第二十八讲 奇妙的对称
对称是一种客观存在，一朵红花、一片绿叶、一只色彩魔斓的蝴蝶等，最令人惊奇的就是它们外形的几何对称性，自然界的对称性可以在从亚原子粒子的结构到整个宇宙的结构的每一个尺度上找到．
对称是一种美的标准，人类心智中的某种东西受对称的吸引，对称对我们的视觉有感染力，影响我们对美的感受，建筑、绘画广泛地应用对称．
对称是一个数学概念，我们熟悉的有代数中的对称式、几何中的轴对称、中心对称等，更一般情况是，许多数学问题所涉及的对象具有对称性，不仅包括几何图形 中的对称，而且泛指某些对象在有些方面如图形、关系、地位等同彼此相对又相称．
对称是一种解题方法，即解题时充分利用问题自身条件的某些对称性分析问题，在探求几何最值、代数式的化简求值等方面有广泛的应用．
例题求解
【例1】 如图，△ABC中，AC=BC=5，∠ACB=80°， O为△AB C中一点，∠OAB=10°，∠OBA=30°，则线段AO的长是 ．
( “希望杯”邀请赛试题)
思路点拨 △OAB是一般三角形，作∠ACB的平分线，与BO延长线交于D，连AD，OC，通过全等寻找与AO相等的线段，促使问题的解决．
注 物理学家皮埃尔?居里曾说，“结果与其原因一样对称．”
大干世界，许多事物都具有某种对称性．许多化学分子是对称的，细胞结构是对称的，病毒往往也是对称的，……对称给人们以和谐均衡的羌感，完全的对称是重复性的可预言的，
人类在漫长的岁月里，体验着对称，享受着对称．
求几何量的最值问题常用方法有：
(1)应用几何中的不等式性质，定理；
(2)对称分析；
(3)代数法．即着眼于揭示问题中变动元素的代数关系．
【例2】 如图，正方形ABCD的边长为3，E在BC上，且BE=2，P在BD上，则PE+PC的最小值为( )
A．2 B． C． D． (“新蕾杯”数学竞赛题)
思路点拨 C、E两点位置固定，从对称性考虑，确定P点位置．
【例3】现有一块形如母子正方形的板材，木工师傅想先把它割成几块，然后适当拼接，制成某种特殊形状的板面(要求板材不能有剩余，拼接时不重叠、无空隙)，请你按下列要求帮助木工师傅分别设计一种方案：
(1)板面形状为非正方形的中心对称图形 ；
(2)板面形状为等腰梯形；
(3)板面形状为正方形．
思路点拨 问题(1)，由“中心对称的四边形是平行四边形”想象出中心对称的多边形的大致形状；问题(2)，先计算等腰梯形面积为5，猜想等腰梯形的高，可能为2，因此，上、下底的和应为5；问题(3)，由正方形的面积为5，计算出它的边长应为 ．
【例4】 已知 ，试确定 、 的关系．
(江苏省竞赛题)
思路点拨 有理化是解根式问题的基本思路，乘方、配方、换元、引入有理化因式等是有理化的常用方法．本例是一道脍炙人口的名题，引入与已知等式地位相对相称的有理化因式，本例可获得简解．
注 数学中的对称，不仅指几何图形中的对称，代数表示式中，若各个宇母互相替代，表示式不变，也称这个表示式关于这些字母是对称的，一个复杂的二元对称式．都可以用最简单对称式 ， 表示．
许多数学问题有着和谐的对称美．对原题匹配一个与之相对的数学式，然后一起参与运算，这就是常说的“对称性地处理具有对称性的问题”，是数学解题中的一个一般性原则．
用对称法解几何题的常见的方式有：
(1)作出常见轴对称图形的对称轴，或利用题设条件中的垂线、角平分线翻折造全等；
(2)利用中点构造中心对称图形．
【例5】 如图，凸四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，且AC⊥BD，已知OA＞OC，OB＞~OD，比较BC+AD与AB+CD的大小． (“祖冲之杯”邀请赛试题)
思路点拨 以AC为对称轴，将部分图形翻折，把相关线段集中到同一个三角形中去，以便 运用三角形三边关系定理，这是解本例的关键．
【例6】如图，在△ABC中，AD是BC边的 中线，点M在AB边上，点N在AC边上，并且∠MDN=90°，如果BM2+CN2＝DM2+DN2，求证：AD2= ．
(北京市竞赛题)
思路点拨 易想到勾股定理，需要把分散的条件加以集中，利用中点，构造中心对称全等三角形．
学力训练
1．下面四个图形中，从几何图形的性质考虑，哪一个与其他三个不同?请指出这个图形，并简述你的理由．
