公式法教案
文章来源自学科网 教学内容
1.一元二次方程求根公式的推导过程;
2.公式法的概念;
3.利用公式法解一元二次方程.
教学目标
理解一元二次方程求根公式的推导过程,了解公式法的概念,会熟练应用公式法解一元二次方程.
复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程,引入ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式的推导公式,并应用公式法解一元二次方程.
重难点关键
1.重点:求根公式的推导和公式法的应用.
2.难点与关键:一元二次方程求根公式法的推导.
教学过程
一、复习引入
(学生活动)用配方法解下列方程
(1)6x2-7x+1=0 (2)4x2-3x=52
(老师点评) (1)移项,得:6x2-7x=-1
二次项系数化为1,得:x2- x=-
配方,得:x2- x+( )2=- +( )2
(x- )2=
x- =± x1= + = =1
x2=- + = =
(2)略
总结用配方法解一元二次方程的步骤(学生总结,老师点评).
(1)移项;
(2)化二次项系数为1;
(3)方程两边都加上一次项系数的一半的平方;
(4)原方程变形为(x+m)2=n的形式;
(5)如果右边是非负数,就可以直接开平方求出方程的解,如果右边是负数,则一元二次方程无解.
二、探索新知
如果这个一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0(a≠0),你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根,请同学独立完成下面这个问题.
问题:已知ax2+bx+c=0(a≠0)且b2-4ac≥0,试推导它的两个根x1= ,x2=
分析:因为前面具体数字已做得很多,我们现在不妨把a、b、c也当成一个具体数字,根据上面的解题步骤就可以一直推下去.
解:移项,得:ax2+bx=-c
二次项系数化为1,得x2+ x=-
配方,得:x2+ x+( )2=- +( )2 即(x+ )2=
∵b2-4ac≥0且4a2>0 ∴ ≥0
直接开平方,得:x+ =± 即x=
∴x1= ,x2=
由上可知,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根由方程的系数a、b、c而定,因此:
(1)解一元二次方程时,可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0,当b-4ac≥0时,将a、b、c代入式子x= 就得到方程的根.
(2)这个式子叫做一元二次方程的求根公式.
(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法.
(4)由求根公式可知,一元二次方程最多有两个实数根.
例1.用公式法解下列方程.
(1)2x2-4x-1=0 (2)5x+2=3x2 (3)(x-2)(3x-5)=0 (4)4x2-3x+1=0
分析:用公式法解一元二次方程,首先应把它化为一般形式,然后代入公式即可.
解:(1)a=2,b=-4,c=-1
b2-4ac=(-4)2-4×2×(-1)=24>0
x= ∴x1= ,x2=
(2)将方程化为一般形式3x2-5x-2=0
a=3,b=-5,c=-2
b2-4ac=(-5)2-4×3×(-2)=49>0
x= x1=2,x2=-
(3)将方程化为一般形式3x2-11x+9=0
a=3,b=-11,c=9
b2-4ac=(-11)2-4×3×9=13>0
∴x= ∴x1= ,x2=
(3)a=4,b=-3,c=1
b2-4ac=(-3)2-4×4×1=-7<0
因为在实数范围内,负数不能开
平方,所以方程无实数根.
三、巩固练习
教材P42 练习1.(1)、(3)、(5)
四、应用拓展
例2.某数学兴趣小组对关于x的方程(m+1) +(m-2)x-1=0提出了下列问题.
(1)若使方程为一元二次方程,m是否存在?若存在,求出m并解此方程.
(2)若使方程为一元二次方程m是否存在?若存在,请求出.
你能解决这个问题吗?
分析:能.(1)要使它为一元二次方程,必须满足m2+1=2,同时还要满足(m+1)≠0.
(2)要使它为一元一次方程,必须满足:
① 或② 或③
解:(1)存在.根据题意,得:m2+1=2
m2=1 m=±1
当m=1时,m+1=1+1=2≠0
当m=-1时,m+1=-1+1=0(不合题意,舍去)
∴当m=1时,方程为2x2-1-x=0
a=2,b=-1,c=-1
b2-4ac=(-1)2-4×2×(-1)=1+8=9
x= x1=,x2=-
因此,该方程是一元二次方程时,m=1,两根x1=1,x2=- .
(2)存在.根据题意,得:①m2+1=1,m2=0,m=0
因为当m=0时,(m+1)+(m-2)=2m-1=-1≠0
所以m=0满足题意.
②当m2+1=0,m不存在.
③当m+1=0,即m=-1时,m-2=-3≠0
所以m=-1也满足题意.
当m=0时,一元一次方程是x-2x-1=0,
当m=-1时,一元一次方程是-3x-1=0
解得x=-
因此,当m=0或-1时,该方程是一元一次方程,并且当m=0时,其根为x=-1;当m=-1时,其一元一次方程的根为x=- .
五、归纳小结
本节课应掌握:
(1)求根公式的概念及其推导过程;
(2)公式法的概念;
(3)应用公式法解一元二次方程;
(4)初步了解一元二次方程根的情况.
六、布置作业
1.教材P45 复习巩固4.
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文章来源自学科网 2.选用作业设计:一、选择题
1.用公式法解方程4x2-12x=3,得到( ).
A.x= B.x= C.x= D.x=
2.方程 x2+4 x+6 =0的根是( ).
A.x1= ,x2= B.x1=6,x2= C.x1=2 ,x2= D.x1=x2=-
3.(m2-n2)(m2-n2-2)-8=0,则m2-n2的值是( ).
A.4 B.-2 C.4或-2 D.-4或2
二、填空题
1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式是________,条件是________.
2.当x=______时,代数式x2-8x+12的值是-4.
3.若关于x的一元二次方程(m-1)x2+x+m2+2m-3=0有一根为0,则m的值是_____.
三、综合提高题
1.用公式法解关于x的方程:x2-2ax-b2+a2=0.
2.设x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根,(1)试推导x1+x2=- ,x1·x2= ;(2)求代数式a(x13+x23)+b(x12+x22)+c(x1+x2)的值.
3.某电厂规定:该厂家属区的每户居民一个月用电量不超过A千瓦时,那么这户居民这个月只交10元电费,如果超过A千瓦时
,那么这个月除了交10元用电费外超过部分还要按每千瓦时 元收费.
(1)若某户2月份用电90千瓦时,超过规定A千瓦时,则超过部分电费为多少元?(用A表示)
(2)下表是这户居民3月、4月的用电情况和交费情况
月份 用电量(千瓦时) 交电费总金额(元)
3 80 25
4 45 10
根据上表数据,求电厂规定的A值为多少?
答案:
一、1.D 2.D 3.C
二、1.x= ,b2-4ac≥0 2.4 3.-3
三、1.x= =a±│b│
2.(1)∵x1、x2是ax2+bx+c=0(a≠0)的两根,
∴x1= ,x2=
∴x1+x2= =- ,
x1·x2= · =
(2)∵x1,x2是ax2+bx+c=0的两根,∴ax12+bx1+c=0,ax22+bx2+c=0
原式=ax13+bx12+c1x1+ax23+bx22+cx2
=x1(ax12+bx1+c)+x2(ax22+bx2+c)=0
3.(1)超过部分电费=(90-A)· =- A2+ A
(2)依题意,得:(80-A)· =15,A1=30(舍去),A2=50
课后教学反思:_______________________________________________________________
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