实验9 测定电源的电动势和内电阻
测电源的电动势和内电阻实验, 是高中物理的重要实验，无论是原教科书，还是课程标准教科书，都把它列为学生实验；无论是普通高考大纲，还是课程标准试验区高考大纲，都把它列为必考实验；从多年以及近几年的高考试卷看，也屡屡出现测电源的电动势和内阻的题目。
测电源的电动势和内电阻实验，传统的方法是用电流表、电压表和滑动变阻器或电阻箱，新技术的数字化实验方法是用电流传感器、电压传感器代替电流表、电压表并用数据采集器和电子计算机辅助实验，好处是：数据处理和作图象非常快，一眨眼的工夫图象就出来了。
由于新的课程标准教科书中列出了做测电源的电动势和内电阻实验的三种方法，即伏安法和安阻法、伏阻法；去年高考中有三个省不约而同地考到了安阻法并用作图法，所以本文不惜时间和笔墨把三种方法都做出来。
1．实验原理：在闭合电路中，根据全电路欧姆定律，有 ①，其中E表示电源的电动势，U表示电源的路端电压，I表示闭合电路中的电流，r表示电源的内阻。
根据课程标准教科书，实验：测电源的电动势和内电阻可用三种方法：
方法1. ①式可变为 ，改变电路的外电阻R，测出一系列的I和U值，作出U-I图象。图象在U轴上的截距即为电源的电动势，直线的斜率即为内阻的负值。此方法叫伏安法，用伏特表和安培表。
方法2. ①式可变为 ，或 ，改变电路的外电阻R，测出一系列的I和R值，作出R-1/I图象。图象在R轴上的截距即为电源的内阻，直线的斜率即电源的电动势E。此方法叫安阻法，用安培表和电阻箱。
方法3. ①式可变为 ，或 ，改变电路的外电阻R，测出一系列的U值，作出 图象。图象在 轴上的截距的倒数即为电源电动势，直线的斜率与截距的倒数乘积即为电源的内阻。此方法叫伏阻法，用伏特表和电阻箱。
基础实验是伏安法。安阻法和伏阻法是在伏安法实验的基础上的提高。
2．实验目的：用三种方法测定电源的电动势和内阻。
3．实验步骤
一、伏安法
1.实验电路图
图1-1
2.实验结果图象
图1-2
3.计算数据
电压轴上的截距为电池的电动势：E=6.0V, 电流轴上的截距为最大电流 , 则电池的内阻为r= 1.0Ω。
4.实验实物图
图1-3
5.实验结果图象
图1-4
6.计算数据
电压轴上的截距为电池的电动势：E=9.0V, 电流轴上的截距为最大电流 , 则电池的内阻为r= 1.0Ω。
二、安阻法
1. 用仿真实验室研究
按电路图搭建实验装置，如图2-1
图2-1
改变电阻箱的阻值，电流表的读数对应变化，得到电流与电阻的关系图象，见图2-2.
图2-2
由于图4不是直线，不便于求电动势和内阻，在实验过程中时，记下一系列的数据，把数据输入到Excel中并求出电流I的倒数1/I, 见下表。
RI1/I
100.2643.787879
8.360.313.225806
6.860.3692.710027
5.360.4562.192982
4.110.5671.763668
3.360.6651.503759
2.110.9321.072961
1.361.230.813008
02.90.344828
表1
作出电流的倒数随电阻变化的图象，R～1/I图象，见图2-3的直线。
图2-3
根据 ，得到 ，知：R～1/I图线直线的斜率即为电动势E，R轴上的截距的绝对值为内阻 。从图5读出数据，计算得为 ，纵轴上的截距为-1，则电池的内阻为 。
三、伏阻法（见例题）
例1．2007理综四川卷第22(2)题
甲同学设计了如图所示的电路测电源电动势E及电阻R1和R2的阻值。实验器材有：待测电源E(不计内阻)，待测电阻R1，待测电阻R2，电压表V(量程为1.5V，内阻很大)，电阻箱R(0-99.99Ω)，单刀单掷开关S1，单刀双掷开关S2，导线若干。
①先测电阻R1的阻值。请将甲同学的操作补充完整：闭合S1，将S2切换到a，调节电阻箱，读出其示数r和对应的电压表示数U1，保持电阻箱示数不变，______________，读出电压表的示数U2。则电阻R1的表达式为R1＝__________。
②甲同学已经测得电阻R1＝4.8Ω，继续测电源电动势E和电阻R2的阻值。该同学的做法是：闭合S1，将S2切换到a，多次调节电阻箱，读出多组电阻箱示数R和对应的电压表示数U，由测得的数据，绘出了如图所示的 图线，则电源电动势E＝_____V，电阻R2=_____Ω。
③利用甲同学设计的电路和测得的电阻R1，乙同学测电源电动势E和电阻R2的阻值的做法是：闭合S1，将S2切换到b，多次调节电阻箱，读出多组电阻箱示数R和对应的电压表示数U，由测得的数据，绘出了相应的 图线，根据图线得到电源电动势E和电阻R2。这种做法与甲同学的做法比较，由于电压表测得的数据范围______（选填“较大”、“较小”或“相同”)，所以_____同学的做法更恰当些。
答案：①将S2切换到b ，R1＝ 。
②E＝1.43或10/7V，R2＝ 1.2 Ω
③ 较小，甲
【解析】① （1）
（2）
由（2）式得 ，
代入（1）式，经过复杂的运算得R1＝ 。
②根据 ，有 ，比照直线方程 ，有截距 ，所以E＝1.43或10/7V；斜率 ，又 ，已测出R1＝4.8Ω，可求出R2＝ 1.2 Ω。
③ 由于电阻R2阻值小，电压表测得的数据范围较小，所以甲同学的做法更恰当些。
点评：用电压表和电阻箱测量电源的电动势和内电阻（本题的R2相当于内电阻）并用 图象进行数据处理求出结果（与伏安法类比简称伏阻法），2006年高考有三省市考到（分别是江苏、广东和天津）。
例2．2007宁夏理综卷（新课程）第22题（2）题
利用伏安法测干电池的电动势和内阻，现有的器材为：
干电池：电动势约为1.5V，符号
电压表：量程1V，内阻998.3 ，符号○V
滑动变阻器：最大阻值10 ，符号
电阻箱：最大阻值99999.9 ，符号
单刀单掷开关1个，符号
导线若干
○1设计测量电源电动势和内阻的电路并将它画在制定的方框内。要求在图中标出电压表、电流表的接线柱的正负。
○2为了满足本实验要求并保证实验的精确度，电压表量程应扩大为原量程的 倍，电阻箱的阻值应为 。
．答案： ○1
○22 998.3
【解析】因为电压表量程要大于电池电动势，所以要扩大为原量程的2倍，在电压表上串联等于其内阻的电阻，所以电阻箱的阻值应为998.3 。
点评：本题是伏安法测电源电动势和内阻（不是伏阻法），所以电阻箱是用来做扩大电压表量程用的。另外，因为电流表内阻一般与电池内阻差别不大，所以用电流表外接法（对待测电池而言）。
例。图中R为已知电阻， 为待测电阻， 为单刀单掷开关， 为单刀双掷开关，
V为电压表（内阻
极大），E为电源（电
阻不可忽略）。现用
图中电路测量电源
电动势 及电阻
（1）写出操作步骤：
（2）由R及测得的量，可测得 ＝_____________________, =________________.