答：图形 ；理由是： ． (吉林省中考题)
2．如图，两点A、B在直线MN外的同侧，A到MN的距离AC=8，B到MN的距离BD=5，CD＝4，P在直线MN上运动，则 的最大值等于 ．
( “希望杯”邀请赛试题)
3．如图，在等腰三角形ABC中，∠C=90°，BC=2?，如果以AC的中点O为旋转中心，将这个三角形旋转180°，点B落在点B′处，那么B′点与B点的原来位置相距 cm．
4．如图，∠AOB=45°，角内有点P，PO=10，在角的两边上有两点Q，R(均不同于O点)，则△PQR的周长的最小值为 ． (黄冈市中考题)
5．设将一张正方形纸片沿右图中虚线剪 开后，能拼成下列四个图形，则其中是中心对称图形的是( ) (2003平龙岩市中考题)
6．如图，一牧童在A处牧马，牧童家在B处，A、B处距河岸的距离AC、BD的长分别为500m和700m，且C、D两地的距离为500m，天黑前牧童从A点将马牵引到河边去饮水后，再赶回家，那么牧童至少要走( )
A．100 m B．1200m C ．1300m D．1700m
7．如图，在菱形ABCD中，AB=4a，E在BC上，BE=2 a ，∠BAD=120°，P点在BD上，则PE+PC的最小值为( )
A．6 a0 B．5 a C．4 a D． 2 a
8．如图，一辆汽车在直线形的公路AB上由A向B行驶，M、N分别是位于公路AB两侧的村庄．
(1)设汽车行驶到公路AB上点P位置时，距离村庄M最近；行驶到点Q位置时，距离村庄N最近，请在图中的公路AB上分别画出点P、Q的位置(保留画图痕迹)．
(2)当汽车从A出发向B行驶时，在公路AB的哪一段路上距离M、N两村庄都越来越近?在哪一段路上距离村庄N越来越近，而离村庄M却越来越远?(分别用文字表 述你的结论，不必证明 )
(3)在公路AB上是否存在这样一点H，使汽车行驶到该点时，与村庄M、N的距离相等?如果存在，请在图中的AB上画出这一点(保留画图痕迹，不必证明)：如果不存在，请简要说明理由． (2001年浙江省嘉兴市中考题)
9．(1)用四块如图I所示的黑白两色正方形瓷砖拼成 一个新的正方形，使之形成轴对称图案，请至少给出三种不同的拼法(在①②③中操作)；
(2)请你任意改变图I瓷砖中黑色部分的图案，然后再用四块改变图案后的正方形瓷砖拼出一个中心对称图案(在④中操作)． (仙桃、潜江、天门、江汉油田中考题)
10．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD的垂直平分线交AD于E，交BC的延长线于F，求证：FD2=FB×FC．
11．如图，设Ll和L2，是镜面平行且镜面相对的两面镜子，把一个小球放在之间，小球放在镜Ll中的像为A′，A′在镜L2中的像为A″，若Ll、L2的距离为7，则AA″ ．
(江苏省竞赛题)
12．如图，设M是△ABC的重心，且AM=3，BM=4，CM=5，则△ABC的面积为 ．
13．如图，ABCD―A'B'C'D'为长方体，AA'=50cm，AB=40cm，AD=30cm，把上、下底面都等分成3× 4个小正方形，其边长均为l0cm，得到点E、F、G、H和E'，、F'，、G'，、H'，假设一只蚂蚁每秒爬行2cm，则它从下底面E点沿表面爬行至上底面G'，点至少要花时间
秒．
14．无理数 的整数部分是 ． ( “希望杯”邀请赛试题)
15．当 等于 ， ，…， ，1，2，…，1992 ，1993时，计算代数式 的值，再将所得的结果全部加起来，总和等于 ．
16．一束光线经3块平面镜反射，反射的路线如图所示，图中字母表示相应的度数，已知c=60°，求d+e与x的值．
17．如图，在△ABC中，AD∥BC，已知∠ABC>∠ACB，P是AD上的任一点，求证：AC+BP＜AB+PC．
18．如图，矩形ABCD中，AB=20cm，BC=l0cm，若在AC、AB上各取一点M、N，使BM+MN的值最小，求这个最小值．
19．如图，在△ABC中，D、E分别为BC、AC的中点，AD、BE相交于P，若∠BPD=∠C，求证：以△ABC三条中线为边构成的三角形与△ABC相似． (2004年武汉市选拔赛试题)
