第1节 曲线运动 运动的合成与分解
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1.运动的合成与分解 Ⅱ
2.抛体运动 Ⅱ
3.匀速圆周运动、角速度、线速度、向心加速度Ⅰ
4.匀速圆周运动的向心力 Ⅰ
5.离心现象 Ⅱ
6.万有引力定律及其应用 Ⅱ
7.环绕速度 Ⅱ
8.第二宇宙速度和第三宇宙速度 Ⅰ
9.经典时空观和相对论时空观 Ⅰ
（写抛体运动只作定性要求）1、全方位理解运动的合成与分解的方法及运动的合成与分解在实际问题中的应用
2、掌握平抛运动的规律及应用
3、理解描述圆周运动的物理量以及它们之间的关系，并能利用圆周运动知识处理与电场、磁场、机械能有关的综合问题
4、能够处理万有引力、天体运动、人造卫星等问题，以及与现代航天事业相关的问题
【考纲知识梳理】
一、 曲线运动
1.曲线运动速度方向：在曲线运动中，运动质点在某一点的瞬时速度的方向，就是通过这一点的曲线的切线方向。
2.运动的性质：曲线运动的速度方向时刻变化。即使其速度大小保持恒定，由于其方向不断变化，所以 说：曲线运动一定是变速运动，加速度不为零。
3.做曲线运动的条件：
⑴从运动学角度说，物体的加速度方向跟运动方向不在同一条直线上，物体就做曲线运动。
⑵从动力学角度说，如果物体受力分方向跟运动方向不在同一条直线上，物体就做曲线运动。
二、运动的合成与分解
1.已知分运动求合运动叫运动的合成。即已知分运动的位移、速度、和加速度等求合运动的位移、速度、和加速度等，遵从平行四边形定则。
2.已知合运动求分运动叫运动的分解。它是运动合成的逆运算。处理曲线问题往往是把曲线运动按实效分解成两个方向上的分运动。
3.合运动与分运动的关系
（1）等时性：各分运动经历的时间与合运动经历的时间相等。
（2）独立性：一个物体同时参与的几个分运动，个分运动独立进行，不受其他分运动的影响。
（3）等效性：各分运动的叠加与合运动有完全相同的效果
【要点名师透析】
一、合运动的性质和轨迹
1.力与运动的关系
物体运动的形式，按速度分类有匀速运动和变速运动；按轨迹分类有直线运动和曲线运动.运动的形式取决于物体的初速度v0和合外力F，具体分类如下：
(１)F=0：静止或匀速运动.
(２)F≠0：变速运动.
①F为恒量时：匀变速运动.
②F为变量时：非匀变速运动.
(3)F和v0的方向在同一直线上时：直线运动.
(4)F和v0的方向不在同一直线上时：曲线运动.
2.合运动的性质和轨迹
两个互成角度的直线运动的合运动是直线运动还是曲线运动取决于它们的合速度和合加速度方向是否共线(如图所示).
常见的类型有：
(1)a=0：匀速直线运动或静止.
(2)a恒定：性质为匀变速运动，分为：
①v、a同向，匀加速直线运动；
②v、a反向，匀减速直线运动；
③v、a互成角度，匀变速曲线运动(轨迹在v、a之间，和速度v的方向相切，方向逐渐向a的方向接近，但不可能达到).
(3)a变化：性质为变加速运动.如简谐运动，加速度大小、方向都随时间变化.
注意：速率变化情况判断方法
(1)当合力方向与速度方向的夹角为锐角时，物体的速率增大.
(2)当合力方向与速度方向的夹角为钝角时，物体的速率减小.
(3)当合力方向与速度方向的夹角垂直时，物体的速率不变.
【例1】如图所示，一物体在水平恒力的作用下沿光滑水平面做曲线运动，当物体从M点运动到N点时，其速度方向恰好改变了90°，则物体在M点到N点的运动过程中，物体的速度将( )
A.不断增大 B.不断减小
C.先增大后减小 D.先减小后增大
【答案】选D.
【详解】由曲线运动的轨迹夹在合外力与速度方向之间，对M、N点进行分析，在M点恒力可能为如图甲，在N点可能为如图乙.
综合分析知，恒力F只可能为如图丙，所以开始时恒力与速度夹角为钝角，后来夹角为锐角，故速度先减小后增大，D项正确.
二、运动的合成与分解的实例分析
小船渡河问题
小船渡河是典型的运动的合成与分解问题，小船在有一定流速的水中过河时，实际上参与了两个方向的分运动，即随水流的运动(水冲船的运动)和船相对水的运动(即在静水中的船的运动)，船的实际运动是合运动.
(1)渡河时间最短：在河宽、船速一定时，一般情况下，渡河时间 ，显然，当θ=90°，即船头的指向与河岸垂直时，渡河时间最小为
(2)渡河位移最小
①若v船＞v水
结论船头偏向上游，使得合速度v垂直于河岸，最短位移x短=d，船头与上游的夹角为
②若v船＜v水，则不论船的航向如何，总是被水冲向下游，如图所示.
设船头v船与河岸成θ角.合速度v与河岸成α角.可以看出：α角越大，船漂下的距离x越短，以v水的矢量末端为圆心， v船为半径画圆，当v与圆相切时，α角最大，根据 船头与河岸的夹角应为 ，船沿河漂下的最短距离为
此时渡河的最短位移为
注意：(1)船的划行方向与船头指向一致，是分速度方向，而船的航行方向是实际运动的方向，也就是合速度的方向.
