第二十六讲 面积问题评说
平面几何 学的产生起源于人们对土地面积的测量，面积是平面几何中一个重要的 概念，联系着几何图形中的重要元素边与角．
计算图形的面积是几何问题中一种常见问题，求面积的基本方法有：
1．直接法：根据面积公式和性质直接进行运算．
2．割补法：通过分割或补形，把不规则图形或不易求解的问题转化为规则图形或易于求解的问题．
3．等积法：根据面积的等积性质进行转化求解，常见的有同底等高、同高等底和全等的等积转化 ．
4．等比法：将面积比转化为对应线段的比．
熟悉以下基本图形中常见的面积关系：
注 等积定理：等底等高的两个三角形面积相等．
等比定理：(1)同底(或等底)的两个三角形面积之比等于对应高之比，同高(或等高)的两个三角形面积之比等于对应底之比； (2)相似三角形面积之比等于对应线段的平方比．
例题求解
【例1】 在梯形ABCD中，AB∥CD，AC、BD相交于点O，若AC=5，BD=12，中位线长为 ，△AOB的面积为S1，△COD的面积为S2，则 = ．
(山东省竞赛 题)
思路点拨 本例综合了梯形、面积等丰富的知识，图形中有重要面积的关系：S△AOD=S△BOC= ，S梯形ABCD=S1+S2+ = (读者证明)，于是将问题转化为求梯形ABCD的面积．
【例2】 如图，在△ABC中，已知BD和CE分别是两边上的中线，并且BD⊥CE，BD＝4，CE=6，那么△ABC的面积等于( )
A．12 B．14 C．16 D．18
(全国初中数学联赛试题)
思路点拨 由中点想到三角形中位线，这样△ABC与四边形BCDE面积存在一定的关系，只要求出四边形BCDE面积即可．
【例3】如图，P、Q是矩形ABCD的边BC和CD延长线上的两点，AP与CQ相交于点E，且∠PAD=∠QAD，求证：S矩形ABCD=S△APQ． (重庆市竞赛题)
思路点拨 把面积用相应的线段表示，面积的证明问题就转化为线段的等积式的证明．注意等线段的代换．
【例4】 如图甲，AB、CD是两条线段，M是AB的中点，S△DMC、S△DAC、S△DBC分别表示△DMC、△DAC、△DBC的面积，当AB∥CD时，有S△DMC = ?
(1)如图乙，若图甲中AB不平行CD，①式是否成立?请说明理由；
(2)如图丙，若图甲中A月与CD相交于点O时，问S△DMC和S△DAC和S△DBC有何种相等关系?试证明你的结论． (安徽省中考题)
思路点拨 对于(1)，因△DMC、△DAC、△DBC同底，要判断①式是否成立，只需寻找它们的高之间的关系：对于(2)，由于M为AB中点，可利用等积变换得到相等的面积关系，通过建立含S△DMC、S△DAC、S△DBC的等式寻找它们的关系．
注 本例综合了三角形、梯形中位线、等积变形等知识，要求我们在动态型数学情景下进行观察、分析、探索、猜想和论证．
通过强化或弱化条件，改变图形的位置等方式进一步探究问题是发展几何问题的重要途径．
【例5】如图，设P为△ABC内任意一点，直线AP、BP、CP交BC、CA、AB于点D、E 、F．
求证：（1） ；（2） ．
思路点拨 过P点、A点分别作BC的垂线，这样既可得到平行线，产生比例线段，又可与面积联系起来，把羔转化为面积比，利用面积法证明．
注 有些几何问题，虽然题目中没有直接涉及面积，但由于面积关联着边角两个重要元素，所以我们可从面积角度思考问题，这就是常说的面积法．
用面积法解题的基本步骤是：
(1)用不同方法或从不同角度计算某一图形面积，得到一个含边或舍角的关系式．
(2)化简这个面积关系式，直至得到求解或求证的结果．
当问题涉及三角形的高、垂线或角平分线时，不 妨用面积法试一试．
学力训练
1．如图，是一个圆形花坛，中间的鲜花构成了一个菱形图案(图中尺寸单位为米)，如果每平方米种植鲜花20株，那么这个菱形图案中共有鲜花 株．
(第14届“希望杯”邀请赛试题)
2．如图，矩形内有两个相邻的正方形面积分别为4和2，那么阴影部分的面积为 ．
(2003年上海市中考题)
3．如图，在△ABC中，∠B =∠CAD， ，则 = ．
(重庆市竞赛题)
4．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝a，CD=b(a5．如图，在四边形ABCD中，∠A＝135°，∠B=∠D=90°，BC=2 ，AD=2，则四边形ABCD的面积为( )
A．4 B．4 C．4 D ．6 (湖北省荆州市中考题)
6．ABCD是边长为1的正方形，△BPC是等边三角形，则厶BPD的面积为( )
