（九年级数学）圆（二）――垂径定理
第 周星期 班别： 姓名： 学号：
环节一、学习目标：掌握垂径定理及简单运用
环节二、问题探讨
问题1:
如图：AB是直径（弦AB过圆点），CD是弦，且CD⊥AB于P，你能在图中找到其他相等的量吗？
图中相等的线段有： ，相等的弧有：
猜测：
条件
归纳:
垂径定理：垂直于弦的直径平分 ，平分这条弦所对的
几何语言：∵AB为⊙O的直径，（或者:弦AB过圆心）
AB⊥CD
∴DP= , ， （垂径定理）
拓展:
在垂径定理中，题设与结论共有5个语句，分别是：
(1)弦AB过圆心O（AB是直径）；(2)弦AB垂直于弦CD（AB⊥CD）;
(3)弦AB平分弦CD（DP=CP）；(4)弦AB平分 （ ）;
(5)弦AB平分 （ ）;
其中用任两个作为条件，都可以推出其他三个结论.
环节三、垂径定理的应用
例1：在⊙O中，弦AB的长为16cm，圆的半径是10cm，求圆心O到AB的距离。
解：连接AO，作OE⊥AB于E
∵OE经过⊙O的圆心，OE⊥AB
∴AE= = cm（ ）
在Rt△AOE中，∵OE2= （ ）
∴OE= =
答：OE的长为
环节四、做一做A组
1、如图：在⊙O中，AB是直径，AB⊥CD于点E，若CD=8
的度数是120°, 的度数是240°,则CE= ,
ED= ,
2、在⊙O中，半径OA=30，弦AB长30，求点O到AB的距离。
分析：(1)点O到AB的距离是过点O作AB的 线，垂足为 ，此时线段 为点O到AB的距离。
(2)要求点O到AB的距离，即求线段 的长，此时线段在什么图形中？
已知什么条件，可用什么方法？
解：过点O作 ，垂足为
3、图1：在⊙O中，AB是直径，AB⊥CD于E，若CD=16，圆的半径为10，则圆心到弦CD的距离是
4、图1:在⊙O中，若 ， ，则弦AB必经过 ，且DE=
5、图1：在⊙O中，OE=5，弦CD=24，AB⊥CD于E,则⊙O的半径为
6、如图，MN是⊙O的直径，C是AB的中点，AB=6，OC=4，求OA及直径MN
解:∵MN是直径，AB弦且C是AB的中点
∴AC= ，MN AB( )
∵AB=6
∴AC=
在Rt△AOE中，∵OA2=( )2+( )2（ ）
∴OA= = =
又∵直径MN= OA
∴直径MN=
答：OA为 ，直径MN为
B组
7、如图，在⊙O中，AB是弦，∠AOB=120°,OA=5cm，则圆心O到AB的距离和弦AB的长。
解：
8、如图：在半径为5cm的圆中，AC是直径，弦AB⊥BC，OD⊥AB于D，若BC=6cm，求OD和AB的长.
解:
C组
9、如图⊙O的半径是5cm，AB和CD是两条弦，且AB∥CD，AB=6 cm，CD=8 cm，求AB和CD的距离。
解：
10、右图是我国隋代建造的赵州桥，我们可以很方便地量出它的跨度为37.4米，拱高为7.2米，我们怎样通过跨度和拱高求出桥拱的半径？
第 周星期 班别： 姓名： 学号：
环节一、学习目标：掌握垂径定理及简单运用
环节二、问题探讨
问题1:
如图：AB是直径（弦AB过圆点），CD是弦，且CD⊥AB于P，你能在图中找到其他相等的量吗？
图中相等的线段有： ，相等的弧有：
猜测：
条件
归纳:
垂径定理：垂直于弦的直径平分 ，平分这条弦所对的
几何语言：∵AB为⊙O的直径，（或者:弦AB过圆心）
AB⊥CD
∴DP= , ， （垂径定理）
拓展:
在垂径定理中，题设与结论共有5个语句，分别是：
(1)弦AB过圆心O（AB是直径）；(2)弦AB垂直于弦CD（AB⊥CD）;
(3)弦AB平分弦CD（DP=CP）；(4)弦AB平分 （ ）;
(5)弦AB平分 （ ）;
其中用任两个作为条件，都可以推出其他三个结论.
环节三、垂径定理的应用
例1：在⊙O中，弦AB的长为16cm，圆的半径是10cm，求圆心O到AB的距离。
解：连接AO，作OE⊥AB于E
∵OE经过⊙O的圆心，OE⊥AB
∴AE= = cm（ ）
在Rt△AOE中，∵OE2= （ ）
∴OE= =
答：OE的长为
环节四、做一做A组
1、如图：在⊙O中，AB是直径，AB⊥CD于点E，若CD=8
的度数是120°, 的度数是240°,则CE= ,
ED= ,
2、在⊙O中，半径OA=30，弦AB长30，求点O到AB的距离。
分析：(1)点O到AB的距离是过点O作AB的 线，垂足为 ，此时线段 为点O到AB的距离。
(2)要求点O到AB的距离，即求线段 的长，此时线段在什么图形中？
已知什么条件，可用什么方法？
解：过点O作 ，垂足为
3、图1：在⊙O中，AB是直径，AB⊥CD于E，若CD=16，圆的半径为10，则圆心到弦CD的距离是
4、图1:在⊙O中，若 ， ，则弦AB必经过 ，且DE=
5、图1：在⊙O中，OE=5，弦CD=24，AB⊥CD于E,则⊙O的半径为
6、如图，MN是⊙O的直径，C是AB的中点，AB=6，OC=4，求OA及直径MN
解:∵MN是直径，AB弦且C是AB的中点
∴AC= ，MN AB( )
∵AB=6
∴AC=
在Rt△AOE中，∵OA2=( )2+( )2（ ）
∴OA= = =
又∵直径MN= OA
∴直径MN=
答：OA为 ，直径MN为
B组
7、如图，在⊙O中，AB是弦，∠AOB=120°,OA=5cm，则圆心O到AB的距离和弦AB的长。
解：
8、如图：在半径为5cm的圆中，AC是直径，弦AB⊥BC，OD⊥AB于D，若BC=6cm，求OD和AB的长.
解:
C组
9、如图⊙O的半径是5cm，AB和CD是两条弦，且AB∥CD，AB=6 cm，CD=8 cm，求AB和CD的距离。
解：
10、右图是我国隋代建造的赵州桥，我们可以很方便地量出它的跨度为37.4米，拱高为7.2米，我们怎样通过跨度和拱高求出桥拱的半径？