答案：（1）①K1断开，K2接到a端，记下电压表的读数U1；②K2仍接到a端，闭合K1，记下电压表的读数U2；③K1仍闭合，K2接到b端，记下电压表的读数U3.
（2）U1
例3。在测定一节干电池（电动势约为1.5V，内阻约为2Ω）的电动势和内阻的实验中，变阻器和电压表各有两个供选：A电压表量程为15V，B电压表量程为3V，A变阻器为（20Ω，3A），B变阻器为（500Ω，0.2A）
电压表应该选 （填A或B），这是因为 .
变阻器应该选 （填A或B），这是因为 .
答案：B，A电压表量程过大，误差较大；A、B变阻器额定电流过小且调节不便
例。某同学按如图所示电路进行实验，实验时该同学将变阻器的触片P移到不同位置时测得各电表的示数如下表所示
序号A1示数(安)A2示数(安)V1示数(伏)V2示数(伏)
10.600.302.401.20
20.440.322.560.48
将电压表内阻看作无限大，电流表内阻看作零。
（1）电路中 ， 分别为电源的电动势和内阻， ， ， 为定值电阻，在这五个物理量中，可根据上表中的数据求得的物理量是（不要求具体计算） 。
（2）由于电路发生故障，发现两电压表示数相同了（但不为零），若这种情况的发生是由用电器引起的，则可能的故障原因是 。
答案：
（1） ， ， （1分，1分，2分）
（2） 短路或 断开 （4分）
例4．2006年天津理科综合卷第22（3）题
某研究性学习小组利用图9所示电路测量电池组的电动势E和内阻r。根据实验数据绘出如图10所示的R～1/I图线，其中R为电阻箱读数，I为电流表读数，由此可以得到E＝ V，r＝ Ω。 图10
【解析】
根据 得到，从图10读出数据，计算得 ，直线的斜率即为 ，当 时，横轴上的截距为 ，则电池的内阻为 。
点评：本题专门考查用电流表和电阻箱测电源的电动势和内电阻，与伏安法相比，实验用的仪器不同，测量的物理量不同，图象中横坐标与纵坐标表示的物理量不同了，因此根据图象求E、r的方法也不同。
例5．安徽2009高考21.Ⅱ题. 用右图所示的电路，测定一节干电池的电动势和内阻。电池的内阻较小，为了防止在调节滑动变阻器时造成短路，电路中用一个定值电阻R0起保护作用。除电池、开关和导线外，可供使用的实验器材还有：
（a）电流表（量程0.6A、3A）；
（b）电压表（量程3V、15V）
（c）定值电阻（阻值1 、额定功率5W）
（d）定值电阻（阻值10 ，额定功率10W）
（e）滑动变阻器（阴值范围0--10 、额定电流2A）
（f）滑动变阻器（阻值范围0-100 、额定电流1A）
那么
（1）要正确完成实验，电压表的量程应选择 V，电流表的量程应选择 A； R0应选择 的定值电阻，R应选择阻值范围是 的滑动变阻器。
（2）引起该实验系统误差的主要原因是 。
II．答案：
（1）3，0.6，1，0～10。（2）由于电压表的分流作用造成电流表读数总是比电池实际输出电流小。
【解析】由于电源是一节干电池（1.5V），所选量程为3V的电压表；估算电流时，考虑到干电池的内阻一般几Ω左右，加上保护电阻，最大电流在0.5A左右，所以选量程为0.6A的电流表；由于电池内阻很小，所以保护电阻不宜太大，否则会使得电流表、电压表取值范围小，造成的误差大；滑动变阻器的最大阻值一般比电池内阻大几倍就好了，取0～10Ω能很好地控制电路中的电流和电压，若取0～100Ω会出现开始几乎不变最后突然变化的现象。
关于系统误差一般由测量工具和所造成测量方法造成的，一般具有倾向性，总是偏大或者偏小。本实验中由于电压表的分流作用造成电流表读数总是比测量值小，造成E测例6．北京2009高考21．（2）题 某同学通过查找资料自己动手制作了一个电池。该同学想测量一下这个电池的电动势E 和内电阻 ，但是从实验室只借到一个开关、一个电阻箱（最大阻值为999.9 ，可当标准电阻用） 一只电流表（量程 =0.6A,内阻 ）和若干导线。
①请根据测定电动势E和内电阻 的要求，设计图4中器件的连接方式，画线把它们连接起来。
②接通开关，逐次改变电阻箱的阻值 ,读出与 对应的电流表的示数I,并作记录。当电阻箱的阻值 时，其对应的电流表的示数如图5所示。处理实验数据时，首先计算出每个电流值I 的倒数 ;再制作R- 坐标图，如图6所示，图中已标注出了（ ）的几个与测量对应的坐标点。请你将与图5实验数据对应的坐标点也标注在图6上。
③在图6上把描绘出的坐标点连成图线。
④根据图6描绘出的图线可得出这个电池的电动势E= V,内电阻 。
答案（2）① 见答图4
②见答图6
③见答图6
④1.5（1.46~1.54）；0.3（0.25~0.35）
例7探究硅光电池的路端电压U与总电流I的关系
2009高考 重庆22.（2）硅光电池是一种可将光能转换为电能的器件。某同学用题22图2所示电路探究硅光电池的路端电压U与总电流I的关系。图中R0为已知定值电阻，电压表视为理想电压表。
① 请根据题22图2，用笔画线代替导线将题22图3中的实验器材连接成实验电路。
② 若电压表 的读数为 ，则I＝
③ 实验一：用一定强度的光照射硅光电池，调节滑动变阻器，通过测量得到该电池的U-I曲线a。见题22图4，由此可知电池内阻 （填“是”或“不是”）常数，短路电流为 mA ，电动势为
V。
④ 实验二：减小实验一中光的强度，重复实验，测得U-I曲线b，见题22图4.当滑动变阻器的电阻为某值时，若实验一中的路端电压为1.5V。则实验二中外电路消耗的电功率为 mW（计算结果保留两位有效数字）。
答案（2）①见22题答案图，
②
③ 不是，0.295(0.293-0.297)，2.67(2.64-2.70)，
④ 0.065(0.060-0.070)
（2）①见右图；
②根据欧姆定律可知I＝ ；
③路端电压U＝E－Ir，若r为常数、则U-I图为一条不过原点的直线，由曲线a可知电池内阻不是常数；当U＝0时的电流为短路电流、约为295μA＝0.295mA；当电流I＝0时路端电压等于电源电动势E、约为2.67V；
④实验一中的路端电压为U1＝1.5V时电路中电流为I1＝0.21mA，连接a中点（0.21mA、1.5V）和坐标原点，此直线为此时对应滑动变阻器阻值的外电路电阻（定值电阻）的U-I图，和图线b的交点为实验二中的路端电压和电路电流，如右图,电流和电压分别为I＝97μA、U＝0.7V,则外电路消耗功率为P＝UI＝0.068 mW。
例8.2006年江苏物理卷第13题（12分）现在按图①所示的电路测量一节旧干电池的电动势 E（约 1.5V）和内阻 r
（约 20），可供选择的器村如下：电流表 A1、A2（量程 0～500 A ）内阻约为 500，滑动变阻器 R（阻值 0～100，额定电流 1.0A），定值电阻 R1（阻值 约为 100）电阻箱 R2、R3（阻值 0～999.9），开关、导线 若干。由于现有电流表量程偏小，不能满足实验要求，为此，先 将电流表改装（扩大量程），然后再按图①电路进行测量。（1）测量电流表 A2 的内阻 按图②电路测量 A2 的内阻，以下给出了实验中必要的操作。
A．断开 S1
B．闭合 S1、S2
C．按图②连接线路，将滑动变阻器 R的滑片调至最左
端，R2 调至最大
D．调节 R2，使 A1 的示数为 I1，记录 R2 的值。
E．断开 S2，闭合 S3
F．调节滑动变阻器 R，使 A1、A2 的指针偏转适中，记
录 A1 的示数 I1
请按合理顺序排列实验步骤（填序号）： ▲ 。
（2）将电流表 A2（较小量程）改装成电流表 A（较大量程） 如果（1）中测出 A2 的内阻为 468.0?，现用 R2 将 A2 改装成量程为 20mA的电流 表 A，应把 R2，设为 ▲ ?与 A2 并联，改装后电流表 A的内阻 RA 为 。
（3）利用电流表 A电阻箱 R，测电池的电动势和内阻用电流表 A、电阻箱 R3 及开关 S按图①所示电路测电池的电动势和内阻。实验 时，改变 R1 的值，记录下电流表 A的示数 I，得到若干组 R3、I的数据，然后通过 作出有关物理量的线性图象，求得电池电动势 E和内 r。
a．请写出与你所作线性图象对应的函数关系式 ▲ 。
b．请在虚线框内坐标中作出定性图象（要求标明两上坐标轴
所代表的物理量，用符号表示）
c．图中 ▲ 表示 E. 图中 ▲ 表示 E.