(2)小船过河的最短时间与水流速度无关.
【例2】(2011?成都模拟)河水的流速随离河岸距离的变化关系如图甲所示，船在静水中的速度与时间的关系如图乙所示，若要使船以最短时间渡河，则( )
A.船渡河的最短时间是60 s
B.船在行驶过程中，船头始终与河岸垂直
C.船在河水中航行的轨迹是一条直线
D.船在河水中的最大速度是5 m/s
【答案】选B、D.
【详解】当船头垂直河岸航行时，渡河时间最短，B正确；从图甲中可以看出，河宽为d=300 m，垂直河岸的速度即为船速3 m/s，所以渡河的最短时间t=d/v=100 s，A错误；由于河水流速是变化的，所以合速度的方向不断变化,所以船的运动轨迹为曲线，C错误；船在河水中的最大速度为船在静水中的速度和水流的最大速度的矢量和，为5 m/s，D正确.
【感悟高考真题】
1.（2011?上海高考物理?T11）如图，人沿平直的河岸以速度 行走，且通过不可伸长的绳拖船，船沿绳的方向行进，此过程中绳始终与水面平行。当绳与河岸的夹角为 ，船的速率为
(A) (B) (C) (D)
【答案】选C.
【详解】把人的速度v沿着绳子方向和垂直于速度方向分解。如图所示。
其中 ，所以船的速度等于 .因此C选项正确.
2.（2011?江苏物理?T3）如图所示，甲、乙两同学从河中O点出发，分别沿直线游到A点和B点后，立即沿原路线返回到O点，OA、OB分别与水流方向平行和垂直，且OA＝OB。若水流速度不变，两人在静水中游速相等，则他们所用时间t甲、t乙的大小关系为
A．t甲＜t乙
B．t甲＝t乙
C．t甲＞t乙
D．无法确定
【答案】选C.
【详解】设OA=OB=l,人在静水中的速度和水流速度分别是 ， ，则甲往复的时间为 即 ，乙往复的时间为 ，比较两者大小可知 ，所以，C对。
3.（2010?上海物理）12. 降落伞在匀速下降过程中遇到水平方向吹来的风，若风速越大，则降落伞
（A）下落的时间越短 （B）下落的时间越长
（C）落地时速度越小 （D）落地时速度越大
答案：D
解析：根据 ，下落的时间不变；
根据 ，若风速越大， 越大，则降落伞落地时速度越大；
本题选D。
本题考查运动的合成和分解。
难度：中等。
4.（2010?江苏卷）1、如图所示，一块橡皮用细线悬挂于O点，用铅笔靠着线的左侧水平向右匀速移动，运动中始终保持悬线竖直，则橡皮运动的速度
（A）大小和方向均不变
（B）大小不变，方向改变
（C）大小改变，方向不变
（D）大小和方向均改变
选A 难度：中等 考查运动的合成。
【解析】橡皮在水平方向匀速运动，在竖直方向匀速运动，合运动是匀速运动
5.（09?广东理科基础?6）船在静水中的航速为v1，水流的速度为v2。为使船行驶到河正对岸的码头，则v1相对v2的方向应为 （ C ）
解析：根据运动的合成与分解的知识,可知要使船垂直达到对岸即要船的合速度指向对岸。根据平行四边行定则，C能。
6.（09?广东理科基础?16）如图所示，一带负电粒子以某速度进入水平向右的匀强电场中，在电场力作用下形成图中所示的运动轨迹。M和N是轨迹上的两点，其中M点在轨迹的最右点。不计重力，下列表述正确的是（ C ）
A．粒子在M点的速率最大
B．粒子所受电场力沿电场方向
C．粒子在电场中的加速度不变
D．粒子在电场中的电势能始终在增加
解析：根据做曲线运动物体的受力特点合力指向轨迹的凹一侧,再结合电场力的特点可知粒子带负电，即受到的电场力方向与电场线方向相反，B错；从N到M电场力做负功，减速，电势能在增加，当达到M点后电场力做正功加速电势能在减小则在M点的速度最小A错，D错；在整个过程中只受电场力，根据牛顿第二定律加速度不变。
7、 （09?天津?11） (18分)如图所示，直角坐标系xOy位于竖直平面内，在水平的x轴下方存在匀强磁场和匀强电场，磁场的磁感应为B,方向垂直xOy平面向里，电场线平行于y轴。一质量为m、电荷量为q的带正电的小球，从y轴上的A点水平向右抛出，经x轴上的M点进入电场和磁场，恰能做匀速圆周运动，从x轴上的N点第一次离开电场和磁场，MN之间的距离为L,小球过M点时的速度方向与x轴的方向夹角为 .不计空气阻力，重力加速度为g,求
（1）电场强度E的大小和方向；
（2）小球从A点抛出时初速度v0的大小;
（3）A点到x轴的高度h.
