第二章 实数
４．公园有多宽
一、学生起点分析
八年级学生初步认识了无理数，对平方根和立方根也有了一定的了解，这样学习“公园有多宽”这节内容就有了一定的基础，但由于学生对估算还比较陌生，在实际教学中需要通过大量贴近学生生活的实例让他们估算的方法，初步形成估算的意识，发展学生的数感.
二、教学任务分析
《公园有多宽》是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级（上）第二章《公园有多宽》的第四节的内容. 在学习了平方根与立方根之后安排本节内容，目的很明确，就是要让 学生如何运用这些知识去解决实际问题，体会到数学的实用价值，并逐步在今后的学习中有意识地运用估算的方法解决生活中的问题，发展 学生的估算意识和数感.
三、教学目标分析
1.教学目标
知识与技能目标
会估算一个无理数的大致范围，比较两个无理数的大小，会利用估算解决一些简单的实际问题.
过程与方法目标
经历实际问题的解决过程和平方根 、立方根的估算过程，发展估算意识和数感.
情感与态度目标
体会数学知识的实用价值，激发学生的学习热情.
2.教学重点
能估计一个无理数的大致范围.
3.教学难点
掌握估算方法，形成估算意识，培养学生用估算法解决实际问题.
四、教法、学法
1.教法
这节课，首先通过创设问题情境让学生初步体会估算的实际应用，再让学生体会估算的方法，最后让学生通过估算的方法解决生活中的实际问题.
2.学法
本节课采用小组合作交流的学习方式，让学生经历“独立探究―合作交流―归纳―反思应用”的学习线索.
3.课前准备
教具：教材，课件，电脑.
学具：教材，练习本.
五、教学过程
本节课设计了五 个教学环节：第一环节――情境引入；第二环节――活动探究；第三环节――深入探究；第四环节――反馈练习；第五环节――反思归纳；第六环节――作业布置.
第一环节：情境引入
教学程序及内容
由修建环保公园的实际问题情境引出本节课的学习内容??公园有多宽.
某市开辟了一块长方形的荒地用来 建一个以环保为主题的公 园.已知这块地的长是宽的两倍 ，它的面积为400000平方米.此时公园的宽是多少?长是多少?
给出这个问题情境，先让学生凭感觉说出公园的长和宽分别是多少.
给出引导问题：公园的宽有1000米吗？（没有）那么怎么计算出公园的长和宽.[来源:学。科。网]
解：设公园的宽为x米,则它的长为2x米,由题意得：
x?2x=400000,
2x =400000,
x = .
那么 =?
师生活动设计
教师由现实情境引出本节课的课题，激发学生学习兴趣；学生浏览问题情境思考其解决方法.
设计意图
从现实情境引入，初步建立数感，让学生体会生活中的数学，激发学习的积极性.
效果
学生通过与生活紧密联系的问题情境初步感受到估算的实用价值.
第二环节：活动探究
教学程序及内容
1.探究一个无理数估算结果的合理性.
2.学会估算一个无理数 的大致范围.
例1 下列结果正确吗？你是怎样判断的？与同伴交流.
① ≈20 ; ② ≈0.3;
③ ≈500; ④ ≈96.
解答：这些结果都不正确.
怎样估算一个无理数的范围?
例2 你能估算它们的大小吗？说出你的方法.
① ; ② ; ③ ; ④ .
（ ①②误差小于0.1;③误差小于10;④误差小于1.）
解答：
≈6.3 ; ≈0.9; ≈310 ; ≈9.
说明：误差小于10就是估算出的值与准确值之间的差的绝对值小于10，所以 的估算值在误差小于10的前提下可以是310，也可以是320，还可以是310到320之间的任何数.教材使用误差小于10，而不用精确到哪一位，目的在于降低要求。
师生活动设计
1.同伴间进行交流，教师适时引导.在解决问题的同时引导学生对解决方法进行，和学生一起归纳出估算的方法.