解析与答案：（1）C B F E D A
（2）改装电路中R2将与A2并联，则 ，由（1）测得 ，代入计算出 。改装后电流表 A的内阻 RA=
（3）解法一
a.根据闭合电路欧姆定律得到 ，变形成 ，若将横坐标表示总电流的倒数 ，纵坐标表示外电阻R3与电流表A的内阻 之和 ，根据多次测量的数据画出图象如图4。则与所作线性图象对应的函数关系式是 。
c．直线斜率的倒数表示E，
纵轴截距除以斜率表示r.
答案二：
图5
c．直线的斜率表示E，
纵轴截距的绝对值与 RA 的差表示 r。
这两个答案不同处在于横轴与纵轴表示的物理量互换。
点评：本题考查半偏法测电流表的内阻、电流表的改装和用R、A测电源的E、r三个知识点，但前两个是课本上的方法，第三个与课本不同，课本上是用伏安法测电源的E、r，图象是U-I图线，所以第三个是重点和难点，是创新点。
例9．2006年广东物理卷第12题
12．某同学设计了一个如图7所示的实验电路，用以测定电源电动势和内阻，使用的实验器材为：待测干电池组（电动势约3V）、电流表（量程0.6A，内阻小于1 ）、电阻箱（0～99.99 ）、滑动变阻器（0～10 ）、单刀双掷开关、单刀单掷开关各一个及导线若干。考虑到干电池的内阻较小，电流表的内阻不能忽略。
（1）该同学按图7连线，通过控制开关状态，测得电流表内阻约为0.20 。试分析该测量产生误差的原因是_________________________________________。
（2）简要写出利用图7所示电路测量电源电动势和内阻的实验步骤：
①_______________________________________________________________________；
②_______________________________________________________________________；
（3）图8是由实验数据绘出的 图象，由此求出待测干电池组的电动势E＝____________V、内阻r＝_____________ 。（计算结果保留三位有效数字）
解：（1）电流表 的读数以及电阻箱R的读数。
（2）①k闭合，S断开，调节P，使 满偏，
② k闭合，S接C，调节R，使 半偏，则 。
（3）根据闭合电路欧姆定律得到 ，变形成 ，若将纵坐标表示总电流的倒数 ，横坐标表示外电阻R，则图线的斜率的倒数表示电源的电动势E，在图8中取两点（0，0.9）和（8.0,3.7）,则 ；当R=0时， ，则 ，因已测出 ，所以电源的内阻为 。
点评：本题考查半偏法测电流表的内阻和用R、A测电源的E、r两个知识点，第一个电路与课本不同，第二个方法与课本不同，课本上是用伏安法测电源的E、r，图象是U-I图线，本题要求学生要有知识迁移的能力。
例10． 2006年天津理综卷第22（3）题
（3）某研究性学习小组利用右图所示电路测量电池组的电动势E和内阻r。根据实验数据绘出如下图所示的R～1/I图线，其中R为电阻箱读数，I为电流表读数，由此可以得到E＝ V，r＝ Ω。
【解析】根据 得到，从图10读出数据，计算得 ，直线的斜率即为 ，当 时，横轴上的截距为 ，则电池的内阻为 。
点评：本题专门考查用电流表和电阻箱测电源的电动势和内电阻，与上不同的是：横坐标与纵坐标表示的物理量调换了，因此根据图象求E、r的方法也不同。
不知是命题者的心灵感应，还是有所交流，还是巧合，还是没有原因，今年竟有三省市考用电流表和电阻箱测电源的电动势与内电阻，并且都有 图象，看来，高考命题的发展方向是有一定的规律的。
答案：22（1）P：2
（2）×100；调零（或重新调零）；2.2×103（或2.2k）
（3）2.9；0.9
例11． 2005年江苏省物理卷第12题．(12分)将满偏电流Ig=300μA、内阻未知的电流表○G改装成电压表并进行核对．
(1)利用如图所示的电路测量电流表○G的内阻(图中电源的电动势E=4V )：先闭合S1，调节R，使电流表指针偏转到满刻度；再闭合S2，保持R不变，调节R′，，使电流表指针偏转到满刻度的 ，读出此时R′的阻值为200Ω，则电流表内阻的测量值Rg= Ω．
(2)将该表改装成量程为3V的电压表，需 (填“串联”或“并联”)阻值为R0= Ω的电阻．
(3)把改装好的电压表与标准电压表进行核对，试在答题卡上画出实验电路图和实物连接图．
05江苏12．答案：（1）100 （2）串联 9900 （3）
例12． 2008高考上海16．（5分）某同学设计了如图（a）所示电路研究电源输出功率变化情况。电源E电动势、内电阻恒定，R1为滑动变阻器，R2、R3为定值电阻，A、V为理想电表。
（1）若滑动片P由a滑至b时A示数一直变小，则R1和R2必须满足的关系是__________________。
（2）若R1＝6?，R2＝12?，电源内电阻r＝6?，，当滑动片P由a滑至b时，电源E的输出功率P随外电路总电阻R的变化关系如图（b）所示，则R3的阻值应该选择（）
（A）2?。（B）4?。（C）6?。（D）8?。
图a 图b
解：（1）A示数 ，欲使滑动片P由a滑至b时A示数一直变小，须使 一直变大，因为两电阻之和一定时，当二者相等时并联电阻最大，所以要求R1≤R2。也可以用公式证明：设R1之左为 ，则右为 ，则 , 令分子为 ，则当 时， 有最大值， 也有最大值。
