j.Co M
第三十一讲 完全平方数和完全平方式
设n是自然数，若存在自然数m，使得n=m2，则称n是一个完全平方数(或平方数)．常见的题型有：判断一个数是否是完全平方数；证明一个数不是完全平方数；关于存在性问题和其他有关问题等．最常用的性质有：
(1)任何一个完全平方数的个位数字只能是0，1，4，5，6，9，个位数字是2，3，7，8的数一定不是平方数；
(2)个位数字和十位数字都是奇数的两位以上的数一定不是完全平方数，个位数字为6，而十位数字为偶数的数，也一定不是完全平方数；
(3)在相邻两个平方数之间的数一定不是平方数；
(4)任何一个平方数必可表示成两个数之差的形式；
(5)任何整数平方之后，只能是3n或3n+1的形式，从而知，形如3n+2的数绝不是平方数；任何整数平方之后只能是5n，5n+1，5n+4的形式，从而知5n+2或5n+3的数绝不是平方数；
(6)相邻两个整数之积不是完全平方数；
(7)如果自然数n不是完全平方数，那么它的所有正 因数的个数是偶数；如果自然数n是完全平方数，那么它的所有正因数的个数是奇数；
(8)偶数的平方一定能被4整除；奇数的平方被8除余1，且十位数字必是偶数．
例题求解
【例1】 n是正整数，3n+1是完全平方数，证明：n+l是3个完全 平方数之和．
思路点拨 设3n+1=m2，显然3卜m，因此，m=3k+1或m=3k+2(k是正整数)．
若rn=3k+1，则 ．
∴ n+1=3k2+2k+1= k2+ k2+( k+1)2．
若m=3k+2，则
∴ n+1=3k2+4k+2= k2+(k+1)2+( k+1)2．
故n+1是3个完全平方数之和．
【例2】一个正整数，如果加上100是一个平方数，如果加上168，则是另一个平方数，求这个正整数．
思路点拨 引入参数，利用奇偶分析求解．
设所求正整数为x，则
x+ 100=m2 ----①
x+168==n2 -----②
其中m，n 都是正整数， ②?①得n2?m2 =68，即 （n?m）(n+m)=22×17．---- ③
因n?m，n+m具有相同的奇偶性，由③知n?m，n+m都是偶数．注意到0 解得n=18．代人②得x=156，即为所求．
【例3】 一个正整数若能表示为两个正整数的平方差，则称这个正整数为“智慧数”，比如16=52?32，16就是一个“智慧数”．在正整数中从1开始数起，试问第1998个“智慧数”是哪个数?并请你说明理由．
思路点拨 1不能表为两个正整数的平方差，所以1不是“智慧数”．对于大于1的奇正整数2k+1，有2k+1=(k+1)2－k2(k=1，2，…)．所以大于1的奇正整数都是“智慧数”．
对于被4整除的偶数4k，有4k=(k+1)2?(k?1)2 (k=2，3，…)．即大于4的被4整除的数都是“智慧数”，而4不能表示为两个正整数平方差，所以4不是“智慧数”．
对于被4除余2的数4k+2 (k=0，1，2，3，…)，设4k+2=x2?y2=(x+y)(x－y)，其中x，y为正整数，当x，y奇偶性相同时，(x+y)(x－y)被4整除，而4k+2不被4整除；当x，y奇偶性相异时，(x+y)(x－y)为奇数，而4k+2为偶数，总得矛盾．所以不存在自然数x，y使得x2?y2=4k+2．即形如4k+2的数均不为“智慧数”．
因此，在正整数列中前四个正整数只有3为“智慧数”，此后，每连续四个数中有三个“智慧数”．
因为1998=(1+3×665)+2，4×(665+1)=2664，所以2664是第1996个“智慧数”，2665是第1997个“智慧数”，注意到2666不是“智慧数” ，因此2667是第1998个“智慧数”，即第1998个“智慧数”是2667．
