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两角差的余弦公式

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两角差的余弦公式

课题:§3.1.1 

教学目标

知识与技能

①了解两角差的余弦公式的推导;

②掌握两角差的余弦公式并能对公式进行初步的应用。

过程与方法

①经历大胆猜想---初步验证---理论证明---应用与拓展的数学化的过程让学生感受到知识的产生和发展;

②利用信息技术揭示单角的三角函数值与两角差的余弦值之间的关系,激发学生探究数学的积极性;

③培养学生获取数学知识、数学交流的能力;

  情感态度价值观

①使学生体会联想转化、数形结合、分类讨论的数学思想;

②培养学生大胆猜想、敢于探索、勇于置疑、严谨、求实的科学态度。

教学重点、难点

重点: 两角差余弦公式的探索和初步应用。
难点:探索过程的组织和引导。
教学手段 用几何画板和powerpoint演示。
教学流程

创设问题情景,揭示课题

              

感知猜想

利用几何画板验证猜想

组织和引导学生共同合作探索公式

通过例题、练习,加强对公式的理解

回顾与反思

布置作业,引发其他公式的探究

教学设计

(一)创设问题情境,揭示课题
先让学生口答 的正弦余弦值,再提出  

问题1. 有什么关系?

( )

问题2.对于a、b、c

(让学生讨论,老师归纳其讨论结果,并指出不成立。因为

问题3.对于任意角α、β,
设计意图:由特殊问题引发一般问题,唤起学生解决问题的意识,抛出新知识引起学生的疑惑,在兴趣和疑惑中,激发学生的求知欲,引导学习方向。)
(二)感性认知,提出猜想

问题:如何用任意角α和β的正弦、余弦值来表示cos(α-β)?

虽然 但学生自然猜想到它们之间有一定的等量关系,于是让学生凭借直觉,发挥想象,将sinα、sinβ、cosα、cosβ随意组合,构造出结果的表示形式。

(三)验证猜想

   借助几何画板,呈现猜想的式子,计算出cos(α-β)和各式子的值,发现当随意变换角度α和β时,总有cos(α-β)和

cosαcosβ+sinαsinβ的结果相等,所以猜测公式的形式可能是:

cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ

(第一组验证)

(第二组验证)

设计意图:使学生看到现代化信息技术对探讨数学问题的帮助,从而引导学生在今后的学习和工作中能重视现代信息技术的应用。)
(四)联想转化、探索论证

让学生加强新旧知识的联系,寻找已有知识点的理论支持,选定探讨方法,适时提问,逐步引导,层层推进。

问题(1)刚才的验证可靠吗?为什么?

(不可靠,它并不能代表一般性)

问题(2)对于任意的α和β,你如何证明上式恒成立呢?你联想到哪些相关知识?
1.根据学生的回答,先利用向量来证明。

问题(3)你是如何联想到向量?用向量证明得先做哪些准备?

问题(4)在图中选择哪些向量,它们如何表示?

问题(5)如何利用向量的运算构造出等式的左右两边?

问题(6)证明是否严密?若有,请你补充。
设计意图:让学生经历利用向量知识解决一个数学问题的过程,体会向量方法解决数学问题的简洁性。)

2.利用学生对旧知识的联想提出利用三角函数线来证明。

让学生研读教材,并提出相应的问题,拓宽学生的思维。

问题(1)如何构造三角函数线来证明公式?

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