数学教案－定理与证明（精选2篇）
数学教案－定理与证明 篇1
教学建议
（一）教材分析
1、知识结构
2、重点、难点分析
重点：真命题的证明步骤与格式.命题的证明步骤与格式是本节的主要内容，是学习数学必具备的能力，在今后的学习中将会有大量的证明问题；另一方面它还体现了数学的逻辑性和严谨性.
难点：推论证明的思路和方法.因为它体现了学生的抽象思维能力，由于学生对逻辑的理解不深刻，往往找不出最优的思维切入点，证明的盲目性很大，因此对学生证明的思路和方法的训练是教学的难点.
（二） 教学建议
1、四个注意
（1）注意：①公理是通过长期实践反复验证过的，不需要再进行推理论证而都承认的真命题；②公理可以作为判定其他命题真假的根据.
（2）注意：定理都是真命题，但真命题不一定都是定理.一般选择一些最基本最常用的真命题作为定理，可以以它们为根据推证其他命题.这些被选作定理的真命题，在教科书中是用黑体字排印的.
（3）注意：在几何问题的研究上，必须经过证明，才能作出真实可靠的判断.如“两直线平行，同位角相等”这个命题，如果只采用测量的方法.只能测量有限个两平行直线的同位角是相等的.但采用推理方法证明两平行直线的同位角相等，那么就可以确信任意两平行直线的同位角相等.
（4）注意：证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”.①论据必须是真命题，如：定义、公理、已经学过的定理和巳知条件；②论据的真实性不能依赖于论证的真实性；③论据应是论题的充足理由.
2、逐步渗透数学证明的思想：
（1）加强数学推理(证明)的语言训练使学生做到，能用准确的语言表述学过的概念和命题，即进行语言准确性训练；能学会一些基本的推理论证语言，如“因为……，所以……”句式，“如果……，那么……”句式等等；提高符号语言的识别和表达能力，例如，把要证明的命题结合图形，用已知，求证的形式写出来.
（2）提高学生的“图形”能力，包括利用大纲允许的工具画图(垂线、平行线)的能力和在对要证命题的理解(如分清题设、结论)的基础上，画出要证明的命题的图形的能力，后一点尤其重要，一般通过图形易于弄清命题并找出证明的方法.
（3）加强各种推理训练，一般应先使学生从“模仿”教科书的形式开始训练.首先是用自然语言叙述只有一步推理的过程，然后用简化的“三段论”方法表述出这一过程，再进行有两步推理的过程的模仿；最后，在学完“命题、定理、证明”一单元后，总结证明的一般步骤，并进行多至三、四步的推理.在以上训练中，每一步推理的后面都应要求填注推理根据，这既可训练良好的推理习惯，又有助于掌握学过的命题.
教学目标 ：
1、了解证明的必要性，知道推理要有依据；熟悉综合法证明的格式，能说出证明的步骤.
2、能用符号语言写出一个命题的题设和结论.
3、通过对真命题的分析，加强推理能力的训练，培养学生逻辑思维能力.
教学重点：证明的步骤与格式.
教学难点 ：将文字语言转化为几何符号语言.
教学过程 ：
一、复习提问
1、命题“两直线平行，内错角相等”的题设和结论各是什么？
2、根据题设，应画出什么样的图形？（答：两条平行线a、b被第三条直线c所截）
3、结论的内容在图中如何表示？（答：在图中标出一对内错角，并用符号表示）
二、例题分析
例1、 证明：两直线平行，内错角相等.
已知：a∥b，c是截线.
求证：∠1＝∠2.
分析：要证∠1＝∠2，
只要证∠3＝∠2即可，因为
∠3与∠1是对顶角，根据平行线的性质，
易得出∠3＝∠2.
证明：∵a∥b（已知），
∴∠3＝∠2（两直线平行，同位角相等）.
∵∠1＝∠3（对顶角相等），
∴∠1＝∠2（等量代换）.
例2、 证明：邻补角的平分线互相垂直.
已知：如图，∠AOB＋∠BOC＝180°，
OE平分∠AOB，OF平分∠BOC.
求证：OE⊥OF.
分析：要证明OE⊥OF，只要证明∠EOF＝90°，即∠1＋∠2＝90°即可.