【例4】(太原市竞赛题)已知：五位数 满足下列条件：
(1)它的各位数字均不为零；
(2)它是一个完全平方数；
(3)它的万位上的数字a是一个完全平方数，干位和百位上的数字顺次构成的两位数 以及十位和个位上的数字顺次构成的两位数 也都是完全平方数．
试求出满足上述条件的所有五位数．
思路点拨 设 ，且 (一位数)， (两位数)， (两位数)，则 ①
由式①知 ②
比较式①、式②得n2=2mt．
因为n2是2的倍数，故n也是2的倍数，所以，n2是4的倍数，且是完全平方数．
故n2=16或36或64．
当n2=16时，得 ，则m=l，2，4，8，t=8，4，2，1，后二解不合条件，舍去；
故 或41616．
当n2=36时，得 ．则m=2，3，1，t=9，6，18．最后一解不合条件，舍去．
故 或93636．
当n2= 64时，得 ．则m=1，2，4，8，t=32，16，8，4都不合条件，舍去．
因此，满足条件的五位数只有4个：11 664，41 616，43 681，93 636．
【例5】 (2002年北京)能 够找到这样的四个正整数，使得它们中任两个数的积与2002的和都是完全平方数吗?若能够，请举出一例；若不能够；请说明理由．
思路点拨 不能找到这样的四个正整数，使得它们中任两个数的积与2002的和都是完全平方数．
理由如下：
偶数的平方能被4整除，奇数的平方被4除余1，也就是正 整数的平方被4除余0或1．若存在正整数满足 ； =1，2，3，4，rn是正整数；因为2002被4除余2，所以 被4除应余2或3．
(1)若正整数n1，n2，n3，n4中有两个是偶数，不妨设n1，n2是偶数，则 被4除余2，与正整数的平方被4除余0或1不符，所以正整数n1，n2，n3，n4中至多有?个是偶数，至少有三个是奇数．
(2)在这三个奇数中，被4除的余数可分为余1或3两类，根据抽屉原则，必有两个奇数属于同一类，则它们的乘积被4除余1，与 被4除余2或3的结论矛盾．
综上所述，不能找到这样的四个正整数，使得褥它们中任两个数的积与2002的和都是完全平方数．
【例6】 使得(n2?19n+91)为完全平方数的自然数n的个数是多少?
思路点拨 若(n2?19n+91)处在两个相邻整数的完全平方数之间，则它的取值便固定了．
∵ n2一19n+91=(n-9)2 +(10一n)
当n>10时，(n－10)2∴ 当n>10时(n2?19n+19)不会成为完全平方数
∴ 当n≤10时，(n2?19n+91)才是完全平方数
经试算，n=9和n=10时，n2?19n+91是完全平方数．
所以满足题意的值有2个．
【例7】 (“我爱数学”夏令营)已知 的值都是1或?1，设m是这2002个数的两两乘积之和．
(1)求m的最大值和最小值，并指出能达到最大值、最小值的条件；
(2 )求m的最小正值，并指出能达到最小正值的条件．
思路点拨 (1) ， ．
当 或 时，m取最大值2003001．
当 中恰有1001个1，1001个 时，m取最小值?1001．
(2)因为大于2002的最小完全平方数为452=2025，且 必为偶数，所以，当 或 ；
即 中恰有1024个1，978个 或恰有1024个 ，978个1时，m取最小值 ．
【例8】 (全国竞赛题)如果对一切x的整数值，x的二次三项式 都是平方数(即整数的平方)，证明：
(1) 2a、2b都是整数；
( 2)a、b、c都是整数，并且c是平方数．
反过来，如果(2) 成立，是否对一切x的整数值， 的值都是平方数?
