《点到直线的距离》教案（精选4篇）
《点到直线的距离》教案 篇1
一. 教学目标
1.教材分析
⑴ 教学内容
《点到直线的距离》是全日制普通高级中学教科书(必修・人民教育出版社)第二册(上),“§7.3两条直线的位置关系”的第四节课,主要内容是点到直线的距离公式的推导过程和公式应用.
⑵ 地位与作用
本节对“点到直线的距离”的认识,是从初中平面几何的定性作图,过渡到了解析几何的定量计算,其学习平台是学生已掌握了直线倾斜角、斜率、直线方程和两条直线的位置关系等相关知识.对“点到直线的距离”的研究,为以后直线与圆的位置关系和圆锥曲线的进一步学习奠定了基础,具有承前启后的重要作用.
2.学情分析
高二年级学生已掌握了三角函数、平面向量等有关知识,具备了一定的利用代数方法研究几何问题的能力.根据我校学生基础知识较扎实、思维较活跃,但处理抽象问题的能力还有待进一步提高的学习现状和认知特点,本课采用类比发现式教学法.
3.教学目标
依据上面的教材分析和学情分析,制定如下教学目标.
⑴ 知识技能
① 理解点到直线的距离公式的推导过程;
② 掌握点到直线的距离公式;
③ 掌握点到直线的距离公式的应用.
⑵ 数学思考
① 通过点到直线的距离公式的探索和推导过程,渗透算法的思想;
② 通过自学教材上利用直角三角形的面积公式的证明过程,培养学生的数学阅读能力;
③ 通过灵活应用公式的过程,提高学生类比化归、数形结合的能力.
⑶ 解决问题
① 通过问题获得数学知识,经历“发现问题―提出问题―解决问题”的过程;
② 由探索点 到直线 的距离,推广到探索点 到直线 的距离的过程,使学生体会从特殊到一般、由具体到抽象的数学研究方法.
⑷ 情感态度
结合现实模型,将教材知识和实际生活联系起来,使学生感受数学的实用性,有效激发学生的学习兴趣.
《点到直线的距离》教案 篇2
教学目标:
1.让学生理解点到直线距离公式的推导和掌握点到直线距离公式及其应用,会用点到直线距离求两平行线间的距离.
2.培养学生观察、思考、分析、归纳等数学能力,数形结合、化归(或转化)、特殊到一般的数学思想方法以及数学应用意识.
3.让学生了解和感受探索问题的方法,以及用联系的观点看问题.在探索问题的过程中体验成功的喜悦.
教学重点:点到直线距离公式及其应用.
教学难点:点到直线距离公式的推导.
教学方法:启发式讲解法、讨论法.
教学工具:电脑多媒体.
教学过程:
一、提出问题
多媒体显示实际的例子:
某电信局计划年底解决本地区最后一个小区的电话通信问题.经过测量,若按照部门内部设计好的坐标图(即以电信局为原点),得知这个小区的坐标为p(-1,5),离它最近的只有一条线路通过,其方程为2x y 10=0.要完成这项任务,至少需要多长的电缆线?
这个实际问题要解决,要转化成什么样的
数学问题?学生得出就是求点到直线的距离.教师提出这堂课我们就来学习点到直线的距离,并板书写课题:点到直线的距离.
二、解决问题
多媒体显示:已知点p(x0,y0),直线 :ax by c=0,求点p到直线 的距离.
怎样求点到直线距离呢?学生应该很快能回答出,做垂线找垂足q,求线段pq的长度.怎样用点的坐标和直线方程求和表示点到直线距离呢?
教师提示在解决问题时先可以考虑特殊情况,再考虑一般情况.学生提出平行于x轴和y轴的特殊情况.显示图形:
板书:
如何求 ?
学生思考回答下列想法:
思路一:过 作 于 点,根据点斜式写出直线 方程,由 与 联立方程组解得 点坐标,然后利用两点距离公式求得.
教师评价:此方法思路自然,但是运算繁琐.并多媒体展示求解过程.
解:直线 : ,即
由 ,
说明:本过程只展示,不在课堂推导.
教师提问:能否用其它方法,不求点q的坐标,求线段pq的长度?
学生思考:放在三角形---特殊三角形---直角三角形中.