设计意图
让学生从被动学习到主动探究，激发学生的学习热情，培养学生自主学习数学的能力.
效果
通过简单无理数大致范围的估计，初步积累一些解决问题的经验，为接下来的实际应用做好准备.
第三环节：深入探究
教学程序及内容
1.用估算来解决数学和实际问题.
例1 你能比较 与 的大小吗？你是怎样想的？
小明是这样想的： 与 的分母相同，只要比较他们的分子就可以了，因为 ＞2，所以 -1＞1, ＞ .
解：∵5＞4,即（ ） ＞2 ,
∴ ＞2,
-1＞1,
即 ＞ .
例2 解决引入时“公园有多宽？”的问题情境中提出的问题.
=?
（1）如果要求误差小于10米,它的宽大约是？
（大约440米或450米）
说明：只要是440与450之间的数都可以.
（2）该公园中心有一个圆形花圃，它的面积是800平方米，你能估计它的半径吗（误差小于1米）？
（15米或16米）
说明：只要是15与16之间的数都可以.
例3 给出新的问题情境――画能挂上去吗？
生活表明，靠墙摆放梯子时，若梯子底端离墙距离为梯子长度的三分之一，则梯子比较稳定.现有一长度为6米的梯子，当梯子稳定摆放时，
（1）他的顶端最多能到达多高（保留到0.1）？
（2）现在如果请一个同学利用这个梯子在墙高5.9米的地方张贴一副宣传画，他能办到吗？
解：设梯子稳定摆放时的高度为x米，此时梯子底端离墙恰好为梯子长度的 ，根据勾股定理 ：
+（ ×6） =6 ，
+4=36，
=32 ，
x= ,
即 ∵5〈x<6,
25< <36,
5.631.36< <32.49,
x≈5.6.
点评： 对“画能不能挂上去”，学生可以表达自己的想法.
师生活动设计
1.学生通过独立思考与小组讨论相结合的方式解决新的实际问题.
设计意图
让学生初步体会数学知识的实际应用价值.
效果[
在解决实际问题中再次体会估算的方法，从而体验到学习数学的乐趣.
第四环节：反馈练习
教学程序及内容
反馈练习1 估算下列数的大小.
（1） （误差小于0.1） ; （2） （误差小于1）.
解答：
（1） ∵3．6＜ ＜3.7,
∴ ≈3.6或3.7（只要是3.6与3.7之间的数都可以）.
（2） ∵9＜ ＜10,
∴ ≈9或10（只要是9与10之间的数都可以）.
反馈练习2 通过估算，比较下面各数的大小.
（1） 与 ; （2） 与3.85.
解答： （1）∵ ＜2,
∴ -1＜1,
即 ＜ .
（2）∵3.85 =14.8225,
∴ ＞3.85.
反馈练习3 给出与生活密切联系的实际问题情境
一个人一生平均要饮用的液体总量大约为40立方米,如果用一圆柱形的容器（底面直径等于高）来装这些液体，这个容器大约有多高（误差小于1米）?
师生活动设计
教学引导学生解决问题，学生通过独立思考和与同伴合作交流的方式解决提出的问题.
设计意图
让学生再次体会估算的方法和估算的实际应用，调动探究的积极性.
效果
进一步激发学生对利用估算的方法解决问题的兴趣，调动学生学习数学的热情.
第五环节：反思归纳
教学程序及内容
1.用自己的语言表达学习这节内容的感想
（1）通过这节课的学习，你掌握了哪些知识？
（2）通过学习这些知识，对你有怎样的启发？
（3）对于这节课的学习，你还有哪些疑问？
2.浏览给出的知识点归纳.
师生活动设计
1.引导学生归纳本节的基本内容.
2.教师展示知识脉络图.
设计意图
让学生及时小结，帮助教师反思本节课教学设计的不足，及时做出后面教学的调整.
效果
部分学生能大胆地提出疑问.
第六环节：作业巩固
教学 程序及内容
习题2.6 1，2，3，6
师生活动设计
给出作业内容，学生浏览给出的作业.