思路点拨 (1) 令x=0，得c=平方数= ；
令x=±1，得 ， ，其中m、n都是整数．所以， ， 都是整数．
(2) 如果2b是奇数2k+l(k是整数)，令x=4得 ，其中h是整数．
由于2a是整数，所以16a被4整除，有 除以4余2．
而 ，在h 、l的奇偶性不同时， 是奇数；在h、l的奇偶性相同时， 能被4整除．
因此， ，从而2b是偶数，b是整数， ^也是整数．
在(2)成立时， 不一定对x的整数值都是平方数．例如，a=2，b=2，c=4，x=1时， =8不是平方数．
另解(2)：
令x=±2，得4a+2b+c=h2，4a?2b+c=k2，其中h、k为整数．两式相减得
4b=h2?k2=(h+k)(h?k)．
由于4b=2(2b)是偶数，所以h、k的奇偶性相同，(h+k)(h?k)能被4整除．
因此，b是整数， 也是整数．
学力训练
(A级)
1．(山东省竞赛题)如果 是整数，那么a满足( )
A．a>0，且a是完全平方数 B．a<0，且－a是完全平方数
C．a≥0，且a是完全平方数 D．a≤0，且?a是完全平方数
2．设n是自然数，如果n2的十位数字是7，那么n2的末位数字是( )
A．1 B．4 C．5 D．6
3．(五羊杯，初二)设自然数N是完全平方数，N至少是3位数，它的末2位数字不是00，且去掉此2位数字后，剩下的数还是完全平方数，则N的最大值是 ．
4．使得n2?19n+95为完全平方数的自然数n的值是 ．
5．自然数n减去52的差以及n加上37的和都是整数的平方，则n= ．
6．两个两位数，它们的差是56，它们的平方数的末两位数字相同，则这两个数分别是
．
7．是否存在一个三位数 (a，b，c取从1到9的自然数)，使得 为完全平方数?
8．求证：四个连续自然数的积加l，其和必为完全平方数．
（B级）
1．若x是自然数，设 ，则 ( )
A．y一定是完全平方数 B．存在有限个，使y是完全平方数
C．y一定不是完全平方数 D．存在无限多个，使y是完全平方数
2．已知a和b是两个完全平方数，b的个位数字为l，十位数字为x；b的个位数为6，十位数字为y，则( )
A．x，y都是奇数 B．x，y都是偶数
C．x是奇数，y是偶数 D．x为偶数，y为奇数
3．若四位数 是一个完全平方数，则这个四位数是 ．
4．设m是一个完全平方数，则比m大的最小完全平方数是 ．
5．(全国联赛题)设平方数y2是11个连续整数的平方和，则y的最小值是 ．
6．(北京市竞赛，初二)p是负整数，且2001+p是?个完全平方数，则p的最大值为 ．
7．有若干名战士，恰好组成一个八列长方形队列．若在队列中再增加120人或从队列中减去120人后，都能 组成一个正方形队列．问原长方形队列共有多少名战士?
8．证明： 是一个完全平方数．
第三十一讲 完全平方数和完全平方式
设n是自然数，若存在自然数m，使得n=m2，则称n是一个完全平方数(或平方数)．常见的题型有：判断一个数是否是完全平方数；证明一个数不是完全平方数；关于存在性问题和其他有关问题等．最常用的性质有：
(1)任何一个完全平方数的个位数字只能是0，1，4，5，6，9，个位数字是2，3，7，8的数一定不是平方数；
(2)个位数字和十位数字都是奇数的两位以上的数一定不是完全平方数，个位数字为6，而十位数字为偶数的数，也一定不是完全平方数；
(3)在相邻两个平方数之间的数一定不是平方数；
(4)任何一个平方数必可表示成两个数之差的形式；
(5)任何整数平方之后，只能是3n或3n+1的形式，从而知，形如3n+2的数绝不是平方数；任何整数平方之后只能是5n，5n+1，5n+4的形式，从而知5n+2或5n+3的数绝不是平方数；
(6)相邻两个整数之积不是完全平方数；
(7)如果自然数n不是完全平方数，那么它的所有正 因数的个数是偶数；如果自然数n是完全平方数，那么它的所有正因数的个数是奇数；
(8)偶数的平方一定能被4整除；奇数的平方被8除余1，且十位数字必是偶数．
例题求解
【例1】 n是正整数，3n+1是完全平方数，证明：n+l是3个完全 平方数之和．
思路点拨 设3n+1=m2，显然3卜m，因此，m=3k+1或m=3k+2(k是正整数)．
若rn=3k+1，则 ．
∴ n+1=3k2+2k+1= k2+ k2+( k+1)2．