对称是一种客观存在，一朵红花、一片绿叶、一只色彩魔斓的蝴蝶等，最令人惊奇的就是它们外形的几何对称性，自然界的对称性可以在从亚原子粒子的结构到整个宇宙的结构的每一个尺度上找到．
对称是一种美的标准，人类心智中的某种东西受对称的吸引，对称对我们的视觉有感染力，影响我们对美的感受，建筑、绘画广泛地应用对称．
对称是一个数学概念，我们熟悉的有代数中的对称式、几何中的轴对称、中心对称等，更一般情况是，许多数学问题所涉及的对象具有对称性，不仅包括几何图形 中的对称，而且泛指某些对象在有些方面如图形、关系、地位等同彼此相对又相称．
对称是一种解题方法，即解题时充分利用问题自身条件的某些对称性分析问题，在探求几何最值、代数式的化简求值等方面有广泛的应用．
例题求解
【例1】 如图，△ABC中，AC=BC=5，∠ACB=80°， O为△AB C中一点，∠OAB=10°，∠OBA=30°，则线段AO的长是 ．
( “希望杯”邀请赛试题)
思路点拨 △OAB是一般三角形，作∠ACB的平分线，与BO延长线交于D，连AD，OC，通过全等寻找与AO相等的线段，促使问题的解决．
注 物理学家皮埃尔?居里曾说，“结果与其原因一样对称．”
大干世界，许多事物都具有某种对称性．许多化学分子是对称的，细胞结构是对称的，病毒往往也是对称的，……对称给人们以和谐均衡的羌感，完全的对称是重复性的可预言的，
人类在漫长的岁月里，体验着对称，享受着对称．
求几何量的最值问题常用方法有：
(1)应用几何中的不等式性质，定理；
(2)对称分析；
(3)代数法．即着眼于揭示问题中变动元素的代数关系．
【例2】 如图，正方形ABCD的边长为3，E在BC上，且BE=2，P在BD上，则PE+PC的最小值为( )
A．2 B． C． D． (“新蕾杯”数学竞赛题)
思路点拨 C、E两点位置固定，从对称性考虑，确定P点位置．
【例3】现有一块形如母子正方形的板材，木工师傅想先把它割成几块，然后适当拼接，制成某种特殊形状的板面(要求板材不能有剩余，拼接时不重叠、无空隙)，请你按下列要求帮助木工师傅分别设计一种方案：
(1)板面形状为非正方形的中心对称图形 ；
(2)板面形状为等腰梯形；
(3)板面形状为正方形．
思路点拨 问题(1)，由“中心对称的四边形是平行四边形”想象出中心对称的多边形的大致形状；问题(2)，先计算等腰梯形面积为5，猜想等腰梯形的高，可能为2，因此，上、下底的和应为5；问题(3)，由正方形的面积为5，计算出它的边长应为 ．
【例4】 已知 ，试确定 、 的关系．
(江苏省竞赛题)
思路点拨 有理化是解根式问题的基本思路，乘方、配方、换元、引入有理化因式等是有理化的常用方法．本例是一道脍炙人口的名题，引入与已知等式地位相对相称的有理化因式，本例可获得简解．
注 数学中的对称，不仅指几何图形中的对称，代数表示式中，若各个宇母互相替代，表示式不变，也称这个表示式关于这些字母是对称的，一个复杂的二元对称式．都可以用最简单对称式 ， 表示．
许多数学问题有着和谐的对称美．对原题匹配一个与之相对的数学式，然后一起参与运算，这就是常说的“对称性地处理具有对称性的问题”，是数学解题中的一个一般性原则．
用对称法解几何题的常见的方式有：
(1)作出常见轴对称图形的对称轴，或利用题设条件中的垂线、角平分线翻折造全等；
(2)利用中点构造中心对称图形．
【例5】 如图，凸四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，且AC⊥BD，已知OA＞OC，OB＞~OD，比较BC+AD与AB+CD的大小． (“祖冲之杯”邀请赛试题)
思路点拨 以AC为对称轴，将部分图形翻折，把相关线段集中到同一个三角形中去，以便 运用三角形三边关系定理，这是解本例的关键．
【例6】如图，在△ABC中，AD是BC边的 中线，点M在AB边上，点N在AC边上，并且∠MDN=90°，如果BM2+CN2＝DM2+DN2，求证：AD2= ．
(北京市竞赛题)
思路点拨 易想到勾股定理，需要把分散的条件加以集中，利用中点，构造中心对称全等三角形．
学力训练
1．下面四个图形中，从几何图形的性质考虑，哪一个与其他三个不同?请指出这个图形，并简述你的理由．
