j.Co M
§二次函数性质的再研究
一、内容与解析
（一）内容：二次函数性质的再研究。
（二）解析：二次函数问题多以解答题的一个部分出现，主要考查利用二次函数的图像和性质研究最值、值域、单调性、求函数值等问题.特别是定轴动区间或（动轴定区间）问题是高考考查的热点也是难点，学本节时应加强练习，并能灵活运用数形结合的思想来解决问题.
二、目标及其解析：
（一）目标
（1）掌握二次函数的求最值、对称性和平移以及二次函数解析式的求法和二次函数的应用；
（二）解析
（1）二次函数是一重要的函数，掌握好二次函数，对学生学习以后的函数有重要的启发作用，学习时，要特别注意其性质的把握，这里面一个最关键的是对称轴。
三、问题诊断分析
研究二次函数问题一定注意问题成立的范围，超出范围的解是无效的.因此研究二次函数时，不仅要关注函数的解析式还要关注函数的定义域，这一点对初学者来说，是很容易犯错的。
四、支持条件分析
在本节课一次递推的教学中，准备使用PowerPoint 2003。因为使用PowerPoint 2003，有利于提供准确、最核心的文字信息，有利于帮助学生顺利抓住老师上课思路，节省老师板书时间，让学生尽快地进入对问题的分析当中。
五、教学过程
（一）研探新知：
（1）1.二次函数 的性质
图 像
开口方向① ②
顶点坐标③ ④
对 称 轴
单调区间单调递减区间
⑤调递增区间 单调递增区间
⑥单调递减区间
最 值当 ,取 得最小值为
当 ,取得最大值为
2．二次函数性质的应用
①如何确定二次函数的性质
②如何确定二次函数在闭区间上的值域或最值
3.二次函数的三种解析式
①顶点式：y=a(x-h)2+k (a≠0),其中点(h,k)为顶点,对称轴为x=h.如果已知顶点，则可设成这种形式.
②交点式：y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0),其中x1,x2是抛物线与x轴的交点的横坐标.如果已知二次函数与x 轴的交点坐标，则可设成这种形式.
③一般式：y=ax2+bx+c(a≠0),若已知二次函数上任意3点坐标，可设为这种形式.
（二）类型题探究
题型一 二次函数的最值与解析式问题
例1 已知 ，函数 、 表示函数 在区间 上的最小值，最大值，求 、 表达式．
解析：由 ，知图像关于 对称，结合图像知，
当 ，即 时， ；
而当 ，即 时， ；
当 ，即 时， ．
∴ ．
当 ，即 时， ；
当 ，即 时， ．
∴ ．
题型二 二次函数的实际应用问题
例2 某租赁公司拥有汽车100辆.当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出.当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元.（1）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？（2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？
解析：（1）当每辆车的月租金定为3600元时，未租出的车辆数为： ，所以这时租出了88辆车；
（2）设每辆车的月租金定为 元，则租赁公司的月收益为：
，
整理得： ，
所以，当 时， 取最大值，其最大值为 ，
即当每辆车的月租金定为4050元时，租赁公司的月收益最大，最大收益为307050元.
设计意图：通过以上问题的探讨，使学生逐渐体会研究函数问题的一般方法。
(三）小结：
六、目标检测
一、选择题
1. 二次函数y＝ax2＋bx＋c满足f（4）＝f（1），那么（ ）
A. f（2）＞f（3） B. f（2）＜f（3）
C. f（2）＝f（3） D. f（2）与f（3）的大小关系不能确定
1. C 解析：函数对称轴两侧的单调性与二次项系数的正负有关，结合对称轴的位置即可得到答案．
2. 一元二次方程 有一个正实数根和一个负实数根，则a的范围是（ ）
A. B. C. D.
2. C 解析：方程△＝4－4a>0，设两根为 ，则 ．∵ 异号，∴ ,结合两个不等式可得解.
3.函数 是单调函数，则（ ）
A. B. C. D.
3．Ａ 解析：函数 的对称轴 ，∴函数 ）是单调函数 ，
4.二次函数 ，若 ，则 等于（ ）
A. B. C. D.
4.Ｄ 解析：二次函数 对称轴 ，顶点坐标 ,所以 =
二、填空题
5.某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运营.据市场分析，每辆客车营运的利润y与营运年数x（x∈Z）为二次函数关系（如图），则客车有营运利润的时间不超过________年.
