第二课时 单摆、振动的能量与共振
【要求】
1．了解单摆的周期与摆长的关系
2．了解受迫振动与共振。
【知识再现】
一．单摆
1．在一条不易伸长的，忽略质量的细线下端拴一质点，上端固定，这样构成的装置叫单摆。
注意：单摆是一种理想化的物理模型。
2．单摆做简谐运动的条件： 。
3．回复力重力沿切线方向的分力。
4．周期公式： ；单摆的等时性是指周期与 无关．
思考：如何证明单摆在摆角小于100时，其振动为简谐摄动？
二．外力作用下的振动
1．简谐运动的能量与 有关， 越大，振动能量越大。
2．阻尼振动：振幅逐渐减小的振动。
3．受迫振动：物体在 作用下的振动叫受迫振动。做受迫振动的物体，它的周期或频率等于 的周期或频率，而与物体的 无关。
4．共振：做受迫振动的物体，它的 频率与固有频率越接近，其振幅就越大，当二者相等时，振幅达到这就是共振现象．
（1）共振曲线：如图所示。
（2）共振的防止和利用：
利用共振，使驱动力的频率接近，直至等于振动系统的固有频率。
防止共振，使驱动力的频率远离振动系统的固有频率。
思考：有阻力的振动一定是阻尼振动吗？
5．自由振动、受迫振动和共振的关系比较如下：
知识点一单摆作简揩振动的受力分析
关于合外力、回复力、向心力的关系。最高点：向心力为零，回复力最大，合外力等于回复力。最低点：向心力最大，回复力为零，合外力等于向心力。在任意位置合外力沿半径方向的分力就是向心力，合外力沿切线方向上的分力就是回复力。
【应用1】一做简谐运动的单摆，在摆动过程中下列说法正确的有（ ）
A.只有在平衡位置时，回复力等于重力与细绳拉力的合力
B.只有在小球摆至最高点时，回复力等于重力与细绳拉力的合力
C.小球在任意位置回复力都等于重力与细绳拉力的合力
D.小球在任意位置回复力都不等于重力与细绳拉力的合力
导示:单摆摆到平衡位置时，回复力为零，而重力与绳的拉力的合力提供做圆周运动的向心力。当摆球摆到最高点，瞬时速度为零，重力沿法线方向的分力和绳的拉力平衡，回复力等于合外力。
故选B。
知识点二单摆周期公式的理解
单摆周期公式 的理解
1.公式成立的条件：摆角小于100。
2.单摆的周期在振幅较小的条件下，与单摆的振幅以及摆球的质量无关。
3. l?等效摆长：摆动圆弧的圆心到摆球重心的距离，而不一定为摆线的长。
4. g一等效重力加速度：与单摆所处物理环境有关。
①在不同星球表面，悬点静止或匀速运动时，g为当地重力加速度。
②单摆处于超重或失重状态下的等效重力加速度分别为g=go士a。
如在轨道上运动的卫星a=go，完全失重，等效g=0。
③若有其它作用力且该作用力对单摆的回复力没有影响，g为当地重力加速度。若该作用力为恒力，等效g的取值为单摆不摆动时，摆线的拉力F与摆球质童的比值，即等效g= F/m。
【应用2】在下图中，几个相同的单摆在不同的条件下，关于它们的周期的关系判断正确的是（ ）
A. T1＞T2＞T3＞T4 B. T1＜T2 = T3＜T4
C. T1＞T2= T3＞T4 D. T1＜T2＜T3＜T4
导示: 对于（1)图所示的条件下时，重力平行斜面的分量(mgsinθ)沿切向的分量提供回复力，回复力相对竖直放置的单摆的回复力减小，加速运动的加速度减小，即周期T变大，所以图(1)中的单摆的周期大于竖直放置单摆的周期。
对于(2)图所示的条件，带正电的摆球在振动过程中要受到天花板上带正电小球排斥，但两球间的斥力与运动的方向总是垂直的，不影响回复力，故单摆的周期不变，与（3)图所示的单摆周期相同。
对于(4)图所示的条件，单摆在升降机内，与升降机一起做加速上升的运动，摆球沿摆动方向分力也增大，也就是回复力增大，加速度增大，摆球回到相对平衡的位置时间变短，故周期T变小。
答案：C
知识点三受迫振动与共振
1．物体从外界取得一定的能量，开始振动以后，不再受外界作用仅在回复力作用下保持振幅恒定的振动叫自由振动．自由振动的频率完全取决于系统本身的性质，这个频率又叫固有频率．