答案：（1） ，方向竖直向上 （2） （3）
解析：本题考查平抛运动和带电小球在复合场中的运动。
（1）小球在电场、磁场中恰能做匀速圆周运动，说明电场力和重力平衡（恒力不能充当圆周运动的
向心力），有
①
②
重力的方向竖直向下，电场力方向只能向上，由于小球带正电，所以电场强度方向竖直向上。
（2）小球做匀速圆周运动，O′为圆心，MN为弦长， ，如图所示。设半径为r，由几何关系知
③
小球做匀速圆周运动的向心力由洛仑兹力白日提供，设小球做圆周运动的速率为v，有
④
由速度的合成与分解知
⑤
由③④⑤式得
⑥
（3）设小球到M点时的竖直分速度为vy，它与水平分速度的关系为
⑦
由匀变速直线运动规律
⑧
由⑥⑦⑧式得
⑨
【考点模拟演练】
1.(2011?湖州模拟)质点做曲线运动从A到B速率逐渐增加,如图所示,有四位同学用示意图表示A到B的轨迹及速度方向和加速度的方向,其中正确的是( )
【答案】选D.
【详解】由牛顿第二定律可知,加速度a与合外力的方向相同,指向曲线的凹侧,另外速度v的方向沿曲线的切线方向,故B、C项错误.由于质点从A到B速率逐渐增加,则加速度与速度的夹角应小于90°,综上可知,只有D项正确.
2.一个物体在相互垂直的恒力F1和F2作用下，由静止开始运动，经过一段时间后，突然撤去F2，则物体以后的运动情况是( )
A.物体做匀变速曲线运动
B.物体做变加速曲线运动
C.物体沿F1的方向做匀加速直线运动
D.物体做直线运动
【答案】选A.
【详解】物体在相互垂直的恒力F1、F2作用下，其合力恒定不变，且物体由静止开始运动，故物体做初速度为零的匀加速直线运动，速度方向与合力方向相同.突然撤去F2后，剩下的F1与速度方向成一锐角，物体做匀变速曲线运动，故A选项正确.
3.(2011?衢州模拟)下面说法中正确的是( )
A.做曲线运动物体的速度方向必定变化
B.速度变化的运动必定是曲线运动
C.加速度恒定的运动不可能是曲线运动
D.加速度变化的运动必定是曲线运动
【答案】选A.
【详解】做曲线运动的物体速度大小不一定变化,但速度方向必定变化,A项正确.速度变化的运动可能是速度大小在变,也可能是速度方向在变化,不一定是曲线运动,B项错误.加速度恒定的运动可能是匀变速直线运动,也可能是匀变速曲线运动,C项错误.加速度变化的运动可能是变加速直线运动,也可能是变加速曲线运动,D项错误.
4.(2011?唐山模拟)关于运动的合成，下列说法中正确的是( )
A.合运动的速度一定比每一个分运动的速度大
B.两个分运动的时间一定与它们合运动的时间相等
C.只要两个分运动是直线运动，合运动一定是直线运动
D.两个匀变速直线运动的合运动一定是匀变速直线运动
【答案】选B.
【详解】合速度与分速度之间的关系满足平行四边形定则，它的大小可以比分速度大或小或相等,A不正确；两个分运动的时间一定与它们合运动的时间相等，B正确；平抛运动是曲线运动，而它的两个分运动分别是匀速直线运动和自由落体运动，C不正确；当两个匀变速直线运动的合速度方向与合加速度方向不在同一直线上时，合运动是曲线运动，D不正确.
5．在抗洪抢险中，战士驾驶摩托艇救人．假设江岸是平直的，洪水沿江向下游流去，水流速度为v1，摩托艇在静水中的速度为v2，战士救人的地点A离岸边最近处O的距离为d.若战士想在最短时间内将人送上岸，则摩托艇登陆的地点离O点的距离为
( )
A.dv2v22－v21 B．0
C.dv1v2 D.dv2v1
【答案】C
【详解】依题意画出物理情景示意图，若要在最短时间内靠岸，则必须要求摩托艇相对于水的速度v2的方向垂直于河岸，由于同时参与水的运动，摩托艇将相对河岸沿合速度v的方向运动，在B点登陆．由图示几何关系可以看出，速度三角形与位移三角形相似，故有v1v2＝xd，x＝v1v2d.可见该题的正确选项为C.
6．质量为2 kg的质点在x－y平面上做曲线运动，在x方向的速度图象和y方向的位移图象所示，下列说法正确的是
( )
A．质点的初速度为5 m/s
B．质点所受的合外力为3 N
C．质点初速度的方向与合外力方向垂直
D．2 s末质点速度大小为6 m/s
【答案】AB
【详解】由x方向的速度图象可知，在x方向的加速度为1.5 m/s2，受力Fx＝3 N，由在y方向的位移图象可知在y方向做匀速直线运动，速度为vy＝4 m/s，受力Fy＝0.因此质点的初速度为5 m/s，A选项正确；受到的合外力为3 N，B选项正确；显然，质点初速度方向与合外力方向不垂直，C选项错误；2 s末质点速度应该为v＝62＋42 m/s＝23 m/s，D选项错误．
7．(2011?广东广州)飞机在水平地面上空的某一高度水平匀速飞行，每隔相等时间投放一个物体．如果以第一个物体a的落地点为坐标原点、飞机飞行方向为横坐标的正方向，在竖直平面内建立直角坐标系．如图所示是第5个物体e离开飞机时，抛出的5个物体(a、b、c、d、e)在空间位置的示意图，其中不可能的是( )
【答案】 B
【详解】本题考查平抛运动的特点．物体被抛出时的水平速度相同，如果第一个物体a没有落地，那么所有物体在竖直方向应该排成一排，所以A对；如果先投出的物体已经落地，相邻物体的水平距离应该相等，没有落地的在竖直方向仍排成一排，所以B选项错误，C、D皆正确．
