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球的表面积与体积

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第三课时 球的表面积与体积
(一)目标
1.知识与技能
(1)了解球的表面积与体积公式(不要求记忆公式).
(2)培养学生空间想象能力和思维能力.
2.过程与方法
通过作轴截面,寻找旋转体类组合体中量与量之间的关系.
3.情感、态度与价值
让学生更好地认识空间几何体的结构特征,培养学生学习的兴趣.
(二)重点、难点
重点:球的表面积与体积的计算
难点:简单组合体的体积计算
(三)教学方法
讲练结合
教学过程教学内容师生互动设计意图
新课引入复习柱体、锥体、台体的表面积和体积,点出主题.师生共同复习,教师点出点题(板书)复习巩固
探索新知1.球的体积:
2.球的表面积:
师:设球的半径为R,那么它的体积: ,它的面积 现在请大家观察这两个公式,思考它们都有什么特点?
生:这两个公式说明球的体积和表面积都由球的半径R惟一确定.其中球的体积是半径R的三次函数,球的表面积是半径R的二次函数.
师 (肯定) :球的体积公式和球的表面积公式以后可以证明.这节课主要学习它们的应用.加强对公式的认识培养学生理解能力
典例分析例1 如图,圆柱的底面直径与高都等于球的直径.求证:
(1)球的体积等于圆柱体积的 ;
(2)球的表面积等于圆柱的侧面积.
证明:(1)设球的半径为R,则圆柱的底面半径为R,高为2R.
因为 ,

所以, .
(2)因为 ,

所以,S球 = S圆柱侧.
例2 球与圆台的上、下底面及侧面都相切,且球面面积与圆台的侧面积之比为3:4,则球的体积与圆台的体积之比为( )
A.6:13 B.5:14
C.3:4 D.7:15
【解析】如图所示,作圆台的轴截面等腰梯形ABCD,球的大圆O内切于梯形ABCD.
设球的半径为R,圆台的上、下底面半径分别为r1、r2,由平面几何知识知,圆台的高为2R,母线长为r1 + r2.
∵∠AOB = 90°,OE⊥AB (E为切点),
∴R2 = OE2 = AE?BE = r1?r2.
由已知S球∶S圆台侧= 4 R2∶ (r1+r2)2 = 3∶4
(r1 + r2)2 =
V球∶V圆台 =
= 故选A.
例3 在球面上有四个点P、A、B、C,如果PA、PB、PC两两垂直且PA = PB = PC = a,求这个球的体积.
解:∵PA、PB、PC两两垂直,
PA = PB = PC = a.
∴以PA、PB、PC为相邻三条棱可以构造正方体.
又∵P、A、B、C四点是球面上四点,
∴球是正方体的外接球 ,正方体的对角线是球的直径.
∴ .


教师投影例1并读题,学生先独立完成.教师投影答案并点评(本题联系各有关量的关键性要素是球的半径)



教师投影例2并读题,
师:请大家思考一下这道题中组合体的结构特征.
生:球内切于圆台.
师:你准备怎样研究这个组合体?
生:画出球和圆台的轴截面.
师:圆台的高与球的哪一个量相等?
生:球的直径.
师:根据球和圆台的体积公式,你认为本题解题关键是什么?
生:求出球的半径与圆台的上、下底面半径间的关系.
师投影轴截面图,边分析边板书有关过程.
师:简单几何体的切接问题,包括简单几何体的内外切和内外接,在解决这类问题时要准确地画出它们的图形,一般要通过一些特殊点,如切点,某些顶点,或一些特殊的线,如轴线或高线等,作几何体的截面,在截面上运用平面几何的知识,研究有关元素的位置关系和数量关系,进而把问题解决.



教师投影例3并读题,学生先思考、讨论,教师视情况控制时间,给予引导,最后由学生分析,教师板书有关过程.
师:计算球的体积,首先必须先求出球的半径.由于PA、PB、PC是两两垂直的而且相等的三条棱,所以P ? ABC可以看成一个正方体的一角,四点P、A、B、C在球上,所以此球可视为PA、PB、PC为相邻三条棱的正方体的外接球,其直径为正方体的对角线.本题较易,学生独立完成,有利于培养学生问题解决的能力.

通过师生讨论,突破问题解决的关键,培养学生空间想象能力和问题解决的能力.

本题有两种解题方法,此处采用构造法解题,目标培养学生联想,转化化归的能力.另一种方法,因要应用球的性质,可在以后讨论.
随堂练习1.(1)将一个气球的半径扩大1倍,它的体积扩大到原来的几倍?
(2)一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长是a cm,求球的体积.
(3)一个球的体积是100 cm2,试计算它的表面积( 取3.14,结果精确到1cm2,可用计算器).
参考答案:
1.(1)8倍;(2) (3)104.学生独立完成巩固所学知识
归纳总结1.球的体积和表面积
2.等积变换
3.轴截面的应用学生独立思考、归纳,然后师生共同交流、完善归纳知识,提高学生自我整合知识的能力.
课后作业1.3 第三课时 习案学生独立完成固化练习
提升能力
备用例题
例1.已知过球面上三点A、B、C的截面到球心的距离等于球半径的一半,且AC = BC = 6,AB = 4,求球面面积与球的体积.
【分析】 可以用球的截面性质。即截面小圆的圆心到球心的线段垂直于截面小圆平面.
【解析】 如图,设球心为O,球半径为R,作OO1⊥平面ABC于O1,由于OA = OB = OC = R,则O1是△ABC的外心.
设M是AB的中点,由于AC = BC,则O1∈CM.
设O1M = x,易知O1M⊥AB,则O1A = ,O1C = CM ? O1M = ? x
又O1A = O1C
∴ .解得
则O1A = O1B = O1C = .
在Rt△OO1A中,O1O = ,∠OO1A = 90°,OA = R,
由勾股定理得 .解得 .
故 .
例2.如图所示棱锥P ? ABCD中,底面ABCD是正方形,边长为a,PD = a,PA = PC = ,且PD是四棱锥的高.
(1)在这个四棱锥中放入一个球,求球的最大半径;
(2)求四棱锥外接球的半径.
【分析】(1)当所放的球与四棱锥各面都相切时球的半径最大,即球心到各个面的距离均相等,联想到用体积分割法求解.(2)四棱锥的外接球的球心到P、A、B、C、D五点的距离均为半径,只要找出球心的位置即可.球心O在过底面中心E且垂直于底面的垂线上.
【解析】(1)设此球半径为R,最大的球应与四棱锥各个面都相切,设球心为S,连结SA、SB、SC、SP,则把此四棱锥分为五个棱锥,设它们的高均为R.



S□ABCD = a2.
VP ? ABCD = VS ? PDA + VS ? PDC + V S ? ABCD + VS ? PAB + Vs ? PBC ,


所以 , ,
即球的最大半径为 .
(2)法一:设PB的中点为F.
因为在Rt△PDB中,FP = FB = FD,
在Rt△PAB中,FA = FP = FB,
在Rt△PBC中,FP = FB = FC,
所以FP = FB = FA = FC = FD.
所以F为四棱锥外接球的球心,则FP为外接球的半径.
法二:球心O在如图EF上,设OE = x,EA = ,

即球心O在PB中点F上.
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