第一章 单元小结(一)
(一)目标
1．知识与技能
（1）通过回顾集合与函数的概念及表示法，构建单元知识网络；整合知识，使知识系统化.
（2）进一步提升学生的集合思想与函数思想.
2．过程与方法
通过知识的整理，知识与方法的综合应用，加深对知识的理解.提升应用基本方法的能力.，从而使学生系统地掌握的知识与方法.
3．情感、态度与价值观
在知识的回顾、整理过程中体会数学知识的整体性和关联性. 感受数学的系统化与结构化的特征.
(二)重点与难点
重点：构建知识体系；难点：整合基本数学知识、数学思想和数学方法.
(三)教学方法
自主探究与合作交流相结合. 自主探究知识的纵模联系，合作交流归纳整理知识，构建单元知识体系.
(四)教学过程
教学环节教学内容师生互动设计意图
回顾反思
构建体系
师：要求学生借助课本回顾第一章的第1、2节的基本知识.
生：独立回顾总结第1、2节的基本知识.
师生合作：学生口述单元知识，老师用网络图的形式板书知识构造体系图.整合知识，形成单元知识系统.
培养归纳概括能力.
示例剖析
升华能力(I)
例1 设A、B、I均为非空集合，且满足A?B?I，则下列各式中错误的是（ ）
A．( )∪B = I
B．( )∪( ) =I
C．A∩( ) =
D．( )∩( ) =
例2 已知集合A = {x ?2＜x＜?1或x＞0}，B = {x a≤x≤b}，满足A∩B = {x 0＜x≤2}，A∪B = {x x＞? 2}.
求a、b的值.
例3 集合P = {x x2 + x ? 6 = 0}，
Q = {x mx? 1 = 0}，且Q P，求实数m的取值集合.
生：尝试完成例1~例3. 并由学生代表板书例1 ~ 例3的解题过程.
师生合作点评学生代表的解答，并分析解题思路的切入点和寻找解题的最优途径.
例1解析：本题主要考查子集及运算.
答案：B
如图
例2解析：将集合A、A∩B、A∪B分别在数轴上表示，如图所示，由A∩B = {x 0＜x≤2}知b =2且?1≤a≤0；
由A∪B = {x x＞? 2}，知?2＜a≤?1，
综上所知，a = ?1，b =2.
例3解析：P = {2，? 3}，Q P，∴Q = ，Q = {2}或Q = {? 3}.
①当Q = Q 时，m = 0；
②当Q = {2}时，2m ? 1= 0，即m = ；
③当Q = {? 3}时，?3m ?1 = 0，即m = .
综上知，m的取值的集合为{0， ， }.通过尝试练习，训练思维.通过合作交流探索题途径
经典例题
例4 求下列函数的定义域：
（1）y = + ；
（2）y = .
例5 求下列函数的值域：
（1）y = x2 ?2x，x?[0，3]；
（2）y = x + ，x?[0，+∞]；
（3）y = x + ；
（4）y = x+1 + x? 2.
例6 已知函数f (x)的解析式为：
.
（1）求f ( )，f ( )，f (?1)的值；
（2）画出这个函数的图象；
（3）求f (x)的最大值.
例4解析：（1）由 ，得x = 1，
∴函数的定义域为{1}.
（2）由题意知，有不等式组
，
即x＜?3或?3＜x＜3或3＜x≤5.
故函数y = 的定义域为
(?∞，?3)∪(?3，3)∪(3，5].
例5解析：（1）y = x2 ?2x = (x ? 1)2 ?1，如图所示，y ?[?1，3]为所求.
（2）配方得y = x + ，
当且仅当 ，即x = 1时，y =2，
∴y?[2，+∞]为所求.
（3）换元法
令 = t，t≥0，则x = ，
函数化为y = t2 +
= (t +1) 2，
∵t≥0，∴y≥ ，
∴函数y = x + 的值域为[ ，+∞].
（4）方法一：运用绝对值的几何意义.
x +1 + x? 2的几何意义表示数轴上的动点x与?1以及2的距离的和，结合数轴，易得x + 1 + x? 2≥3，
∴函数的值域为y?[3，+∞）.
方法二：转化为函数图象，运用数形结合法.