教师提问:如何构造三角形?第三个顶点选在什么位置?
学生思考:可能在直线 与x轴的交点m或与y轴交点n,或过p点做x,y轴的平行线与直线 的交点r、s.
教师根据学生提出的点的位置作分析,求解过程的繁与简,最后决定方法.下列是学生可能提到的情况:
思路二:在直角△pqm,或直角△pqn中,求边长与角(角与直线到直线角有关),用余弦值.
思路三:在直角△pqr,或直角△pqs中,求边长与角(角与直线倾斜角有关,但分情况),用余弦值.
思路四:在直角△prs中,求线段pr、ps、rs,利用等面积法(不涉及角和分情况),求得线段pq长.
学生练习求解思路四.教师巡视,根据学生情况演示过程.
解:设 , , ,
, ; ,
由 ,
而
说明:如果学生没有想到思路二、三,教师提示做课后思考作业题目.
教师提问:①上式是由条件下 得出,对 成立吗?
②点p在直线 上成立吗?
③公式结构特点是什么?用公式时直线方程是什么形式?
由此推导出点p(x0,y0)到直线 :ax by c=0距离公式:
教师继续引导学生思考,不构造三角形可以求吗?(在前面学习的向量知识中,有向量的模.由于在证明两直线垂直时已经用到向量知识,且也提出过直线的法向量的概念.)能否用向量知识求解呢?
思路五:已知直线 的法向量 ,则 , ,如何选取法向量?直线的方向向量 ,则法向量为 ,或 ,或其它.由师生一起分析得出取 = .
教师板演:
,
,由于点q在直线上,所以满足直线方程 ,解得
教师评析:向量是新教材内容,是一种很好的数学工具,和解析几何结合应用是现在新教材知识的交汇点.而且上述方法在今后解析几何与向量结合的题目中,用坐标联系转化是常用方法.
三、公式应用
练习:
1.解决课堂提出的实际问题.(学生口答)
2.求点p0(-1,2)到下列直线的距离 :
①3x=2 ②5y=3 ③2x y=10 ④y=-4x 1
练习选择:平行坐标轴的特殊直线,直线方程的非一般形式.
练习目的:熟悉公式结构,记忆并简单应用公式.
教师强调:直线方程的一般形式.
例题:
3.求平行线2x-7y 8=0和2x-7y-6=0的距离.
教师提问:如何求两平行线间的距离?距离如何转化?
学生回答:选其中一条直线上的点到另一条直线的距离.
师生共同分析:点所在直线的任意性、点的任意性.
学生自己练习,教师巡视.教师提问几个学生回答自己选取的点和直线以及结果.然后选择一种取任意点的方法进行板书.
解:在直线2x-7y-6=0上任取点p(x0,y0),则2 x0-7 y0-6=0,点p(x0,y0)到直线2x-7y 8=0的距离是 .
教师评述:本例题选取课本例题,但解法较多.除了选择直线上的点,还可以选取原点,求它到两条直线的距离,然后作和.或者选取直线外的点p,求它到两条直线的距离,然后作差.
引申思考: 与 两平行线间距离公式.
四、课堂小结:(由学生总结)
①&n
② 数学思想方法:类比、转化、数形结合思想,特殊到一般的方法.
③ 多角度考虑问题,一题多解.
五、布置作业
① 课本习题7.3的第13题----16题;
② 总结写出点到直线距离公式的多种方法.
