第九章 反比例函数
【知识要点】
1.反比例函数的概念：
一般地，形如函数 ( 是常数， ),叫做反比例函数.
◆反比例函数的常见形式：
① ； ② ； ③ .
2.反比例函数的图象：
反比例函数 的图象是： .
◆反比例函数图象的轴对称性：
是以直线 和直线 为对称轴的轴对称图形.
◆反比例函数图象的中心对称性：
是以 为对称中心的中心对称图形.
如图，过原点任意画一条直线，与两个分支交于两点，则这两个交点是关于原点对称的.
3.反比例函数的性质：
（1）当 时，两个分支分别在第 象限，在每一个象限内， 随 增大而 ；
（2）当 时，两个分支分别在第 象限，在每一个象限内， 随 增大而 ；
（3）两分支都无限接近但永远不能达到 和 轴.
◆对于反比例函数 .下列说法错误的是：
A. 随 增大而增大
B.在每一个象限内， 随 减小而减小
C.当 时， 随 增大而增大
D.当 时， 随 减小而减小
4.求反比例函数关系式：
◆已知反比例函数的图象过点（-1，1），求这个反比例函数关系式.
分析：设反比例函数关系式为
把（-1，1）代入上式，得
∴
所以反比例函数关系式为 .
5.反比例函数中比例系数 的几何意义：
◆如图：在反比例函数 上任取一点 ，则矩形OMPN的面积 .
分析：由 .
∴
结论：过双曲线上任意一点作 轴、 轴的垂线，所得的矩形面积均为 .
6.反比例函数的应用：
略
【基础训练】
1.（10湖南怀化）已知函数 ，当 时， 的值是 .
2.（10广西桂林）若反比例函数 的图象经过点（-3，2），则 的值为 .
3.（10江苏南京）若反比例函数的图象经过点（-2, -1），则这个函数的图象位于第__________象限.
4.（10云南红河州）不在函数 图象上的点是
A.（2,6） B.（-2，-6） C.（3,4） D.（-3,4）
5.（10福建厦门）已知反比例函数 ，其图象所在的每个象限内 随着 的增大而减小，请写出一个符合条件的反比例函数关系式 .
6.（10四川凉山州）已知函数 是反比例函数，且图象在第二、四象限内，则 值是
.
7.（10山东莱芜）已知反比例函数 ，下列结论不正确的是
A.图象必经过点(-1,2) B.y随x的增大而增大
C.图象在第二、四象限内 D.若x＞1，则y＞-2
8.（10江苏淮安）若一次函数 的图象与反比例函数图象的一个交点横坐标为l，则反比例函数关系式为 .
9.（10湖南长沙）已知反比例函数 的图象如图，则m的取值范围是 .
10.（10甘肃9市）如图，矩形ABOC的面积为3,
反比例函数 的图象过点A，则 =
A.3 B.-1.5 C.-3 D.-6
11.（10湖南益阳）如图，反比例函数 的图象位于第一、三象限，其中第一象限内的图象经过点A（1，2），请在第三象限内的图象上找一个你喜欢的点P，你选择的P点坐标为 .
12.（10广西钦州）反比例函数 （k >0）的图象与经过原点的直线l相交于A、B两点，已知A点的坐标为（2，1），那么B点的坐标为 .
13.（10新疆建设兵团）若点 、 在反比例函数 的图象上，且 ，则 、 和0的大小关系是 .
14.（10湖北荆门）在同一直角坐标系中，函数y＝kx＋1和函数 （k是常数且k≠0）的图象只可能是
15.（10湛江）已知三角形的面积一定，则它底边 上的高 与底边 之间的函数关系的图象大致是
16.已知 与 成反比例函数关系，且当
时， .求
（1） 与 的函数关系式；
（2）当 时， 的值.
17.（10天津）反比例函数 （ 为常数， ）．
（1）若点 在这个函数的图象上，求 的值；
（2）若在这个函数图象的每一支上， 随 的增大而减小，求 的取值范围；
（3）若 ，试判断点B（3,4），C（2,5）是否在这个函数的图象上，并说明理由.
18.（10广东珠海）已知：正比例函数y=k1x的图象与反比例函数 (x>0)的图象交于点M
（a,1），MN⊥x轴于点N（如图），若△OMN的面积等于2，求这两个函数的解析式.
19.如图，已知一次函数 的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数 的图象在第一象限交于点C，CD垂直于x轴，垂足为D.若OA＝OB＝OD＝1.
（1）求点A、B、D的坐标；
（2）一次函数和反比例函数的解析式.
【能力提高】
20.若反比例函数 上有一点 ，则其图象一定过 .
①点 ；②点 ；③点 ；
④点 ；⑤点 ；⑥点
21.直线 与双曲线 交于 ， 两点，则 ＝ .
22.（10陕西）已知 、 都在 图象上.若 ，则 的值为 .
23.（10黑龙江大兴安岭）已知函数 的图象如图所示，当 时， 的取值范围是 .
24.（10辽宁大连）如图，反比例函数 和正比例函数 的图像都经过点A（-1,2），若 ，则 的取值范围是 .
