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数学教案:一元二次方程的根与系数的关系(一)

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数学教案-一元二次方程的根与系数的关系(一)

一、教学目标

1.掌握一元二次方程根与系数的关系式,能运用它由已知一元二次方程的一个根求出另一个根与未知系数;

2.通过根与系数的教学,进一步培养学生分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力;

3.通过本节课的教学,向学生渗透由特殊到一般,再由一般到特殊的认识事物的规律。

教学重点和难点:

二、重点·难点·疑点及解决办法

1.教学重点:根与系数的关系及其推导。

2.教学难点:正确理解根与系数的关系。

3.教学疑点:一元二次方程根与系数的关系是指一元二次方程两根的和,两根的积与系数的关系。

4.解决办法;在实数范围内运用韦达定理,必须注意这个前提条件,而应用判别式的前提条件是方程必须是一元二次方程,即二次项系数,因此,解题时,要根据题目分析题中有没有隐含条件和。

三、教学步骤

(一)教学过程()

1.复习提问

(1)写出一元二次方程的一般式和求根公式。

(2)解方程①,②。

观察、思考两根和、两根积与系数的关系。

在教师的引导和点拨下,由沉重得出结论,教师提问:所有的一元二次方程的两个根都有这样的规律吗?

2.推导一元二次方程两根和与两根积和系数的关系。

设是方程的两个根。

∴ 


   以上一名学生板书,其他学生在练习本上推导。

由此得出,一元二次方程的根与系数的关系。(一元二次方程两根和与两根积与系数的关系)

结论1.如果的两个根是,那么。

如果把方程变形为。

我们就可把它写成

的形式,其中。从而得出:

结论2.如果方程的两个根是,那么。

结论1具有一般形式,结论2有时给研究问题带来方便。

练习1.(口答)下列方程中,两根的和与两根的积各是多少?

(1);(2);(3);

(4);(5);(6)

此组练习的目的是更加熟练掌握根与系数的关系。
3.一元二次方程根与系数关系的应用。

(1)验根。(口答)判定下列各方程后面的两个数是不是它的两个根。

①;②;③;

④;⑤。

验根是一元二次方程根与系数关系的简单应用,应用时要注意三个问题:(1)要先把一元二次方程化成一般形式,(2)不要漏除二次项系数,(3)还要注意中的负号。

(2)已知方程一根,求另一根。

例:已知方程的根是2,求它的另一根及k的值。

解法1:设方程的另一根为,那么。

∴ 

又  ∵  。

答:方程的另一根是,k的值是-7。

此题的解法是依据一元二次方程根与系数的关系,设未知数列方程达到目的,还可以向学生展现下列方法,并且作比较。

方法(二)  ∵  2是方程的根,

∴ 

∴  原方程可变为

解此方程。

方法(三)∵  2是方程的根,

∴ 

答:方程的另一根是,k的值是-7。

学生进行比较,方法(二)不如方法(一)和(三)简单,从而认识到根与系数关系的应用价值。

练习:教材P32中2。

学习笔答、板书,评价,体会。

(二)总结、扩展

(12)    一元二次方程根与系数的关系的推导是在求根公式的基础上进行。它深化了两根的和与积和系数之间的关系,是我们今后继续研究一元二次方程根的情况的主要工具,必须熟记,为进一步使用打下基础。

2.以一元二次方程根与系数的关系的探索与推导,向学生展示认识事物的一般规律,提倡积极思维,勇于探索的精神,借此锻炼学生分析、观察、归纳的能力及推理论证的能力

3.一元二次方程的根与系数的关系,在中考中多以填空,选择,解答题的形式出现,考查的频率较高,也常与几何、二次函数等问题结合考查,是考试的热点,它是方程理论的重要组成部分。

四、布置作业

教材P32中1  P33中A1。

五、板书设计


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数学教案:一元二次方程的根与系数的关系(一)

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