第三课时 球的表面积与体积
（一）目标
1．知识与技能
（1）了解球的表面积与体积公式（不要求记忆公式）.
（2）培养学生空间想象能力和思维能力.
2．过程与方法
通过作轴截面，寻找旋转体类组合体中量与量之间的关系.
3．情感、态度与价值
让学生更好地认识空间几何体的结构特征，培养学生学习的兴趣.
（二）重点、难点
重点：球的表面积与体积的计算
难点：简单组合体的体积计算
（三）教学方法
讲练结合
教学过程教学内容师生互动设计意图
新课引入复习柱体、锥体、台体的表面积和体积，点出主题.师生共同复习，教师点出点题（板书）复习巩固
探索新知1．球的体积：
2．球的表面积：
师：设球的半径为R，那么它的体积： ，它的面积 现在请大家观察这两个公式，思考它们都有什么特点？
生：这两个公式说明球的体积和表面积都由球的半径R惟一确定.其中球的体积是半径R的三次函数，球的表面积是半径R的二次函数.
师 (肯定) ：球的体积公式和球的表面积公式以后可以证明.这节课主要学习它们的应用.加强对公式的认识培养学生理解能力
典例分析例1 如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径.求证：
（1）球的体积等于圆柱体积的 ；
（2）球的表面积等于圆柱的侧面积.
证明：（1）设球的半径为R,则圆柱的底面半径为R，高为2R.
因为 ，
，
所以， .
（2）因为 ，
，
所以，S球 = S圆柱侧.
例2 球与圆台的上、下底面及侧面都相切，且球面面积与圆台的侧面积之比为3:4，则球的体积与圆台的体积之比为（ ）
A．6:13 B．5:14
C．3:4 D．7:15
【解析】如图所示，作圆台的轴截面等腰梯形ABCD，球的大圆O内切于梯形ABCD.
设球的半径为R，圆台的上、下底面半径分别为r1、r2，由平面几何知识知，圆台的高为2R，母线长为r1 + r2.
∵∠AOB = 90°，OE⊥AB (E为切点)，
∴R2 = OE2 = AE?BE = r1?r2.
由已知S球∶S圆台侧= 4 R2∶ (r1+r2)2 = 3∶4
(r1 + r2)2 =
V球∶V圆台 =
= 故选A.
例3 在球面上有四个点P、A、B、C，如果PA、PB、PC两两垂直且PA = PB = PC = a，求这个球的体积.
解：∵PA、PB、PC两两垂直，
PA = PB = PC = a.
∴以PA、PB、PC为相邻三条棱可以构造正方体.
又∵P、A、B、C四点是球面上四点，
∴球是正方体的外接球 ，正方体的对角线是球的直径.
∴ .
∴
教师投影例1并读题，学生先独立完成.教师投影答案并点评（本题联系各有关量的关键性要素是球的半径）
教师投影例2并读题，
师：请大家思考一下这道题中组合体的结构特征.
生：球内切于圆台.
师：你准备怎样研究这个组合体？
生：画出球和圆台的轴截面.
师：圆台的高与球的哪一个量相等？
生：球的直径.
师：根据球和圆台的体积公式，你认为本题解题关键是什么？
生：求出球的半径与圆台的上、下底面半径间的关系.
师投影轴截面图，边分析边板书有关过程.
师：简单几何体的切接问题，包括简单几何体的内外切和内外接，在解决这类问题时要准确地画出它们的图形，一般要通过一些特殊点，如切点，某些顶点，或一些特殊的线，如轴线或高线等，作几何体的截面，在截面上运用平面几何的知识，研究有关元素的位置关系和数量关系，进而把问题解决.
教师投影例3并读题，学生先思考、讨论，教师视情况控制时间，给予引导，最后由学生分析，教师板书有关过程.
师：计算球的体积，首先必须先求出球的半径.由于PA、PB、PC是两两垂直的而且相等的三条棱，所以P ? ABC可以看成一个正方体的一角，四点P、A、B、C在球上，所以此球可视为PA、PB、PC为相邻三条棱的正方体的外接球，其直径为正方体的对角线.本题较易，学生独立完成，有利于培养学生问题解决的能力.
通过师生讨论，突破问题解决的关键，培养学生空间想象能力和问题解决的能力.
本题有两种解题方法，此处采用构造法解题，目标培养学生联想，转化化归的能力.另一种方法，因要应用球的性质，可在以后讨论.
随堂练习1．（1）将一个气球的半径扩大1倍，它的体积扩大到原来的几倍？
（2）一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长是a cm，求球的体积.
（3）一个球的体积是100 cm2，试计算它的表面积( 取3.14，结果精确到1cm2，可用计算器).
参考答案：
1．（1）8倍；（2） （3）104.学生独立完成巩固所学知识
归纳总结1．球的体积和表面积
2．等积变换
3．轴截面的应用学生独立思考、归纳，然后师生共同交流、完善归纳知识，提高学生自我整合知识的能力.