（2）从图b知，当 时，电源E的输出功率P最大，所以先排除C、D。如果 ，则 =4 ，这时滑动片P在b点处，因为此处 ，所以图象只能有最高点以左的部分，所以A错误，只能选B。
对于B，由于 ，所以 =2 时便达到最大值，此时滑动片P由a滑至 处， ，解出 （舍去不合理值15.7 ）, 所以能画出图b, 所以选B。
为了进一步研究这个问题，我用电子计算机Excel画出图象如下：
为了进一步研究这个问题，我用电子计算机Excel画出图象如下：
图2
作图过程如下：设 ， 从0逐渐增大到6 ， ， ， ，设 ，
对于图1， = , 所以最小值是 ，最大值是 ， ， = ，当P在b点时有最大值。
对于图2， = , 所以最小值是 ，最大值是 ， ， = ，当P在a、b之间时有最大值。
例13.2010年高考江苏省物理卷第10题（8分）
在测量电源的电动势和内阻的实验中，由于所用的电压表（视为理想电压表）的量程较小，某同学涉及了如图1所示的实物电路。
图1
（1）实验时，应先将电阻箱的电阻调到____.（选填“最大值”、“最小值”或“任意值”）
（2）改变电阻箱的阻值R，分别测出阻值 =10 的定值电阻两端的电压U，下列两组R的取值方案中，比较合理的方案是____.（选填1或2）
（3）根据实验数据描点，绘出的 图像是一条直线。若直线的斜率为k，在 坐标轴上的截距为b，则该电源的电动势E= ▲ ，内阻r= ▲ （用k、b和R0表示）
13． 【答案】（1）最大值；（2）2；（3）
【解析】（1）电阻箱的电阻调到最大值，电流最小，保障了电压表不超过量程及电源的不过载。
（2）若R=300Ω，电流约 ，若R=60Ω，电流约 ，后者电流读数大，误差小，所以填2。
(3) 电流 ， = ，得 ， 图象的斜率 ，截距 ，所以电动势 ，
内阻 －R0。
【实验检验】
用江苏省苏威尔公司引进并汉化的鳄鱼夹仿真实验软件可以模拟这个实验。
模拟电路图如图2：当改变可变电阻的阻值时，电压表会自动显示读数。
图2
把电阻值R及对应的电压表读数U记录下来，输入到Excel，并计算出对应的 ，如下表：
RU1/U
30.122.240.446429
42.621.710.584795
55.121.380.724638
67.621.160.862069
80.120.9991.001001
作出U-R和 图象，如图3，蓝线是U-R图象，是曲线，红线是 图象，是直线。
图3
延长 图象交 轴于一点，即得截距 ，再求出该直线的斜率 ，则根据本题结果，电动势 = ，
内阻 －R0= 。
本题考查测电源的电动势和内阻及图象的物理意义，根据图象求物理量。
难度：较难。
14．2010年高考上海物理卷第29题.（6分）
某同学利用DIS，定值电阻 、电阻箱 等实验器材测量电池a的电动势和内阻，实验装置如图4之图1所示，实验时多次改变电阻箱的阻值，记录外电路的总电阻阻值R，用电压传感器测得端电压U，并在计算机上显示出如图4之图2所示的 关系图线a，重复上述实验方法测量电池b的电动势和内阻，得到图4之图2中的图线b.
图4
（1）由图线a可知电池a的电动势 =______V，内阻 =____ 。
（2）若用同一个电阻R先后与电池a及电池b链接，则两电池的输出功率 _______ （填“大于”、“等于”或“小于”），两电池的效率 _____ （填“大于”、“等于”或“小于”）。
14． 【答案】（1）2V，（2）0.5Ω （2）小于，大于
【解析】（1）根据 ，得 ，图象a，截距b=0.5 ，斜率k= 0.25 ，所以电动势 ，内阻r=E?k=0.5Ω。
（2）从图象可知：图象b的截距约为 ，斜率约为 ，电动势 ，内阻 ， ＜ ， ＜ ，电池的输出功率 ，则 ， ，用Excel作出输出功率随电阻R变化的图象，如图5，
图5
图中，蓝线表示电池a的输出功率，红线表示电池b的输出功率，从图象可以看出， 小于 ；电池的效率 ，容易得 大于 。
【实验检验】
用鳄鱼夹仿真实验软件模拟实验，对电池a，模拟电路图如图6。 图象如图7.
图6
对电池b，模拟电路图如图8。 图象如图9.
用Excel作的两个电池的 图象如图9。
图9
本题考查用伏阻法（电压表和电阻箱）测电源的电动势和内阻，图象法，以及电源的输出功率及效率。
难度：难。
15.2010高考广东卷第34题.
（2）某同学利用电压表和电阻箱测定干电池的电动势和内阻，使用的器材还包括定值电阻（ =5 ）一个，开关两个，导线若干，实验原理图如图10(a).
①在图10（b）的实物图中，已正确连接了部分电路，请完成余下电路的连接。
②请完成下列主要实验步骤；
A.检查并调节电压表指针指零；调节电阻箱，示数如图10（c）所示，读得电阻值是____________；
B.将开关 闭合，开关 断开，电压表的示数是1.49V；
C.将开关 _______,电压表的示数是1.16V；断开开关 。
③使用测得的数据，计算出干电池的内阻是_______（计算结果保留二位有效数字）。
④由于所用电压表不是理想电压表，所以测得的电动势比实际值偏_________(填“大”或“小”)。
图10
15【答案】
(2)①略；②20Ω；闭合；③0.69Ω④小
【解析】①如图11
图11
②从图c读出，R=20Ω；闭合 后电阻箱才工作；
③S1闭合、S2断开时：RV很大，认为： ①
S1、S2都闭合时： ②
由①、②得
④误差分析
忽略电压表对电路的影响时求得的电动势为测量值，根据①式， ,两式 ?