答：图形 ；理由是： ． (吉林省中考题)
2．如图，两点A、B在直线MN外的同侧，A到MN的距离AC=8，B到MN的距离BD=5，CD＝4，P在直线MN上运动，则 的最大值等于 ．
( “希望杯”邀请赛试题)
3．如图，在等腰三角形ABC中，∠C=90°，BC=2?，如果以AC的中点O为旋转中心，将这个三角形旋转180°，点B落在点B′处，那么B′点与B点的原来位置相距 cm．
4．如图，∠AOB=45°，角内有点P，PO=10，在角的两边上有两点Q，R(均不同于O点)，则△PQR的周长的最小值为 ． (黄冈市中考题)
5．设将一张正方形纸片沿右图中虚线剪 开后，能拼成下列四个图形，则其中是中心对称图形的是( ) (2003平龙岩市中考题)
6．如图，一牧童在A处牧马，牧童家在B处，A、B处距河岸的距离AC、BD的长分别为500m和700m，且C、D两地的距离为500m，天黑前牧童从A点将马牵引到河边去饮水后，再赶回家，那么牧童至少要走( )
A．100 m B．1200m C ．1300m D．1700m
7．如图，在菱形ABCD中，AB=4a，E在BC上，BE=2 a ，∠BAD=120°，P点在BD上，则PE+PC的最小值为( )
A．6 a0 B．5 a C．4 a D． 2 a
8．如图，一辆汽车在直线形的公路AB上由A向B行驶，M、N分别是位于公路AB两侧的村庄．
(1)设汽车行驶到公路AB上点P位置时，距离村庄M最近；行驶到点Q位置时，距离村庄N最近，请在图中的公路AB上分别画出点P、Q的位置(保留画图痕迹)．
(2)当汽车从A出发向B行驶时，在公路AB的哪一段路上距离M、N两村庄都越来越近?在哪一段路上距离村庄N越来越近，而离村庄M却越来越远?(分别用文字表 述你的结论，不必证明 )
(3)在公路AB上是否存在这样一点H，使汽车行驶到该点时，与村庄M、N的距离相等?如果存在，请在图中的AB上画出这一点(保留画图痕迹，不必证明)：如果不存在，请简要说明理由． (2001年浙江省嘉兴市中考题)
9．(1)用四块如图I所示的黑白两色正方形瓷砖拼成 一个新的正方形，使之形成轴对称图案，请至少给出三种不同的拼法(在①②③中操作)；
(2)请你任意改变图I瓷砖中黑色部分的图案，然后再用四块改变图案后的正方形瓷砖拼出一个中心对称图案(在④中操作)． (仙桃、潜江、天门、江汉油田中考题)
10．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD的垂直平分线交AD于E，交BC的延长线于F，求证：FD2=FB×FC．
11．如图，设Ll和L2，是镜面平行且镜面相对的两面镜子，把一个小球放在之间，小球放在镜Ll中的像为A′，A′在镜L2中的像为A″，若Ll、L2的距离为7，则AA″ ．
(江苏省竞赛题)
12．如图，设M是△ABC的重心，且AM=3，BM=4，CM=5，则△ABC的面积为 ．
13．如图，ABCD―A'B'C'D'为长方体，AA'=50cm，AB=40cm，AD=30cm，把上、下底面都等分成3× 4个小正方形，其边长均为l0cm，得到点E、F、G、H和E'，、F'，、G'，、H'，假设一只蚂蚁每秒爬行2cm，则它从下底面E点沿表面爬行至上底面G'，点至少要花时间
秒．
14．无理数 的整数部分是 ． ( “希望杯”邀请赛试题)
15．当 等于 ， ，…， ，1，2，…，1992 ，1993时，计算代数式 的值，再将所得的结果全部加起来，总和等于 ．
16．一束光线经3块平面镜反射，反射的路线如图所示，图中字母表示相应的度数，已知c=60°，求d+e与x的值．
17．如图，在△ABC中，AD∥BC，已知∠ABC>∠ACB，P是AD上的任一点，求证：AC+BP＜AB+PC．
18．如图，矩形ABCD中，AB=20cm，BC=l0cm，若在AC、AB上各取一点M、N，使BM+MN的值最小，求这个最小值．
19．如图，在△ABC中，D、E分别为BC、AC的中点，AD、BE相交于P，若∠BPD=∠C，求证：以△ABC三条中线为边构成的三角形与△ABC相似． (2004年武汉市选拔赛试题)