效果
让学 生在练习中及时巩固所学知识.
六、教学反思
（1）突出重点、突破难点的策略
1.“公园有多宽”这节内容是让学生掌握估算的方法，训练他们的估算能力，而学生在生活中接触用估算解决实际问题的情况比较少，所以比较陌生，进而学习起来难度就比较大。教学中一定要选取学生熟悉的问题情境引入，才能激发学生的学习兴趣，为此，本节课的教学中选取了“修建环保公园”的问题情境引入，与学生平时的生活密切联系，容易把学生的积极性调动起来.当然还可以结合地区特点创设其余的问题情境引入，例如“污水池有多宽”，“实验田有多宽”，“体育馆有多宽”等问题情境.
2.在探究估算方法的时候，教师要注重适时的引导，以免让学生无从下手.
3.在教学过程中一定要让学生体会估算的实用价值，了解到“数学既来源与生活，又回归到生活为生活服务”.
（2）课堂评价的一些思考
在教学中要多鼓励学生用自己的语言表达他们的想法，在估算的过程中多给予适当的引导和评价，让学生逐步把握估算的方法，找到解决问题的信心.比如对“画能挂上去吗”这个问题情境，学生可能提出不同的看法，有些学生可能认为可以挂上去，因为人还有身高，完全可以弥补梯子稳定摆放的高度和挂画位置的高度之间的差距，有些学生可能认为，人不可能爬到梯子的顶部，加上人如果本来比较矮，画就不能挂上去等 等想法，教师都应该给予肯定，这样才能激发学生思考问题的热情，调动学生探究问题的积极性.作为教师，一定要尊重学生的个体差异，满足多样化的学习需要，鼓励探究方式、表达方式和解题方法的多样化.
附：板书设计
公园有多宽
引入 x?2x=4 00000 =?
活动探究练习
例1
例2
梯子问题情境
反馈练习
练习1
练习2
小结
保留性板书 暂时性板书
４．公园有多宽
一、学生起点分析
八年级学生初步认识了无理数，对平方根和立方根也有了一定的了解，这样学习“公园有多宽”这节内容就有了一定的基础，但由于学生对估算还比较陌生，在实际教学中需要通过大量贴近学生生活的实例让他们估算的方法，初步形成估算的意识，发展学生的数感.
二、教学任务分析
《公园有多宽》是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级（上）第二章《公园有多宽》的第四节的内容. 在学习了平方根与立方根之后安排本节内容，目的很明确，就是要让 学生如何运用这些知识去解决实际问题，体会到数学的实用价值，并逐步在今后的学习中有意识地运用估算的方法解决生活中的问题，发展 学生的估算意识和数感.
三、教学目标分析
1.教学目标
知识与技能目标
会估算一个无理数的大致范围，比较两个无理数的大小，会利用估算解决一些简单的实际问题.
过程与方法目标
经历实际问题的解决过程和平方根 、立方根的估算过程，发展估算意识和数感.
情感与态度目标
体会数学知识的实用价值，激发学生的学习热情.
2.教学重点
能估计一个无理数的大致范围.
3.教学难点
掌握估算方法，形成估算意识，培养学生用估算法解决实际问题.
四、教法、学法
1.教法
这节课，首先通过创设问题情境让学生初步体会估算的实际应用，再让学生体会估算的方法，最后让学生通过估算的方法解决生活中的实际问题.
2.学法
本节课采用小组合作交流的学习方式，让学生经历“独立探究―合作交流―归纳―反思应用”的学习线索.
3.课前准备
教具：教材，课件，电脑.
学具：教材，练习本.
五、教学过程
本节课设计了五 个教学环节：第一环节――情境引入；第二环节――活动探究；第三环节――深入探究；第四环节――反馈练习；第五环节――反思归纳；第六环节――作业布置.
第一环节：情境引入
教学程序及内容
由修建环保公园的实际问题情境引出本节课的学习内容??公园有多宽.