2．受迫振动是指在周期性驱动力作用下的振动，其振动频率等于驱动力的频率，与固有频率无关．
3．共振的条件与特点
(1)条件：驱动频率等于物体的固有频率．
(2)特点：振幅最大，且驱动力频率与固有频率差别越大，振幅越小．
【应用3】(2006?全国理综）一砝码和一轻弹簧构成弹簧振子，如图所示的装置可用于研究该弹簧振子的受迫振动。匀速转动把手时，曲杆给弹簧振子一驱动力，使振子做受迫振动。把手匀速转动的周期就是驱 动力的周期，改变把手匀速转动的速度就可以改变驱动力的周期。若保持把手不动，给砝码一向下的初速度，砝码便做简谐运动，振动图线如图甲所示。当把手以某一速度匀速转动，受迫振动达到稳定时，砝码的振动图线如图乙所示。若用T0表示弹簧振子的固有周期，T表示驱动力的周期,Y表示受迫振动达到稳定后祛码振动的振幅，则（）
A.由图线可知T0=4s
B.由图线可知T0=8s
C.当T在4 s附近时,Y显著增大；当T比4 s小得多或大得多时,Y很小
D.当T在8s附近时，Y显著增大；当T比8 s小得多或大得时，Y很小
导示:由图甲知振动的固有周期To= 4 s,图乙是振子在驱动力作用下的振动图线，其振动的周期等于驱动力的周期即T=8 s。当受迫振动的周期与驱动力的周期相同时振幅最大；当周期差别越大，其振幅越小。
答案：AC
类型一单摆周期公式的应用-变摆长问题
【例1】已知单摆摆长为L，悬点正下方3L/4处有一个光滑的钉子。让摆球做小角度摆动，其周期将是多大？
导示:该摆在通过悬点的竖直线两边的运动都可以看作简谐运动，周期分别为 和 ，因此该摆的周期为 ：
类型二单摆周期公式与运动学的应用
【例2】如图示，一个光滑的圆弧形槽半径为R，圆弧所对的圆心角小于50 ，AD长为s，今有一沿AD方向以初速度v 从A点开始运动，要使小球m1可以与固定在D点的小球m2 相碰撞，那么小球m 1 的速度应满足什么条件？
导示:小球m1的运动由两个运动合成：沿AD方向的匀速运动和沿圆弧形槽的振动。
匀速运动的时间 t1=s/v
沿圆弧形槽振动的时间t2=n×
相碰撞的条件为 t1=t2
所以 v= （n=1、2、3……）
这类问题要注意分运动与合运动的同时性，处理问题时抓住两个分运动的时间相等解题。
类型三时钟问题
【例3】一物体在某行星表面受到的万有引力是它在地球表面所受万有引力的1/4，在地球上走时准确的机械摆钟移到此行星表面上后，摆钟的分针走一圈所用的时间为地球时间（ ）
A、1/4h B、1/2h C、2h D、4h
导示: = =
∴
∴t’=2h
故选C。
机械摆钟是利用利用机械传动装置使摆锤带动指针运动，因此表盘指针运动的周期与摆锤振动周期成正比。
1．物体做阻尼运动时，它的（ ）
A、周期越来越小 B、位移越来越小
C、振幅越来越小 D、机械能越来越小
2．下列情况下，哪些会使单摆周期变大?（ ）
A.用一装砂的轻质漏斗做成单摆，在摆动过程中，砂从漏斗中慢慢漏出?
B.将摆的振幅增大?
C.将摆放在竖直向下的电场中，且让摆球带负电?
D.将摆从北极移到赤道上?
3．一单摆在地球上作简谐运动时，每min钟振动N次，现把它放在月球上，则该单摆在月球上作简谐运动时，每min振动的次数为(设地球半径为R1质量为M1，月球半径为R，质量为M2)：（ ）
A、 B、
C、 D、
4．有一天体半径为地球半径的2倍，平均密度与地球相同，在地球表面走时准确的摆钟移到该天体的表面，秒针走一圈的实际时间为：( )
A． B． min C． D．2min
5．（2007年上海卷）在接近收费口的道路上安装了若干条突起于路面且与行驶方向垂直的减速带，减速带间距为10m，当车辆经过着速带时会产生振动。若某汽车的因有频率为1.25Hz，则当该车以_________m/s的速度行驶在此减速区时颠簸得最厉害，我们把这种现象称为 。
6．一单摆在山脚下时，在一定时间内振动了N次，将此单摆移至山顶上时，在相同时间内振动了（N-1）次，则此山高度约为地球半径的多少倍？?