8.(2011?北京西城区抽样)随着人们生活水平的提高，高尔夫球将逐渐成为普通人的休闲娱乐．如右图所示，某人从高出水平地面h的坡上水平击出一个质量为m的高尔夫球．由于恒定的水平风力的作用，高尔夫球竖直地落入距击球点水平距离为L的A穴．则( )
A．球被击出后做平抛运动
B．该球从被击出到落入A穴所用的时间为 2hg
C．球被击出时的初速度大小为 2gLh
D．球被击出后受到的水平风力的大小为mgh/L
【答案】B
【详解】由于受到恒定的水平风力的作用，球被击出后在水平方向做匀减速运动，A错误；由h＝12gt2得球从被击出到落入A穴所用的时间为t＝2hg，B正确；由题述高尔夫球竖直地落入A穴可知球水平末速度为零，由L＝v0t/2得球被击出时的初速度大小为v0＝L2gh，C错误；由v0＝at得球水平方向加速度大小a＝gL/h，球被击后后受到的水平风力的大小为F＝ma＝mgL/h，D错误．
9.一演员表演飞刀绝技，由O点先后抛出完全相同的三把飞刀，分别垂直打在竖直木板上M、N、P三点．假设不考虑飞刀的转动，并可将其看做质点，已知O、M、N、P四点距离水平地面高度分别为h、4h、3h、2h，以下说法正确的是( )
A．三把刀在击中板时动能相同
B．三次飞行时间之比为1∶2∶3
C．三次初速度的竖直分量之比为3∶2∶1
D．设三次抛出飞刀的初速度与水平方向夹角分别为θ1、θ2、θ3，则有θ1>θ2>θ3
【答案】D
【详解】初速度为零的匀变速直线运动推论：(1)静止起通过连续相等位移所用时间之比t1∶t2∶t3∶……＝1∶(2－1)∶(3－2)∶……；(2)前h、前2h、前3h……所用的时间之比为1∶2∶3∶…….对末速度为零的匀变速直线运动，可以相应的运用这些规律(从后往前用)．三把刀在击中板时速度不等，动能不相同，选项A错误；飞刀击中M点所用的时间长一些，选项B错误；三次初速度竖直分量之比等于3∶2∶1，选项C错误．只有选项D正确．
10．一条自西向东的河流，南北两岸分别有两个码头A、B，如图所示．已知河宽为80 m，河水水流的速度为5 m/s，两个码头A、B沿水流的方向相距100 m．现有一种船，它在静水中的行驶速度为4 m/s，若使用这种船渡河，且沿直线运动，则
( )
A．它可以正常来往于A、B两个码头
B．它只能从A驶向B，无法返回
C．它只能从B驶向A，无法返回
D．无法判断
【答案】B
【详解】由于河宽d＝80 m，A、B间沿水流方向的距离为l＝100 m，所以当船头指向正对岸时有dl＝v船v水，此时合速度刚好沿AB的连线，可以使船从A运动到B，若从B向A运动，则由于水速大于船速，不论船向哪个方向，则渡船均不可能回到A点，只可能向下游运动．故选项B正确．
12.如右图所示，在水平地面上固定一倾角θ＝37°、表面光滑的斜面体，物体A以v1＝6 m/s的初速度沿斜面上滑，同时在物体A的正上方，有一物体B以某一初速度水平抛出．如果当A上滑到最高点时恰好被B物体击中．(A、B均可看做质点，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g取10 m/s2)求：
(1)物体A上滑到最高点所用的时间t；
(2)物体B抛出时的初速度v2；
(3)物体A、B间初始位置的高度差h.
【答案】 (1)1 s (2)2.4 m/s (3)6.8 m
【详解】 (1)物体A上滑的过程中，由牛顿第二定律得：
mgsin θ＝ma
代入数据得：a＝6 m/s2
设经过t时间B物体击中A物体，由运动学公式：0＝v1－at
代入数据得：t＝1 s.
(2)平抛物体B的水平位移：x＝12v1tcos 37°＝2.4 m
平抛速度：v2＝xt＝2.4 m/s.
(3)物体A、B间的高度差：h＝12v1tsin 37°＋12gt2＝6.8 m.
(10分)我国射击运动员曾多次在国际大赛中为国争光，在2008年北京奥运会上又夺得射击冠军．我们以11.打靶游戏来了解射击运动．某人在塔顶进行打靶游戏，如图所示，已知塔高H＝45 m，在与塔底部水平距离为s处有一电子抛靶装置，圆形靶可被竖直向上抛出，初速度为v1，且大小可以调节．当该人看见靶被抛出时立即射击，子弹以v2＝100 m/s的速度水平飞出．不计人的反应时间及子弹在枪膛中的运动时间，且忽略空气阻力及靶的大小(取g＝10 m/s2)．
(1)当s的取值在什么范围时，无论v1多大都不能被击中？
(2)若s＝200 m，v1＝15 m/s时，试通过计算说明靶能否被击中？
【答案】(1)s>300 m (2)不能
【详解】(1)欲使靶不被击中，抛靶装置应在子弹射程范围外．
由H＝12gt2，s＝v2t代入数据得s＝300 m；故s的取值范围应为s>300 m.
(2)设经过时间t1，子弹恰好在抛靶装置正上方，此时靶离地面h1，子弹下降了h2，
h1＝v1t1－12gt12，h2＝12gt12，s＝v2t1，
联立以上各式解得h1＝10 m，h2＝20 m.