若m=3k+2，则
∴ n+1=3k2+4k+2= k2+(k+1)2+( k+1)2．
故n+1是3个完全平方数之和．
【例2】一个正整数，如果加上100是一个平方数，如果加上168，则是另一个平方数，求这个正整数．
思路点拨 引入参数，利用奇偶分析求解．
设所求正整数为x，则
x+ 100=m2 ----①
x+168==n2 -----②
其中m，n 都是正整数， ②?①得n2?m2 =68，即 （n?m）(n+m)=22×17．---- ③
因n?m，n+m具有相同的奇偶性，由③知n?m，n+m都是偶数．注意到0
【例3】 一个正整数若能表示为两个正整数的平方差，则称这个正整数为“智慧数”，比如16=52?32，16就是一个“智慧数”．在正整数中从1开始数起，试问第1998个“智慧数”是哪个数?并请你说明理由．
思路点拨 1不能表为两个正整数的平方差，所以1不是“智慧数”．对于大于1的奇正整数2k+1，有2k+1=(k+1)2－k2(k=1，2，…)．所以大于1的奇正整数都是“智慧数”．
对于被4整除的偶数4k，有4k=(k+1)2?(k?1)2 (k=2，3，…)．即大于4的被4整除的数都是“智慧数”，而4不能表示为两个正整数平方差，所以4不是“智慧数”．
对于被4除余2的数4k+2 (k=0，1，2，3，…)，设4k+2=x2?y2=(x+y)(x－y)，其中x，y为正整数，当x，y奇偶性相同时，(x+y)(x－y)被4整除，而4k+2不被4整除；当x，y奇偶性相异时，(x+y)(x－y)为奇数，而4k+2为偶数，总得矛盾．所以不存在自然数x，y使得x2?y2=4k+2．即形如4k+2的数均不为“智慧数”．
因此，在正整数列中前四个正整数只有3为“智慧数”，此后，每连续四个数中有三个“智慧数”．
因为1998=(1+3×665)+2，4×(665+1)=2664，所以2664是第1996个“智慧数”，2665是第1997个“智慧数”，注意到2666不是“智慧数” ，因此2667是第1998个“智慧数”，即第1998个“智慧数”是2667．
【例4】(太原市竞赛题)已知：五位数 满足下列条件：
(1)它的各位数字均不为零；
(2)它是一个完全平方数；
(3)它的万位上的数字a是一个完全平方数，干位和百位上的数字顺次构成的两位数 以及十位和个位上的数字顺次构成的两位数 也都是完全平方数．
试求出满足上述条件的所有五位数．
思路点拨 设 ，且 (一位数)， (两位数)， (两位数)，则 ①
由式①知 ②
比较式①、式②得n2=2mt．
因为n2是2的倍数，故n也是2的倍数，所以，n2是4的倍数，且是完全平方数．
故n2=16或36或64．
当n2=16时，得 ，则m=l，2，4，8，t=8，4，2，1，后二解不合条件，舍去；
故 或41616．
当n2=36时，得 ．则m=2，3，1，t=9，6，18．最后一解不合条件，舍去．
故 或93636．
当n2= 64时，得 ．则m=1，2，4，8，t=32，16，8，4都不合条件，舍去．
因此，满足条件的五位数只有4个：11 664，41 616，43 681，93 636．
【例5】 (2002年北京)能 够找到这样的四个正整数，使得它们中任两个数的积与2002的和都是完全平方数吗?若能够，请举出一例；若不能够；请说明理由．
思路点拨 不能找到这样的四个正整数，使得它们中任两个数的积与2002的和都是完全平方数．
理由如下：
偶数的平方能被4整除，奇数的平方被4除余1，也就是正 整数的平方被4除余0或1．若存在正整数满足 ； =1，2，3，4，rn是正整数；因为2002被4除余2，所以 被4除应余2或3．
(1)若正整数n1，n2，n3，n4中有两个是偶数，不妨设n1，n2是偶数，则 被4除余2，与正整数的平方被4除余0或1不符，所以正整数n1，n2，n3，n4中至多有?个是偶数，至少有三个是奇数．
(2)在这三个奇数中，被4除的余数可分为余1或3两类，根据抽屉原则，必有两个奇数属于同一类，则它们的乘积被4除余1，与 被4除余2或3的结论矛盾．
综上所述，不能找到这样的四个正整数，使得褥它们中任两个数的积与2002的和都是完全平方数．
【例6】 使得(n2?19n+91)为完全平方数的自然数n的个数是多少?