A． B． C． D． (武汉市选拔赛题)
7．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AC、AB为边，在△ABC外作正方形ACEF和正方形AGHB，作CK⊥AB分别交AB和GH于D和K，则正方形ACEF的面积S1与矩形AGKD的面积S2的大小关系为( )
A．S1=S2 B．S1＞S2 C．S1＜S2 D．不能确定，与 的大小有关
(2002年
8．有一块缺角矩形地皮ABCDE(如图)，其中AB＝110m，BC=80m，CD=90m，∠EDC=135°．现准备用此块地建一座地基为长方形(图中用阴影部分表示)的教学大楼，以下四个方案中，地基面积最大的是( )(2003年广州市中考题)
9．今有一块正方形土地，要在其上修筑两条笔直的道路，使道路将这块土地分成形状相同且面积相等的4部分．若道路的宽度可忽略不计，请设计4种不同的修筑方案．
(2000年山东省竞赛题)
10．如图，已知梯形ABCD的面积为34cm2，AE=BF，CE与DF相交于O，△OCD的面积为11cm2，求蝶形(阴影部分)的面积．
11．探究规律：
如图a，已知：直线m∥ n，A、B为直线n上两点，C、P为直线m上两点．
(1)请写出图a中，面积相等的各对三角形 ；
(2)如果A、B、C为三个定点，点P在m上移动，那么，无论 P点移动到任何位置，总有 与△ABC的面积相等．理由是： ．
解决问题：
如图b，五边形ABCDE是张大爷十年前承包的一块土地的示意图．经过多年开垦荒地，现已变成如图c所示的形状，但承包土地与开垦荒地的分界小路(即图c中折线CDE)还保留着．张大爷想过正点修一 条直路，直路修好后，要保持直路左边的土地面积与承包时的一样多，右边的土地面积与开垦的荒地面积一样多．请你用有关的几何知识，按张大爷的要求设计出修路方案．
(不计分界小路与直路的占地面积)
(1)写出设计方案，并在图c中画出相应的图形；
(2)说明方案设计理由． (河北省中考题)
12．如图，△ABC中，AD与BE相交于F，已知S△AFB=12cm2，S△BFD=9cm2，S△AFE=6cm2，那么四边形CDFE的面积为 cm2．(我爱数学夏令营竞赛题)
13．如图，分别延长△ABC的三边AB、BC、CA至A′、B′、C′，使得AA′=3AB，BB′=3BC，CC′=3AC，若S△ABC=1，则S△A'B'C'= ．
14．如图，设△ABC的 面积是1，D是边BC上一点，且 ，若在边AC上取一点，使四边形ABDE的面积为 ，则 的值为 ． (天津市竞赛题)
15．如图，从等边三角形内一点向三边作垂线，已知这三条垂线段的长分别为1、3、5，则这个等边三角形的边长为 ． (全国初中数学联赛试题)
16．如图，E、F分别是矩形ABCD的边AB、BC的中点，连结AF、CE，设AF与CE的交点为G，则 等于( )
A． B． C． D． (全国初中数学竞赛题)
17．如图，AE⊥AB且AE＝AB，BC⊥CD且BC=CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S是( )
A．50 B．62 C．65 D．68
(山东省竞赛题)
18．如图，在△ADC中，EF∥BC，S△AEF=S△BCE，若S△ABC=1，则S△CEF等于( )
A． B． C． D． (四川省竞赛题)
19．已知菱形ABCD的两条对角线AC、BD的乘积等于菱形的一条边长的平方，则菱形的一个钝角的大小是( )
A．165° D．135° C． 150° D．120° (“希望杯”邀请赛试题)
20．如图，在锐角△ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA边上的三等分点，P、Q、R分别是△ADF、△BDE、△CEF的三条中线的交点．
(1)求△DEF与△ABC的面积比；
(2)求△PDF与△ADF的面积比；
(3)求多边形PDQERF与△ABC的面积比．( “希望杯”邀请赛试题)
21．如图，设凸四边形ABCD的一组对边AB、CD的中点分别为K、M，
求证：S四边形ABCD=S△ABM+S△DCK．
22．如图，已知D、E、F分别是锐角△ABC的三边BC、CA、AB上的点，且AD、BE、CF相交于P点，AP=BP=CP=6，设PD =x，PE=y，PF=z，若xy+yz+ z x=28，求xyz的值．
23．如图，在△ABC中是否存在一点P，使得过P点的任意一直 线都将△ABC分成等积的两部分?为什么?