【要求】
1．了解单摆的周期与摆长的关系
2．了解受迫振动与共振。
【知识再现】
一．单摆
1．在一条不易伸长的，忽略质量的细线下端拴一质点，上端固定，这样构成的装置叫单摆。
注意：单摆是一种理想化的物理模型。
2．单摆做简谐运动的条件： 。
3．回复力重力沿切线方向的分力。
4．周期公式： ；单摆的等时性是指周期与 无关．
思考：如何证明单摆在摆角小于100时，其振动为简谐摄动？
二．外力作用下的振动
1．简谐运动的能量与 有关， 越大，振动能量越大。
2．阻尼振动：振幅逐渐减小的振动。
3．受迫振动：物体在 作用下的振动叫受迫振动。做受迫振动的物体，它的周期或频率等于 的周期或频率，而与物体的 无关。
4．共振：做受迫振动的物体，它的 频率与固有频率越接近，其振幅就越大，当二者相等时，振幅达到这就是共振现象．
（1）共振曲线：如图所示。
（2）共振的防止和利用：
利用共振，使驱动力的频率接近，直至等于振动系统的固有频率。
防止共振，使驱动力的频率远离振动系统的固有频率。
思考：有阻力的振动一定是阻尼振动吗？
5．自由振动、受迫振动和共振的关系比较如下：
知识点一单摆作简揩振动的受力分析
关于合外力、回复力、向心力的关系。最高点：向心力为零，回复力最大，合外力等于回复力。最低点：向心力最大，回复力为零，合外力等于向心力。在任意位置合外力沿半径方向的分力就是向心力，合外力沿切线方向上的分力就是回复力。
【应用1】一做简谐运动的单摆，在摆动过程中下列说法正确的有（ ）
A.只有在平衡位置时，回复力等于重力与细绳拉力的合力
B.只有在小球摆至最高点时，回复力等于重力与细绳拉力的合力
C.小球在任意位置回复力都等于重力与细绳拉力的合力
D.小球在任意位置回复力都不等于重力与细绳拉力的合力
导示:单摆摆到平衡位置时，回复力为零，而重力与绳的拉力的合力提供做圆周运动的向心力。当摆球摆到最高点，瞬时速度为零，重力沿法线方向的分力和绳的拉力平衡，回复力等于合外力。
故选B。
知识点二单摆周期公式的理解
单摆周期公式 的理解
1.公式成立的条件：摆角小于100。
2.单摆的周期在振幅较小的条件下，与单摆的振幅以及摆球的质量无关。
3. l?等效摆长：摆动圆弧的圆心到摆球重心的距离，而不一定为摆线的长。
4. g一等效重力加速度：与单摆所处物理环境有关。
①在不同星球表面，悬点静止或匀速运动时，g为当地重力加速度。
②单摆处于超重或失重状态下的等效重力加速度分别为g=go士a。
如在轨道上运动的卫星a=go，完全失重，等效g=0。
③若有其它作用力且该作用力对单摆的回复力没有影响，g为当地重力加速度。若该作用力为恒力，等效g的取值为单摆不摆动时，摆线的拉力F与摆球质童的比值，即等效g= F/m。
【应用2】在下图中，几个相同的单摆在不同的条件下，关于它们的周期的关系判断正确的是（ ）
A. T1＞T2＞T3＞T4 B. T1＜T2 = T3＜T4
C. T1＞T2= T3＞T4 D. T1＜T2＜T3＜T4
导示: 对于（1)图所示的条件下时，重力平行斜面的分量(mgsinθ)沿切向的分量提供回复力，回复力相对竖直放置的单摆的回复力减小，加速运动的加速度减小，即周期T变大，所以图(1)中的单摆的周期大于竖直放置单摆的周期。
对于(2)图所示的条件，带正电的摆球在振动过程中要受到天花板上带正电小球排斥，但两球间的斥力与运动的方向总是垂直的，不影响回复力，故单摆的周期不变，与（3)图所示的单摆周期相同。
对于(4)图所示的条件，单摆在升降机内，与升降机一起做加速上升的运动，摆球沿摆动方向分力也增大，也就是回复力增大，加速度增大，摆球回到相对平衡的位置时间变短，故周期T变小。
答案：C
知识点三受迫振动与共振
1．物体从外界取得一定的能量，开始振动以后，不再受外界作用仅在回复力作用下保持振幅恒定的振动叫自由振动．自由振动的频率完全取决于系统本身的性质，这个频率又叫固有频率．
