课时8 一元二次方程及其应用
班级_________ 姓名_________
【课前热身】
1. 下列方程中是一元二次方程的有（ ）
①9 x2=7 x ② =8 ③ 3y(y-1)=y(3y+1)
④ x2-2y+6=0 ⑤ ( x2+1)= ⑥ -x-1=0
A． ①②③ B. ①③⑤ C. ①②⑤ D. ⑥①⑤
2.把方程x(x-1)=2写成一般形式________________.
3.方程x2-x=0的解是_____________;
方程 的解是__________;
方程x2-2x-3=0的解是___________.
4．写一个有实数根的一元二次方程________________.
5．某种商品原价是120元，经两次降价后的价格是100元，求平均每次降价的百分率．设平均每次降价的百分率为 ，可列方程为 ___________．
【考点链接】
1．只含有 个未知数，并且未知数的最高次数是 的_____方程叫做一元二次方程.
2. 一元二次方程的一般形式是 ( ).其中 叫做二次项， ______叫做一次项， 叫做常数项； 叫做二次项的系数， 叫做一次项的系数,_____ 叫做常数项.
3. 一元二次方程的解法：
（1）直接开平方法：形如 或 的方程的根为______
（2）配方法
（3）公式法: 方程 ，当 _______ 0时，x = ________
（4）因式分解法：①将方程的右边化为 ；②将方程的左边化成两个一次因式的乘积；③令每个因式都等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解.
4. 关于x的一元二次方程 的根的判别式为 .
（1） >0 一元二次方程 有两个 实数根,
（2） =0 一元二次方程有 相等的实数根，即 ,
（3） <0 一元二次方程 实数根.
【典例精析】
例1.若n（ ）是关于x的方程 的根，则m+n的值为____________．
例2. 解方
(1) (2)
例3.用换元法解方程 .
例4.已知关于x的方程 。
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若方程的一个根是-1，求另一个根及k的值。
例5．如图，要设计一幅?20cm，长30cm的矩形图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的?度比为2：3，如果要使所有彩所占面积为原矩形图案面积的三分之一，应如何设计每个彩条的宽度？
【当堂反馈】
1．解方程
(1) 3x2－4x+1＝0 （2）x x+1=0．
2．已知 和 的半径分别是一元二次方程 的两根，且 则 和 的位置关系是 ．
3．三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程 的根，则该三角形的周长为（ ）
A．14B．12C．12或14D．以上都不对
4．若0是关于x的方程 的解，求实数m的值，并讨论此方程解的情况。
5．已知 ，且 求证：
6．某地区前年参加中考的人数为5万人，今年参加中考的人数为6.05万人.
（1）这两年该地区参加中考人数的年平均增长率是多少？
（2）该地区3年来共有多少人参加中考？
【课后精练】
1．解方程：
（1）x2-3x-1=0 （2）（y-1）2+5（y-1）-14=0
2．关于 的方程 有实数根，则整数 的最大值是（ ）
A．6B．7C．8D．9
3．在一幅长为80cm，宽为50cm的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为 cm，那么 满足的方程是（ ）
A． B．
C． D．
4.已知 是方程 的两根，且 ，则 的值等于 （ ）
A．－5 B.5 C.-9 D.9
5.某农户承包荒山种了44棵苹果树，现已进入第三年收获期。收获时先随意摘了5棵树上的苹果，称得每棵树摘得的苹果重量如下（单位：千克）35，35，34，39，37。
（1）根据以上数据估计，这年苹果总产量为多少千克？
（2）若市场上苹果售价为每千克5元，则这年该农户卖苹果收入将达到多少元？
（3）已知该农户第一年卖苹果收入为5500元，假设第二、第三年都比上年增长了一个相同的百分数，根据以上估计，第二年的总收入是多少元？
6．某单位组织员工去天水湾风景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用27000元，如果人数不超过25人，人均旅游费用为1000元，如果人数超过25人，每增加1人人均旅游费降低20元，但人均旅游费不得低于700元，问该单位共去多少员工？
班级_________ 姓名_________
【课前热身】
1. 下列方程中是一元二次方程的有（ ）
①9 x2=7 x ② =8 ③ 3y(y-1)=y(3y+1)
④ x2-2y+6=0 ⑤ ( x2+1)= ⑥ -x-1=0
A． ①②③ B. ①③⑤ C. ①②⑤ D. ⑥①⑤
2.把方程x(x-1)=2写成一般形式________________.