24．如图，以△ABC的三边为边向形外分别作正方形ABDE，CAFG，BCHK，连结EF，GH，KD，求证：以E F，GH，KD为边可以构成一个三角形，并且所构成的三角形的面积等于△ABC面积的3倍． (北京市竞赛题)
平面几何 学的产生起源于人们对土地面积的测量，面积是平面几何中一个重要的 概念，联系着几何图形中的重要元素边与角．
计算图形的面积是几何问题中一种常见问题，求面积的基本方法有：
1．直接法：根据面积公式和性质直接进行运算．
2．割补法：通过分割或补形，把不规则图形或不易求解的问题转化为规则图形或易于求解的问题．
3．等积法：根据面积的等积性质进行转化求解，常见的有同底等高、同高等底和全等的等积转化 ．
4．等比法：将面积比转化为对应线段的比．
熟悉以下基本图形中常见的面积关系：
注 等积定理：等底等高的两个三角形面积相等．
等比定理：(1)同底(或等底)的两个三角形面积之比等于对应高之比，同高(或等高)的两个三角形面积之比等于对应底之比； (2)相似三角形面积之比等于对应线段的平方比．
例题求解
【例1】 在梯形ABCD中，AB∥CD，AC、BD相交于点O，若AC=5，BD=12，中位线长为 ，△AOB的面积为S1，△COD的面积为S2，则 = ．
(山东省竞赛 题)
思路点拨 本例综合了梯形、面积等丰富的知识，图形中有重要面积的关系：S△AOD=S△BOC= ，S梯形ABCD=S1+S2+ = (读者证明)，于是将问题转化为求梯形ABCD的面积．
【例2】 如图，在△ABC中，已知BD和CE分别是两边上的中线，并且BD⊥CE，BD＝4，CE=6，那么△ABC的面积等于( )
A．12 B．14 C．16 D．18
(全国初中数学联赛试题)
思路点拨 由中点想到三角形中位线，这样△ABC与四边形BCDE面积存在一定的关系，只要求出四边形BCDE面积即可．
【例3】如图，P、Q是矩形ABCD的边BC和CD延长线上的两点，AP与CQ相交于点E，且∠PAD=∠QAD，求证：S矩形ABCD=S△APQ． (重庆市竞赛题)
思路点拨 把面积用相应的线段表示，面积的证明问题就转化为线段的等积式的证明．注意等线段的代换．
【例4】 如图甲，AB、CD是两条线段，M是AB的中点，S△DMC、S△DAC、S△DBC分别表示△DMC、△DAC、△DBC的面积，当AB∥CD时，有S△DMC = ?
(1)如图乙，若图甲中AB不平行CD，①式是否成立?请说明理由；
(2)如图丙，若图甲中A月与CD相交于点O时，问S△DMC和S△DAC和S△DBC有何种相等关系?试证明你的结论． (安徽省中考题)
思路点拨 对于(1)，因△DMC、△DAC、△DBC同底，要判断①式是否成立，只需寻找它们的高之间的关系：对于(2)，由于M为AB中点，可利用等积变换得到相等的面积关系，通过建立含S△DMC、S△DAC、S△DBC的等式寻找它们的关系．
注 本例综合了三角形、梯形中位线、等积变形等知识，要求我们在动态型数学情景下进行观察、分析、探索、猜想和论证．
通过强化或弱化条件，改变图形的位置等方式进一步探究问题是发展几何问题的重要途径．
【例5】如图，设P为△ABC内任意一点，直线AP、BP、CP交BC、CA、AB于点D、E 、F．
求证：（1） ；（2） ．
思路点拨 过P点、A点分别作BC的垂线，这样既可得到平行线，产生比例线段，又可与面积联系起来，把羔转化为面积比，利用面积法证明．
注 有些几何问题，虽然题目中没有直接涉及面积，但由于面积关联着边角两个重要元素，所以我们可从面积角度思考问题，这就是常说的面积法．
用面积法解题的基本步骤是：
(1)用不同方法或从不同角度计算某一图形面积，得到一个含边或舍角的关系式．
(2)化简这个面积关系式，直至得到求解或求证的结果．
当问题涉及三角形的高、垂线或角平分线时，不 妨用面积法试一试．
学力训练
1．如图，是一个圆形花坛，中间的鲜花构成了一个菱形图案(图中尺寸单位为米)，如果每平方米种植鲜花20株，那么这个菱形图案中共有鲜花 株．
(第14届“希望杯”邀请赛试题)
2．如图，矩形内有两个相邻的正方形面积分别为4和2，那么阴影部分的面积为 ．
(2003年上海市中考题)
3．如图，在△ABC中，∠B =∠CAD， ，则 = ．
(重庆市竞赛题)
4．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝a，CD=b(a
A．4 B．4 C．4 D ．6 (湖北省荆州市中考题)
6．ABCD是边长为1的正方形，△BPC是等边三角形，则厶BPD的面积为( )
A． B． C． D． (武汉市选拔赛题)
