专题二：三角函数、三角变换、解三角形、平面向量
第三讲 平面向量
【最新考纲透析】
1．平面向量的实际背景及基本概念
（1）了解向量的实际背景。
（2）理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义。
（3）理解向量的几何意义。
2．向量的线性运算
（1）掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义。
（2）掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义。
（3）了解向量线性运算的性质及其几何意义。
3．平面向量的基本定理及坐标表示
（1）了解平面向量的基本定理及其意义。
（2）掌握平面向量的正交分解及其坐标表示。
（3）会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算。
（4）理解用坐标表示的平面向量共线的条件。
4．平面向量的数量积
（1）理解平面向量数量积的含义及 其物理意义 。
（2）了解平面向量的数量积与向量投影的关系。
（3）掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算。
（4）能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。
5．向量的应用
（1）会用向量方法解决某些简单的平面几何问题。
（2）会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题 。
【核心要点突破】
要点考向1：向量的有关概念及运算
考情聚焦：1．向量的有关概念及运算，在近几年的高考中年年都会出现。
2．该类问题多数是单独命题，考查有关概念及其基本运算；有时作为一种数学工具，在解答题中与其他知识点交汇在一起考查。
3．多以选择、填空题的形式出现，有关会渗透在解答题中。
考向链接：向量的有关概念及运算要注意以下几点：
（1）正确理解相等向量、共线向量、相反向量、单位向量、零向量等基本概念，如有遗漏，则会出现错误。
（2）正确理解平面向量的运算律，一定要牢固掌握、理解深刻
（3）用已知向量表示另外一些向量，是用向量解题的基础，除了用向量的加减法、实数与向量乘积外，还要充分利用平面几何的一些定理，充分联系其他知识。
例1：（2010?山东高考理科?Ｔ12）定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下，对任意的 ， ，令 ⊙ ，下面说法错误的是（ ）
A.若 与 共线，则 ⊙ B. ⊙ ⊙
C.对任意的 ，有 ⊙ ⊙ D. ( ⊙ )2
【命题立意】本题在平面向量的基础上，加以创新，属创新题型，考查平面向量的基础知识以及分析问题、解决问题的能力.
【思路点拨】根据所给定义逐个验证.
【规范解答】选B，若 与 共线，则有 ⊙ ，故A正确；因为 ⊙ ,，而 ⊙ ，所以有 ⊙ ⊙ ，故选项B错误，故选B.
【方法技巧】自定义型信息题
1、基本特点：该类问题的特点是背景新颖，信息量大，是近几年高考的热点题型.
2、基本对策：解答这类问题时，要通过联想类比，仔细分析题目中所提供的命题，找出其中的相似性和一致性
要点考向2：与平面向量数量积有关的问题
考情聚焦：1．与平面向量数量积有关的问题（如向量共线、垂直及夹角等问题）是高考考查的重点。
2．该类问题多数是单独命题，有时与其他知识交汇命题，考查学生分析问题、解决问题的能力。
3．多以选择题、填空题的形式出现，有时会渗透在解答题中。
考向链接：与平面向量数量积有关的问题
1．解决垂直问题： 均为非零向量。这一条件不能忽视。
2．求长度问题： ，特 别地 。
3．求夹角问题：求两非零向量夹角的依据
例2：1 .（2010?湖南高考理科?Ｔ4）在 中， =90°AC=4，则 等于（ ）
A、-16 B、-8 C、8 D、16
【命题立意】以直角三角形为依托，考查平面向量的数量积，基底的选择和平面向量基本定理.
【思路点拨】由于 =90，因此选向量CA，CB为基底.
【规范解答】选D . =(CB-CA)?(-CA)=-CB?CA+CA2=16.
【方法技巧】平面向量的考查常常有两条路：一是考查加减法，平行四边形法则和三角形法则，平面向量共线定理.二是考查数量积，平面向量基本定理，考查 垂直，夹角和距离（长度）.
2. （2010?广东高考文科?Ｔ5）若向量 =(1,1)， =(2，5)， =(3，x)满足条件(8 ― )? =30，则x=( )
A．6 B．5 C．4 D．3
【命题立意】本题考察向量的坐标运算及向量的数量积运算.
