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《用函数模型解决实际问题》教学设计

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学生虽然对这种函数建模问题并不陌生,但是要建立起正确的函数模型却不是一件容易的事。这种题型题目较长,相关的内容较多,问题不是一眼就可以看出答案,需要建立的函数模型也多种多样,不少还会涉及到求二次函数的最值问题,学生往往是无从下手,对自己失去信心。针对这种情况,我觉得直接让学生一步到位就找出解决问题的途径是很困难,老师在这里就应该发挥自己的主导地位,带领学生由问题入手,逐步分析,自己设计出一个一个的小问题,最后把这些小问题串起来,把题目中的大问题解决。
用函数模型解决实际问题需要建立的函数模型是多种多样的,只有根据题目的要求建立起适当的函数模型,才能成功地解决问题。教师在授课过程中,要注重分类的思想,帮助学生把函数建模问题分成几类,以方便学生形成自己的知识系统。
一.一次函数模型的应用
某同学为了援助失学儿童,每月将自己的零用钱一相等的数额存入储蓄盒内,准备凑够200元时一并寄出,储蓄盒里原有60元,两个月后盒内有90元。
(1)盒内的钱数(元)与存钱月份数的函数解析式,并画出图象。
(2)几个月后这位同学可以第一次汇款?
这种题型只要建立起一次函数就可以很快地解决问题,而且学生以前也有接触过,对他们而言这种问题难度不大,主要是让他们对函数建模有个感觉。
二.二次函数模型的应用
建立二次函数模型解决实际问题是整本书中出现得最多的一种方法,这种多用于根据二次函数的性质求出最值,求利润问题也多属于这种类型。
某商店进了一批服装,每件售价为90元,每天售出30件,在一定范围内这批服装的售价每降低1元,每天就多售出1件。请写出利润(元)与售价(元)之间的函数关系,当售价为多少元时,每天的利润最大?
学生首次接触这种类型的题,往往是束手无策,这时教师可引导他们从他们最熟悉的问题做起:利润=单件售价×售出件数,设售价为x,则下面只需要找出售出件数即可,而售出件数又与价钱降低的幅度有关,所以设计下列相关问题让学生去找答案:
售价比原定的售价降低了:90-x
售出件数比原来多了:(90-x)×1=90-x
则现在售出件数为:30+(90-x)=120-x
因此,利润y=x(120-x)
只要学生根据这些小问题,一个一个向题目索取答案,那么这道题就可以迎刃而解。
三.分段函数模型的应用
我们国家的税收,邮资的收取,出租车的收费都是按段收费的,可以根据这些现实中的例子让学生写出它们对应的函数,这样学生会更感兴趣,而且也更能感受到数学在实际生活中的广泛应用。
四.指数函数模型的应用
这种函数的应用多用于人口的增长问题,银行用复利计算利息的问题。
按复利计算利息的一种储蓄,设本金为a元,每期利率为r,本利和为y,存期为x,写出本利和y随存期x变化的函数式。如果存入本金1000元,每期利率2.25%,计算5期后的本利和是多少?(不计利息税)
这种涉及到建立指数函数模型的问题,学生理解起来相对困难,可以帮助学生从第一期、第二期……求起:
1期后的本利和为 a+a×r=a(1+r)
2期后的本利和为 a(1+r)+a(1+r)r=a(1+r)2
3期后的本利和为 a(1+r)2+a(1+r)2×r=a(1+r)3
……
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