数学教案－解直角三形应用举例
1．知识结构：
2．重点和难点分析
重点和难点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题.
3．教法建议
本节知识与实际联系密切，这些知识可以直接用来解决一些实际问题，这在几何的许多章节中是做不到的，所以要充分发挥这一特点，通过教学，培养学生应用数学的意识，解决实际问题的能力．要解决实际问题，首先要能够把实际问题抽象为数学问题，然后运用数学知识解决这些问题，为了使学生能够处理一些简单问题，教材中配备一些比较典型的例题，这些例题的教学，要注意以下几个问题：
1．帮助学生弄清实际问题的意义．由于学生接触实际较少，实践经验不足，许多实际问题的意义不清楚，许多术语不熟悉，这些在教学中要向学生说明．例如测量中的仰角、俯角、视线、铅垂线等等，零件图，特别是剖面图的意义，航行中的方位角等．学生懂得了这些常识，才能理解实际问题．
2．帮助学生画出草图．把实际问题抽象为几何问题，关键是画出草图，通过图形反映问题中的已知与未知，以及已知和未知量之间的关系．这里要解决好两个问题：
(1)实际问题基本上是空间三维的问题，要会把它转化为平面问题，画出平面图形．例如飞机在空中俯看地面目标，选取经过飞机、地面目标的垂直于地平面的平面(图1)；机器零件大都画出横断面、纵断面(图2)；在地面上测两点距离，两个方向夹角，可以画平行地面的平面等．
(2)船在海上航行，在平面上标出船的位置、灯塔或岸上某目标的位置，这类问题难点在于确定基准点．例如，说灯塔在船的什么方向上，这时船是基准点，如果说船在岸边某一点的什么方向上，这时岸边的这一点是基准点．有时因为船在航行中观测灯塔，基准点在转移，这些都会给画图增加困难．
在第一册里，介绍过空间里的平行、垂直关系，也介绍过方向角的概念，这些都可以作为学习的基础，教学时可适当复习，帮助学生回忆．
3．帮助学生根据需要作出辅助线．画出的草图，不一定有直角三角形，为了用解直角三角形的方法解决这些问题，常常需要添加辅助线．在这些问题中，辅助线常常是垂线或者平行线，例如图3中的几个问题中，虚线就是所要添加的辅助线．
4．有了直角三角形，还要进一步分析，由题目的条件可以知道直角三角形的哪些边或角，题目要求的是哪些边或角，这样才可以用解直角三角形的方法解决这些实际问题．
一、教学目标
1．使学生了解仰角、俯角的概念，能根据直角三角形的知识解决实际问题，会把实际问题转化为数学问题来解决；
2．通过本节的教学，进一步把形和数结合起来，提高学生分析问题、解决实际问题的能力；
3．通过本节的教学，向学生渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点，培养他们用数学的意识.
二、重点·难点·疑点及解决办法
1． 重点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题.
2．难点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题.
3．疑点：练习中水位为＋2.63这一条件学生可能不理解，教师最好用实际教具加以说明.
4．解决办法：引导学生体会实际问题中的概念，建立数学模型，从而重难点，以教具演示解决疑点.
三、教学过程（）
1．仰角、俯角
当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在
水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角．
教学时，可以让学生仰视灯或俯视桌面以体会仰角与俯角的意义．
2．例1
如图，某飞机于空中A处探测到目标C，此时飞行高度米，从飞机上看地平面控制点B的俯角，求飞机A到控制点B距离（精确到1米）．
解决此问题的关键是在于把它转化为数学问题，利用解直角三角报知识来解决，在此之
前，学生曾经接触到通过把实际问题转化为数学问题后，用数学方法来解决问题的方法，但
不太熟练．因此，解决此题的关键是转化实际问题为数学问题，转化过程中着重语学生画几
何图形，并说出题目中每句话对应图中哪个角或边（包括已知什么和求什么），会利用平行线的内错角相等的性质由已知的俯角得出中的，进而利用解直角三角形的知识就可以解此题了．
解：在中,
∴ （米）．
答：飞机A到控制点B的距离约为4221米．
［例1］小结：本章引言中的例子和例1正好属于应用同一关系式
来解决的两个实际问题即已知和斜边，求的对边；以及已知和对边，求斜边．
3．巩固练习 P．25．
如图，某海岛上的观察所A发现海上某船只B并测得其俯角．已知观察所A的标高（当水位为0m时的高度）为43．74m，当时水位为＋2．63m，求观察所A到船只B的水平距离BC（精确到1m）
为了巩固例1，加深学生对仰角、俯角的了解，配备了练习．
由于学生只接触了一道实际应用题，对其还不熟悉，不会将其转化
为数学问题，因此教师在学生充分地思考后，应引导学生分析：
1．谁能将实
物图形抽象为几何图形？请一名同学上黑板画出来．
2．请学生结合图说出已知条件和所求各是什么？
答：已知，求AB．
这样，学生运用已有的解直角三角形的知识完全可以解答．
对于程度较高的学生，教师还可以将此题变式，当船继续行驶到D
时，测得俯角，当时水位为－1.15m，求观察所A到船只B的水平距离（精确到1m），请学生独立完成.【例2】 如图所示，已知A、B两点间的距离是160米，从A点看B点的仰角是11°，AC长为1.5米，求BD的高及水平距离CD.
此题在例1的基础上，又加深了一步，须由A作一条平等于CD的直线交BD于E，构造出，然后进一步求出AE、BE，进而求出BD与CD.
设置此题，既使成绩较好的学生有足够的训练，同时对较差学生又是巩固，达到分层次教学的目的.
解：过A作，于是，
在中，
∴ （米）.
.
∴ （米）.
∴ （米）.
（米）.
答：BD的高及水平距离CD分别是32.03米，157.1米.
练习：为测量松树AB的高度，一个人站在距松树15米的E处，测得仰角，已知人的高度为1.72米，求树高（精确到0.01米）.
要求学生根据题意能画图，把实际问题转化为数学问题，利用解直角三角形的知识来解决它.
探究活动
一、望海岛
如图, 要测量海岛高度,立两根高度都是3丈的杆,两杆相距1000步,使前杆、后杆、海岛排成一直线。从前杆往回走123步，脚、前杆顶、岛顶共线。从后杆往回走127步，脚、后杆、岛顶共线。问岛高和岛离前杆分别为多少？(在古代，1里=300步，1步=6尺=0.6丈)
答案: 4里55步;102里150步.
二、望松
如下图，求出三顶松的高度.
答案: 12丈2尺8寸.