考虑电压表对电路的影响时求得的电动势为真实值，设电压表的电阻为RV，则①式变为： + ，显然 ，即测得的电动势比实际值偏小。
【扩展】求测得的内阻比实际值偏大还是偏小？
根据①②两式求得的是内阻的测量值，即 -
考虑电压表对电路的影响时①②两式变为
+ ③
④
根据③④两式解得的内阻为真实值，得
这里要注意：由于 ,所以 是负值，所以 式中的分母比 式中的分母小，所以 ，即测得的内阻比实际值也是是偏小 。这个问题，历来是物理研究问题的难点。
【实验检验】
用鳄鱼夹仿真软件做的模拟实验如图12，当开关1闭合，开关2断开上，电压表读数为1.49V。因原电压表内阻为无限大，所以用一个阻值为1k 的电阻与电压表并联，模拟电压表内阻为1k 。
图12
电池的电动势真实值为1.5V，用内阻为无限大的电压表测量，读数为1.5V，见图13。 果然测量值小于真实值。
图13
当开关2也闭合后，电压表的读数为1.15V，如下图14，则根据 ，将 代入算得内阻的测量值为， 0.91
图14
根据 和 ，算得内阻的真实值为， 0.94 ，果然内阻的测量值也小于真实值。
本题考查用伏阻法（电压表和电阻箱）测电源的电动势和内阻，计算法及误差分析。
测电源的电动势和内电阻实验, 是高中物理的重要实验，无论是原教科书，还是课程标准教科书，都把它列为学生实验；无论是普通高考大纲，还是课程标准试验区高考大纲，都把它列为必考实验；从多年以及近几年的高考试卷看，也屡屡出现测电源的电动势和内阻的题目。
测电源的电动势和内电阻实验，传统的方法是用电流表、电压表和滑动变阻器或电阻箱，新技术的数字化实验方法是用电流传感器、电压传感器代替电流表、电压表并用数据采集器和电子计算机辅助实验，好处是：数据处理和作图象非常快，一眨眼的工夫图象就出来了。
由于新的课程标准教科书中列出了做测电源的电动势和内电阻实验的三种方法，即伏安法和安阻法、伏阻法；去年高考中有三个省不约而同地考到了安阻法并用作图法，所以本文不惜时间和笔墨把三种方法都做出来。
1．实验原理：在闭合电路中，根据全电路欧姆定律，有 ①，其中E表示电源的电动势，U表示电源的路端电压，I表示闭合电路中的电流，r表示电源的内阻。
根据课程标准教科书，实验：测电源的电动势和内电阻可用三种方法：
方法1. ①式可变为 ，改变电路的外电阻R，测出一系列的I和U值，作出U-I图象。图象在U轴上的截距即为电源的电动势，直线的斜率即为内阻的负值。此方法叫伏安法，用伏特表和安培表。
方法2. ①式可变为 ，或 ，改变电路的外电阻R，测出一系列的I和R值，作出R-1/I图象。图象在R轴上的截距即为电源的内阻，直线的斜率即电源的电动势E。此方法叫安阻法，用安培表和电阻箱。
方法3. ①式可变为 ，或 ，改变电路的外电阻R，测出一系列的U值，作出 图象。图象在 轴上的截距的倒数即为电源电动势，直线的斜率与截距的倒数乘积即为电源的内阻。此方法叫伏阻法，用伏特表和电阻箱。
基础实验是伏安法。安阻法和伏阻法是在伏安法实验的基础上的提高。
2．实验目的：用三种方法测定电源的电动势和内阻。
3．实验步骤
一、伏安法
1.实验电路图
图1-1
2.实验结果图象
图1-2
3.计算数据
电压轴上的截距为电池的电动势：E=6.0V, 电流轴上的截距为最大电流 , 则电池的内阻为r= 1.0Ω。
4.实验实物图
图1-3
5.实验结果图象
图1-4
6.计算数据
电压轴上的截距为电池的电动势：E=9.0V, 电流轴上的截距为最大电流 , 则电池的内阻为r= 1.0Ω。
二、安阻法
1. 用仿真实验室研究
按电路图搭建实验装置，如图2-1
图2-1
改变电阻箱的阻值，电流表的读数对应变化，得到电流与电阻的关系图象，见图2-2.
图2-2
由于图4不是直线，不便于求电动势和内阻，在实验过程中时，记下一系列的数据，把数据输入到Excel中并求出电流I的倒数1/I, 见下表。
RI1/I
100.2643.787879
8.360.313.225806
6.860.3692.710027
5.360.4562.192982
4.110.5671.763668
3.360.6651.503759
2.110.9321.072961
1.361.230.813008
02.90.344828
表1
作出电流的倒数随电阻变化的图象，R～1/I图象，见图2-3的直线。
图2-3
根据 ，得到 ，知：R～1/I图线直线的斜率即为电动势E，R轴上的截距的绝对值为内阻 。从图5读出数据，计算得为 ，纵轴上的截距为-1，则电池的内阻为 。
三、伏阻法（见例题）
例1．2007理综四川卷第22(2)题
甲同学设计了如图所示的电路测电源电动势E及电阻R1和R2的阻值。实验器材有：待测电源E(不计内阻)，待测电阻R1，待测电阻R2，电压表V(量程为1.5V，内阻很大)，电阻箱R(0-99.99Ω)，单刀单掷开关S1，单刀双掷开关S2，导线若干。
①先测电阻R1的阻值。请将甲同学的操作补充完整：闭合S1，将S2切换到a，调节电阻箱，读出其示数r和对应的电压表示数U1，保持电阻箱示数不变，______________，读出电压表的示数U2。则电阻R1的表达式为R1＝__________。
②甲同学已经测得电阻R1＝4.8Ω，继续测电源电动势E和电阻R2的阻值。该同学的做法是：闭合S1，将S2切换到a，多次调节电阻箱，读出多组电阻箱示数R和对应的电压表示数U，由测得的数据，绘出了如图所示的 图线，则电源电动势E＝_____V，电阻R2=_____Ω。
③利用甲同学设计的电路和测得的电阻R1，乙同学测电源电动势E和电阻R2的阻值的做法是：闭合S1，将S2切换到b，多次调节电阻箱，读出多组电阻箱示数R和对应的电压表示数U，由测得的数据，绘出了相应的 图线，根据图线得到电源电动势E和电阻R2。这种做法与甲同学的做法比较，由于电压表测得的数据范围______（选填“较大”、“较小”或“相同”)，所以_____同学的做法更恰当些。
答案：①将S2切换到b ，R1＝ 。
②E＝1.43或10/7V，R2＝ 1.2 Ω
③ 较小，甲
【解析】① （1）
（2）
由（2）式得 ，
代入（1）式，经过复杂的运算得R1＝ 。
②根据 ，有 ，比照直线方程 ，有截距 ，所以E＝1.43或10/7V；斜率 ，又 ，已测出R1＝4.8Ω，可求出R2＝ 1.2 Ω。
③ 由于电阻R2阻值小，电压表测得的数据范围较小，所以甲同学的做法更恰当些。
点评：用电压表和电阻箱测量电源的电动势和内电阻（本题的R2相当于内电阻）并用 图象进行数据处理求出结果（与伏安法类比简称伏阻法），2006年高考有三省市考到（分别是江苏、广东和天津）。
例2．2007宁夏理综卷（新课程）第22题（2）题
利用伏安法测干电池的电动势和内阻，现有的器材为：
干电池：电动势约为1.5V，符号
电压表：量程1V，内阻998.3 ，符号○V
滑动变阻器：最大阻值10 ，符号
电阻箱：最大阻值99999.9 ，符号
单刀单掷开关1个，符号
导线若干
○1设计测量电源电动势和内阻的电路并将它画在制定的方框内。要求在图中标出电压表、电流表的接线柱的正负。
○2为了满足本实验要求并保证实验的精确度，电压表量程应扩大为原量程的 倍，电阻箱的阻值应为 。
．答案： ○1
○22 998.3
【解析】因为电压表量程要大于电池电动势，所以要扩大为原量程的2倍，在电压表上串联等于其内阻的电阻，所以电阻箱的阻值应为998.3 。
点评：本题是伏安法测电源电动势和内阻（不是伏阻法），所以电阻箱是用来做扩大电压表量程用的。另外，因为电流表内阻一般与电池内阻差别不大，所以用电流表外接法（对待测电池而言）。
例。图中R为已知电阻， 为待测电阻， 为单刀单掷开关， 为单刀双掷开关，
V为电压表（内阻
极大），E为电源（电
阻不可忽略）。现用
图中电路测量电源
电动势 及电阻
（1）写出操作步骤：
（2）由R及测得的量，可测得 ＝_____________________, =________________.