证明：∵OE平分∠AOB，
∴∠1＝ ∠AOB，同理 ∠2＝ ∠BOC，
∴∠1＋∠2＝ （∠AOB＋∠BOC）＝ ∠AOC＝90° ，∴OE⊥OF（垂直定义）.
三、课堂练习：
1、平行于同一条直线的两条直线平行.
2、两条平行线被第三条直线所截，同位角的平分线互相平行.
四、归纳小结
主要通过学生回忆本节课所学内容，从知识、技能、数学思想方法等方面加以归纳，有利于学生掌握、运用知识.然后见投影仪.
五、布置作业
课本P143 5、（2）,7.
六、课后思考：
1、垂直于同一条直线的两条直线的位置关系怎样？
2、两条平行线被第三条直线所截，内错角的平分线位置关系怎样？
3、两条平行线被第三条直线所截，同旁内角的平分线位置关系怎样？
数学教案－定理与证明 篇2
一、教学目标
1.了解“证明”的必要性和推理过程中要步步有据.
2.了解综合法证明的格式和步骤.
3.通过一些简单命题的证明，初步训练学生的逻辑推理能力.
4.通过证明步骤中由命题画出图形，写出已知、求证的过程，继续训练学生由几何语句正确画出几何图形的能力.
5.通过举例判定一个命题是假命题，使学生学会反面思考问题的方法.
二、学法引导
1.教师教法：尝试指导，引导发现与讨论相结合.
2.学生学法：在教师的指导下，积极思维，主动发现.
三、重点·难点及解决办法
（－）重点
证明的步骤和格式是本节重点.
（二）难点
理解命题，分清其题设和结论，正确对照命题画出图形，写出已知、求证.
（三）解决办法
通过学生分组讨论，教师归纳得出证明的步骤和格式，再以练习加以巩固，解决重点、难点及疑点.
四、课时安排
l课时
五、教具学具准备
投影仪、三角板、自制胶片.
六、师生互动活动设计
1.通过引例创设情境，点题，引入新课.
2.通过情境教学，学生分组讨论，归纳总结及练习巩固等手段完成新授.
3.通过提问的形式完成小结.
七、教学步骤
（－）明确目标
使学生严密推理过程，掌握推理格式，提高推理能力。
（二）整体感知
以情境设计，引出课题，引导讨论，例题示范讲解新知，以练习巩固新知.
（三）教学过程
创设情境，引出课题
师：上节课我们学习了定理与证明，了解了这两个概念.并以证明“两直线平行，内错角相等”来说明什么是证明.我们再看这一命题的证明（投影出示）.
例1 已知：如图1， ， 是截线，求证： .
证明：∵ （已知），∴ （两直线平行，同位角相等）.
∵ （对项角相等），∴ （等量代换）.
这节课我们分析这一命题的证明过程，学习命题证明的步骤和格式.
［板书］2.9 定理与证明
探究新知
1.命题证明步骤
学生活动：由学生分组讨论以上命题的证明过程，按自己的理解说出证明一个命题都需要哪几步.
【教法说明】根据上一节“两直线平行，内错角相等”这一命题的证明过程让学生讨论、分析、归纳命题证明的一般步骤，一是可以加深对命题证明的理解，二是培养学生归纳总结能力。在总结步骤时，学生所说的层次不一定有逻辑性，或不太严密，教师要注意引导，使学生分清命题证明几个步骤的先后层次.
根据学生讨论，回答结果.教师归纳小结，师生共同得出证明命题的步骤（出示投影）：
第一步，画出命题的图形.
先根据命题的题设即已知条件，画出图形，再把命题的结论即求证的内容在图上标出.还要根据证明的需要，在图上标出必要的字母或符号，以便于叙述或推理过程的表达.
第二步，结合图形写出已知、求证.
把命题的题设化为几何符号的语言写在已知中，命题的结论转化为几何符号的语言写在求证中.
第三步，经过分析，找出由已知推得求证的途径，写出推理的过程.
学生活动：结合“两直线平行，内错角相等”这一命题的证明，理解以上命题证明的一般步骤（给学生一定时间理解记忆）.
【教法说明】在以上第二个步骤中，将文字语言转化为符号语言是教学中的难点，要注意在练习中加强辅导，第三步由学生独立完成有困难，要逐步培养训练，现阶段暂不要求学生独立完成.
