2.向量的线性运算
(1)掌握向量加法、减法的运算,并理解其几何意义。
(2)掌握向量数乘的运算及其几何意义,理解两个向量共线的含义。
(3)了解向量线性运算的性质及其几何意义。
3.平面向量的基本定理及坐标表示
(1)了解平面向量的基本定理及其意义。
(2)掌握平面向量的正交分解及其坐标表示。
(3)会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算。
(4)理解用坐标表示的平面向量共线的条件。
4.平面向量的数量积
(1)理解平面向量数量积的含义及 其物理意义 。
(2)了解平面向量的数量积与向量投影的关系。
(3)掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算。
(4)能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。
5.向量的应用
(1)会用向量方法解决某些简单的平面几何问题。
(2)会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题 。
【核心要点突破】
要点考向1:向量的有关概念及运算
考情聚焦:1.向量的有关概念及运算,在近几年的高考中年年都会出现。
2.该类问题多数是单独命题,考查有关概念及其基本运算;有时作为一种数学工具,在解答题中与其他知识点交汇在一起考查。
3.多以选择、填空题的形式出现,有关会渗透在解答题中。
考向链接:向量的有关概念及运算要注意以下几点:
(1)正确理解相等向量、共线向量、相反向量、单位向量、零向量等基本概念,如有遗漏,则会出现错误。
(2)正确理解平面向量的运算律,一定要牢固掌握、理解深刻

(3)用已知向量表示另外一些向量,是用向量解题的基础,除了用向量的加减法、实数与向量乘积外,还要充分利用平面几何的一些定理,充分联系其他知识。
例1:(2010?山东高考理科?T12)定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下,对任意的 , ,令 ⊙ ,下面说法错误的是( )
A.若 与 共线,则 ⊙ B. ⊙ ⊙
C.对任意的 ,有 ⊙ ⊙ D. ( ⊙ )2
【命题立意】本题在平面向量的基础上,加以创新,属创新题型,考查平面向量的基础知识以及分析问题、解决问题的能力.
【思路点拨】根据所给定义逐个验证.
【规范解答】选B,若 与 共线,则有 ⊙ ,故A正确;因为 ⊙ ,,而 ⊙ ,所以有 ⊙ ⊙ ,故选项B错误,故选B.
【方法技巧】自定义型信息题
1、基本特点:该类问题的特点是背景新颖,信息量大,是近几年高考的热点题型.
2、基本对策:解答这类问题时,要通过联想类比,仔细分析题目中所提供的命题,找出其中的相似性和一致性
要点考向2:与平面向量数量积有关的问题
考情聚焦:1.与平面向量数量积有关的问题(如向量共线、垂直及夹角等问题)是高考考查的重点。
2.该类问题多数是单独命题,有时与其他知识交汇命题,考查学生分析问题、解决问题的能力。
3.多以选择题、填空题的形式出现,有时会渗透在解答题中。
考向链接:与平面向量数量积有关的问题
1.解决垂直问题: 均为非零向量。这一条件不能忽视。
2.求长度问题: ,特 别地 。
3.求夹角问题:求两非零向量夹角的依据

例2:1 .(2010?湖南高考理科?T4)在 中, =90°AC=4,则 等于( )
A、-16 B、-8 C、8 D、16
【命题立意】以直角三角形为依托,考查平面向量的数量积,基底的选择和平面向量基本定理.
【思路点拨】由于 =90,因此选向量CA,CB为基底.
【规范解答】选D . =(CB-CA)?(-CA)=-CB?CA+CA2=16.
【方法技巧】平面向量的考查常常有两条路:一是考查加减法,平行四边形法则和三角形法则,平面向量共线定理.二是考查数量积,平面向量基本定理,考查 垂直,夹角和距离(长度).
2. (2010?广东高考文科?T5)若向量 =(1,1), =(2,5), =(3,x)满足条件(8 ― )? =30,则x=( )
A.6 B.5 C.4 D.3
【命题立意】本题考察向量的坐标运算及向量的数量积运算.
【思路点拨】 先算出 ,再由向量的数量积列出方程,从而求出
【规范解答】选 . ,所以
. 即: ,解得: ,故选 .
要点考向3:向量与三角函数的综合
考情聚集:1.向量与三角函数相结合是高考的重要考查内容,在近几年的高考中,年年都会出现。
2.这类问题一般比较综合,考查综合应用知识分析问题、解决问题的能力。一般向量为具,考查三角恒等变换及三角函数的性质等。
3.多以解答题的形式出现。
例3.在直角坐标系

(I)若 ;
(II)若向量 共线,当
【解析】(1) …………2分

解得 ………………4分
或 …………6分
(II) ………………8分

…………10分

………………12分
注:向量与三角函数的综合,实质上是借助向量的工具性。(1)解决这类问题的基本思路方法是将向量转化为代数运算;(2)常用到向量的数乘、向量的代数运算,以及数形结合的思路。