答案：（1）①K1断开，K2接到a端，记下电压表的读数U1；②K2仍接到a端，闭合K1，记下电压表的读数U2；③K1仍闭合，K2接到b端，记下电压表的读数U3.
（2）U1
例3。在测定一节干电池（电动势约为1.5V，内阻约为2Ω）的电动势和内阻的实验中，变阻器和电压表各有两个供选：A电压表量程为15V，B电压表量程为3V，A变阻器为（20Ω，3A），B变阻器为（500Ω，0.2A）
电压表应该选 （填A或B），这是因为 .
变阻器应该选 （填A或B），这是因为 .
答案：B，A电压表量程过大，误差较大；A、B变阻器额定电流过小且调节不便
例。某同学按如图所示电路进行实验，实验时该同学将变阻器的触片P移到不同位置时测得各电表的示数如下表所示
序号A1示数(安)A2示数(安)V1示数(伏)V2示数(伏)
10.600.302.401.20
20.440.322.560.48
将电压表内阻看作无限大，电流表内阻看作零。
（1）电路中 ， 分别为电源的电动势和内阻， ， ， 为定值电阻，在这五个物理量中，可根据上表中的数据求得的物理量是（不要求具体计算） 。
（2）由于电路发生故障，发现两电压表示数相同了（但不为零），若这种情况的发生是由用电器引起的，则可能的故障原因是 。
答案：
（1） ， ， （1分，1分，2分）
（2） 短路或 断开 （4分）
例4．2006年天津理科综合卷第22（3）题
某研究性学习小组利用图9所示电路测量电池组的电动势E和内阻r。根据实验数据绘出如图10所示的R～1/I图线，其中R为电阻箱读数，I为电流表读数，由此可以得到E＝ V，r＝ Ω。 图10
【解析】
根据 得到，从图10读出数据，计算得 ，直线的斜率即为 ，当 时，横轴上的截距为 ，则电池的内阻为 。
点评：本题专门考查用电流表和电阻箱测电源的电动势和内电阻，与伏安法相比，实验用的仪器不同，测量的物理量不同，图象中横坐标与纵坐标表示的物理量不同了，因此根据图象求E、r的方法也不同。
例5．安徽2009高考21.Ⅱ题. 用右图所示的电路，测定一节干电池的电动势和内阻。电池的内阻较小，为了防止在调节滑动变阻器时造成短路，电路中用一个定值电阻R0起保护作用。除电池、开关和导线外，可供使用的实验器材还有：
（a）电流表（量程0.6A、3A）；
（b）电压表（量程3V、15V）
（c）定值电阻（阻值1 、额定功率5W）
（d）定值电阻（阻值10 ，额定功率10W）
（e）滑动变阻器（阴值范围0--10 、额定电流2A）
（f）滑动变阻器（阻值范围0-100 、额定电流1A）
那么
（1）要正确完成实验，电压表的量程应选择 V，电流表的量程应选择 A； R0应选择 的定值电阻，R应选择阻值范围是 的滑动变阻器。
（2）引起该实验系统误差的主要原因是 。
II．答案：
（1）3，0.6，1，0～10。（2）由于电压表的分流作用造成电流表读数总是比电池实际输出电流小。
【解析】由于电源是一节干电池（1.5V），所选量程为3V的电压表；估算电流时，考虑到干电池的内阻一般几Ω左右，加上保护电阻，最大电流在0.5A左右，所以选量程为0.6A的电流表；由于电池内阻很小，所以保护电阻不宜太大，否则会使得电流表、电压表取值范围小，造成的误差大；滑动变阻器的最大阻值一般比电池内阻大几倍就好了，取0～10Ω能很好地控制电路中的电流和电压，若取0～100Ω会出现开始几乎不变最后突然变化的现象。
关于系统误差一般由测量工具和所造成测量方法造成的，一般具有倾向性，总是偏大或者偏小。本实验中由于电压表的分流作用造成电流表读数总是比测量值小，造成E测
①请根据测定电动势E和内电阻 的要求，设计图4中器件的连接方式，画线把它们连接起来。
②接通开关，逐次改变电阻箱的阻值 ,读出与 对应的电流表的示数I,并作记录。当电阻箱的阻值 时，其对应的电流表的示数如图5所示。处理实验数据时，首先计算出每个电流值I 的倒数 ;再制作R- 坐标图，如图6所示，图中已标注出了（ ）的几个与测量对应的坐标点。请你将与图5实验数据对应的坐标点也标注在图6上。
③在图6上把描绘出的坐标点连成图线。
④根据图6描绘出的图线可得出这个电池的电动势E= V,内电阻 。
答案（2）① 见答图4
②见答图6
③见答图6
④1.5（1.46~1.54）；0.3（0.25~0.35）
例7探究硅光电池的路端电压U与总电流I的关系
2009高考 重庆22.（2）硅光电池是一种可将光能转换为电能的器件。某同学用题22图2所示电路探究硅光电池的路端电压U与总电流I的关系。图中R0为已知定值电阻，电压表视为理想电压表。
① 请根据题22图2，用笔画线代替导线将题22图3中的实验器材连接成实验电路。
② 若电压表 的读数为 ，则I＝
③ 实验一：用一定强度的光照射硅光电池，调节滑动变阻器，通过测量得到该电池的U-I曲线a。见题22图4，由此可知电池内阻 （填“是”或“不是”）常数，短路电流为 mA ，电动势为
V。
④ 实验二：减小实验一中光的强度，重复实验，测得U-I曲线b，见题22图4.当滑动变阻器的电阻为某值时，若实验一中的路端电压为1.5V。则实验二中外电路消耗的电功率为 mW（计算结果保留两位有效数字）。
答案（2）①见22题答案图，
②
③ 不是，0.295(0.293-0.297)，2.67(2.64-2.70)，
④ 0.065(0.060-0.070)
（2）①见右图；
②根据欧姆定律可知I＝ ；
③路端电压U＝E－Ir，若r为常数、则U-I图为一条不过原点的直线，由曲线a可知电池内阻不是常数；当U＝0时的电流为短路电流、约为295μA＝0.295mA；当电流I＝0时路端电压等于电源电动势E、约为2.67V；
④实验一中的路端电压为U1＝1.5V时电路中电流为I1＝0.21mA，连接a中点（0.21mA、1.5V）和坐标原点，此直线为此时对应滑动变阻器阻值的外电路电阻（定值电阻）的U-I图，和图线b的交点为实验二中的路端电压和电路电流，如右图,电流和电压分别为I＝97μA、U＝0.7V,则外电路消耗功率为P＝UI＝0.068 mW。
例8.2006年江苏物理卷第13题（12分）现在按图①所示的电路测量一节旧干电池的电动势 E（约 1.5V）和内阻 r
（约 20），可供选择的器村如下：电流表 A1、A2（量程 0～500 A ）内阻约为 500，滑动变阻器 R（阻值 0～100，额定电流 1.0A），定值电阻 R1（阻值 约为 100）电阻箱 R2、R3（阻值 0～999.9），开关、导线 若干。由于现有电流表量程偏小，不能满足实验要求，为此，先 将电流表改装（扩大量程），然后再按图①电路进行测量。（1）测量电流表 A2 的内阻 按图②电路测量 A2 的内阻，以下给出了实验中必要的操作。
A．断开 S1
B．闭合 S1、S2
C．按图②连接线路，将滑动变阻器 R的滑片调至最左
端，R2 调至最大
D．调节 R2，使 A1 的示数为 I1，记录 R2 的值。
E．断开 S2，闭合 S3
F．调节滑动变阻器 R，使 A1、A2 的指针偏转适中，记
录 A1 的示数 I1
请按合理顺序排列实验步骤（填序号）： ▲ 。
（2）将电流表 A2（较小量程）改装成电流表 A（较大量程） 如果（1）中测出 A2 的内阻为 468.0?，现用 R2 将 A2 改装成量程为 20mA的电流 表 A，应把 R2，设为 ▲ ?与 A2 并联，改装后电流表 A的内阻 RA 为 。
（3）利用电流表 A电阻箱 R，测电池的电动势和内阻用电流表 A、电阻箱 R3 及开关 S按图①所示电路测电池的电动势和内阻。实验 时，改变 R1 的值，记录下电流表 A的示数 I，得到若干组 R3、I的数据，然后通过 作出有关物理量的线性图象，求得电池电动势 E和内 r。
a．请写出与你所作线性图象对应的函数关系式 ▲ 。
b．请在虚线框内坐标中作出定性图象（要求标明两上坐标轴
所代表的物理量，用符号表示）
c．图中 ▲ 表示 E. 图中 ▲ 表示 E.