反馈练习：（1）画出证明命题“两直线平行，同旁内角互补”时的图形，写出已知、求证.
（2）课本第112页A组第5题.
【教法说明】由学生依照例1“两直线平行，内错角相等”这一命题的证明画出图形，写出已知、求证，巩固命题证明的第一、二步.
2.命题的证明
例2 证明：邻补角的平分线互相垂直.
【教法说明】此例题完全放手让学生独立完成有一定困难，但教师也不能包办代替，最好通过让学生分步讨论，同桌互相磋商，分步完成的方法，使学生对命题证明的每一步都进一步理解，教师可以给学生指明思考步骤.
（1）分析命题的题设与结论，画出命题证明所需要的图形.
邻补角用图2表示：
图2
添画邻补角的平分线，见图3：
图3
（2）根据命题的题设与结论写出已知、求证.邻补角用几何符号语言提示： ，角平分线用几何符号语言表示： ， ，求证邻补角平分钱互相垂直，用符号语言表示： .
（3）分析由已知谁出求证途径，写出证明过程.
有什么结论后可得 （ ），由已知可以推导 吗？学生讨论思考.
【教法说明】以上步骤的完成教师只提供思路，具体结论的得出与操作要由学生独立完成.找一个学生到黑板上板演，其他同学在练习本上写出完成整过程.
已知：如图， ， ， .
求证：
证明：∵ （已知），又∵ ， （已知），∴ .
∴ （垂直定义）.
证明完成后提醒学生注意以下几点：
①要证明的是一个简单叙述的命题，题设和结论不明显，可以先根据题意画出图形.如例2，结合图形分析命题的题设和结论.
②在写已知、求证的内容时，要将文字语言转化为符号语言来表示，转化时的写法也不是惟一的，要根据使用的方便来写，如： 与 互为邻补角，在已知中写为 ，角平分线有几种表示方法，如 是 的平分线， ， ，根据此题写成 较好，方便于下面的推理计算.
③对命题的分析、画图，如何推理的思考过程，证明时不必写出来，不属于证明内容.
反馈练习：按证明命题的步骤证明：“两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么内错角相等.”
【教法说明】由学生独立完成，找学生板演，发现问题教师及时纠正.
3.判定一个命题是假命题的方法
师：以上我们的推理是说明一个命题是真命题的判定方法.那么如何判定一个命题是假命题呢？如“相等的角是对项角”，同学们都知道这是一个假命题，如何说明它是一个假命题呢？谁能试着说明一下？
【教法说明】教师先不告诉学生判定一个命题是假命题的方法，而是由很明显的“相等角是对顶角”这一假命题，让学生自己尝试着去说明，体验从反面去说明一个问题的方法，然后教师归纳小结.
根据学生说明，教师小结：
判定一个命题是假命题，只要举出一个反例即可，也就是说你所举命题符合命题的题设，但不满足结论.如“同位角相等”可如图， 与 是同位角但不相等就说明“同位角相等是假命题”.
反馈练习：课本第111页习题2.3A组第4题.
【教法说明】在做以上练习时一定让学生学会从反面思考问题的方法，再就是要澄清一些错误的概念.
反馈练习
投影出示以下练习：
1.指出下列命题的题设和结论
（1）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补.
（2）两个角的和等于直角，这两个角互为余角.
（3）对项角相等.
（4）同角或等角的余角相等.
2.画图，写出已知，求证（不证明）
（1）同垂直于一条直线的两条直线平行.
（2）两条平行直线被第三条直线所截，同位角的平分线互相平行.
3.抄写下题并填空
已知：如图， .
求证： .
证明：∵ （ ），
∴ （ ）.
∴ （ ）.
【教法说明】以上练习让学生独立完成，第1题主要是训练学生分清命题的题设和结论；第2题是训练学生把命题转化为几何语言、几何图形的能力；第3题是让学生进一步体会命题证明的三个步骤.
总结、扩展
以提问的形式归纳出本节课的知识结构：
八、布置作业
（－）必做题
课本第110页习题2.3A组第3（2）、（3）、（4）题.
（二）思考题
课本第112页B组第l、2题.
作业 答案
A组（略）
B组1.已知两直线平行，同旁内角互补。
（两直线平行，同旁内角互补） （同角的补角相等）.
2.已知：如图， ， 、 分别平分 与 .求证： .
