第二十八章“锐角三角函数”简介

第二十八章“锐角三角函数”简介

课程教材研究所　　左怀玲 本章“锐角三角函数”属于三角学，是《数学课程标准》中“空间与图形”领域的重要内容。从《数学课程标准》看，中学数学把三角学内容分成两个部分，第一部分放在义务教育第三学段，第二部分放在高中阶段。在义务教育第三学段，主要研究锐角三角函数和解直角三角形的内容，本套教科书安排了一章的内容，就是本章“锐角三角函数”。在高中阶段的三角内容是三角学的主体部分，包括解斜三角形、三角函数、反三角函数和简单的三角方程。无论是从内容上看，还是从思考问题的方法上看，前一部分都是后一部分的重要基础，掌握锐角三角函数的概念和解直角三角形的方法，是学习三角函数和解斜三角形的重要准备。

本章包括锐角三角函数的概念（主要是正弦、余弦和正切的概念），以及利用锐角三角函数解直角三角形等内容。锐角三角函数为解直角三角形提供了有效的工具，解直角三角形在实际当中有着广泛的应用，这也为锐角三角函数提供了与实际联系的机会。研究锐角三角函数的直接基础是相似三角形的一些结论，解直角三角形主要依赖锐角三角函数和勾股定理等内容，因此相似三角形和勾股定理等是学习本章的直接基础。本章重点是锐角三角函数的概念和直角三角形的解法。锐角三角函数的概念既是本章的难点，也是学习本章的关键。难点在于，锐角三角函数的概念反映了角度与数值之间对应的函数关系，这种角与数之间的对应关系，以及用含有几个字母的符号sina、cosa、tana表示函数等，学生过去没有接触过，因此对学生来讲有一定的难度。至于关键，因为只有正确掌握了锐角三角函数的概念，才能真正理解直角三角形中边、角之间的关系，从而才能利用这些关系解直角三角形。

本章内容与已学 “相似三角形”“勾股定理”等内容联系紧密，并为高中数学中三角函数等知识的学习作好准备。

本章教学时间约需12课时，具体分配如下（仅供参考）：

28.1 　锐角三角函数 　　　　　　　　　　　　　　　　约6课时

28.2 　解直角三角形 　　　　　　　　　　　　　　　　约4课时

数学活动

小结 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　约2课时

一、教科书内容与课程学习目标

（一）本章知识结构框图

本章知识的展开顺序

（二）教科书内容

本章内容分为两节，第一节主要学习正弦、余弦和正切等锐角三角函数的概念，第二节主要研究直角三角形中的边角关系和解直角三角形的内容。第一节内容是第二节的基础，第二节是第一节的应用，并对第一节的学习有巩固和提高的作用。

在第28.1节 “锐角三角函数”中，教科书先研究了正弦函数，然后在正弦函数的基础上给出余弦函数和正切函数的概念。对于正弦函数，教科书首先设置了一个实际问题，把这个实际问题抽象成数学问题，就是在直角三角形中，已知一个锐角和这个锐角的对边求斜边的问题，由于这个锐角是一个特殊的角，因此可以利用“在直角三角形中，角所对的边是斜边的一半” 这个结论来解决这个问题，接下去教科书又提出问题，如果角所对的边的长度发生改变，那么斜边的长变为多少？解决这个的问题仍然需要利用上述结论，这样就能够使学生体会到“无论直角三角形的大小如何，角所对的边与斜边的比总是一个常数”，这里体现了函数的对应的思想，即的角对应数值。接下去，教科书又设置一个“思考”栏目，让学生进一步探讨在直角三角形中，的锐角所对的边与斜边的比有什么特点，利用勾股定理就可以发现这个比值也是一个常数，这样就使学生认识到“无论直角三角形的大小如何，角所对的边与斜边的比总是一个常数”，通过探讨上面这两个特殊的直角三角形，能够使学生感受到在直角三角形中，如果一个锐角的度数分别是和，那么它们所对的边与斜边的比分别都是常数，这里体现了函数的思想，这也为引出正弦函数的概念作好铺垫。有了上面这样的感受，会使学生自然地想到，在直角三角形中，一个锐角取其他一定的度数时，它的对边与斜边的比是否也是常数的问题。这样教科书就进入对一般情况的讨论。对于这个问题，教科书设置了一个“探究”栏目，让学生探究对于两个大小不等的直角三角形，如果有一个锐角对应相等，那么这两个相等的锐角所对的直角边与斜边的比是否相等，利用相似三角形对应边成比例这个结论就可以得到“在直角三角形中，当锐角的度数一定时，不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比是一个固定值”，由此引出正弦函数的概念，这样引出正弦函数的概念，能够使学生充分感受到函数的思想，即在直角三角形中，一个锐角的每一个确定的值，sina都有唯一确定的值与它对应。在引出正弦函数的概念之后，教科书在一个“探究”栏目中，类比着正弦的概念，从边与边的比的角度提出一个开放性问题：在直角三角形中，当一个锐角确定时，这个角的对边与斜边的比就随之确定，此时，其他边之间的比是否也确定了呢？提出这个问题的目的是要引出对余弦函数和正切函数的讨论。由于教科书比较详细地讨论了正弦函数的概念，因此对余弦函数和正切函数概念的讨论采用了直接给出的方式，具体的讨论由学生类比着正弦函数自己完成。在余弦函数和正切函数的概念给出之后，教科书在边注中分析了锐角三角函数的角与数值之间的对应关系，突出了函数的思想。一些特殊角的三角函数值是经常用到的，教科书借助于学生熟悉的两种三角尺研究了、角的正弦、余弦和正切值，并以例题的形式介绍了已知锐角三角函数值求锐角的问题，当然这时所要求出的角都是、和的特殊角。教科书把求特殊角的三角函数值和已知特殊角的三角函数值求角这两个相反方向的问题安排在一起，目的是体现锐角三角函数中角与函数值之间的对应关系。本节最后，教科书介绍了如何使用计算器求非特殊角的三角函数值以及如何根据三角函数值求对应的角等内容。由于不同的计算器操作步骤有所不同，教科书只就常见的情况进行介绍。