所以h1＋h2≠H，靶不能被击中．
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1.运动的合成与分解 Ⅱ
2.抛体运动 Ⅱ
3.匀速圆周运动、角速度、线速度、向心加速度Ⅰ
4.匀速圆周运动的向心力 Ⅰ
5.离心现象 Ⅱ
6.万有引力定律及其应用 Ⅱ
7.环绕速度 Ⅱ
8.第二宇宙速度和第三宇宙速度 Ⅰ
9.经典时空观和相对论时空观 Ⅰ
（写抛体运动只作定性要求）1、全方位理解运动的合成与分解的方法及运动的合成与分解在实际问题中的应用
2、掌握平抛运动的规律及应用
3、理解描述圆周运动的物理量以及它们之间的关系，并能利用圆周运动知识处理与电场、磁场、机械能有关的综合问题
4、能够处理万有引力、天体运动、人造卫星等问题，以及与现代航天事业相关的问题
【考纲知识梳理】
一、 曲线运动
1.曲线运动速度方向：在曲线运动中，运动质点在某一点的瞬时速度的方向，就是通过这一点的曲线的切线方向。
2.运动的性质：曲线运动的速度方向时刻变化。即使其速度大小保持恒定，由于其方向不断变化，所以 说：曲线运动一定是变速运动，加速度不为零。
3.做曲线运动的条件：
⑴从运动学角度说，物体的加速度方向跟运动方向不在同一条直线上，物体就做曲线运动。
⑵从动力学角度说，如果物体受力分方向跟运动方向不在同一条直线上，物体就做曲线运动。
二、运动的合成与分解
1.已知分运动求合运动叫运动的合成。即已知分运动的位移、速度、和加速度等求合运动的位移、速度、和加速度等，遵从平行四边形定则。
2.已知合运动求分运动叫运动的分解。它是运动合成的逆运算。处理曲线问题往往是把曲线运动按实效分解成两个方向上的分运动。
3.合运动与分运动的关系
（1）等时性：各分运动经历的时间与合运动经历的时间相等。
（2）独立性：一个物体同时参与的几个分运动，个分运动独立进行，不受其他分运动的影响。
（3）等效性：各分运动的叠加与合运动有完全相同的效果
【要点名师透析】
一、合运动的性质和轨迹
1.力与运动的关系
物体运动的形式，按速度分类有匀速运动和变速运动；按轨迹分类有直线运动和曲线运动.运动的形式取决于物体的初速度v0和合外力F，具体分类如下：
(１)F=0：静止或匀速运动.
(２)F≠0：变速运动.
①F为恒量时：匀变速运动.
②F为变量时：非匀变速运动.
(3)F和v0的方向在同一直线上时：直线运动.
(4)F和v0的方向不在同一直线上时：曲线运动.
2.合运动的性质和轨迹
两个互成角度的直线运动的合运动是直线运动还是曲线运动取决于它们的合速度和合加速度方向是否共线(如图所示).
常见的类型有：
(1)a=0：匀速直线运动或静止.
(2)a恒定：性质为匀变速运动，分为：
①v、a同向，匀加速直线运动；
②v、a反向，匀减速直线运动；
③v、a互成角度，匀变速曲线运动(轨迹在v、a之间，和速度v的方向相切，方向逐渐向a的方向接近，但不可能达到).
(3)a变化：性质为变加速运动.如简谐运动，加速度大小、方向都随时间变化.
注意：速率变化情况判断方法
(1)当合力方向与速度方向的夹角为锐角时，物体的速率增大.
(2)当合力方向与速度方向的夹角为钝角时，物体的速率减小.
(3)当合力方向与速度方向的夹角垂直时，物体的速率不变.
【例1】如图所示，一物体在水平恒力的作用下沿光滑水平面做曲线运动，当物体从M点运动到N点时，其速度方向恰好改变了90°，则物体在M点到N点的运动过程中，物体的速度将( )
A.不断增大 B.不断减小
C.先增大后减小 D.先减小后增大
【答案】选D.
【详解】由曲线运动的轨迹夹在合外力与速度方向之间，对M、N点进行分析，在M点恒力可能为如图甲，在N点可能为如图乙.
综合分析知，恒力F只可能为如图丙，所以开始时恒力与速度夹角为钝角，后来夹角为锐角，故速度先减小后增大，D项正确.
二、运动的合成与分解的实例分析
小船渡河问题
小船渡河是典型的运动的合成与分解问题，小船在有一定流速的水中过河时，实际上参与了两个方向的分运动，即随水流的运动(水冲船的运动)和船相对水的运动(即在静水中的船的运动)，船的实际运动是合运动.
(1)渡河时间最短：在河宽、船速一定时，一般情况下，渡河时间 ，显然，当θ=90°，即船头的指向与河岸垂直时，渡河时间最小为
(2)渡河位移最小
①若v船＞v水
结论船头偏向上游，使得合速度v垂直于河岸，最短位移x短=d，船头与上游的夹角为
②若v船＜v水，则不论船的航向如何，总是被水冲向下游，如图所示.
设船头v船与河岸成θ角.合速度v与河岸成α角.可以看出：α角越大，船漂下的距离x越短，以v水的矢量末端为圆心， v船为半径画圆，当v与圆相切时，α角最大，根据 船头与河岸的夹角应为 ，船沿河漂下的最短距离为
此时渡河的最短位移为
注意：(1)船的划行方向与船头指向一致，是分速度方向，而船的航行方向是实际运动的方向，也就是合速度的方向.