课后作业1.3 第三课时 习案学生独立完成固化练习
提升能力
备用例题
例1．已知过球面上三点A、B、C的截面到球心的距离等于球半径的一半，且AC = BC = 6，AB = 4，求球面面积与球的体积．
【分析】 可以用球的截面性质。即截面小圆的圆心到球心的线段垂直于截面小圆平面．
【解析】 如图，设球心为O，球半径为R，作OO1⊥平面ABC于O1，由于OA = OB = OC = R，则O1是△ABC的外心．
设M是AB的中点，由于AC = BC，则O1∈CM．
设O1M = x，易知O1M⊥AB，则O1A = ，O1C = CM ? O1M = ? x
又O1A = O1C
∴ ．解得
则O1A = O1B = O1C = ．
在Rt△OO1A中，O1O = ，∠OO1A = 90°，OA = R，
由勾股定理得 ．解得 ．
故 ．
例2．如图所示棱锥P ? ABCD中，底面ABCD是正方形，边长为a，PD = a，PA = PC = ，且PD是四棱锥的高．
（1）在这个四棱锥中放入一个球，求球的最大半径；
（2）求四棱锥外接球的半径．
【分析】（1）当所放的球与四棱锥各面都相切时球的半径最大，即球心到各个面的距离均相等，联想到用体积分割法求解．（2）四棱锥的外接球的球心到P、A、B、C、D五点的距离均为半径，只要找出球心的位置即可．球心O在过底面中心E且垂直于底面的垂线上．
【解析】（1）设此球半径为R，最大的球应与四棱锥各个面都相切，设球心为S，连结SA、SB、SC、SP，则把此四棱锥分为五个棱锥，设它们的高均为R．
，
，
，
S□ABCD = a2．
VP ? ABCD = VS ? PDA + VS ? PDC + V S ? ABCD + VS ? PAB + Vs ? PBC ，
，
，
所以 ， ，
即球的最大半径为 ．
（2）法一：设PB的中点为F．
因为在Rt△PDB中，FP = FB = FD，
在Rt△PAB中，FA = FP = FB，
在Rt△PBC中，FP = FB = FC，
所以FP = FB = FA = FC = FD．
所以F为四棱锥外接球的球心，则FP为外接球的半径．
法二：球心O在如图EF上，设OE = x，EA = ，
又
即球心O在PB中点F上．
（一）目标
1．知识与技能
（1）了解球的表面积与体积公式（不要求记忆公式）.
（2）培养学生空间想象能力和思维能力.
2．过程与方法
通过作轴截面，寻找旋转体类组合体中量与量之间的关系.
3．情感、态度与价值
让学生更好地认识空间几何体的结构特征，培养学生学习的兴趣.
（二）重点、难点
重点：球的表面积与体积的计算
难点：简单组合体的体积计算
（三）教学方法
讲练结合
教学过程教学内容师生互动设计意图
新课引入复习柱体、锥体、台体的表面积和体积，点出主题.师生共同复习，教师点出点题（板书）复习巩固
探索新知1．球的体积：
2．球的表面积：
师：设球的半径为R，那么它的体积： ，它的面积 现在请大家观察这两个公式，思考它们都有什么特点？
生：这两个公式说明球的体积和表面积都由球的半径R惟一确定.其中球的体积是半径R的三次函数，球的表面积是半径R的二次函数.
师 (肯定) ：球的体积公式和球的表面积公式以后可以证明.这节课主要学习它们的应用.加强对公式的认识培养学生理解能力
典例分析例1 如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径.求证：
（1）球的体积等于圆柱体积的 ；
（2）球的表面积等于圆柱的侧面积.
证明：（1）设球的半径为R,则圆柱的底面半径为R，高为2R.
因为 ，
，
所以， .
（2）因为 ，
，
所以，S球 = S圆柱侧.
例2 球与圆台的上、下底面及侧面都相切，且球面面积与圆台的侧面积之比为3:4，则球的体积与圆台的体积之比为（ ）
A．6:13 B．5:14
C．3:4 D．7:15
【解析】如图所示，作圆台的轴截面等腰梯形ABCD，球的大圆O内切于梯形ABCD.
设球的半径为R，圆台的上、下底面半径分别为r1、r2，由平面几何知识知，圆台的高为2R，母线长为r1 + r2.
∵∠AOB = 90°，OE⊥AB (E为切点)，
∴R2 = OE2 = AE?BE = r1?r2.
由已知S球∶S圆台侧= 4 R2∶ (r1+r2)2 = 3∶4
(r1 + r2)2 =
V球∶V圆台 =
= 故选A.
例3 在球面上有四个点P、A、B、C，如果PA、PB、PC两两垂直且PA = PB = PC = a，求这个球的体积.