函数y = x +1 + x? 2的零点为?1，2，把定义域分成三区间 (? ∞，?1]，(?1，2]，[2，+∞).
∴ .
该函数图象如图所示，由图象知函数的值域为[3，+∞].
例6解析：（1）∵ ＞1，
∴f ( ) = ?2×( ) + 8 =5，
∵f ( ) = +5 = .
∵?1＜0，∴f (?1) = ?3+5 =2.
如图
在函数y =3x +5图象上截取x≤0的部分，
在函数y = x +5图象上截取0＜x≤1的部分，
在函数y = ?2x +8图象上截取x＞1的部分.
图中实线组成的图形就是函数f (x)的图象.
（3）由函数图象可知
当x = 1时，f (x)的最大值为6.通过尝试练习，训练思维.通过合作交流探索题途径.
归纳总结求函数定义域的题型及方法.
归纳总结求函数值域的题型及方法.
布置作业见单元小结1的习案学生独立完成巩固旧知提升能力
备选例题
例1 对于集合A = {xx2 ? 2a x + 4a ? 3 = 0}，B ={x x2 ? ax + a 2 + a + 2 = 0}，是否存在实数a，使A∪B = ？若a不存在，说明理由，若a存在，求出a的值.
分析：A∪B = ，即A = 且B = ，只要两个方程能同时无解即可.
∵A∪B = ，∴A = 且B = .
由△1＜0且△2＜0得
.
所以存在这样的实数a?(1，2)使得A∪B = .
例2（1）已知函数f (2x?1)的定义域为[0，2]，求f (x)的定义域；
（2）已知函数f (x)的定义域为[?1，3]，求f (2x?1)定义域.
【解析】（1）由f (2x?1)的定义域为[0，2]，
即x∈[0，2]，∴2x?1∈[?1，3].
令t =2x?1，则f (t)与f (x)为同一函数，
∴t的范围[?1，3]即f (t)的定义域，∴f (x)的定义域为[?1，3].
（2）求f (2x?1)的定义域，
即由2x?1∈[?1，3]求x的范围，
解得x∈[0，2].
(一)目标
1．知识与技能
（1）通过回顾集合与函数的概念及表示法，构建单元知识网络；整合知识，使知识系统化.
（2）进一步提升学生的集合思想与函数思想.
2．过程与方法
通过知识的整理，知识与方法的综合应用，加深对知识的理解.提升应用基本方法的能力.，从而使学生系统地掌握的知识与方法.
3．情感、态度与价值观
在知识的回顾、整理过程中体会数学知识的整体性和关联性. 感受数学的系统化与结构化的特征.
(二)重点与难点
重点：构建知识体系；难点：整合基本数学知识、数学思想和数学方法.
(三)教学方法
自主探究与合作交流相结合. 自主探究知识的纵模联系，合作交流归纳整理知识，构建单元知识体系.
(四)教学过程
教学环节教学内容师生互动设计意图
回顾反思
构建体系
师：要求学生借助课本回顾第一章的第1、2节的基本知识.
生：独立回顾总结第1、2节的基本知识.
师生合作：学生口述单元知识，老师用网络图的形式板书知识构造体系图.整合知识，形成单元知识系统.
培养归纳概括能力.
示例剖析
升华能力(I)
例1 设A、B、I均为非空集合，且满足A?B?I，则下列各式中错误的是（ ）
A．( )∪B = I
B．( )∪( ) =I
C．A∩( ) =
D．( )∩( ) =
例2 已知集合A = {x ?2＜x＜?1或x＞0}，B = {x a≤x≤b}，满足A∩B = {x 0＜x≤2}，A∪B = {x x＞? 2}.
求a、b的值.
例3 集合P = {x x2 + x ? 6 = 0}，
Q = {x mx? 1 = 0}，且Q P，求实数m的取值集合.
生：尝试完成例1~例3. 并由学生代表板书例1 ~ 例3的解题过程.
师生合作点评学生代表的解答，并分析解题思路的切入点和寻找解题的最优途径.
例1解析：本题主要考查子集及运算.