某市开辟了一块长方形的荒地用来 建一个以环保为主题的公 园.已知这块地的长是宽的两倍 ，它的面积为400000平方米.此时公园的宽是多少?长是多少?
给出这个问题情境，先让学生凭感觉说出公园的长和宽分别是多少.
给出引导问题：公园的宽有1000米吗？（没有）那么怎么计算出公园的长和宽.[来源:学。科。网]
解：设公园的宽为x米,则它的长为2x米,由题意得：
x?2x=400000,
2x =400000,
x = .
那么 =?
师生活动设计
教师由现实情境引出本节课的课题，激发学生学习兴趣；学生浏览问题情境思考其解决方法.
设计意图
从现实情境引入，初步建立数感，让学生体会生活中的数学，激发学习的积极性.
效果
学生通过与生活紧密联系的问题情境初步感受到估算的实用价值.
第二环节：活动探究
教学程序及内容
1.探究一个无理数估算结果的合理性.
2.学会估算一个无理数 的大致范围.
例1 下列结果正确吗？你是怎样判断的？与同伴交流.
① ≈20 ; ② ≈0.3;
③ ≈500; ④ ≈96.
解答：这些结果都不正确.
怎样估算一个无理数的范围?
例2 你能估算它们的大小吗？说出你的方法.
① ; ② ; ③ ; ④ .
（ ①②误差小于0.1;③误差小于10;④误差小于1.）
解答：
≈6.3 ; ≈0.9; ≈310 ; ≈9.
说明：误差小于10就是估算出的值与准确值之间的差的绝对值小于10，所以 的估算值在误差小于10的前提下可以是310，也可以是320，还可以是310到320之间的任何数.教材使用误差小于10，而不用精确到哪一位，目的在于降低要求。
师生活动设计
1.同伴间进行交流，教师适时引导.在解决问题的同时引导学生对解决方法进行，和学生一起归纳出估算的方法.
设计意图
让学生从被动学习到主动探究，激发学生的学习热情，培养学生自主学习数学的能力.
效果
通过简单无理数大致范围的估计，初步积累一些解决问题的经验，为接下来的实际应用做好准备.
第三环节：深入探究
教学程序及内容
1.用估算来解决数学和实际问题.
例1 你能比较 与 的大小吗？你是怎样想的？
小明是这样想的： 与 的分母相同，只要比较他们的分子就可以了，因为 ＞2，所以 -1＞1, ＞ .
解：∵5＞4,即（ ） ＞2 ,
∴ ＞2,
-1＞1,
即 ＞ .
例2 解决引入时“公园有多宽？”的问题情境中提出的问题.
=?
（1）如果要求误差小于10米,它的宽大约是？
（大约440米或450米）
说明：只要是440与450之间的数都可以.
（2）该公园中心有一个圆形花圃，它的面积是800平方米，你能估计它的半径吗（误差小于1米）？
（15米或16米）
说明：只要是15与16之间的数都可以.
例3 给出新的问题情境――画能挂上去吗？
生活表明，靠墙摆放梯子时，若梯子底端离墙距离为梯子长度的三分之一，则梯子比较稳定.现有一长度为6米的梯子，当梯子稳定摆放时，
（1）他的顶端最多能到达多高（保留到0.1）？
（2）现在如果请一个同学利用这个梯子在墙高5.9米的地方张贴一副宣传画，他能办到吗？
解：设梯子稳定摆放时的高度为x米，此时梯子底端离墙恰好为梯子长度的 ，根据勾股定理 ：
+（ ×6） =6 ，
+4=36，
=32 ，
x= ,
即 ∵5〈x<6,
25< <36,
5.6
x≈5.6.
点评： 对“画能不能挂上去”，学生可以表达自己的想法.
师生活动设计
1.学生通过独立思考与小组讨论相结合的方式解决新的实际问题.
设计意图
让学生初步体会数学知识的实际应用价值.