25.（08南平）如图，正比例函数 与反
比例函数 的图象相交
于 ， 两点，过点 作
轴的垂线交 轴于点 ，连
接 ，则 的面积等于
A．2B．4C．6D．8
26.（10山东青岛）函数 与 （ ）在同一直角坐标系中的图象可能是
27.（10山西）A是反比例函数图象上一点，过点A作AB⊥y轴于点B，点P在x轴上，△ABP的面积为2，则这个反比例函数的解析式为 .
28.（10四川内江）如图，反比例函数 的图象经过矩形OABC对角线的交点M,分别与AB、BC相交于点D、E.若四边形ODBE的面积为6，则 的值为 .
29.（10福建南平）函数 和 在第一象限内的图像如图，点P是 的图像上一动点，PC⊥x轴于点C，交 的图像于点B.给出如下结论：①△ODB与△OCA的面积相等；②PA与PB始终相等；③四边形PAOB的面积大小不会发生变化；④CA= AP.其中所有正确结论的序号是______________.
30.（10云南昆明）如图，点 、 都在双曲线 上，且 ， ；分别过点A、B向x轴、y轴作垂线段，垂足分别为C、D、E、F，AC与BF相交于G点，四边形FOCG的面积为2，五边形AEODB的面积为14，那么双曲线的解析式为 .
31.（10江苏徐州）已知A（n，-2），B（1，4）是一次函数y=kx+b的图象和反比例函数y= 的图象的两个交点，直线AB与y轴交于点C.
（1）求反比例函数和一次函数的关系式；
（2）求△AOC的面积；
（3）求方程 的解（直接写出答案）；
（4）求不等式kx+b- <0的解集（直接写出答案）.
32.（10四川达州）近年来，我国煤矿安全事故频频发生，其中危害最大的是瓦斯，其主要成分是CO.在一次矿难事件的调查中发现：从零时起，井内空气中CO的浓度达到4 mg/L，此后浓度呈直线型增加，在第7小时达到最高值46 mg/L，发生爆炸；爆炸后，空气中的CO浓度成反比例下降.如图，根据题中相关信息回答下列问题：
（1）求爆炸前后空气中CO浓度y与时间x的函数关系式，并写出相应的自变量取值范围；
（2）当空气中的CO浓度达到34 mg/L时，井下3 km的矿工接到自动报警信号，这时他们至少要以多少km/h的速度撤离才能在爆炸前逃生？
（3）矿工只有在空气中的CO浓度降到4 mg/L及以下时，才能回到矿井开展生产自救，求矿工至少在爆炸后多少小时才能下井?
【知识要点】
1.反比例函数的概念：
一般地，形如函数 ( 是常数， ),叫做反比例函数.
◆反比例函数的常见形式：
① ； ② ； ③ .
2.反比例函数的图象：
反比例函数 的图象是： .
◆反比例函数图象的轴对称性：
是以直线 和直线 为对称轴的轴对称图形.
◆反比例函数图象的中心对称性：
是以 为对称中心的中心对称图形.
如图，过原点任意画一条直线，与两个分支交于两点，则这两个交点是关于原点对称的.
3.反比例函数的性质：
（1）当 时，两个分支分别在第 象限，在每一个象限内， 随 增大而 ；
（2）当 时，两个分支分别在第 象限，在每一个象限内， 随 增大而 ；
（3）两分支都无限接近但永远不能达到 和 轴.
◆对于反比例函数 .下列说法错误的是：
A. 随 增大而增大
B.在每一个象限内， 随 减小而减小
C.当 时， 随 增大而增大
D.当 时， 随 减小而减小
4.求反比例函数关系式：
◆已知反比例函数的图象过点（-1，1），求这个反比例函数关系式.
分析：设反比例函数关系式为
把（-1，1）代入上式，得
∴
所以反比例函数关系式为 .
5.反比例函数中比例系数 的几何意义：
◆如图：在反比例函数 上任取一点 ，则矩形OMPN的面积 .
分析：由 .
∴
结论：过双曲线上任意一点作 轴、 轴的垂线，所得的矩形面积均为 .
6.反比例函数的应用：
略
【基础训练】
1.（10湖南怀化）已知函数 ，当 时， 的值是 .
2.（10广西桂林）若反比例函数 的图象经过点（-3，2），则 的值为 .
3.（10江苏南京）若反比例函数的图象经过点（-2, -1），则这个函数的图象位于第__________象限.
4.（10云南红河州）不在函数 图象上的点是
A.（2,6） B.（-2，-6） C.（3,4） D.（-3,4）
5.（10福建厦门）已知反比例函数 ，其图象所在的每个象限内 随着 的增大而减小，请写出一个符合条件的反比例函数关系式 .
6.（10四川凉山州）已知函数 是反比例函数，且图象在第二、四象限内，则 值是
.
7.（10山东莱芜）已知反比例函数 ，下列结论不正确的是
A.图象必经过点(-1,2) B.y随x的增大而增大
C.图象在第二、四象限内 D.若x＞1，则y＞-2
8.（10江苏淮安）若一次函数 的图象与反比例函数图象的一个交点横坐标为l，则反比例函数关系式为 .