答案：B
如图
例2解析：将集合A、A∩B、A∪B分别在数轴上表示，如图所示，由A∩B = {x 0＜x≤2}知b =2且?1≤a≤0；
由A∪B = {x x＞? 2}，知?2＜a≤?1，
综上所知，a = ?1，b =2.
例3解析：P = {2，? 3}，Q P，∴Q = ，Q = {2}或Q = {? 3}.
①当Q = Q 时，m = 0；
②当Q = {2}时，2m ? 1= 0，即m = ；
③当Q = {? 3}时，?3m ?1 = 0，即m = .
综上知，m的取值的集合为{0， ， }.通过尝试练习，训练思维.通过合作交流探索题途径
经典例题
例4 求下列函数的定义域：
（1）y = + ；
（2）y = .
例5 求下列函数的值域：
（1）y = x2 ?2x，x?[0，3]；
（2）y = x + ，x?[0，+∞]；
（3）y = x + ；
（4）y = x+1 + x? 2.
例6 已知函数f (x)的解析式为：
.
（1）求f ( )，f ( )，f (?1)的值；
（2）画出这个函数的图象；
（3）求f (x)的最大值.
例4解析：（1）由 ，得x = 1，
∴函数的定义域为{1}.
（2）由题意知，有不等式组
，
即x＜?3或?3＜x＜3或3＜x≤5.
故函数y = 的定义域为
(?∞，?3)∪(?3，3)∪(3，5].
例5解析：（1）y = x2 ?2x = (x ? 1)2 ?1，如图所示，y ?[?1，3]为所求.
（2）配方得y = x + ，
当且仅当 ，即x = 1时，y =2，
∴y?[2，+∞]为所求.
（3）换元法
令 = t，t≥0，则x = ，
函数化为y = t2 +
= (t +1) 2，
∵t≥0，∴y≥ ，
∴函数y = x + 的值域为[ ，+∞].
（4）方法一：运用绝对值的几何意义.
x +1 + x? 2的几何意义表示数轴上的动点x与?1以及2的距离的和，结合数轴，易得x + 1 + x? 2≥3，
∴函数的值域为y?[3，+∞）.
方法二：转化为函数图象，运用数形结合法.
函数y = x +1 + x? 2的零点为?1，2，把定义域分成三区间 (? ∞，?1]，(?1，2]，[2，+∞).
∴ .
该函数图象如图所示，由图象知函数的值域为[3，+∞].
例6解析：（1）∵ ＞1，
∴f ( ) = ?2×( ) + 8 =5，
∵f ( ) = +5 = .
∵?1＜0，∴f (?1) = ?3+5 =2.
如图
在函数y =3x +5图象上截取x≤0的部分，
在函数y = x +5图象上截取0＜x≤1的部分，
在函数y = ?2x +8图象上截取x＞1的部分.
图中实线组成的图形就是函数f (x)的图象.
（3）由函数图象可知
当x = 1时，f (x)的最大值为6.通过尝试练习，训练思维.通过合作交流探索题途径.
归纳总结求函数定义域的题型及方法.
归纳总结求函数值域的题型及方法.
布置作业见单元小结1的习案学生独立完成巩固旧知提升能力
备选例题
例1 对于集合A = {xx2 ? 2a x + 4a ? 3 = 0}，B ={x x2 ? ax + a 2 + a + 2 = 0}，是否存在实数a，使A∪B = ？若a不存在，说明理由，若a存在，求出a的值.
分析：A∪B = ，即A = 且B = ，只要两个方程能同时无解即可.
∵A∪B = ，∴A = 且B = .
由△1＜0且△2＜0得
.
所以存在这样的实数a?(1，2)使得A∪B = .
例2（1）已知函数f (2x?1)的定义域为[0，2]，求f (x)的定义域；
（2）已知函数f (x)的定义域为[?1，3]，求f (2x?1)定义域.
【解析】（1）由f (2x?1)的定义域为[0，2]，
即x∈[0，2]，∴2x?1∈[?1，3].
令t =2x?1，则f (t)与f (x)为同一函数，
∴t的范围[?1，3]即f (t)的定义域，∴f (x)的定义域为[?1，3].
（2）求f (2x?1)的定义域，
即由2x?1∈[?1，3]求x的范围，
解得x∈[0，2].