5.7 解析：首先根据条件求出y＝－（x－6）2＋11，本题要求的“客车有营运利润的时间”实际上是求图像与x轴两个交点的横坐标之差．
6.若函数f（x）=x2+2（a－1）x+2在区间（－∞，4］上是减函数，那么实数a的取值范围是_____
6.a≤－3 解析：利用二次函数的单调区间与其对称轴的关系来解题,已知函数二次项系数为1>0,所以在对称轴的左侧该函数为减函数.该函数对称轴为 ,所给区间都在对称轴的左侧,即a≤－3
三、解答题
7．(1)求函数 （x∈N）的最小值.
(2)在区间 上,求函数 的最大值与最小值.
(3)在区间 上,求函数 的最大值与最小值.
7.解析：(1)因为 ,又因为 ∈N,所以当 =1或 =2时函数值都等于－9且最小.
(2)该函数的对称轴为x= ,所给区间 在对称轴的同侧,都在右侧,又二次项系数为1>0,所以在 上该函数为增函数,所以当 =2时,函数值最小,最小值为-9,当 =3时函数有最大值,最大值为-7
(3)所给区间在对称轴的异侧,所以在对称轴的时候对应的函数值最小,最小值为 ,当 时, ,当 时, ,所以该函数的最大值为 .
8.已知二次函数当x=4时有最小值－3，且它的图象与x轴两交点间的距离为6，求这个二次函数的解析式.
8. 解析：解法一：设二次函数解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），由条件，可得抛物线的顶点为（4，－3），且过（1，0）与（7，0）两点，将三个点的坐标代入，得 解得
∴所求二次函数解析式为y= x2－ x+ .
解法二：∵抛物线与x轴的两个交点坐标是（1，0）与（7，0），
∴设二次函数的解析式为y=a（x－1）（x－7），把顶点（4，－3）代入，得－3=a（4－1）（4－7），解得a= .
∴二次函数解析式为y= （x－1）（x－7），即y= x2－ x+ .
解法三：∵抛物线的顶点为（4，－3），且过点（1，0），∴设二次函数解析式为y=a（x－4）2－3.
将（1，0）代入，得0=a（1－4）2－3，解得a= .
∴二次函数解析式为y= （x－4）2－3，即y= x2－ x+ .
高考能力演练
9.若函数f（x）=x2+ax+b与x轴的交点为（1，0）和（3，0），则函数f（x）的单调性
A.在（－∞，2］上减少，在［2，+∞）上增加 B.在（－∞，3）上增加
C.在［1，3］上增加 D.不能确定
9. A 解析：由已知可得该函数的对称轴为 ,又二次项系数为1>0,所以在（－∞，2］上为单调递减函数，在［2，+∞）上为单调递增函数.
10．已知函数 ,且对任意的实数 都有 成立
(1)求实数 的值; (2)利用单调性的定义判断函数 在区间 上的单调性.
10.解析： (1) ,所以该函数的对称轴为 ,
根据函数解析式可知 ,所以 .
(2)由(1)可知 ,在 上该函数为增函数,下面就用定义去证明:
设 ,则
, , ,
即 ,故函数 在区间 上的增函数
11.已知函数f（x）=x2－2ax+a2+1，x∈［0，1］，若g（a）为f（x）的最小值.
（1）求g（a）； （2）当g（a）=5时，求a的值.
11.解析： f（x）=（x－a）2+1，
（1）当0≤a≤1时，g（a）=f（a）=1;
当a<0时，g（a）=f（0）=a2+1; 当a>1时，g（a）=f（1）=a2－2a+2.