教学设计说明:
一、教材分析
我主要从三方面:教材的地位和作用、教学目标分析、教学重点和难点来说明的。教学目标包括:知识、能力、德育等方面的内容。我确定教学目标的依据有教学大纲、考试大纲的要求、新教材的特点、所教学生的实际情况。
二、教学方法和手段
1、教学方法的选择
(1)指导思想:教师为主导,学生为主体,引导学生参与对事物的认识过程。
(2)教学方法:启发式讲解法、讨论法。
2.教学手段的选用
采用了电脑多媒体教具,不仅将数学问题形象、直观显示,便于学生思考,而且迅速展示部分纯计算的解题过程,提高课堂效率。
三、教学过程
这节课我分:"提出问题--解决问题--公式应用--课堂小结--布置作业"五个环节来完成。
首先多媒体显示实例,引发学生的学习的兴趣和求知欲望,从而引出数学问题。通过一系列问题引导学生通过图形观察,进而分析、归纳总结选择较好的方法具体实施。关于思路五,在课本中没有出现这样的证法,我在课堂上选取这样的证法。主要是考虑到:向量是新教材内容,是一种很好的数学工具,和解析几何结合应用是现在新教材知识的交汇点。而且上述方法在今后解析几何与向量结合的题目中,用坐标联系转化是常用方法,这样思路五的给出不仅符合新教材的要求,也为今后的学习方法奠定了基础。
我选择练习目的:熟悉公式结构,记忆并简单应用公式,主要通过学生口答完成。我强调注意在公式中直线方程的一般式。例题的选取来自课本,但是课本只有一种特殊点的解法。我把本例题进行挖掘,引导学生多角度考虑问题。在整个过程中让学生注意体会解题方法中的灵活性。本节课小结主要由学生总结,教师补充,尤其数学思想方法教师加以解释。在整节课的处理中,采取了知识、方法来源于课本,挖掘其深度、广度,符合现代教学要求
《点到直线的距离》教案 篇3
一、教材分析：
1、地位与作用：解析几何第一章主要研究的是点线、线线的位置关系和度量关系，其中以点点距离、点线距离、线线位置关系为重点，点到直线的距离是其中最重要的环节之一，它是解决其它解析几何问题的基础。本节是在研究了两条直线的位置关系的判定方法的基础上，研究两条平行线间距离的一个重要公式。推导此公式不仅完善了两条直线的位置关系这一知识体系，而且也为将来用代数方法研究曲线的几何性质奠定了基础。而更为重要的是：通过认真设计这一节教学，能使学生在探索过程中深刻地领悟到蕴涵于公式推导中的重要的数学思想和方法，学会利用化归思想和分类方法，由浅入深，由特殊到一般地研究数学问题，同时培养学生浓厚的数学兴趣和良好的学习品质。
2、重点、难点及关键：重点是“公式的推导和应用”，难点是“公式的推导”，关键是“怎样自然地想到利用坐标系中的x轴或y轴构造rt△，从而推出公式”。对于这个问题，教材中的处理方法是：没有说明原因直接作辅助线(呈现教材)。这样做，无法展现为什么会想到要构造rt△这一最需要学生探索的过程，不利于学生完整地理解公式的推导和掌握与之相应的丰富的数学思想方法。如果照本宣科，则不能摆脱在客观上对学生进行灌注式教学。事实上，为了真正实现以学生为主体的教学，让学生真正地参与进来，起关键作用的是设计出有利于学生参与教学的内容组织形式。因此，我没有像教材中那样直接作辅助线，而是对教学内容进行剪裁、重组和铺垫，构建出在探索结论过程中侧重于学生能力培养的一系列教学环节，采用将一般转化到特殊的方法，引导学生通过对特殊的直观图形的观察、研究，自己发现隐藏其中的rt△，从而解出|pq|。在此基础上进一步将特殊问题还原到一般，学生便十分自然地想在坐标系中探寻含pq的rt△，找不到，自然想到构造，此时再过p点作x轴或y轴的平行线就显得“瓜熟蒂落，水到渠成”了。本设计力求以启迪思维为核心，设计出能启发学生思维的“最近发展区”，从而突破难点的关键，推导出公式。
二、教学目标：
1、认知目标：
(1)点到直线距离公式的推导，并能用公式计算。
(2)领会渗透于公式推导中的数学思想(如化归思想、数形结合、分类讨论等数学思想)，掌握用化归思想来研究数学问题的方法。