思路点拨 若(n2?19n+91)处在两个相邻整数的完全平方数之间，则它的取值便固定了．
∵ n2一19n+91=(n-9)2 +(10一n)
当n>10时，(n－10)2
∴ 当n≤10时，(n2?19n+91)才是完全平方数
经试算，n=9和n=10时，n2?19n+91是完全平方数．
所以满足题意的值有2个．
【例7】 (“我爱数学”夏令营)已知 的值都是1或?1，设m是这2002个数的两两乘积之和．
(1)求m的最大值和最小值，并指出能达到最大值、最小值的条件；
(2 )求m的最小正值，并指出能达到最小正值的条件．
思路点拨 (1) ， ．
当 或 时，m取最大值2003001．
当 中恰有1001个1，1001个 时，m取最小值?1001．
(2)因为大于2002的最小完全平方数为452=2025，且 必为偶数，所以，当 或 ；
即 中恰有1024个1，978个 或恰有1024个 ，978个1时，m取最小值 ．
【例8】 (全国竞赛题)如果对一切x的整数值，x的二次三项式 都是平方数(即整数的平方)，证明：
(1) 2a、2b都是整数；
( 2)a、b、c都是整数，并且c是平方数．
反过来，如果(2) 成立，是否对一切x的整数值， 的值都是平方数?
思路点拨 (1) 令x=0，得c=平方数= ；
令x=±1，得 ， ，其中m、n都是整数．所以， ， 都是整数．
(2) 如果2b是奇数2k+l(k是整数)，令x=4得 ，其中h是整数．
由于2a是整数，所以16a被4整除，有 除以4余2．
而 ，在h 、l的奇偶性不同时， 是奇数；在h、l的奇偶性相同时， 能被4整除．
因此， ，从而2b是偶数，b是整数， ^也是整数．
在(2)成立时， 不一定对x的整数值都是平方数．例如，a=2，b=2，c=4，x=1时， =8不是平方数．
另解(2)：
令x=±2，得4a+2b+c=h2，4a?2b+c=k2，其中h、k为整数．两式相减得
4b=h2?k2=(h+k)(h?k)．
由于4b=2(2b)是偶数，所以h、k的奇偶性相同，(h+k)(h?k)能被4整除．
因此，b是整数， 也是整数．
学力训练
(A级)
1．(山东省竞赛题)如果 是整数，那么a满足( )
A．a>0，且a是完全平方数 B．a<0，且－a是完全平方数
C．a≥0，且a是完全平方数 D．a≤0，且?a是完全平方数
2．设n是自然数，如果n2的十位数字是7，那么n2的末位数字是( )
A．1 B．4 C．5 D．6
3．(五羊杯，初二)设自然数N是完全平方数，N至少是3位数，它的末2位数字不是00，且去掉此2位数字后，剩下的数还是完全平方数，则N的最大值是 ．
4．使得n2?19n+95为完全平方数的自然数n的值是 ．
5．自然数n减去52的差以及n加上37的和都是整数的平方，则n= ．
6．两个两位数，它们的差是56，它们的平方数的末两位数字相同，则这两个数分别是
．
7．是否存在一个三位数 (a，b，c取从1到9的自然数)，使得 为完全平方数?
8．求证：四个连续自然数的积加l，其和必为完全平方数．
（B级）
1．若x是自然数，设 ，则 ( )
A．y一定是完全平方数 B．存在有限个，使y是完全平方数
C．y一定不是完全平方数 D．存在无限多个，使y是完全平方数
2．已知a和b是两个完全平方数，b的个位数字为l，十位数字为x；b的个位数为6，十位数字为y，则( )
A．x，y都是奇数 B．x，y都是偶数
C．x是奇数，y是偶数 D．x为偶数，y为奇数
3．若四位数 是一个完全平方数，则这个四位数是 ．
4．设m是一个完全平方数，则比m大的最小完全平方数是 ．
5．(全国联赛题)设平方数y2是11个连续整数的平方和，则y的最小值是 ．
6．(北京市竞赛，初二)p是负整数，且2001+p是?个完全平方数，则p的最大值为 ．
7．有若干名战士，恰好组成一个八列长方形队列．若在队列中再增加120人或从队列中减去120人后，都能 组成一个正方形队列．问原长方形队列共有多少名战士?
8．证明： 是一个完全平方数．