∴g（a）=
（2）令 a=－2. 令 a=3.∴ 或 时,
§二次函数性质的再研究
一、内容与解析
（一）内容：二次函数性质的再研究。
（二）解析：二次函数问题多以解答题的一个部分出现，主要考查利用二次函数的图像和性质研究最值、值域、单调性、求函数值等问题.特别是定轴动区间或（动轴定区间）问题是高考考查的热点也是难点，学本节时应加强练习，并能灵活运用数形结合的思想来解决问题.
二、目标及其解析：
（一）目标
（1）掌握二次函数的求最值、对称性和平移以及二次函数解析式的求法和二次函数的应用；
（二）解析
（1）二次函数是一重要的函数，掌握好二次函数，对学生学习以后的函数有重要的启发作用，学习时，要特别注意其性质的把握，这里面一个最关键的是对称轴。
三、问题诊断分析
研究二次函数问题一定注意问题成立的范围，超出范围的解是无效的.因此研究二次函数时，不仅要关注函数的解析式还要关注函数的定义域，这一点对初学者来说，是很容易犯错的。
四、支持条件分析
在本节课一次递推的教学中，准备使用PowerPoint 2003。因为使用PowerPoint 2003，有利于提供准确、最核心的文字信息，有利于帮助学生顺利抓住老师上课思路，节省老师板书时间，让学生尽快地进入对问题的分析当中。
五、教学过程
（一）研探新知：
（1）1.二次函数 的性质
图 像
开口方向① ②
顶点坐标③ ④
对 称 轴
单调区间单调递减区间
⑤调递增区间 单调递增区间
⑥单调递减区间
最 值当 ,取 得最小值为
当 ,取得最大值为
2．二次函数性质的应用
①如何确定二次函数的性质
②如何确定二次函数在闭区间上的值域或最值
3.二次函数的三种解析式
①顶点式：y=a(x-h)2+k (a≠0),其中点(h,k)为顶点,对称轴为x=h.如果已知顶点，则可设成这种形式.
②交点式：y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0),其中x1,x2是抛物线与x轴的交点的横坐标.如果已知二次函数与x 轴的交点坐标，则可设成这种形式.
③一般式：y=ax2+bx+c(a≠0),若已知二次函数上任意3点坐标，可设为这种形式.
（二）类型题探究
题型一 二次函数的最值与解析式问题
例1 已知 ，函数 、 表示函数 在区间 上的最小值，最大值，求 、 表达式．
解析：由 ，知图像关于 对称，结合图像知，
当 ，即 时， ；
而当 ，即 时， ；
当 ，即 时， ．
∴ ．
当 ，即 时， ；
当 ，即 时， ．
∴ ．
题型二 二次函数的实际应用问题
例2 某租赁公司拥有汽车100辆.当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出.当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元.（1）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？（2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？
解析：（1）当每辆车的月租金定为3600元时，未租出的车辆数为： ，所以这时租出了88辆车；
（2）设每辆车的月租金定为 元，则租赁公司的月收益为：
，
整理得： ，
所以，当 时， 取最大值，其最大值为 ，
即当每辆车的月租金定为4050元时，租赁公司的月收益最大，最大收益为307050元.
设计意图：通过以上问题的探讨，使学生逐渐体会研究函数问题的一般方法。
(三）小结：
六、目标检测
一、选择题
1. 二次函数y＝ax2＋bx＋c满足f（4）＝f（1），那么（ ）
A. f（2）＞f（3） B. f（2）＜f（3）
C. f（2）＝f（3） D. f（2）与f（3）的大小关系不能确定
1. C 解析：函数对称轴两侧的单调性与二次项系数的正负有关，结合对称轴的位置即可得到答案．
2. 一元二次方程 有一个正实数根和一个负实数根，则a的范围是（ ）
A. B. C. D.
2. C 解析：方程△＝4－4a>0，设两根为 ，则 ．∵ 异号，∴ ,结合两个不等式可得解.
3.函数 是单调函数，则（ ）
A. B. C. D.
3．Ａ 解析：函数 的对称轴 ，∴函数 ）是单调函数 ，
4.二次函数 ，若 ，则 等于（ ）
A. B. C. D.
4.Ｄ 解析：二次函数 对称轴 ，顶点坐标 ,所以 =
二、填空题
5.某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运营.据市场分析，每辆客车营运的利润y与营运年数x（x∈Z）为二次函数关系（如图），则客车有营运利润的时间不超过________年.