9.（10湖南长沙）已知反比例函数 的图象如图，则m的取值范围是 .
10.（10甘肃9市）如图，矩形ABOC的面积为3,
反比例函数 的图象过点A，则 =
A.3 B.-1.5 C.-3 D.-6
11.（10湖南益阳）如图，反比例函数 的图象位于第一、三象限，其中第一象限内的图象经过点A（1，2），请在第三象限内的图象上找一个你喜欢的点P，你选择的P点坐标为 .
12.（10广西钦州）反比例函数 （k >0）的图象与经过原点的直线l相交于A、B两点，已知A点的坐标为（2，1），那么B点的坐标为 .
13.（10新疆建设兵团）若点 、 在反比例函数 的图象上，且 ，则 、 和0的大小关系是 .
14.（10湖北荆门）在同一直角坐标系中，函数y＝kx＋1和函数 （k是常数且k≠0）的图象只可能是
15.（10湛江）已知三角形的面积一定，则它底边 上的高 与底边 之间的函数关系的图象大致是
16.已知 与 成反比例函数关系，且当
时， .求
（1） 与 的函数关系式；
（2）当 时， 的值.
17.（10天津）反比例函数 （ 为常数， ）．
（1）若点 在这个函数的图象上，求 的值；
（2）若在这个函数图象的每一支上， 随 的增大而减小，求 的取值范围；
（3）若 ，试判断点B（3,4），C（2,5）是否在这个函数的图象上，并说明理由.
18.（10广东珠海）已知：正比例函数y=k1x的图象与反比例函数 (x>0)的图象交于点M
（a,1），MN⊥x轴于点N（如图），若△OMN的面积等于2，求这两个函数的解析式.
19.如图，已知一次函数 的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数 的图象在第一象限交于点C，CD垂直于x轴，垂足为D.若OA＝OB＝OD＝1.
（1）求点A、B、D的坐标；
（2）一次函数和反比例函数的解析式.
【能力提高】
20.若反比例函数 上有一点 ，则其图象一定过 .
①点 ；②点 ；③点 ；
④点 ；⑤点 ；⑥点
21.直线 与双曲线 交于 ， 两点，则 ＝ .
22.（10陕西）已知 、 都在 图象上.若 ，则 的值为 .
23.（10黑龙江大兴安岭）已知函数 的图象如图所示，当 时， 的取值范围是 .
24.（10辽宁大连）如图，反比例函数 和正比例函数 的图像都经过点A（-1,2），若 ，则 的取值范围是 .
25.（08南平）如图，正比例函数 与反
比例函数 的图象相交
于 ， 两点，过点 作
轴的垂线交 轴于点 ，连
接 ，则 的面积等于
A．2B．4C．6D．8
26.（10山东青岛）函数 与 （ ）在同一直角坐标系中的图象可能是
27.（10山西）A是反比例函数图象上一点，过点A作AB⊥y轴于点B，点P在x轴上，△ABP的面积为2，则这个反比例函数的解析式为 .
28.（10四川内江）如图，反比例函数 的图象经过矩形OABC对角线的交点M,分别与AB、BC相交于点D、E.若四边形ODBE的面积为6，则 的值为 .
29.（10福建南平）函数 和 在第一象限内的图像如图，点P是 的图像上一动点，PC⊥x轴于点C，交 的图像于点B.给出如下结论：①△ODB与△OCA的面积相等；②PA与PB始终相等；③四边形PAOB的面积大小不会发生变化；④CA= AP.其中所有正确结论的序号是______________.
30.（10云南昆明）如图，点 、 都在双曲线 上，且 ， ；分别过点A、B向x轴、y轴作垂线段，垂足分别为C、D、E、F，AC与BF相交于G点，四边形FOCG的面积为2，五边形AEODB的面积为14，那么双曲线的解析式为 .
31.（10江苏徐州）已知A（n，-2），B（1，4）是一次函数y=kx+b的图象和反比例函数y= 的图象的两个交点，直线AB与y轴交于点C.
（1）求反比例函数和一次函数的关系式；
（2）求△AOC的面积；
（3）求方程 的解（直接写出答案）；
（4）求不等式kx+b- <0的解集（直接写出答案）.
32.（10四川达州）近年来，我国煤矿安全事故频频发生，其中危害最大的是瓦斯，其主要成分是CO.在一次矿难事件的调查中发现：从零时起，井内空气中CO的浓度达到4 mg/L，此后浓度呈直线型增加，在第7小时达到最高值46 mg/L，发生爆炸；爆炸后，空气中的CO浓度成反比例下降.如图，根据题中相关信息回答下列问题：
（1）求爆炸前后空气中CO浓度y与时间x的函数关系式，并写出相应的自变量取值范围；
（2）当空气中的CO浓度达到34 mg/L时，井下3 km的矿工接到自动报警信号，这时他们至少要以多少km/h的速度撤离才能在爆炸前逃生？
（3）矿工只有在空气中的CO浓度降到4 mg/L及以下时，才能回到矿井开展生产自救，求矿工至少在爆炸后多少小时才能下井?
