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九年级数学竞赛方程与函数辅导教案

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【例题求解】
【例1】 若关于的方程 有解,则实数m的取值范围 .

思路点拨 可以利用绝对值知识讨论,也可以用函数思想探讨:作函数 , 函数图象,原方程有解,即两函数图象有交点,依此确定m的取值范围.

【例2】设关于 的方程 有两个不相等的实数根 , ,且 <1< ,那么 取值范围是( )
A. B. C . D.

思路点拨 因根的表达式复杂,故把原问题转化为二次函数问题来 解决,即求对应的二次函数与 轴的交点满足 <1< 的 的值,注意判别式的隐含制约.


【例3】 已知抛物线 ( )与 轴交于两点A( ,0),B( ,0)( ≠ ).
(1)求 的取值范围,并证明A、B两点都在原点O的左侧;
(2)若抛物线与 轴交于点C,且OA+OB=OC一2,求 的值.

思路点拨 、 是方程 的两个不等实根,于是二次函数问题就可以转化为二次方程问题加以解决,利用判别式,根与系数的关系是解题的切入点.



【例4】 抛物线 与 轴的正半轴交于点C,与 轴交于A、B两点,并且点B在A的 右边,△ABC的面积是△OAC面积的3倍.
(1)求这条抛物线的解析式;
(2)判断△OBC与△OCA是否相似,并说明理由.

思路点拨 综合运用判别式、根与系数关系等知识,可判定对应方程根的符号特征、两实根的关系,这是解本例的关键.对于(1),建立关于m的等式,求出m的值;对于(2)依m的值分类讨论.

【例5】 已知抛物线 上有一点M(, )位于 轴下方.
(1)求证:此抛物线与轴交于两点;
(2)设此抛物线与 轴的交点为A( ,0),B(,0),且 < ,求证: < < .

思路点拨 对于(1),即要证 ;对于(2),即要证 .

学历训练
1.已知关于 的函数 的图象与 轴有交点,则m的取值范围是 .
2.已知抛物线 与 轴交于A ( ,0),B( ,0)两点,且 ,则 .
3.已知二次函数y=kx2+(2k-1)x1与x轴交点的横坐标为x1、x2(x1 x2,时,y>O;③方程kx2+l(2k-1)xl=O有两个不相等的实数根x1、x2;④x1<-l,x2>-l;⑤x 2-x1= ,其中所有正确的结论是 (只需填写序号) .
4.设函数 的图象如图所示,它与 轴交于A、B两点,且线段OA与OB的长的比为1:4,则 =( ).
A.8 B.一4 C.1l D.一4或11


5.已知:二次函数y=x2+bx+c与x轴相交于A(x1,0)、B(x2,0)两点,其顶点坐标为P(- , ),AB=|x1-x2,若S△APB=1,则b与c的关系式是 ( )
A.b2-4c+1= 0 B.b2-4c-1=0
C.b2-4c+4=0 D.b 2-4c-4=0

6.已知方程 有一个负根而且没有正根,那么 的取值范围是( )
A. >-1 B. =1 C. ≥1 D.非上述答案
7.已知在平面直角坐标系内,O为坐标原点,A、B是x轴正半轴上的两点,点A在点B的左侧,如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过点A、B,与y轴相交于点C.
(1)a、c的符号之间有何关系?
(2)如果线段OC的长度是线段OA、O B长度的比例中项,试证a、c互为倒数;
(3)在(2)的条件下,如果b=-4,AB=4 ,求a、c的值.



8.已知:抛物线 过点A(一1,4),其顶点的横坐标为 ,与 轴分别交于B(x1,0)、C(x2,0)两点(其中且 < ),且 .
(1)求此抛物线的解析式及顶点E的坐标;
(2)设此抛物线与 轴交于D点,点M是抛物线上的点,若△MB O的面积为△DOC面积的 倍,求点M的坐标.
9.已知抛物线 交x轴于A( ,0)、B( ,0),交y轴于C点,且 <0< , .
(1)求抛物线的解析式;
(2)在x轴的下方是否存在着抛物线上的点P,使∠APB为锐角,若存在,求出P点的横坐标的范围;若不存在,请说明理由.

10. 设 是整数,且方程 的两根都大于 而小于 ,则= .

11.函数 的图象与函数 的图象的交点个数是 .

12.已知 、 为抛物线 与 轴交点的横坐标, ,则 的值为 .
13.是否存在这样的实数 ,使得二次方程 有两个实数根,且两根都在2与4之间?如果有,试确定 的取值范围;如果没有,试述理由.
14.设抛物线 的图象与 轴只有一个交点.
(1)求 的值;
(2)求 的值.
15.已知以 为自变量的二次函数 ,该二次函数图象与 轴的两个交点的横坐标的差的平方等于关于 的方程 的一整数根,求 的值.
16.已知二次函数的图象开口向上且不过原点O,顶点坐标为(1,一2),与 轴交于点A,B,与y轴交于点C,且满足关系式 .
(1)求二次函数的解析式;
(2)求△ABC的面积.

17.设 是实数,二次函数 的图象与 轴有两个不同的交点A( ,0)、B( ,0).
(1)求证: ;
(2)若A、B两点之间的距离不超过 ,求P的最大 值.

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