解：∵PA、PB、PC两两垂直，
PA = PB = PC = a.
∴以PA、PB、PC为相邻三条棱可以构造正方体.
又∵P、A、B、C四点是球面上四点，
∴球是正方体的外接球 ，正方体的对角线是球的直径.
∴ .
∴
教师投影例1并读题，学生先独立完成.教师投影答案并点评（本题联系各有关量的关键性要素是球的半径）
教师投影例2并读题，
师：请大家思考一下这道题中组合体的结构特征.
生：球内切于圆台.
师：你准备怎样研究这个组合体？
生：画出球和圆台的轴截面.
师：圆台的高与球的哪一个量相等？
生：球的直径.
师：根据球和圆台的体积公式，你认为本题解题关键是什么？
生：求出球的半径与圆台的上、下底面半径间的关系.
师投影轴截面图，边分析边板书有关过程.
师：简单几何体的切接问题，包括简单几何体的内外切和内外接，在解决这类问题时要准确地画出它们的图形，一般要通过一些特殊点，如切点，某些顶点，或一些特殊的线，如轴线或高线等，作几何体的截面，在截面上运用平面几何的知识，研究有关元素的位置关系和数量关系，进而把问题解决.
教师投影例3并读题，学生先思考、讨论，教师视情况控制时间，给予引导，最后由学生分析，教师板书有关过程.
师：计算球的体积，首先必须先求出球的半径.由于PA、PB、PC是两两垂直的而且相等的三条棱，所以P ? ABC可以看成一个正方体的一角，四点P、A、B、C在球上，所以此球可视为PA、PB、PC为相邻三条棱的正方体的外接球，其直径为正方体的对角线.本题较易，学生独立完成，有利于培养学生问题解决的能力.
通过师生讨论，突破问题解决的关键，培养学生空间想象能力和问题解决的能力.
本题有两种解题方法，此处采用构造法解题，目标培养学生联想，转化化归的能力.另一种方法，因要应用球的性质，可在以后讨论.
随堂练习1．（1）将一个气球的半径扩大1倍，它的体积扩大到原来的几倍？
（2）一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长是a cm，求球的体积.
（3）一个球的体积是100 cm2，试计算它的表面积( 取3.14，结果精确到1cm2，可用计算器).
参考答案：
1．（1）8倍；（2） （3）104.学生独立完成巩固所学知识
归纳总结1．球的体积和表面积
2．等积变换
3．轴截面的应用学生独立思考、归纳，然后师生共同交流、完善归纳知识，提高学生自我整合知识的能力.
课后作业1.3 第三课时 习案学生独立完成固化练习
提升能力
备用例题
例1．已知过球面上三点A、B、C的截面到球心的距离等于球半径的一半，且AC = BC = 6，AB = 4，求球面面积与球的体积．
【分析】 可以用球的截面性质。即截面小圆的圆心到球心的线段垂直于截面小圆平面．
【解析】 如图，设球心为O，球半径为R，作OO1⊥平面ABC于O1，由于OA = OB = OC = R，则O1是△ABC的外心．
设M是AB的中点，由于AC = BC，则O1∈CM．
设O1M = x，易知O1M⊥AB，则O1A = ，O1C = CM ? O1M = ? x
又O1A = O1C
∴ ．解得
则O1A = O1B = O1C = ．
在Rt△OO1A中，O1O = ，∠OO1A = 90°，OA = R，
由勾股定理得 ．解得 ．
故 ．
例2．如图所示棱锥P ? ABCD中，底面ABCD是正方形，边长为a，PD = a，PA = PC = ，且PD是四棱锥的高．
（1）在这个四棱锥中放入一个球，求球的最大半径；
（2）求四棱锥外接球的半径．
【分析】（1）当所放的球与四棱锥各面都相切时球的半径最大，即球心到各个面的距离均相等，联想到用体积分割法求解．（2）四棱锥的外接球的球心到P、A、B、C、D五点的距离均为半径，只要找出球心的位置即可．球心O在过底面中心E且垂直于底面的垂线上．
【解析】（1）设此球半径为R，最大的球应与四棱锥各个面都相切，设球心为S，连结SA、SB、SC、SP，则把此四棱锥分为五个棱锥，设它们的高均为R．
，
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，
S□ABCD = a2．
VP ? ABCD = VS ? PDA + VS ? PDC + V S ? ABCD + VS ? PAB + Vs ? PBC ，
，
，
所以 ， ，
即球的最大半径为 ．
（2）法一：设PB的中点为F．
因为在Rt△PDB中，FP = FB = FD，
在Rt△PAB中，FA = FP = FB，
在Rt△PBC中，FP = FB = FC，
所以FP = FB = FA = FC = FD．
所以F为四棱锥外接球的球心，则FP为外接球的半径．
法二：球心O在如图EF上，设OE = x，EA = ，
又
即球心O在PB中点F上．