2、能力目标：通过让学生在实践中探索、观察、反思、总结，发现问题、解决问题，从而达到培养学生的观察能力、归纳能力、思维能力、应用能力和创新能力的目的。
3、情感目标：培养学生勇于探索、善于研究的精神，挖掘其非智力因素资源，培养其良好的数学学习品质。
三、学生情况分析：
学生在此之前已经学习了点点距离、线线位置关系，初步掌握了“用代数的方法研究曲线的性质”这一研究解析几何问题的重要方法，并且学习了三角函数的相关内容，这就为构造rt△，利用三角形性质以及同角公式推导点到直线的距离公式做好了铺垫。并且，高二的学生已经基本能够从特殊的情况中发现规律，从而推广为一般情况，关键是学生在这个方面的应用意识还比较淡漠，所以本节课只要做好这种引导工作，学生是比较容易理解的。这也是本节课要突出的“从特殊到一般”的课堂设计的原因，能够使学生充分地参与进来，体会到成功的喜悦。
四、教学方法：
本节课的内容实际上并不是难度很大，关键是推导公式的方法的选择，一旦找准推导方法、作出相应的辅助线，接下来的推导过程就是比较容易完成的。所以
1、遵循“数学学习的本质是主体(学生)在头脑中建构和发展数学认知结构的过程，是主体的一种再创造行为”的理论，采取以“学生为主体，教师为主导的”启发式、提问式教学方法。
2、根据“教师应尊重学生主体和主动的精神，开发学生的智能，形成其健全个性”的原则，力求营造民主的教学氛围，使学生或显性(答问、板演等)或隐性(聆听，苦思等)地参与全教学过程，学生在教师设计的问题下，积极思考、动手演练、步步深入，让学生自己导出公式。
3、采用投影、计算机等教学手段，增大教学的容量和直观性，有效提高教学效率和教学质量。
4、以反馈调控为手段，力求反馈的全面性(优、中、差生)与时效性(及时、中肯)。
五、教学程序：
⑴课题引入：复习如何判断两条直线的位置关系?如果两直线相交，又如何求出交点的坐标?这样有意识地涉及两直线垂直、两直线的交点等知识，既帮助学生整理、复习已学知识的结构，也让学生在复习过程中自己“发现”尚未解决的问题，使新授知识在原认知结构中找到生长点，自然地引出新问题，符合学生的认知规律，有利于学生形成合理、完善的认知结构。(3分钟)
⑵课题解决：教学过程中，利用“从特殊到一般”的方法(由特殊直线到一般直线;由特殊点到一般的点)，提出如下问题：
先研究点到特殊的直线(平行于x轴和y轴的直线)的距离;
然后对于一般的直线，先研究特殊的点(原点)到直线的距离(可以利用“等面积法”、“三角形相似的性质”或“解直角三角形”三种思路求解)，再将其解题方法推广到一般的点，就会自然想到构造rt△进行求解了。
逐步逼近目标，在这过程中展示了数学知识产生的思维过程。调动学生自觉地、主动地参与进来，教师的主导作用，学生的主体作用都得以充分体现。在教学中只要抓住“构造一个可用的三角形”这个关键，就能突破难点，易于学生的理解和掌握。(27分钟)
⑶例题练习：推导出公式之后，通过例题讲解和学生动手练习，进一步巩固公式的记忆和应用。(12分钟)
⑷小结作业：师生互动，共同总结公式的推导过程以及公式的特征和应用，布置课后作业。(3分钟)
六、教学设计评价：
《点到直线的距离公式》是解决理论和实际问题的一个重要工具，这不仅是其有广泛的应用，而更重要的是公式推导过程中蕴含着重要的数学思想，教学中理应予以重视。因而，在设计这节课的教学方案时，要力求暴露公式推导中的思维过程，突出整体观念对思维过程的指导作用。但在以往的教学过程中遇到的最大困难是：思路自然的则运算很繁，而运算较简单的解法则思路又很不自然。这样就造成了教学中通常采用“满堂灌”、“注入式”，学生的思维得不到应有的训练，学生的主体作用也不能充分体现出来。为避免这个问题，有必要很好地探讨一下，“点到直线的距离公式”的教学如何更合理，怎样把教学过程变成师生共同探索、发现公式的过程，怎样使推导过程自然而简练。