【思路点拨】 先算出 ，再由向量的数量积列出方程，从而求出
【规范解答】选 . ，所以
. 即： ，解得： ，故选 .
要点考向3：向量与三角函数的综合
考情聚集：1．向量与三角函数相结合是高考的重要考查内容，在近几年的高考中，年年都会出现。
2．这类问题一般比较综合，考查综合应用知识分析问题、解决问题的能力。一般向量为具，考查三角恒等变换及三角函数的性质等。
3．多以解答题的形式出现。
例3．在直角坐标系
（I）若 ；
（II）若向量 共线，当
【解析】（1） …………2分
又
解得 ………………4分
或 …………6分
（II） ………………8分
…………10分
………………12分
注：向量与三角函数的综合，实质上是借助向量的工具性。（1）解决这类问题的基本思路方法是将向量转化为代数运算；（2）常用到向量的数乘、向量的代数运算，以及数形结合的思路。
【高考真题探究】
1．（2010?重庆高考理科?Ｔ2）已知向量 ， 满足 ，则 （ ）
A．0 B． C．4 D．8
【命题立意】本小题考查向量的基础知识、数量积的运算及性质，考查向量运算的几何意义，考查数形结合的思想方法.
【思路点拨】根据公式 进行计算，或数形结合法，根据向量的三角形法则、平行四边形法则求解.
【规范解答】选B （方法一）
；（方法二）数形结合法：由条件 知，以向量
， 为邻边的平行四边形为矩形，又因为 ，所以 ，
则 是边长为2的正方形的一条对角线确定的向量，其长度为 ，如图所示.
【方法技巧】方法一：灵活应用公式 ，
方法二：熟记向量 及向量和的三角形法则
2．（2010?全国高考卷Ⅱ理科?Ｔ8）△ABC中，点D在
边AB上，CD平分∠ACB，若 = ,
= , ， 则 =（ ）
（A） + （B） + （C） + （D） +
【命题立意】本题考查了平面向量基本定理及三角形法则的知识。
【思路点拨】运用平面向量三角形法则解决。由角平分线性质知DB:AD= CB:CA =1:2
这样可以用向量 , 表示 。
【规范解答】 选B，由题意得AD:DB=AC；CB=2:1,AD= AB,所以 + +
+
【方法技巧】角平分线性质、平面向量基本定理及三角形法则
3．（2010?浙江高考文科?Ｔ13）已知平面向量 则 的值是 。
【命题立意】本题主要考察了平面向量的四则运算及其几何意义，属中档题。
【思路点拨】本题先把垂直关系转化为数量积为0，再利用向量求模公式求解。
【规范解答】由题意可知 ，结合 ，解得 ，
所以 2= ，开方可知答案为 .
【答案】
【方法技巧】（1） ；（2） 。
4．（2009江西高考）已知向量 ， ， ，若 则 = ．
【解析】因为 所以 .
答案：
5．（2009广东高考）已知向量 与 互相垂直，其中 ．
（1）求 和 的值；
（2）若 ，求 的值．
【解析】（1）∵ 与 互相垂直，则 ，即 ，
代入 得 ，
又 ，∴ .
（2）∵ ， ，
∴ ，则 ，
∴ .
6．（2009海南宁夏高考）已知向量
（Ⅰ）若 ，求 的值；
（Ⅱ）若 求 的值.