(2)小船过河的最短时间与水流速度无关.
【例2】(2011?成都模拟)河水的流速随离河岸距离的变化关系如图甲所示，船在静水中的速度与时间的关系如图乙所示，若要使船以最短时间渡河，则( )
A.船渡河的最短时间是60 s
B.船在行驶过程中，船头始终与河岸垂直
C.船在河水中航行的轨迹是一条直线
D.船在河水中的最大速度是5 m/s
【答案】选B、D.
【详解】当船头垂直河岸航行时，渡河时间最短，B正确；从图甲中可以看出，河宽为d=300 m，垂直河岸的速度即为船速3 m/s，所以渡河的最短时间t=d/v=100 s，A错误；由于河水流速是变化的，所以合速度的方向不断变化,所以船的运动轨迹为曲线，C错误；船在河水中的最大速度为船在静水中的速度和水流的最大速度的矢量和，为5 m/s，D正确.
【感悟高考真题】
1.（2011?上海高考物理?T11）如图，人沿平直的河岸以速度 行走，且通过不可伸长的绳拖船，船沿绳的方向行进，此过程中绳始终与水面平行。当绳与河岸的夹角为 ，船的速率为
(A) (B) (C) (D)
【答案】选C.
【详解】把人的速度v沿着绳子方向和垂直于速度方向分解。如图所示。
其中 ，所以船的速度等于 .因此C选项正确.
2.（2011?江苏物理?T3）如图所示，甲、乙两同学从河中O点出发，分别沿直线游到A点和B点后，立即沿原路线返回到O点，OA、OB分别与水流方向平行和垂直，且OA＝OB。若水流速度不变，两人在静水中游速相等，则他们所用时间t甲、t乙的大小关系为
A．t甲＜t乙
B．t甲＝t乙
C．t甲＞t乙
D．无法确定
【答案】选C.
【详解】设OA=OB=l,人在静水中的速度和水流速度分别是 ， ，则甲往复的时间为 即 ，乙往复的时间为 ，比较两者大小可知 ，所以，C对。
3.（2010?上海物理）12. 降落伞在匀速下降过程中遇到水平方向吹来的风，若风速越大，则降落伞
（A）下落的时间越短 （B）下落的时间越长
（C）落地时速度越小 （D）落地时速度越大
答案：D
解析：根据 ，下落的时间不变；
根据 ，若风速越大， 越大，则降落伞落地时速度越大；
本题选D。
本题考查运动的合成和分解。
难度：中等。
4.（2010?江苏卷）1、如图所示，一块橡皮用细线悬挂于O点，用铅笔靠着线的左侧水平向右匀速移动，运动中始终保持悬线竖直，则橡皮运动的速度
（A）大小和方向均不变
（B）大小不变，方向改变
（C）大小改变，方向不变
（D）大小和方向均改变
选A 难度：中等 考查运动的合成。
【解析】橡皮在水平方向匀速运动，在竖直方向匀速运动，合运动是匀速运动
5.（09?广东理科基础?6）船在静水中的航速为v1，水流的速度为v2。为使船行驶到河正对岸的码头，则v1相对v2的方向应为 （ C ）
解析：根据运动的合成与分解的知识,可知要使船垂直达到对岸即要船的合速度指向对岸。根据平行四边行定则，C能。
6.（09?广东理科基础?16）如图所示，一带负电粒子以某速度进入水平向右的匀强电场中，在电场力作用下形成图中所示的运动轨迹。M和N是轨迹上的两点，其中M点在轨迹的最右点。不计重力，下列表述正确的是（ C ）
A．粒子在M点的速率最大
B．粒子所受电场力沿电场方向
C．粒子在电场中的加速度不变
D．粒子在电场中的电势能始终在增加
解析：根据做曲线运动物体的受力特点合力指向轨迹的凹一侧,再结合电场力的特点可知粒子带负电，即受到的电场力方向与电场线方向相反，B错；从N到M电场力做负功，减速，电势能在增加，当达到M点后电场力做正功加速电势能在减小则在M点的速度最小A错，D错；在整个过程中只受电场力，根据牛顿第二定律加速度不变。
7、 （09?天津?11） (18分)如图所示，直角坐标系xOy位于竖直平面内，在水平的x轴下方存在匀强磁场和匀强电场，磁场的磁感应为B,方向垂直xOy平面向里，电场线平行于y轴。一质量为m、电荷量为q的带正电的小球，从y轴上的A点水平向右抛出，经x轴上的M点进入电场和磁场，恰能做匀速圆周运动，从x轴上的N点第一次离开电场和磁场，MN之间的距离为L,小球过M点时的速度方向与x轴的方向夹角为 .不计空气阻力，重力加速度为g,求
（1）电场强度E的大小和方向；
（2）小球从A点抛出时初速度v0的大小;
（3）A点到x轴的高度h.