3.方程x2-x=0的解是_____________;
方程 的解是__________;
方程x2-2x-3=0的解是___________.
4．写一个有实数根的一元二次方程________________.
5．某种商品原价是120元，经两次降价后的价格是100元，求平均每次降价的百分率．设平均每次降价的百分率为 ，可列方程为 ___________．
【考点链接】
1．只含有 个未知数，并且未知数的最高次数是 的_____方程叫做一元二次方程.
2. 一元二次方程的一般形式是 ( ).其中 叫做二次项， ______叫做一次项， 叫做常数项； 叫做二次项的系数， 叫做一次项的系数,_____ 叫做常数项.
3. 一元二次方程的解法：
（1）直接开平方法：形如 或 的方程的根为______
（2）配方法
（3）公式法: 方程 ，当 _______ 0时，x = ________
（4）因式分解法：①将方程的右边化为 ；②将方程的左边化成两个一次因式的乘积；③令每个因式都等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解.
4. 关于x的一元二次方程 的根的判别式为 .
（1） >0 一元二次方程 有两个 实数根,
（2） =0 一元二次方程有 相等的实数根，即 ,
（3） <0 一元二次方程 实数根.
【典例精析】
例1.若n（ ）是关于x的方程 的根，则m+n的值为____________．
例2. 解方
(1) (2)
例3.用换元法解方程 .
例4.已知关于x的方程 。
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若方程的一个根是-1，求另一个根及k的值。
例5．如图，要设计一幅?20cm，长30cm的矩形图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的?度比为2：3，如果要使所有彩所占面积为原矩形图案面积的三分之一，应如何设计每个彩条的宽度？
【当堂反馈】
1．解方程
(1) 3x2－4x+1＝0 （2）x x+1=0．
2．已知 和 的半径分别是一元二次方程 的两根，且 则 和 的位置关系是 ．
3．三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程 的根，则该三角形的周长为（ ）
A．14B．12C．12或14D．以上都不对
4．若0是关于x的方程 的解，求实数m的值，并讨论此方程解的情况。
5．已知 ，且 求证：
6．某地区前年参加中考的人数为5万人，今年参加中考的人数为6.05万人.
（1）这两年该地区参加中考人数的年平均增长率是多少？
（2）该地区3年来共有多少人参加中考？
【课后精练】
1．解方程：
（1）x2-3x-1=0 （2）（y-1）2+5（y-1）-14=0
2．关于 的方程 有实数根，则整数 的最大值是（ ）
A．6B．7C．8D．9
3．在一幅长为80cm，宽为50cm的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为 cm，那么 满足的方程是（ ）
A． B．
C． D．
4.已知 是方程 的两根，且 ，则 的值等于 （ ）
A．－5 B.5 C.-9 D.9
5.某农户承包荒山种了44棵苹果树，现已进入第三年收获期。收获时先随意摘了5棵树上的苹果，称得每棵树摘得的苹果重量如下（单位：千克）35，35，34，39，37。
（1）根据以上数据估计，这年苹果总产量为多少千克？
（2）若市场上苹果售价为每千克5元，则这年该农户卖苹果收入将达到多少元？
（3）已知该农户第一年卖苹果收入为5500元，假设第二、第三年都比上年增长了一个相同的百分数，根据以上估计，第二年的总收入是多少元？
6．某单位组织员工去天水湾风景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用27000元，如果人数不超过25人，人均旅游费用为1000元，如果人数超过25人，每增加1人人均旅游费降低20元，但人均旅游费不得低于700元，问该单位共去多少员工？