本节课是“两条直线的位置关系”的最后一个内容，在复习引入时，有意识地涉及两直线垂直、两直线的交点等知识，既帮助学生整理、复习已学知识的结构，也让学生在复习过程中自己“发现”尚未解决的问题，使新授知识在原认知结构中找到生长点，自然地引出新问题，符合学生的认知规律，有利于学生形成合理、完善的认知结构。教学过程中，逐步逼近目标，在这过程中展示了数学知识产生的思维过程。学生能够自觉地、主动地参与进来，教师的主导作用、学生的主体作用都得以充分体现，经常这样做，学生的数学思维能力必将逐步得到提高。在教学中只要抓住“构造一个可用的三角形”这个关键，就能突破难点，还可以采用其他的方法推导“点到直线的距离”公式，易于学生的理解和掌握。
这堂课，既是一堂新课，也是实验课;既学习了新知识，也锻炼了用从特殊到一般，再从一般到特殊的思维方法分析解决问题的能力，提高了学生使用现代化工具的动手能力;也让学生感受到数学变化的美;也在学生个性情感中融入了创新的意识与胆量。
《点到直线的距离》教案 篇4
一、教材分析：
1、地位与作用：解析几何第一章主要研究的是点线、线线的位置关系和度量关系，其中以点点距离、点线距离、线线位置关系为重点，点到直线的距离是其中最重要的环节之一，它是解决其它解析几何问题的基础。本节是在研究了两条直线的位置关系的判定方法的基础上，研究两条平行线间距离的一个重要公式。推导此公式不仅完善了两条直线的位置关系这一知识体系，而且也为将来用代数方法研究曲线的几何性质奠定了基础。而更为重要的是：通过认真设计这一节教学，能使学生在探索过程中深刻地领悟到蕴涵于公式推导中的重要的数学思想和方法，学会利用化归思想和分类方法，由浅入深，由特殊到一般地研究数学问题，同时培养学生浓厚的数学兴趣和良好的学习品质。
2、重点、难点及关键：重点是“公式的推导和应用”，难点是“公式的推导”，关键是“怎样自然地想到利用坐标系中的x轴或y轴构造rt△，从而推出公式”。对于这个问题，教材中的处理方法是：没有说明原因直接作辅助线(呈现教材)。这样做，无法展现为什么会想到要构造rt△这一最需要学生探索的过程，不利于学生完整地理解公式的推导和掌握与之相应的丰富的数学思想方法。如果照本宣科，则不能摆脱在客观上对学生进行灌注式教学。事实上，为了真正实现以学生为主体的教学，让学生真正地参与进来，起关键作用的是设计出有利于学生参与教学的内容组织形式。因此，我没有像教材中那样直接作辅助线，而是对教学内容进行剪裁、重组和铺垫，构建出在探索结论过程中侧重于学生能力培养的一系列教学环节，采用将一般转化到特殊的方法，引导学生通过对特殊的直观图形的观察、研究，自己发现隐藏其中的rt△，从而解出|pq|。在此基础上进一步将特殊问题还原到一般，学生便十分自然地想在坐标系中探寻含pq的rt△，找不到，自然想到构造，此时再过p点作x轴或y轴的平行线就显得“瓜熟蒂落，水到渠成”了。本设计力求以启迪思维为核心，设计出能启发学生思维的“最近发展区”，从而突破难点的关键，推导出公式。
二、教学目标：
1、认知目标：
(1)点到直线距离公式的推导，并能用公式计算。
(2)领会渗透于公式推导中的数学思想(如化归思想、数形结合、分类讨论等数学思想)，掌握用化归思想来研究数学问题的方法。
2、能力目标：通过让学生在实践中探索、观察、反思、总结，发现问题、解决问题，从而达到培养学生的观察能力、归纳能力、思维能力、应用能力和创新能力的目的。
3、情感目标：培养学生勇于探索、善于研究的精神，挖掘其非智力因素资源，培养其良好的数学学习品质。
三、学生情况分析：
学生在此之前已经学习了点点距离、线线位置关系，初步掌握了“用代数的方法研究曲线的性质”这一研究解析几何问题的重要方法，并且学习了三角函数的相关内容，这就为构造rt△，利用三角形性质以及同角公式推导点到直线的距离公式做好了铺垫。并且，高二的学生已经基本能够从特殊的情况中发现规律，从而推广为一般情况，关键是学生在这个方面的应用意识还比较淡漠，所以本节课只要做好这种引导工作，学生是比较容易理解的。这也是本节课要突出的“从特殊到一般”的课堂设计的原因，能够使学生充分地参与进来，体会到成功的喜悦。