解析与答案：（1）C B F E D A
（2）改装电路中R2将与A2并联，则 ，由（1）测得 ，代入计算出 。改装后电流表 A的内阻 RA=
（3）解法一
a.根据闭合电路欧姆定律得到 ，变形成 ，若将横坐标表示总电流的倒数 ，纵坐标表示外电阻R3与电流表A的内阻 之和 ，根据多次测量的数据画出图象如图4。则与所作线性图象对应的函数关系式是 。
c．直线斜率的倒数表示E，
纵轴截距除以斜率表示r.
答案二：
图5
c．直线的斜率表示E，
纵轴截距的绝对值与 RA 的差表示 r。
这两个答案不同处在于横轴与纵轴表示的物理量互换。
点评：本题考查半偏法测电流表的内阻、电流表的改装和用R、A测电源的E、r三个知识点，但前两个是课本上的方法，第三个与课本不同，课本上是用伏安法测电源的E、r，图象是U-I图线，所以第三个是重点和难点，是创新点。
例9．2006年广东物理卷第12题
12．某同学设计了一个如图7所示的实验电路，用以测定电源电动势和内阻，使用的实验器材为：待测干电池组（电动势约3V）、电流表（量程0.6A，内阻小于1 ）、电阻箱（0～99.99 ）、滑动变阻器（0～10 ）、单刀双掷开关、单刀单掷开关各一个及导线若干。考虑到干电池的内阻较小，电流表的内阻不能忽略。
（1）该同学按图7连线，通过控制开关状态，测得电流表内阻约为0.20 。试分析该测量产生误差的原因是_________________________________________。
（2）简要写出利用图7所示电路测量电源电动势和内阻的实验步骤：
①_______________________________________________________________________；
②_______________________________________________________________________；
（3）图8是由实验数据绘出的 图象，由此求出待测干电池组的电动势E＝____________V、内阻r＝_____________ 。（计算结果保留三位有效数字）
解：（1）电流表 的读数以及电阻箱R的读数。
（2）①k闭合，S断开，调节P，使 满偏，
② k闭合，S接C，调节R，使 半偏，则 。
（3）根据闭合电路欧姆定律得到 ，变形成 ，若将纵坐标表示总电流的倒数 ，横坐标表示外电阻R，则图线的斜率的倒数表示电源的电动势E，在图8中取两点（0，0.9）和（8.0,3.7）,则 ；当R=0时， ，则 ，因已测出 ，所以电源的内阻为 。
点评：本题考查半偏法测电流表的内阻和用R、A测电源的E、r两个知识点，第一个电路与课本不同，第二个方法与课本不同，课本上是用伏安法测电源的E、r，图象是U-I图线，本题要求学生要有知识迁移的能力。
例10． 2006年天津理综卷第22（3）题
（3）某研究性学习小组利用右图所示电路测量电池组的电动势E和内阻r。根据实验数据绘出如下图所示的R～1/I图线，其中R为电阻箱读数，I为电流表读数，由此可以得到E＝ V，r＝ Ω。
【解析】根据 得到，从图10读出数据，计算得 ，直线的斜率即为 ，当 时，横轴上的截距为 ，则电池的内阻为 。
点评：本题专门考查用电流表和电阻箱测电源的电动势和内电阻，与上不同的是：横坐标与纵坐标表示的物理量调换了，因此根据图象求E、r的方法也不同。
不知是命题者的心灵感应，还是有所交流，还是巧合，还是没有原因，今年竟有三省市考用电流表和电阻箱测电源的电动势与内电阻，并且都有 图象，看来，高考命题的发展方向是有一定的规律的。
答案：22（1）P：2
（2）×100；调零（或重新调零）；2.2×103（或2.2k）
（3）2.9；0.9
例11． 2005年江苏省物理卷第12题．(12分)将满偏电流Ig=300μA、内阻未知的电流表○G改装成电压表并进行核对．
(1)利用如图所示的电路测量电流表○G的内阻(图中电源的电动势E=4V )：先闭合S1，调节R，使电流表指针偏转到满刻度；再闭合S2，保持R不变，调节R′，，使电流表指针偏转到满刻度的 ，读出此时R′的阻值为200Ω，则电流表内阻的测量值Rg= Ω．
(2)将该表改装成量程为3V的电压表，需 (填“串联”或“并联”)阻值为R0= Ω的电阻．
(3)把改装好的电压表与标准电压表进行核对，试在答题卡上画出实验电路图和实物连接图．
05江苏12．答案：（1）100 （2）串联 9900 （3）
例12． 2008高考上海16．（5分）某同学设计了如图（a）所示电路研究电源输出功率变化情况。电源E电动势、内电阻恒定，R1为滑动变阻器，R2、R3为定值电阻，A、V为理想电表。
（1）若滑动片P由a滑至b时A示数一直变小，则R1和R2必须满足的关系是__________________。
（2）若R1＝6?，R2＝12?，电源内电阻r＝6?，，当滑动片P由a滑至b时，电源E的输出功率P随外电路总电阻R的变化关系如图（b）所示，则R3的阻值应该选择（）
（A）2?。（B）4?。（C）6?。（D）8?。
图a 图b
解：（1）A示数 ，欲使滑动片P由a滑至b时A示数一直变小，须使 一直变大，因为两电阻之和一定时，当二者相等时并联电阻最大，所以要求R1≤R2。也可以用公式证明：设R1之左为 ，则右为 ，则 , 令分子为 ，则当 时， 有最大值， 也有最大值。
（2）从图b知，当 时，电源E的输出功率P最大，所以先排除C、D。如果 ，则 =4 ，这时滑动片P在b点处，因为此处 ，所以图象只能有最高点以左的部分，所以A错误，只能选B。
对于B，由于 ，所以 =2 时便达到最大值，此时滑动片P由a滑至 处， ，解出 （舍去不合理值15.7 ）, 所以能画出图b, 所以选B。
为了进一步研究这个问题，我用电子计算机Excel画出图象如下：
为了进一步研究这个问题，我用电子计算机Excel画出图象如下：
图2
作图过程如下：设 ， 从0逐渐增大到6 ， ， ， ，设 ，
对于图1， = , 所以最小值是 ，最大值是 ， ， = ，当P在b点时有最大值。