答案：（1） ，方向竖直向上 （2） （3）
解析：本题考查平抛运动和带电小球在复合场中的运动。
（1）小球在电场、磁场中恰能做匀速圆周运动，说明电场力和重力平衡（恒力不能充当圆周运动的
向心力），有
①
②
重力的方向竖直向下，电场力方向只能向上，由于小球带正电，所以电场强度方向竖直向上。
（2）小球做匀速圆周运动，O′为圆心，MN为弦长， ，如图所示。设半径为r，由几何关系知
③
小球做匀速圆周运动的向心力由洛仑兹力白日提供，设小球做圆周运动的速率为v，有
④
由速度的合成与分解知
⑤
由③④⑤式得
⑥
（3）设小球到M点时的竖直分速度为vy，它与水平分速度的关系为
⑦
由匀变速直线运动规律
⑧
由⑥⑦⑧式得
⑨
【考点模拟演练】
1.(2011?湖州模拟)质点做曲线运动从A到B速率逐渐增加,如图所示,有四位同学用示意图表示A到B的轨迹及速度方向和加速度的方向,其中正确的是( )
【答案】选D.
【详解】由牛顿第二定律可知,加速度a与合外力的方向相同,指向曲线的凹侧,另外速度v的方向沿曲线的切线方向,故B、C项错误.由于质点从A到B速率逐渐增加,则加速度与速度的夹角应小于90°,综上可知,只有D项正确.
2.一个物体在相互垂直的恒力F1和F2作用下，由静止开始运动，经过一段时间后，突然撤去F2，则物体以后的运动情况是( )
A.物体做匀变速曲线运动
B.物体做变加速曲线运动
C.物体沿F1的方向做匀加速直线运动
D.物体做直线运动
【答案】选A.
【详解】物体在相互垂直的恒力F1、F2作用下，其合力恒定不变，且物体由静止开始运动，故物体做初速度为零的匀加速直线运动，速度方向与合力方向相同.突然撤去F2后，剩下的F1与速度方向成一锐角，物体做匀变速曲线运动，故A选项正确.
3.(2011?衢州模拟)下面说法中正确的是( )
A.做曲线运动物体的速度方向必定变化
B.速度变化的运动必定是曲线运动
C.加速度恒定的运动不可能是曲线运动
D.加速度变化的运动必定是曲线运动
【答案】选A.
【详解】做曲线运动的物体速度大小不一定变化,但速度方向必定变化,A项正确.速度变化的运动可能是速度大小在变,也可能是速度方向在变化,不一定是曲线运动,B项错误.加速度恒定的运动可能是匀变速直线运动,也可能是匀变速曲线运动,C项错误.加速度变化的运动可能是变加速直线运动,也可能是变加速曲线运动,D项错误.
4.(2011?唐山模拟)关于运动的合成，下列说法中正确的是( )
A.合运动的速度一定比每一个分运动的速度大
B.两个分运动的时间一定与它们合运动的时间相等
C.只要两个分运动是直线运动，合运动一定是直线运动
D.两个匀变速直线运动的合运动一定是匀变速直线运动
【答案】选B.
【详解】合速度与分速度之间的关系满足平行四边形定则，它的大小可以比分速度大或小或相等,A不正确；两个分运动的时间一定与它们合运动的时间相等，B正确；平抛运动是曲线运动，而它的两个分运动分别是匀速直线运动和自由落体运动，C不正确；当两个匀变速直线运动的合速度方向与合加速度方向不在同一直线上时，合运动是曲线运动，D不正确.
5．在抗洪抢险中，战士驾驶摩托艇救人．假设江岸是平直的，洪水沿江向下游流去，水流速度为v1，摩托艇在静水中的速度为v2，战士救人的地点A离岸边最近处O的距离为d.若战士想在最短时间内将人送上岸，则摩托艇登陆的地点离O点的距离为
( )
A.dv2v22－v21 B．0
C.dv1v2 D.dv2v1
【答案】C
【详解】依题意画出物理情景示意图，若要在最短时间内靠岸，则必须要求摩托艇相对于水的速度v2的方向垂直于河岸，由于同时参与水的运动，摩托艇将相对河岸沿合速度v的方向运动，在B点登陆．由图示几何关系可以看出，速度三角形与位移三角形相似，故有v1v2＝xd，x＝v1v2d.可见该题的正确选项为C.
6．质量为2 kg的质点在x－y平面上做曲线运动，在x方向的速度图象和y方向的位移图象所示，下列说法正确的是
( )
A．质点的初速度为5 m/s
B．质点所受的合外力为3 N
C．质点初速度的方向与合外力方向垂直
D．2 s末质点速度大小为6 m/s
【答案】AB
【详解】由x方向的速度图象可知，在x方向的加速度为1.5 m/s2，受力Fx＝3 N，由在y方向的位移图象可知在y方向做匀速直线运动，速度为vy＝4 m/s，受力Fy＝0.因此质点的初速度为5 m/s，A选项正确；受到的合外力为3 N，B选项正确；显然，质点初速度方向与合外力方向不垂直，C选项错误；2 s末质点速度应该为v＝62＋42 m/s＝23 m/s，D选项错误．
7．(2011?广东广州)飞机在水平地面上空的某一高度水平匀速飞行，每隔相等时间投放一个物体．如果以第一个物体a的落地点为坐标原点、飞机飞行方向为横坐标的正方向，在竖直平面内建立直角坐标系．如图所示是第5个物体e离开飞机时，抛出的5个物体(a、b、c、d、e)在空间位置的示意图，其中不可能的是( )
【答案】 B
【详解】本题考查平抛运动的特点．物体被抛出时的水平速度相同，如果第一个物体a没有落地，那么所有物体在竖直方向应该排成一排，所以A对；如果先投出的物体已经落地，相邻物体的水平距离应该相等，没有落地的在竖直方向仍排成一排，所以B选项错误，C、D皆正确．