四、教学方法：
本节课的内容实际上并不是难度很大，关键是推导公式的方法的选择，一旦找准推导方法、作出相应的辅助线，接下来的推导过程就是比较容易完成的。所以
1、遵循“数学学习的本质是主体(学生)在头脑中建构和发展数学认知结构的过程，是主体的一种再创造行为”的理论，采取以“学生为主体，教师为主导的”启发式、提问式教学方法。
2、根据“教师应尊重学生主体和主动的精神，开发学生的智能，形成其健全个性”的原则，力求营造民主的教学氛围，使学生或显性(答问、板演等)或隐性(聆听，苦思等)地参与全教学过程，学生在教师设计的问题下，积极思考、动手演练、步步深入，让学生自己导出公式。
3、采用投影、计算机等教学手段，增大教学的容量和直观性，有效提高教学效率和教学质量。
4、以反馈调控为手段，力求反馈的全面性(优、中、差生)与时效性(及时、中肯)。
五、教学程序：
⑴课题引入：复习如何判断两条直线的位置关系?如果两直线相交，又如何求出交点的坐标?这样有意识地涉及两直线垂直、两直线的交点等知识，既帮助学生整理、复习已学知识的结构，也让学生在复习过程中自己“发现”尚未解决的问题，使新授知识在原认知结构中找到生长点，自然地引出新问题，符合学生的认知规律，有利于学生形成合理、完善的认知结构。(3分钟)
⑵课题解决：教学过程中，利用“从特殊到一般”的方法(由特殊直线到一般直线;由特殊点到一般的点)：
先研究点到特殊的直线(平行于x轴和y轴的直线)的距离;
然后对于一般的直线，先研究特殊的点(原点)到直线的距离(可以利用“等面积法”、“三角形相似的性质”或“解直角三角形”三种思路求解)，再将其解题方法推广到一般的点，就会自然想到构造rt△进行求解了。
逐步逼近目标，在这过程中展示了数学知识产生的思维过程。调动学生自觉地、主动地参与进来，教师的主导作用，学生的主体作用都得以充分体现。在教学中只要抓住“构造一个可用的三角形”这个关键，就能突破难点，易于学生的理解和掌握。(27分钟)
⑶例题练习：推导出公式之后，通过例题讲解和学生动手练习，进一步巩固公式的记忆和应用。(12分钟)
⑷小结作业：师生互动，共同总结公式的推导过程以及公式的特征和应用，布置课后作业。(3分钟)
六、教学设计评价：
《点到直线的距离公式》是解决理论和实际问题的一个重要工具，这不仅是其有广泛的应用，而更重要的是公式推导过程中蕴含着重要的数学思想，教学中理应予以重视。因而，在设计这节课的教学方案时，要力求暴露公式推导中的思维过程，突出整体观念对思维过程的指导作用。但在以往的教学过程中遇到的最大困难是：思路自然的则运算很繁，而运算较简单的解法则思路又很不自然。这样就造成了教学中通常采用“满堂灌”、“注入式”，学生的思维得不到应有的训练，学生的主体作用也不能充分体现出来。为避免这个问题，有必要很好地探讨一下，“点到直线的距离公式”的教学如何更合理，怎样把教学过程变成师生共同探索、发现公式的过程，怎样使推导过程自然而简练。
本节课是“两条直线的位置关系”的最后一个内容，在复习引入时，有意识地涉及两直线垂直、两直线的交点等知识，既帮助学生整理、复习已学知识的结构，也让学生在复习过程中自己“发现”尚未解决的问题，使新授知识在原认知结构中找到生长点，自然地引出新问题，符合学生的认知规律，有利于学生形成合理、完善的认知结构。教学过程中，逐步逼近目标，在这过程中展示了数学知识产生的思维过程。学生能够自觉地、主动地参与进来，教师的主导作用、学生的主体作用都得以充分体现，经常这样做，学生的数学思维能力必将逐步得到提高。在教学中只要抓住“构造一个可用的三角形”这个关键，就能突破难点，还可以采用其他的方法推导“点到直线的距离”公式，易于学生的理解和掌握。
这堂课，既是一堂新课，也是实验课;既学习了新知识，也锻炼了用从特殊到一般，再从一般到特殊的思维方法分析解决问题的能力，提高了学生使用现代化工具的动手能力;也让学生感受到数学变化的美;也在学生个性情感中融入了创新的意识与胆量。
