第2节 动能定理及其应用
【考纲知识梳理】
一、动能
定义：物体由于运动而具有的能叫动能
表达式为: ，
动能和动量的关系：动能是用以描述机械运动的状态量。动量是从机械运动出发量化机械运动的状态,动量确定的物体决定着它克服一定的阻力还能运动多久；动能则是从机械运动与其它运动的关系出发量化机械运动的状态，动能确定的物体决定着它克服一定的阻力还能运动多远。
二、动能定理
1.定义：合外力所做的总功等于物体动能的变化量. ―― 这个结论叫做动能定理.
2.表达式： ，
式中W合是各个外力对物体做功的总和，ΔEK是做功过程中始末两个状态动能的增量.
3.推导：动能定理实际上是在牛顿第二定律的基础上对空间累积而得：
在牛顿第二定律 F=ma 两端同乘以合外力方向上的位移s，即可得
【要点名师透析】
一、对动能定理的理解
1.总功的计算
物体受到多个外力作用时，计算合外力的功，要考虑各个外力共同做功产生的效果，一般有如下两种方法：
(1)先由力的合成或根据牛顿第二定律求出合力F合，然后由W=F合lcosα计算.
(2)由W=Flcosα计算各个力对物体做的功W1、W2、…、Wn,然后将各个外力所做的功求代数和，即
W合=W1+W2+…+Wn.
2.动能定理公式中等号的意义
(1)数量关系:即合外力所做的功与物体动能的变化具有等量代换关系.可以通过计算物体动能的变化,求合力的功,进而求得某一力的功.
(2)单位相同:国际单位都是焦耳.
(3)因果关系:合外力的功是物体动能变化的原因.
3.动能定理叙述中所说的“外力”，既可以是重力、弹力、摩擦力，也可以是电场力、磁场力或其他力.
4.动能定理应用广泛，直线运动、曲线运动、恒力做功、变力做功、同时做功、分段做功等各种情况均适用.
注意：(1)动能定理说明了外力对物体所做的总功和动能变化间的一种因果关系和数量关系，不可理解为功转变成了物体的动能.
(2)动能定理中的位移和速度必须是相对于同一个参考系的，一般以地面或相对地面静止的物体为参考系.
【例证1】如图所示,一块长木板B放在光滑的水平面上,在B上放一物体A,现以恒定的外力拉B,由于A、B间摩擦力的作用,A将在B上滑动,以地面为参照物,A、B都向前移动一段距离,在此过程中( )
A.外力F做的功等于A和B动能的增量
B.B对A的摩擦力所做的功等于A的动能的增量
C.A对B的摩擦力所做的功等于B对A的摩擦力所做的功
D.外力F对B做的功等于B的动能的增量与B克服摩擦力所做的功之和
【答案】选B、D.
【详解】物体A所受的合外力等于B对A的摩擦力,所以B对A的摩擦力所做的功等于A的动能的增量,所以B对.A对B的摩擦力与B对A的摩擦力是一对作用力与反作用力,大小相等,方向相反,但由于A在B上滑动,A、B对地的位移不等,所以二者做功不等,故C错.对B应用动能定理,WF-Wf=ΔEkB，即WF=ΔEkB+Wf,即外力F对B做的功等于B的动能增量与B克服摩擦力所做功之和，所以D对，A错,故选B、D.
二、动能定理的应用
1.基本步骤
(1)选取研究对象，明确它的运动过程；
(2)分析研究对象的受力情况和各力的做功情况：
(3)明确研究对象在过程的始末状态的动能Ek1和Ek2；
(4)列出动能定理的方程W合=Ek2-Ek1及其他必要的解题方程，进行求解.
2.注意事项
(1)动能定理的研究对象可以是单一物体，或者是可以看做单一物体的物体系统.
(2)动能定理是求解物体的位移或速率的简捷公式.当题目中涉及到位移和速度而不涉及时间时可优先考虑动能定理；处理曲线运动中的速率问题时也要优先考虑动能定理.
(3)若过程包含了几个运动性质不同的分过程，既可分段考虑，也可整个过程考虑.但求功时，有些力不是全过程都做功，必须根据不同的情况分别对待求出总功.
(4)应用动能定理时，必须明确各力做功的正、负.当一个力做负功时，可设物体克服该力做功为W，将该力做功表达为
-W，也可以直接用字母W表示该力做功，使其字母本身含有负号.