5.7 解析：首先根据条件求出y＝－（x－6）2＋11，本题要求的“客车有营运利润的时间”实际上是求图像与x轴两个交点的横坐标之差．
6.若函数f（x）=x2+2（a－1）x+2在区间（－∞，4］上是减函数，那么实数a的取值范围是_____
6.a≤－3 解析：利用二次函数的单调区间与其对称轴的关系来解题,已知函数二次项系数为1>0,所以在对称轴的左侧该函数为减函数.该函数对称轴为 ,所给区间都在对称轴的左侧,即a≤－3
三、解答题
7．(1)求函数 （x∈N）的最小值.
(2)在区间 上,求函数 的最大值与最小值.
(3)在区间 上,求函数 的最大值与最小值.
7.解析：(1)因为 ,又因为 ∈N,所以当 =1或 =2时函数值都等于－9且最小.
(2)该函数的对称轴为x= ,所给区间 在对称轴的同侧,都在右侧,又二次项系数为1>0,所以在 上该函数为增函数,所以当 =2时,函数值最小,最小值为-9,当 =3时函数有最大值,最大值为-7
(3)所给区间在对称轴的异侧,所以在对称轴的时候对应的函数值最小,最小值为 ,当 时, ,当 时, ,所以该函数的最大值为 .
8.已知二次函数当x=4时有最小值－3，且它的图象与x轴两交点间的距离为6，求这个二次函数的解析式.
8. 解析：解法一：设二次函数解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），由条件，可得抛物线的顶点为（4，－3），且过（1，0）与（7，0）两点，将三个点的坐标代入，得 解得
∴所求二次函数解析式为y= x2－ x+ .
解法二：∵抛物线与x轴的两个交点坐标是（1，0）与（7，0），
∴设二次函数的解析式为y=a（x－1）（x－7），把顶点（4，－3）代入，得－3=a（4－1）（4－7），解得a= .
∴二次函数解析式为y= （x－1）（x－7），即y= x2－ x+ .
解法三：∵抛物线的顶点为（4，－3），且过点（1，0），∴设二次函数解析式为y=a（x－4）2－3.
将（1，0）代入，得0=a（1－4）2－3，解得a= .
∴二次函数解析式为y= （x－4）2－3，即y= x2－ x+ .
高考能力演练
9.若函数f（x）=x2+ax+b与x轴的交点为（1，0）和（3，0），则函数f（x）的单调性
A.在（－∞，2］上减少，在［2，+∞）上增加 B.在（－∞，3）上增加
C.在［1，3］上增加 D.不能确定
9. A 解析：由已知可得该函数的对称轴为 ,又二次项系数为1>0,所以在（－∞，2］上为单调递减函数，在［2，+∞）上为单调递增函数.
10．已知函数 ,且对任意的实数 都有 成立
(1)求实数 的值; (2)利用单调性的定义判断函数 在区间 上的单调性.
10.解析： (1) ,所以该函数的对称轴为 ,
根据函数解析式可知 ,所以 .
(2)由(1)可知 ,在 上该函数为增函数,下面就用定义去证明:
设 ,则
, , ,
即 ,故函数 在区间 上的增函数
11.已知函数f（x）=x2－2ax+a2+1，x∈［0，1］，若g（a）为f（x）的最小值.
（1）求g（a）； （2）当g（a）=5时，求a的值.
11.解析： f（x）=（x－a）2+1，
（1）当0≤a≤1时，g（a）=f（a）=1;
当a<0时，g（a）=f（0）=a2+1; 当a>1时，g（a）=f（1）=a2－2a+2.
∴g（a）=
（2）令 a=－2. 令 a=3.∴ 或 时,