2．受迫振动是指在周期性驱动力作用下的振动，其振动频率等于驱动力的频率，与固有频率无关．
3．共振的条件与特点
(1)条件：驱动频率等于物体的固有频率．
(2)特点：振幅最大，且驱动力频率与固有频率差别越大，振幅越小．
【应用3】(2006?全国理综）一砝码和一轻弹簧构成弹簧振子，如图所示的装置可用于研究该弹簧振子的受迫振动。匀速转动把手时，曲杆给弹簧振子一驱动力，使振子做受迫振动。把手匀速转动的周期就是驱 动力的周期，改变把手匀速转动的速度就可以改变驱动力的周期。若保持把手不动，给砝码一向下的初速度，砝码便做简谐运动，振动图线如图甲所示。当把手以某一速度匀速转动，受迫振动达到稳定时，砝码的振动图线如图乙所示。若用T0表示弹簧振子的固有周期，T表示驱动力的周期,Y表示受迫振动达到稳定后祛码振动的振幅，则（）
A.由图线可知T0=4s
B.由图线可知T0=8s
C.当T在4 s附近时,Y显著增大；当T比4 s小得多或大得多时,Y很小
D.当T在8s附近时，Y显著增大；当T比8 s小得多或大得时，Y很小
导示:由图甲知振动的固有周期To= 4 s,图乙是振子在驱动力作用下的振动图线，其振动的周期等于驱动力的周期即T=8 s。当受迫振动的周期与驱动力的周期相同时振幅最大；当周期差别越大，其振幅越小。
答案：AC
类型一单摆周期公式的应用-变摆长问题
【例1】已知单摆摆长为L，悬点正下方3L/4处有一个光滑的钉子。让摆球做小角度摆动，其周期将是多大？
导示:该摆在通过悬点的竖直线两边的运动都可以看作简谐运动，周期分别为 和 ，因此该摆的周期为 ：
类型二单摆周期公式与运动学的应用
【例2】如图示，一个光滑的圆弧形槽半径为R，圆弧所对的圆心角小于50 ，AD长为s，今有一沿AD方向以初速度v 从A点开始运动，要使小球m1可以与固定在D点的小球m2 相碰撞，那么小球m 1 的速度应满足什么条件？
导示:小球m1的运动由两个运动合成：沿AD方向的匀速运动和沿圆弧形槽的振动。
匀速运动的时间 t1=s/v
沿圆弧形槽振动的时间t2=n×
相碰撞的条件为 t1=t2
所以 v= （n=1、2、3……）
这类问题要注意分运动与合运动的同时性，处理问题时抓住两个分运动的时间相等解题。
类型三时钟问题
【例3】一物体在某行星表面受到的万有引力是它在地球表面所受万有引力的1/4，在地球上走时准确的机械摆钟移到此行星表面上后，摆钟的分针走一圈所用的时间为地球时间（ ）
A、1/4h B、1/2h C、2h D、4h
导示: = =
∴
∴t’=2h
故选C。
机械摆钟是利用利用机械传动装置使摆锤带动指针运动，因此表盘指针运动的周期与摆锤振动周期成正比。
1．物体做阻尼运动时，它的（ ）
A、周期越来越小 B、位移越来越小
C、振幅越来越小 D、机械能越来越小
2．下列情况下，哪些会使单摆周期变大?（ ）
A.用一装砂的轻质漏斗做成单摆，在摆动过程中，砂从漏斗中慢慢漏出?
B.将摆的振幅增大?
C.将摆放在竖直向下的电场中，且让摆球带负电?
D.将摆从北极移到赤道上?
3．一单摆在地球上作简谐运动时，每min钟振动N次，现把它放在月球上，则该单摆在月球上作简谐运动时，每min振动的次数为(设地球半径为R1质量为M1，月球半径为R，质量为M2)：（ ）
A、 B、
C、 D、
4．有一天体半径为地球半径的2倍，平均密度与地球相同，在地球表面走时准确的摆钟移到该天体的表面，秒针走一圈的实际时间为：( )
A． B． min C． D．2min
5．（2007年上海卷）在接近收费口的道路上安装了若干条突起于路面且与行驶方向垂直的减速带，减速带间距为10m，当车辆经过着速带时会产生振动。若某汽车的因有频率为1.25Hz，则当该车以_________m/s的速度行驶在此减速区时颠簸得最厉害，我们把这种现象称为 。
6．一单摆在山脚下时，在一定时间内振动了N次，将此单摆移至山顶上时，在相同时间内振动了（N-1）次，则此山高度约为地球半径的多少倍？?
