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圆的周长、弧长

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圆的周长、弧长

圆周长、弧长(一)

教学目标

1、初步掌握圆周长、弧长公式;

2、通过弧长公式的推导,培养学生探究新问题的能力;

3、调动学生的积极性,培养学生的钻研精神;

4、进一步培养学生从实际问题中抽象出数学模型的能力,综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力.

教学重点弧长公式.

教学难点正确理解弧长公式.

教学活动设计:

(一)复习(圆周长)

已知⊙O半径为R,⊙O的周长C是多少?

C=2πR

这里π=3.14159…,这个无限不循环的小数叫做圆周率.

由于生产、生活实际中常遇到有关弧的长度计算,那么怎样求一段弧的长度呢?

提出新问题:已知⊙O半径为R,求n°圆心角所对弧长.

(二)探究新问题、归纳结论

教师组织学生探讨(因为问题并不难,学生完全可以自己研究得到公式).

研究步骤:

(1)圆周长C=2πR

(2)1°圆心角所对弧长= ;

(3)n°圆心角所对的弧长是1°圆心角所对的弧长的n倍;

(4)n°圆心角所对弧长= .

归纳结论:若设⊙O半径为R, n°圆心角所对弧长l,则

  (弧长公式)

(三)理解公式、区分概念

教师引导学生理解:

(1)在应用弧长公式 进行计算时,要注意公式中n的意义.n表示1°圆心角的倍数,它是不带单位的;

(2)公式可以理解记忆(即按照上面推导过程记忆);

(3)区分弧、弧的度数、弧长三概念.度数相等的弧,弧长不一定相等,弧长相等的弧也不一定是等孤,而只有在同圆或等圆中,才可能是等弧.

(四)初步应用

例1、已知:如图,圆环的外圆周长C1=250cm,内圆周长C2=150cm,求圆环的宽度d (精确到1mm).

分析:(1)圆环的宽度与同心圆半径有什么关系?

(2)已知周长怎样求半径?

(学生独立完成)

解:设外圆的半径为R1,内圆的半径为R2,则

d=

(cm

例2,弯制管道时,先按中心线计算展直长度,再下料,试计算图所示管道的展直长度L(单位:mm,精确到1mm)

教师引导学生把实际问题抽象成数学问题,渗透数学建模思想.

解:由弧长公式,得

(mm

所要求的展直长度

L (mm

答:管道的展直长度为2970mm.

课堂练习:P176练习1、4题.

(五)总结

知识:圆周长、弧长公式;圆周率概念;

能力:探究问题的方法和能力,弧长公式的记忆方法;初步应用弧长公式解决问题.

(六)作业  教材P176练习2、3;P186习题3.

圆周长、弧长(二)

教学目标

1、应用圆周长、弧长公式综合圆的有关知识解答问题;

2、培养学生综合运用知识的能力和数学模型的能力;

3、通过应用题的教学,向学生渗透理论联系实际的观点.

教学重点灵活运用弧长公式解有关的应用题.

教学难点建立数学模型.

教学活动设计:

(一)灵活运用弧长公式

例1、填空:

(1)半径为3cm,120°的圆心角所对的弧长是_______cm;

(2)已知圆心角为150°,所对的弧长为20π,则圆的半径为_______;

(3)已知半径为3,则弧长为π的弧所对的圆心角为_______.

(学生独立完成,在弧长公式中l、n、R知二求一.)

答案:(1)2π;(2)24;(3)60°.

说明:使学生灵活运用公式,为综合题目作准备.

练习:P196练习第1题

(二)综合应用题

例2、如图,两个皮带轮的中心的距离为2.1m,直径分别为0.65m和0.24m.(1)求皮带长(保留三个有效数字);(2)如果小轮每分转750转,求大轮每分约转多少转.

教师引导学生建立数学模型:

分析:(1)皮带长包括哪几部分(+DC++AB);

(2)“两个皮带轮的中心的距离为2.1m”,给我们解决此题提供了什么数学信息?

(3)AB、CD与⊙O1、⊙O2具有什么位置关系?AB与CD具有什么数量关系?根据是什么?(AB与CD是⊙O1与⊙O2的公切线,AB=CD,根据的是两圆外公切线长相等.)

(4)如何求每一部分的长?

这里给学生考虑的时间和

空间,充分发挥学生的主体作用.

解:(1)作过切点的半径O1A、O1D、O2B、O2C,作O2E⊥O1A,垂足为E.

∵O1O2=2.1,

(m)

,∴

∴的长l1 (m)

,  ∴的长(m)

∴皮带长l=l1+l2+2AB=5.62(m).

(2)设大轮每分钟转数为n,则

(转)

答:皮带长约5.63m,大轮每分钟约转277转.

说明:通过本题渗透数学建模思想,弧长公式的应用,求两圆公切线的方法和计算能力.

巩固练习:P196练习2、3题.

探究活动

钢管捆扎问题

已知由若干根钢管的外直径均为d,想用一根金属带紧密地捆在一起,求金属带的长度.

请根据下列特殊情况,找出规律,并加以证明.

提示:设钢管的根数为n,金属带的长度为Ln如图:

当n=2时,L2=(π+2)d.

当n=3时,L3=(π+3)d.

当n=4时,L4=(π+4)d.

当n=5时,L5=(π+5)d.

当n=6时,L6=(π+6)d.

当n=7时,L7=(π+6)d.

当n=8时,L8=(π+7)d.

猜测:若最外层有n根钢管,两两相邻接排列成一个向外凸的圈,相邻两圆是切,则金属带的长度为L=(π+n)d.

证明略.


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