【高考真题探究】
1.(2010?重庆高考理科?T2)已知向量 , 满足 ,则 ( )
A.0 B. C.4 D.8
【命题立意】本小题考查向量的基础知识、数量积的运算及性质,考查向量运算的几何意义,考查数形结合的思想方法.
【思路点拨】根据公式 进行计算,或数形结合法,根据向量的三角形法则、平行四边形法则求解.
【规范解答】选B (方法一)
;(方法二)数形结合法:由条件 知,以向量
, 为邻边的平行四边形为矩形,又因为 ,所以 ,
则 是边长为2的正方形的一条对角线确定的向量,其长度为 ,如图所示.
【方法技巧】方法一:灵活应用公式 ,
方法二:熟记向量 及向量和的三角形法则
2.(2010?全国高考卷Ⅱ理科?T8)△ABC中,点D在
边AB上,CD平分∠ACB,若 = ,
= , , 则 =( )
(A) + (B) + (C) + (D) +
【命题立意】本题考查了平面向量基本定理及三角形法则的知识。
【思路点拨】运用平面向量三角形法则解决。由角平分线性质知DB:AD= CB:CA =1:2
这样可以用向量 , 表示 。
【规范解答】 选B,由题意得AD:DB=AC;CB=2:1,AD= AB,所以 + +
+
【方法技巧】角平分线性质、平面向量基本定理及三角形法则
3.(2010?浙江高考文科?T13)已知平面向量 则 的值是 。
【命题立意】本题主要考察了平面向量的四则运算及其几何意义,属中档题。
【思路点拨】本题先把垂直关系转化为数量积为0,再利用向量求模公式求解。
【规范解答】由题意可知 ,结合 ,解得 ,
所以 2= ,开方可知答案为 .
【答案】
【方法技巧】(1) ;(2) 。
4.(2009江西高考)已知向量 , , ,若 则 = .
【解析】因为 所以 .
答案:
5.(2009广东高考)已知向量 与 互相垂直,其中 .
(1)求 和 的值;
(2)若 ,求 的值.
【解析】(1)∵ 与 互相垂直,则 ,即 ,
代入 得 ,
又 ,∴ .
(2)∵ , ,
∴ ,则 ,
∴ .
6.(2009海南宁夏高考)已知向量
(Ⅰ)若 ,求 的值;
(Ⅱ)若 求 的值.
【解析】(Ⅰ) 因为 ,所以 于是 ,故
(Ⅱ)由 知, 所以
从而 ,即 ,
于是 .又由 知, ,
所以 ,或 .因此 ,或

【跟踪模拟训练】
一、选择题(本 大题共6个小题,每小题6分,总分36分)
1.若 ,且 ,则向量 与 的夹角为 ( )
A.30° B.60° C.120° D.150°
2. 已知O,A,M,B为平面上四点,且 ,则( )
A.点M在线段AB上 B.点B在线段AM上
C.点A在线段BM上D. O、A、M、B四点一定共线
3.平行四边形ABCD中,A C为一条对角线,若 =(2,4), =(1,3),则 ? 等于( )
A.6 B.8 C.-8 D.-6
4. 已知 为不共线的非零向量,且 ,则以下四个向量中模最小者为……( )
(A) (B) (C) (D)
5. 已知向量 夹角为120°,且 则 等于( )
(A)4 (B)3(C)2 (D)1
6. 平面向量的集合A 到A的映射f( )= -( ? ) ,其中 为常向量.若映射f满足f( )?f( )= ? 对任意的 , ∈A恒成立,则 的坐标可能是( )
A.( , ) B.( ,- ) C.( , ) D.(- , )
二、填空题(本大题共3个小题,每小题6分,总分18分)
7. 已知e1、e2是两个不共线的向量,a = k2e1 + ( k)e2和b = 2e1 + 3e2是两个共线向量,则实数k =
8. 已知向量 , 满足 , , 与 的夹角为 ,则 _________,若 ,则实数 _________.
9. 给定两个长度为1的平面向量 和 ,它们的夹角为 .如图所示,点C在以O为圆心的圆弧 上变动。若 其中 ,则 的最大值是 .

三、解答题(10、11题每小题15分,12题16分,总分46分)
10. 已知 向量 , , ,且 .
(Ⅰ)求 的值;
(Ⅱ)求 的值.


11.设函数 ,其中向量 , .
(Ⅰ)求函数 的最小正周期和最大值;
(Ⅱ)求函数 的单调递增区间.


12.已知向量 , , .
(Ⅰ)若 ,求 ;
(Ⅱ)设 ,
(1)求 的单调增区间;
(2)函数 经过怎样的平移才能使所得的图象对应的函数成为奇函数?
参考答案
1.D
2.B
3.B
4.A
5.A
6.B
二、填空题
7.
8. 3,3
9. 2
三、解答题
10. 解析:(Ⅰ)由向量 , , ,且 .
得 .
即 .
所以 .
因为 ,
所以 .
因为 ,
所以 .
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得 .
则 .


11. 解:(I)



(II)由 ,



12. 解:(I)若 ,则


(II)
(1)令 得, ,
又 , ,即(0, 是 的单调增区间
(2)将函数 的图像向上平移1个单位,再向左平移 个单位,即得函数
的图像,而 为奇函数
(左、右平移的单位数不唯一,只要正确,就给 分.)

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