【解析】（Ⅰ） 因为 ，所以 于是 ，故
（Ⅱ）由 知， 所以
从而 ，即 ，
于是 .又由 知， ，
所以 ，或 .因此 ，或
【跟踪模拟训练】
一、选择题（本 大题共6个小题，每小题6分，总分36分）
1.若 ，且 ，则向量 与 的夹角为 ( )
A．30° B．60° C．120° D．150°
2. 已知O，A，M，B为平面上四点，且 ，则（ ）
A．点M在线段AB上 B．点B在线段AM上
C．点A在线段BM上D． O、A、M、B四点一定共线
3.平行四边形ABCD中，A C为一条对角线，若 =（2，4）， =（1，3），则 ? 等于（ ）
A．6 B．8 C．-8 D．-6
4. 已知 为不共线的非零向量，且 ，则以下四个向量中模最小者为……（ ）
（A） （B） （C） （D）
5. 已知向量 夹角为120°，且 则 等于（ ）
(A)4 (B)3(C)2 (D)1
6. 平面向量的集合A 到A的映射f( )＝ －( ? ) ，其中 为常向量．若映射f满足f( )?f( )＝ ? 对任意的 ， ∈A恒成立，则 的坐标可能是（ ）
A．( ， ) B．( ，－ ) C．( ， ) D．(－ ， )
二、填空题（本大题共3个小题，每小题6分，总分18分）
7. 已知e1、e2是两个不共线的向量，a = k2e1 + （ k）e2和b = 2e1 + 3e2是两个共线向量，则实数k =
8. 已知向量 ， 满足 ， ， 与 的夹角为 ，则 _________，若 ，则实数 _________．
9. 给定两个长度为1的平面向量 和 ，它们的夹角为 .如图所示，点C在以O为圆心的圆弧 上变动。若 其中 ，则 的最大值是 ．
三、解答题（10、11题每小题15分，12题16分，总分46分）
10. 已知 向量 ， ， ，且 ．
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）求 的值．
11.设函数 ，其中向量 ， .
（Ⅰ）求函数 的最小正周期和最大值；
（Ⅱ）求函数 的单调递增区间.
12.已知向量 ， ， .
（Ⅰ）若 ，求 ；
（Ⅱ）设 ，
（1）求 的单调增区间；
（2）函数 经过怎样的平移才能使所得的图象对应的函数成为奇函数？
参考答案
1.D
2.B
3.B
4.A
5.A
6.B
二、填空题
7.
8. 3，3
9. 2
三、解答题
10. 解析：（Ⅰ）由向量 ， ， ，且 ．
得 ．
即 ．
所以 ．
因为 ，
所以 ．
因为 ，
所以 ．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得 ．
则 .
．
11. 解：（I）
（II）由 ，
得
12. 解：（I）若 ，则
（II）
(1)令 得， ，
又 ， ，即（0， 是 的单调增区间
(2)将函数 的图像向上平移1个单位，再向左平移 个单位，即得函数
的图像，而 为奇函数
(左、右平移的单位数不唯一，只要正确，就给 分.)
第三讲 平面向量
【最新考纲透析】
1．平面向量的实际背景及基本概念
（1）了解向量的实际背景。
（2）理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义。
（3）理解向量的几何意义。
2．向量的线性运算
（1）掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义。
（2）掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义。
（3）了解向量线性运算的性质及其几何意义。
3．平面向量的基本定理及坐标表示
（1）了解平面向量的基本定理及其意义。
（2）掌握平面向量的正交分解及其坐标表示。
（3）会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算。
（4）理解用坐标表示的平面向量共线的条件。
4．平面向量的数量积
（1）理解平面向量数量积的含义及 其物理意义 。
（2）了解平面向量的数量积与向量投影的关系。
（3）掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算。
（4）能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。
5．向量的应用
（1）会用向量方法解决某些简单的平面几何问题。
（2）会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题 。
【核心要点突破】
要点考向1：向量的有关概念及运算
考情聚焦：1．向量的有关概念及运算，在近几年的高考中年年都会出现。
2．该类问题多数是单独命题，考查有关概念及其基本运算；有时作为一种数学工具，在解答题中与其他知识点交汇在一起考查。
3．多以选择、填空题的形式出现，有关会渗透在解答题中。
考向链接：向量的有关概念及运算要注意以下几点：
（1）正确理解相等向量、共线向量、相反向量、单位向量、零向量等基本概念，如有遗漏，则会出现错误。
（2）正确理解平面向量的运算律，一定要牢固掌握、理解深刻
（3）用已知向量表示另外一些向量，是用向量解题的基础，除了用向量的加减法、实数与向量乘积外，还要充分利用平面几何的一些定理，充分联系其他知识。
例1：（2010?山东高考理科?Ｔ12）定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下，对任意的 ， ，令 ⊙ ，下面说法错误的是（ ）
A.若 与 共线，则 ⊙ B. ⊙ ⊙
C.对任意的 ，有 ⊙ ⊙ D. ( ⊙ )2
【命题立意】本题在平面向量的基础上，加以创新，属创新题型，考查平面向量的基础知识以及分析问题、解决问题的能力.