7．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AC、AB为边，在△ABC外作正方形ACEF和正方形AGHB，作CK⊥AB分别交AB和GH于D和K，则正方形ACEF的面积S1与矩形AGKD的面积S2的大小关系为( )
A．S1=S2 B．S1＞S2 C．S1＜S2 D．不能确定，与 的大小有关
(2002年
8．有一块缺角矩形地皮ABCDE(如图)，其中AB＝110m，BC=80m，CD=90m，∠EDC=135°．现准备用此块地建一座地基为长方形(图中用阴影部分表示)的教学大楼，以下四个方案中，地基面积最大的是( )(2003年广州市中考题)
9．今有一块正方形土地，要在其上修筑两条笔直的道路，使道路将这块土地分成形状相同且面积相等的4部分．若道路的宽度可忽略不计，请设计4种不同的修筑方案．
(2000年山东省竞赛题)
10．如图，已知梯形ABCD的面积为34cm2，AE=BF，CE与DF相交于O，△OCD的面积为11cm2，求蝶形(阴影部分)的面积．
11．探究规律：
如图a，已知：直线m∥ n，A、B为直线n上两点，C、P为直线m上两点．
(1)请写出图a中，面积相等的各对三角形 ；
(2)如果A、B、C为三个定点，点P在m上移动，那么，无论 P点移动到任何位置，总有 与△ABC的面积相等．理由是： ．
解决问题：
如图b，五边形ABCDE是张大爷十年前承包的一块土地的示意图．经过多年开垦荒地，现已变成如图c所示的形状，但承包土地与开垦荒地的分界小路(即图c中折线CDE)还保留着．张大爷想过正点修一 条直路，直路修好后，要保持直路左边的土地面积与承包时的一样多，右边的土地面积与开垦的荒地面积一样多．请你用有关的几何知识，按张大爷的要求设计出修路方案．
(不计分界小路与直路的占地面积)
(1)写出设计方案，并在图c中画出相应的图形；
(2)说明方案设计理由． (河北省中考题)
12．如图，△ABC中，AD与BE相交于F，已知S△AFB=12cm2，S△BFD=9cm2，S△AFE=6cm2，那么四边形CDFE的面积为 cm2．(我爱数学夏令营竞赛题)
13．如图，分别延长△ABC的三边AB、BC、CA至A′、B′、C′，使得AA′=3AB，BB′=3BC，CC′=3AC，若S△ABC=1，则S△A'B'C'= ．
14．如图，设△ABC的 面积是1，D是边BC上一点，且 ，若在边AC上取一点，使四边形ABDE的面积为 ，则 的值为 ． (天津市竞赛题)
15．如图，从等边三角形内一点向三边作垂线，已知这三条垂线段的长分别为1、3、5，则这个等边三角形的边长为 ． (全国初中数学联赛试题)
16．如图，E、F分别是矩形ABCD的边AB、BC的中点，连结AF、CE，设AF与CE的交点为G，则 等于( )
A． B． C． D． (全国初中数学竞赛题)
17．如图，AE⊥AB且AE＝AB，BC⊥CD且BC=CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S是( )
A．50 B．62 C．65 D．68
(山东省竞赛题)
18．如图，在△ADC中，EF∥BC，S△AEF=S△BCE，若S△ABC=1，则S△CEF等于( )
A． B． C． D． (四川省竞赛题)
19．已知菱形ABCD的两条对角线AC、BD的乘积等于菱形的一条边长的平方，则菱形的一个钝角的大小是( )
A．165° D．135° C． 150° D．120° (“希望杯”邀请赛试题)
20．如图，在锐角△ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA边上的三等分点，P、Q、R分别是△ADF、△BDE、△CEF的三条中线的交点．
(1)求△DEF与△ABC的面积比；
(2)求△PDF与△ADF的面积比；
(3)求多边形PDQERF与△ABC的面积比．( “希望杯”邀请赛试题)
21．如图，设凸四边形ABCD的一组对边AB、CD的中点分别为K、M，
求证：S四边形ABCD=S△ABM+S△DCK．
22．如图，已知D、E、F分别是锐角△ABC的三边BC、CA、AB上的点，且AD、BE、CF相交于P点，AP=BP=CP=6，设PD =x，PE=y，PF=z，若xy+yz+ z x=28，求xyz的值．
23．如图，在△ABC中是否存在一点P，使得过P点的任意一直 线都将△ABC分成等积的两部分?为什么?
24．如图，以△ABC的三边为边向形外分别作正方形ABDE，CAFG，BCHK，连结EF，GH，KD，求证：以E F，GH，KD为边可以构成一个三角形，并且所构成的三角形的面积等于△ABC面积的3倍． (北京市竞赛题)