效果[
在解决实际问题中再次体会估算的方法，从而体验到学习数学的乐趣.
第四环节：反馈练习
教学程序及内容
反馈练习1 估算下列数的大小.
（1） （误差小于0.1） ; （2） （误差小于1）.
解答：
（1） ∵3．6＜ ＜3.7,
∴ ≈3.6或3.7（只要是3.6与3.7之间的数都可以）.
（2） ∵9＜ ＜10,
∴ ≈9或10（只要是9与10之间的数都可以）.
反馈练习2 通过估算，比较下面各数的大小.
（1） 与 ; （2） 与3.85.
解答： （1）∵ ＜2,
∴ -1＜1,
即 ＜ .
（2）∵3.85 =14.8225,
∴ ＞3.85.
反馈练习3 给出与生活密切联系的实际问题情境
一个人一生平均要饮用的液体总量大约为40立方米,如果用一圆柱形的容器（底面直径等于高）来装这些液体，这个容器大约有多高（误差小于1米）?
师生活动设计
教学引导学生解决问题，学生通过独立思考和与同伴合作交流的方式解决提出的问题.
设计意图
让学生再次体会估算的方法和估算的实际应用，调动探究的积极性.
效果
进一步激发学生对利用估算的方法解决问题的兴趣，调动学生学习数学的热情.
第五环节：反思归纳
教学程序及内容
1.用自己的语言表达学习这节内容的感想
（1）通过这节课的学习，你掌握了哪些知识？
（2）通过学习这些知识，对你有怎样的启发？
（3）对于这节课的学习，你还有哪些疑问？
2.浏览给出的知识点归纳.
师生活动设计
1.引导学生归纳本节的基本内容.
2.教师展示知识脉络图.
设计意图
让学生及时小结，帮助教师反思本节课教学设计的不足，及时做出后面教学的调整.
效果
部分学生能大胆地提出疑问.
第六环节：作业巩固
教学 程序及内容
习题2.6 1，2，3，6
师生活动设计
给出作业内容，学生浏览给出的作业.
效果
让学 生在练习中及时巩固所学知识.
六、教学反思
（1）突出重点、突破难点的策略
1.“公园有多宽”这节内容是让学生掌握估算的方法，训练他们的估算能力，而学生在生活中接触用估算解决实际问题的情况比较少，所以比较陌生，进而学习起来难度就比较大。教学中一定要选取学生熟悉的问题情境引入，才能激发学生的学习兴趣，为此，本节课的教学中选取了“修建环保公园”的问题情境引入，与学生平时的生活密切联系，容易把学生的积极性调动起来.当然还可以结合地区特点创设其余的问题情境引入，例如“污水池有多宽”，“实验田有多宽”，“体育馆有多宽”等问题情境.
2.在探究估算方法的时候，教师要注重适时的引导，以免让学生无从下手.
3.在教学过程中一定要让学生体会估算的实用价值，了解到“数学既来源与生活，又回归到生活为生活服务”.
（2）课堂评价的一些思考
在教学中要多鼓励学生用自己的语言表达他们的想法，在估算的过程中多给予适当的引导和评价，让学生逐步把握估算的方法，找到解决问题的信心.比如对“画能挂上去吗”这个问题情境，学生可能提出不同的看法，有些学生可能认为可以挂上去，因为人还有身高，完全可以弥补梯子稳定摆放的高度和挂画位置的高度之间的差距，有些学生可能认为，人不可能爬到梯子的顶部，加上人如果本来比较矮，画就不能挂上去等 等想法，教师都应该给予肯定，这样才能激发学生思考问题的热情，调动学生探究问题的积极性.作为教师，一定要尊重学生的个体差异，满足多样化的学习需要，鼓励探究方式、表达方式和解题方法的多样化.
附：板书设计
公园有多宽
引入 x?2x=4 00000 =?
活动探究练习
例1
例2
梯子问题情境
反馈练习
练习1
练习2
小结
保留性板书 暂时性板书
