导 数 的 概 念
导 数 的 概 念
人教社・普通高级中学教科书（选修 ）
第三章第一节《导数的概念》（第三课时）导数是近代数学中微积分的核心概念之一，是一种思想方法，这种思想方法是人类智慧的骄傲.《导数的概念》这一节内容，大致分成四个课时，我主要针对第三课时的教学，谈谈我的理解与设计，敬请各位专家斧正.一、教材分析1.1编者意图 《导数的概念》分成四个部分展开，即：“曲线的切线”，“瞬时速度”，“导数的概念”，“导数的几何意义”，编者意图在哪里呢？用前两部分作为背景，是为了引出导数的概念；介绍导数的几何意义，是为了加深对导数的理解.从而充分借助直观来引出导数的概念；用极限思想抽象出导数；用函数思想拓展、完善导数以及在应用中巩固、反思导数，教材的显著特点是从具体经验出发，向抽象和普遍发展，使探究知识的过程简单、经济、有效. 1.2导数概念在教材的地位和作用 “导数的概念”是全章核心.不仅在于它自身具有非常严谨的结构，更重要的是，导数运算是一种高明的数学思维，用导数的运算去处理函数的性质更具一般性，获得更为理想的结果；把运算对象作用于导数上，可使我们扩展知识面，感悟变量，极限等思想，运用更高的观点和更为一般的方法解决或简化中学数学中的不少问题；导数的方法是今后全面研究微积分的重要方法和基本工具，在在其它学科中同样具有十分重要的作用；在物理学，经济学等其它学科和生产、生活的各个领域都有广泛的应用.导数的出现推动了人类事业向前发展.1.3 教材的内容剖析 知识主体结构的比较和知识的迁移类比如下表：表1. 知识主体结构比较
对 象
内 容
本 质
符号语言
数学思想
现有
认知
结构
曲线
y=f(x)
切线的斜率
割线斜率的极限
极限思想
物体运动规律
s=s(t)
物体的瞬时
速度
平均速度的极限
极限思想
函数思想
最近
发展
区
函数
y=f(x)
导函数
（导数）
平均变化率的极限
极限思想
函数思想表2. 知识迁移类比（导数像速度）
已有认知结构
最近发展区
相似点
物体在t0时刻的速度
函数f(x)在x0处的导数
特指
常数
物体的任意时刻t的速度
函数f(x)在开区间内
泛指
是函数（变量）
瞬时速度
↓
一般说成速度
导函数
↓
一般说成导数
名称对应
泛指
v=v(t)
关系对应
v0=v|t=t0
求法对应
位移对时间的变化率
函数对自变量的变化率
本质对应通过比较发现：求切线的斜率和物体的瞬时速度，这两个具体问题的解决都依赖于求函数的极限，一个是“微小直角三角形中两直角边之比”的极限，一个是“位置改变量与时间改变量之比”的极限，如果舍去问题的具体含义，都可以归结为一种相同形式的极限，即“平均变化率”的极限.因此以两个背景作为新知的生长点，不仅使新知引入变得自然，而且为新知建构提供了有效的类比方法.1.4 重、难点剖析重点：导数的概念的形成过程.难点：对导数概念的理解.为什么这样确定呢？导数概念的形成分为三个的层次：f(x)在点x0可导→f(x)在开区间（ ，b）内可导→f(x)在开区间（ ，b）内的导函数→导数，这三个层次是一个递进的过程，而不是专指哪一个层次，也不是几个层次的简单相加，因此导数概念的形成过程是重点；教材中出现了两个“导数”，“两个可导”，初学者往往会有这样的困惑，“导数到底是个什么东西？一个函数是不是有两种导数呢？”，“导函数与导数是怎么统一的？”.事实上：（1）f(x)在点x0处的导数是这一点x0到x0+△x的变化率 的极限，是一个常数，区别于导函数. （2）f(x)的导数是对开区间内任意点x而言，是x到x+△x的变化率 的极限,是f(x)在任意点的变化率，其中渗透了函数思想. （3）导函数就是导数！是特殊的函数：先定义f(x)在x0处可导、再定义f(x)在开区间（ ，b）内可导、最后定义f(x)在开区间的导函数. （4）y= f(x)在x0处的导数就是导函数 在x=x0处的函数值，表示为 这也是求f′(x0)的一种方法.初学者最难理解导数的概念，是因为初学者最容易忽视或混淆概念形成过程中几个关键词的区别和联系，会出现较大的分歧和差别，要突破难点，关键是找到“f(x)在点x0可导”、“f(x)在开区间的导函数”和“导数”之间的联系，而要弄清这种联系的最好方法就是类比！用“速度与导数”进行类比.