【思路点拨】根据所给定义逐个验证.
【规范解答】选B，若 与 共线，则有 ⊙ ，故A正确；因为 ⊙ ,，而 ⊙ ，所以有 ⊙ ⊙ ，故选项B错误，故选B.
【方法技巧】自定义型信息题
1、基本特点：该类问题的特点是背景新颖，信息量大，是近几年高考的热点题型.
2、基本对策：解答这类问题时，要通过联想类比，仔细分析题目中所提供的命题，找出其中的相似性和一致性
要点考向2：与平面向量数量积有关的问题
考情聚焦：1．与平面向量数量积有关的问题（如向量共线、垂直及夹角等问题）是高考考查的重点。
2．该类问题多数是单独命题，有时与其他知识交汇命题，考查学生分析问题、解决问题的能力。
3．多以选择题、填空题的形式出现，有时会渗透在解答题中。
考向链接：与平面向量数量积有关的问题
1．解决垂直问题： 均为非零向量。这一条件不能忽视。
2．求长度问题： ，特 别地 。
3．求夹角问题：求两非零向量夹角的依据
例2：1 .（2010?湖南高考理科?Ｔ4）在 中， =90°AC=4，则 等于（ ）
A、-16 B、-8 C、8 D、16
【命题立意】以直角三角形为依托，考查平面向量的数量积，基底的选择和平面向量基本定理.
【思路点拨】由于 =90，因此选向量CA，CB为基底.
【规范解答】选D . =(CB-CA)?(-CA)=-CB?CA+CA2=16.
【方法技巧】平面向量的考查常常有两条路：一是考查加减法，平行四边形法则和三角形法则，平面向量共线定理.二是考查数量积，平面向量基本定理，考查 垂直，夹角和距离（长度）.
2. （2010?广东高考文科?Ｔ5）若向量 =(1,1)， =(2，5)， =(3，x)满足条件(8 ― )? =30，则x=( )
A．6 B．5 C．4 D．3
【命题立意】本题考察向量的坐标运算及向量的数量积运算.
【思路点拨】 先算出 ，再由向量的数量积列出方程，从而求出
【规范解答】选 . ，所以
. 即： ，解得： ，故选 .
要点考向3：向量与三角函数的综合
考情聚集：1．向量与三角函数相结合是高考的重要考查内容，在近几年的高考中，年年都会出现。
2．这类问题一般比较综合，考查综合应用知识分析问题、解决问题的能力。一般向量为具，考查三角恒等变换及三角函数的性质等。
3．多以解答题的形式出现。
例3．在直角坐标系
（I）若 ；
（II）若向量 共线，当
【解析】（1） …………2分
又
解得 ………………4分
或 …………6分
（II） ………………8分
…………10分
………………12分
注：向量与三角函数的综合，实质上是借助向量的工具性。（1）解决这类问题的基本思路方法是将向量转化为代数运算；（2）常用到向量的数乘、向量的代数运算，以及数形结合的思路。
【高考真题探究】
1．（2010?重庆高考理科?Ｔ2）已知向量 ， 满足 ，则 （ ）
A．0 B． C．4 D．8
【命题立意】本小题考查向量的基础知识、数量积的运算及性质，考查向量运算的几何意义，考查数形结合的思想方法.
【思路点拨】根据公式 进行计算，或数形结合法，根据向量的三角形法则、平行四边形法则求解.
【规范解答】选B （方法一）
；（方法二）数形结合法：由条件 知，以向量
， 为邻边的平行四边形为矩形，又因为 ，所以 ，
则 是边长为2的正方形的一条对角线确定的向量，其长度为 ，如图所示.
【方法技巧】方法一：灵活应用公式 ，
方法二：熟记向量 及向量和的三角形法则
2．（2010?全国高考卷Ⅱ理科?Ｔ8）△ABC中，点D在
边AB上，CD平分∠ACB，若 = ,
= , ， 则 =（ ）
（A） + （B） + （C） + （D） +
【命题立意】本题考查了平面向量基本定理及三角形法则的知识。
【思路点拨】运用平面向量三角形法则解决。由角平分线性质知DB:AD= CB:CA =1:2
这样可以用向量 , 表示 。
【规范解答】 选B，由题意得AD:DB=AC；CB=2:1,AD= AB,所以 + +
+
【方法技巧】角平分线性质、平面向量基本定理及三角形法则
3．（2010?浙江高考文科?Ｔ13）已知平面向量 则 的值是 。
【命题立意】本题主要考察了平面向量的四则运算及其几何意义，属中档题。
【思路点拨】本题先把垂直关系转化为数量积为0，再利用向量求模公式求解。
【规范解答】由题意可知 ，结合 ，解得 ，
所以 2= ，开方可知答案为 .
