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向量的数量积

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2.4 向量的数量积(3)

一、课题:向量数量积(3)
二、目标:
要求学生掌握平面向量数量积的坐标表示,掌握向量垂直的坐标表示的充要条件。
三、重、难点:1.平面向量数量积的坐标表示及由其推出的重要公式;
2.向量数量积坐标表示在处理有关长度、角度、垂直问题中的应用。
四、教学过程:
(一)复习:
1.两平面向量垂直的充要条件;
2.两向量共线的坐标表示;
3. 轴上单位向量 , 轴上单位向量 ,则: , , .

(二)新课讲解:
1.向量数量积的坐标表示:设 ,则 ,
∴ .
从而得向量数量积的坐标表示公式: .
2.长度、夹角、垂直的坐标表示:
①长度: ? ;
②两点间的距离公式:若 ,则 ;
③夹角: ;
④垂直的充要条件:∵ ,即
(注意与向量共线的坐标表示的区别)
3.例题分析:
例1 设 ,求 .
解: .
例2 已知 ,求证 是直角三角形。
证明:∵ ,
∴ ∴
所以, 是直角三角形。
说明:两个向量的数量积是否为零,是判断相应的两条直线是否垂直的重要方法之一。
例3 如图,以原点和 为顶点作等腰直角 ,使 ,
求点 和向量 的坐标。
解:设 ,则 , ,
∵ , ∴ ,
即: ,
又∵ , ∴ , 即: ,
由 或 ,
∴ , 或 , .
例4 在 中, , ,求 值。
解:当 时, , ∴ ∴ ,
当 时, , ,
∴ ∴ ,
当 时, ,∴ ∴ .
五、课堂练习 课本 练习1,2.
六、小结:两向量数量积的坐标表示:长度、夹角、垂直的坐标表示。
七、作业: 课本习题
补充:已知 , ,
(1)求证: (2)若 与 的模相等,且 ,求 的值。

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