数学教案：相切在作图中的应用

数学教案－相切在作图中的应用

1、教材分析

（1）知识结构

（2）重点、难点分析

重点：使学生理解画“连接”图形的理论依据．它是本节内容的核心，也是今后在实际制图应用中的基础．

难点：①对“连接”图形原理的理解．因为它是应用抽象知识来描述客观问题，学生常常因抽象思维能力较弱，而没有真正理解和掌握；②线段与弧、弧与弧连接时圆心位置的确定．

2、教法建议

（1）在教学中，组织学生寻找一些身边的有关“连接”的实际问题，画出比例图，既调动学生的积极性，培养了兴趣，又获得了知识；

（2）在教学中，以“实际问题——概念引出——理解——实际应用”为主线，开展在教师组织下，以学生为主体，活动式教学．相切在作图中的应用（一）

　教学目标：

（1）理解线段与弧、弧与弧连接的概念及连接的原理；

（2）通过对 “连接”等概念的教学，培养学生的理解能力；

（3）通过线段与弧的连接，圆弧与圆弧的连接，培养学生的作图能力；

（4）“渗透”世界上很多事物是互相联系着的，并且在一定条件下相互转化．

　教学重点:

正确理解连接的原理，初步掌握线段与圆弧连接、圆弧与圆弧连接的实质，会进行各种连接．

　教学难点:

连接原理的正确理解和作图时圆心、半径的确定

　教学活动设计:

（一）实际问题引出概念

我们在生活中常见到一些机器零件，它的边缘是圆滑的，我们最熟悉的操场上的跑道，它的跑道线也是很圆滑的．

想一想：跑道线是怎样的线组成的?

画一画：跑道的大致图形．

指导学生发现线线的位置关系，引出连接的有关概念：

1、由一条线（线段或圆弧）平滑地过渡到另一条线上，这种平滑地过渡，称圆弧连接，简称连接．

2、连接时，线段与圆弧、圆弧与圆弧在连接处相切．

3、外连接、内连接．

组织学生阅读理解教材内容

（二）深刻理解概念

 “连接”是“平滑地过渡”，怎样算“平滑“?像下面图中，实线画出的线段和圆弧，圆弧和圆弧，虽然也有相切的关系，但它们不是连接．

　 　

理解：线与线连接有两个必备条件：①连接时，线段与圆弧，圆弧与圆弧在连接处相切．②线段与圆弧应分居在圆心与切点所在直线的两侧；圆弧与圆弧分居在连心线的两侧，二者缺一不可．

（三）圆弧与线段、圆弧与圆弧连接图形的画法

例1： 已知：线段AB和r（如图）．

求作： ，使它的半径等于r，，并且在点A与线段AB连接．

作法：1、过点A作直线PA⊥AB．

2、在射线AP取AO=r．

3、以O为圆心，r为半径作 ，使AB、 在OA的两侧．

就是所求作的弧．

说明：画圆弧与线段的连接，主要运用了切线的性质定理的推论2：经过切点且垂直于切线的直线必过圆心，找出了圆心，圆弧也就不难画了．

例2、 已知：如图， 的半径为R₁，圆心为O₁；线段R₂．

求作：半径为R₂的 ，使 与 在点A外连接．

 

作法：1、连结O₁A，并且延长到点O₂，使O₁ O₂ = R₁+ R₂．

2、以O₂为圆心，O₁ O₂为半径作 ，使 与 在的两侧．

就是所求作的弧．

说明：画圆弧与圆弧的连接，主要运用“两圆相切，切点一定在连心线上”这个结论．

练习题：P148练习，1、2．

（三）小结

主要内容：

1、什么是连接?什么是外连接?什么是内连接?

2、任何一种连接，其实质就是两线相切，在切点处相连接，是切点两侧的线段和圆弧或圆弧与圆弧相连接．

3、对于给出的题目，画出连接图形关键在于确定圆心．

（四）作业

教材P151习题A组16．

课外题：画一个生活中的有关连接图形的比例图，下节课展示．
相切在作图中的应用（二）

教学目标：

（1）进一步理解连接等概念及连接的原理；

（2）进一步培养学生的作图能力；

（3）通过对作图题的分析，培养学生的分析问题能力．

教学重点:

深刻理解连接的意义，能对具体图形熟练地进行弧连接．

教学难点:

作图时圆心、半径的确定

教学活动设计:

(一)概念复习与理解

练习1、下列命题中，正确的是（C）

(A)将一段弧和一条线段连到一起的图形叫连接；

(B)一段给出半径的圆弧可以和一直线连接；

(C)两段给出不等半径的圆弧可以用内、外两种连接方式连接；

(D)两段圆弧内切就是内连接．

练习2、内、外连接的区别是( C )

(A)内连接两弧在连心线同侧，而外连接两弧在连心线两侧；

(B)内连接两弧在切点同旁，外连接两弧在切点两旁；

(C)内连接是内切两圆弧连接，外连接是外切两圆弧连接；

(D)内连接是外切两圆弧连接，外连接是内切两圆弧连接．

（二）连接图形的应用

例3

、（教材P148）如图，要把零件中直角A加工成半径为15mm的圆角(即用一条半径为15mm的圆弧连接边AB与边AC)在图上画出这条圆弧．

分析：圆弧的半径已知，要画出这条圆弧，只要求出它的圆心即可．因为圆弧要与AB和AC都相切。所以圆心到边AB和AC的距离都等于15mm，实际上四边形AEOP是正方形，它的顶点O在∠CAB的平分线上．

（参看教材P148）

充分给学生时间让学生自己分析、研究、写出画法，画出图形．

练习：把两边长分别为8cm和5cm的矩形的4个直角改画成圆角，使圆弧的半径等于1cm．

（三）展示作品

对上节课课外作业中较好的连接图形，展示．既提高学生的学习

积极性，又激发学生在教学过程（）中的参与热情．

（四）小结

1、连接在实际生活中的应用，可以改变物体的表面形状．

2、任何一种连接的问题经过分析后都能转化为基本图形：“线段与弧的连接；圆弧与圆弧的内连接；圆弧与圆弧的外连接．

3、连接的关键是确定所求圆弧所在圆的圆心．

4、线段可在一点处与两条弧同时连接．

（五）作业   教材P154中18，B组2．

探究活动

问题：如图三圆两两相切，切点分别为C、O、D，与半圆O分别切于点A、E、B，请你找出图中除线段AB和弧以外的6条从A点平滑过渡到B点且没有重复弧的路线，并指出在经过个点处是什么连接（内连接、外连接）．