【答案】
【方法技巧】（1） ；（2） 。
4．（2009江西高考）已知向量 ， ， ，若 则 = ．
【解析】因为 所以 .
答案：
5．（2009广东高考）已知向量 与 互相垂直，其中 ．
（1）求 和 的值；
（2）若 ，求 的值．
【解析】（1）∵ 与 互相垂直，则 ，即 ，
代入 得 ，
又 ，∴ .
（2）∵ ， ，
∴ ，则 ，
∴ .
6．（2009海南宁夏高考）已知向量
（Ⅰ）若 ，求 的值；
（Ⅱ）若 求 的值.
【解析】（Ⅰ） 因为 ，所以 于是 ，故
（Ⅱ）由 知， 所以
从而 ，即 ，
于是 .又由 知， ，
所以 ，或 .因此 ，或
【跟踪模拟训练】
一、选择题（本 大题共6个小题，每小题6分，总分36分）
1.若 ，且 ，则向量 与 的夹角为 ( )
A．30° B．60° C．120° D．150°
2. 已知O，A，M，B为平面上四点，且 ，则（ ）
A．点M在线段AB上 B．点B在线段AM上
C．点A在线段BM上D． O、A、M、B四点一定共线
3.平行四边形ABCD中，A C为一条对角线，若 =（2，4）， =（1，3），则 ? 等于（ ）
A．6 B．8 C．-8 D．-6
4. 已知 为不共线的非零向量，且 ，则以下四个向量中模最小者为……（ ）
（A） （B） （C） （D）
5. 已知向量 夹角为120°，且 则 等于（ ）
(A)4 (B)3(C)2 (D)1
6. 平面向量的集合A 到A的映射f( )＝ －( ? ) ，其中 为常向量．若映射f满足f( )?f( )＝ ? 对任意的 ， ∈A恒成立，则 的坐标可能是（ ）
A．( ， ) B．( ，－ ) C．( ， ) D．(－ ， )
二、填空题（本大题共3个小题，每小题6分，总分18分）
7. 已知e1、e2是两个不共线的向量，a = k2e1 + （ k）e2和b = 2e1 + 3e2是两个共线向量，则实数k =
8. 已知向量 ， 满足 ， ， 与 的夹角为 ，则 _________，若 ，则实数 _________．
9. 给定两个长度为1的平面向量 和 ，它们的夹角为 .如图所示，点C在以O为圆心的圆弧 上变动。若 其中 ，则 的最大值是 ．
三、解答题（10、11题每小题15分，12题16分，总分46分）
10. 已知 向量 ， ， ，且 ．
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）求 的值．
11.设函数 ，其中向量 ， .
（Ⅰ）求函数 的最小正周期和最大值；
（Ⅱ）求函数 的单调递增区间.
12.已知向量 ， ， .
（Ⅰ）若 ，求 ；
（Ⅱ）设 ，
（1）求 的单调增区间；
（2）函数 经过怎样的平移才能使所得的图象对应的函数成为奇函数？
参考答案
1.D
2.B
3.B
4.A
5.A
6.B
二、填空题
7.
8. 3，3
9. 2
三、解答题
10. 解析：（Ⅰ）由向量 ， ， ，且 ．
得 ．
即 ．
所以 ．
因为 ，
所以 ．
因为 ，
所以 ．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得 ．
则 .
．
11. 解：（I）
（II）由 ，
得
12. 解：（I）若 ，则
（II）
(1)令 得， ，
又 ， ，即（0， 是 的单调增区间
(2)将函数 的图像向上平移1个单位，再向左平移 个单位，即得函数
的图像，而 为奇函数
(左、右平移的单位数不唯一，只要正确，就给 分.)