对于图2， = , 所以最小值是 ，最大值是 ， ， = ，当P在a、b之间时有最大值。
例13.2010年高考江苏省物理卷第10题（8分）
在测量电源的电动势和内阻的实验中，由于所用的电压表（视为理想电压表）的量程较小，某同学涉及了如图1所示的实物电路。
图1
（1）实验时，应先将电阻箱的电阻调到____.（选填“最大值”、“最小值”或“任意值”）
（2）改变电阻箱的阻值R，分别测出阻值 =10 的定值电阻两端的电压U，下列两组R的取值方案中，比较合理的方案是____.（选填1或2）
（3）根据实验数据描点，绘出的 图像是一条直线。若直线的斜率为k，在 坐标轴上的截距为b，则该电源的电动势E= ▲ ，内阻r= ▲ （用k、b和R0表示）
13． 【答案】（1）最大值；（2）2；（3）
【解析】（1）电阻箱的电阻调到最大值，电流最小，保障了电压表不超过量程及电源的不过载。
（2）若R=300Ω，电流约 ，若R=60Ω，电流约 ，后者电流读数大，误差小，所以填2。
(3) 电流 ， = ，得 ， 图象的斜率 ，截距 ，所以电动势 ，
内阻 －R0。
【实验检验】
用江苏省苏威尔公司引进并汉化的鳄鱼夹仿真实验软件可以模拟这个实验。
模拟电路图如图2：当改变可变电阻的阻值时，电压表会自动显示读数。
图2
把电阻值R及对应的电压表读数U记录下来，输入到Excel，并计算出对应的 ，如下表：
RU1/U
30.122.240.446429
42.621.710.584795
55.121.380.724638
67.621.160.862069
80.120.9991.001001
作出U-R和 图象，如图3，蓝线是U-R图象，是曲线，红线是 图象，是直线。
图3
延长 图象交 轴于一点，即得截距 ，再求出该直线的斜率 ，则根据本题结果，电动势 = ，
内阻 －R0= 。
本题考查测电源的电动势和内阻及图象的物理意义，根据图象求物理量。
难度：较难。
14．2010年高考上海物理卷第29题.（6分）
某同学利用DIS，定值电阻 、电阻箱 等实验器材测量电池a的电动势和内阻，实验装置如图4之图1所示，实验时多次改变电阻箱的阻值，记录外电路的总电阻阻值R，用电压传感器测得端电压U，并在计算机上显示出如图4之图2所示的 关系图线a，重复上述实验方法测量电池b的电动势和内阻，得到图4之图2中的图线b.
图4
（1）由图线a可知电池a的电动势 =______V，内阻 =____ 。
（2）若用同一个电阻R先后与电池a及电池b链接，则两电池的输出功率 _______ （填“大于”、“等于”或“小于”），两电池的效率 _____ （填“大于”、“等于”或“小于”）。
14． 【答案】（1）2V，（2）0.5Ω （2）小于，大于
【解析】（1）根据 ，得 ，图象a，截距b=0.5 ，斜率k= 0.25 ，所以电动势 ，内阻r=E?k=0.5Ω。
（2）从图象可知：图象b的截距约为 ，斜率约为 ，电动势 ，内阻 ， ＜ ， ＜ ，电池的输出功率 ，则 ， ，用Excel作出输出功率随电阻R变化的图象，如图5，
图5
图中，蓝线表示电池a的输出功率，红线表示电池b的输出功率，从图象可以看出， 小于 ；电池的效率 ，容易得 大于 。
【实验检验】
用鳄鱼夹仿真实验软件模拟实验，对电池a，模拟电路图如图6。 图象如图7.
图6
对电池b，模拟电路图如图8。 图象如图9.
用Excel作的两个电池的 图象如图9。
图9
本题考查用伏阻法（电压表和电阻箱）测电源的电动势和内阻，图象法，以及电源的输出功率及效率。
难度：难。
15.2010高考广东卷第34题.
（2）某同学利用电压表和电阻箱测定干电池的电动势和内阻，使用的器材还包括定值电阻（ =5 ）一个，开关两个，导线若干，实验原理图如图10(a).
①在图10（b）的实物图中，已正确连接了部分电路，请完成余下电路的连接。
②请完成下列主要实验步骤；
A.检查并调节电压表指针指零；调节电阻箱，示数如图10（c）所示，读得电阻值是____________；
B.将开关 闭合，开关 断开，电压表的示数是1.49V；
C.将开关 _______,电压表的示数是1.16V；断开开关 。
③使用测得的数据，计算出干电池的内阻是_______（计算结果保留二位有效数字）。
④由于所用电压表不是理想电压表，所以测得的电动势比实际值偏_________(填“大”或“小”)。
图10
15【答案】
(2)①略；②20Ω；闭合；③0.69Ω④小
【解析】①如图11
图11
②从图c读出，R=20Ω；闭合 后电阻箱才工作；
③S1闭合、S2断开时：RV很大，认为： ①
S1、S2都闭合时： ②
由①、②得
④误差分析
忽略电压表对电路的影响时求得的电动势为测量值，根据①式， ,两式 ?
考虑电压表对电路的影响时求得的电动势为真实值，设电压表的电阻为RV，则①式变为： + ，显然 ，即测得的电动势比实际值偏小。
【扩展】求测得的内阻比实际值偏大还是偏小？
根据①②两式求得的是内阻的测量值，即 -
考虑电压表对电路的影响时①②两式变为
+ ③
④
根据③④两式解得的内阻为真实值，得
这里要注意：由于 ,所以 是负值，所以 式中的分母比 式中的分母小，所以 ，即测得的内阻比实际值也是是偏小 。这个问题，历来是物理研究问题的难点。
【实验检验】
用鳄鱼夹仿真软件做的模拟实验如图12，当开关1闭合，开关2断开上，电压表读数为1.49V。因原电压表内阻为无限大，所以用一个阻值为1k 的电阻与电压表并联，模拟电压表内阻为1k 。
图12
电池的电动势真实值为1.5V，用内阻为无限大的电压表测量，读数为1.5V，见图13。 果然测量值小于真实值。
图13
当开关2也闭合后，电压表的读数为1.15V，如下图14，则根据 ，将 代入算得内阻的测量值为， 0.91
图14
根据 和 ，算得内阻的真实值为， 0.94 ，果然内阻的测量值也小于真实值。
本题考查用伏阻法（电压表和电阻箱）测电源的电动势和内阻，计算法及误差分析。