8.(2011?北京西城区抽样)随着人们生活水平的提高，高尔夫球将逐渐成为普通人的休闲娱乐．如右图所示，某人从高出水平地面h的坡上水平击出一个质量为m的高尔夫球．由于恒定的水平风力的作用，高尔夫球竖直地落入距击球点水平距离为L的A穴．则( )
A．球被击出后做平抛运动
B．该球从被击出到落入A穴所用的时间为 2hg
C．球被击出时的初速度大小为 2gLh
D．球被击出后受到的水平风力的大小为mgh/L
【答案】B
【详解】由于受到恒定的水平风力的作用，球被击出后在水平方向做匀减速运动，A错误；由h＝12gt2得球从被击出到落入A穴所用的时间为t＝2hg，B正确；由题述高尔夫球竖直地落入A穴可知球水平末速度为零，由L＝v0t/2得球被击出时的初速度大小为v0＝L2gh，C错误；由v0＝at得球水平方向加速度大小a＝gL/h，球被击后后受到的水平风力的大小为F＝ma＝mgL/h，D错误．
9.一演员表演飞刀绝技，由O点先后抛出完全相同的三把飞刀，分别垂直打在竖直木板上M、N、P三点．假设不考虑飞刀的转动，并可将其看做质点，已知O、M、N、P四点距离水平地面高度分别为h、4h、3h、2h，以下说法正确的是( )
A．三把刀在击中板时动能相同
B．三次飞行时间之比为1∶2∶3
C．三次初速度的竖直分量之比为3∶2∶1
D．设三次抛出飞刀的初速度与水平方向夹角分别为θ1、θ2、θ3，则有θ1>θ2>θ3
【答案】D
【详解】初速度为零的匀变速直线运动推论：(1)静止起通过连续相等位移所用时间之比t1∶t2∶t3∶……＝1∶(2－1)∶(3－2)∶……；(2)前h、前2h、前3h……所用的时间之比为1∶2∶3∶…….对末速度为零的匀变速直线运动，可以相应的运用这些规律(从后往前用)．三把刀在击中板时速度不等，动能不相同，选项A错误；飞刀击中M点所用的时间长一些，选项B错误；三次初速度竖直分量之比等于3∶2∶1，选项C错误．只有选项D正确．
10．一条自西向东的河流，南北两岸分别有两个码头A、B，如图所示．已知河宽为80 m，河水水流的速度为5 m/s，两个码头A、B沿水流的方向相距100 m．现有一种船，它在静水中的行驶速度为4 m/s，若使用这种船渡河，且沿直线运动，则
( )
A．它可以正常来往于A、B两个码头
B．它只能从A驶向B，无法返回
C．它只能从B驶向A，无法返回
D．无法判断
【答案】B
【详解】由于河宽d＝80 m，A、B间沿水流方向的距离为l＝100 m，所以当船头指向正对岸时有dl＝v船v水，此时合速度刚好沿AB的连线，可以使船从A运动到B，若从B向A运动，则由于水速大于船速，不论船向哪个方向，则渡船均不可能回到A点，只可能向下游运动．故选项B正确．
12.如右图所示，在水平地面上固定一倾角θ＝37°、表面光滑的斜面体，物体A以v1＝6 m/s的初速度沿斜面上滑，同时在物体A的正上方，有一物体B以某一初速度水平抛出．如果当A上滑到最高点时恰好被B物体击中．(A、B均可看做质点，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g取10 m/s2)求：
(1)物体A上滑到最高点所用的时间t；
(2)物体B抛出时的初速度v2；
(3)物体A、B间初始位置的高度差h.
【答案】 (1)1 s (2)2.4 m/s (3)6.8 m
【详解】 (1)物体A上滑的过程中，由牛顿第二定律得：
mgsin θ＝ma
代入数据得：a＝6 m/s2
设经过t时间B物体击中A物体，由运动学公式：0＝v1－at
代入数据得：t＝1 s.
(2)平抛物体B的水平位移：x＝12v1tcos 37°＝2.4 m
平抛速度：v2＝xt＝2.4 m/s.
(3)物体A、B间的高度差：h＝12v1tsin 37°＋12gt2＝6.8 m.
(10分)我国射击运动员曾多次在国际大赛中为国争光，在2008年北京奥运会上又夺得射击冠军．我们以11.打靶游戏来了解射击运动．某人在塔顶进行打靶游戏，如图所示，已知塔高H＝45 m，在与塔底部水平距离为s处有一电子抛靶装置，圆形靶可被竖直向上抛出，初速度为v1，且大小可以调节．当该人看见靶被抛出时立即射击，子弹以v2＝100 m/s的速度水平飞出．不计人的反应时间及子弹在枪膛中的运动时间，且忽略空气阻力及靶的大小(取g＝10 m/s2)．
(1)当s的取值在什么范围时，无论v1多大都不能被击中？
(2)若s＝200 m，v1＝15 m/s时，试通过计算说明靶能否被击中？
【答案】(1)s>300 m (2)不能
【详解】(1)欲使靶不被击中，抛靶装置应在子弹射程范围外．
由H＝12gt2，s＝v2t代入数据得s＝300 m；故s的取值范围应为s>300 m.
(2)设经过时间t1，子弹恰好在抛靶装置正上方，此时靶离地面h1，子弹下降了h2，
h1＝v1t1－12gt12，h2＝12gt12，s＝v2t1，
联立以上各式解得h1＝10 m，h2＝20 m.
所以h1＋h2≠H，靶不能被击中．