【例2】(2011?济南模拟)(14分)如图甲所示，一质量为m=1 kg的物块静止在粗糙水平面上的A点，从t=0时刻开始，物块受到按如图乙所示规律变化的水平力F作用并向右运动，第3 s末物块运动到B点时速度刚好为0，第5 s末物块刚好回到A点，已知物块与粗糙水平面之间的动摩擦因数μ=0.2，(g取10 m/s2)求：
(1)A与B间的距离；
(2)水平力F在5 s内对物块所做的功.
【答案】(1)4 m (2)24 J
【详解】(1)在3 s～5 s内物块在水平恒力F作用下由B点匀加速运动到A点，设加速度为a，A与B间的距离为x，则
F-μmg=ma (2分)
得a=2 m/s2 (1分)
x= =4 m (2分)
(2)设物块回到A点时的速度为vA，
由vA2=2ax得vA=4 m/s (3分)
设整个过程中F做的功为WF，
由动能定理得：WF-2μmgx= (4分)
解得：WF=24 J (2分)
【感悟高考真题】
1.（2011?新课标全国卷?T15）一质点开始时做匀速直线运动，从某时刻起受到一恒力作用。此后，该质点的动能可能
A. 一直增大
B. 先逐渐减小至零，再逐渐增大
C. 先逐渐增大至某一最大值，再逐渐减小
D. 先逐渐减小至某一非零的最小值，再逐渐增大
【答案】选A、B、 D。
【详解】当恒力方向与速度方向相同时，物体加速，动能一直增大，故A正确。当恒力方向与速度方向相反时，物体开始减速至零，再反向加速，动能先减小再增大，故B正确。当恒力与速度成小于90°夹角时，把速度沿恒力方向和垂直方向分解，物体做曲线运动，速度一直增大，故C错。当恒力与速度成大于90°的夹角时，把速度沿恒力方向和垂直方向分解，开始在原运动方向物体做减速运动直至速度为0，而在垂直原运动方向上物体速度逐渐增加，某一时刻物体速度最小，此后，物体在恒力作用下速度增加，其动能经历一个先减小到某一数值，再逐渐增大的过程，故D正确。
2.（2011?山东高考?T18）.如图所示，将小球 从地面以初速度v0竖直上抛的同时，将另一相同质量的小球 从距地面 处由静止释放，两球恰在 处相遇（不计空气阻力）。则
A.两球同时落地
B.相遇时两球速度大小相等
C.从开始运动到相遇，球 动能的减少量等于球 动能的增加量
D.相遇后的任意时刻，重力对球 做功功率和对球 做功功率相等
【答案】选C。
【详解】相遇时b球的位移 ，相遇时a球 ,可得 ,相遇时a球的速度 0，由题意可得此时b球已经具有向下的速度而a球速度为零，故b球以较大速度先落地,以后任意时刻重力的瞬时功率 ，b球的瞬时功率总是大于a球瞬时功率。选项A、B、D错误。从开始运动到相遇，a球克服重力所做的功等于重力对b球所做的功，由动能定理可得C项正确。
3.（2011?江苏物理?T4）如图所示，演员正在进行杂技表演。由图可估算出他将一只鸡蛋抛出的过程中对鸡蛋所做的功最接近于（ ）
A．0.3J
B．3J
C．30J
D．300J
【答案】选A.
【详解】估计一只鸡蛋的重力为60克，鸡蛋上升的高度为50厘米，选择人抛鸡蛋以及鸡蛋上升到最到点全程应用动能定理有： ，带入数值可知 ，A对。
4.（2011?四川理综?T19）如图是“神舟”系列航天飞船返回舱返回地面的示意图，假定其过程可简化为：打开降落伞一段时间后，整个装置匀速下降，为确保安全着陆，需点燃返回舱的缓冲火箭，在火箭喷气过程中返回舱做减速直线运动，则
A.火箭开始喷气瞬间伞绳对返回舱的拉力变小
B.返回舱在喷气过程中减速的主要原因是空气阻力
C返回舱在喷气过程中所受合外力可能做正功
D.返回舱在喷气过程中处于失重状态
【答案】选A.
【详解】由整体法、隔离法结合牛顿第二定律，可知A正确B错；由动能定理可知C错；因为物体具有竖直向上的加速度，因此处于超重状态，D错.
5.（2011?上海高考物理?T15）如图，一长为 的轻杆一端固定在光滑铰链上，另一端固定一质量为 的小球。一水平向右的拉力作用于杆的中点，使杆以角速度 匀速转动，当杆与水平方向成60°时，拉力的功率为
(A) (B) (C) (D)
【答案】选C.
【详解】匀速转动，动能不变，拉力的功率在数值上应等于重力的功率。为此，将线速度分解，分解为水平速度和竖直速度，重力的功率 ，所以拉力的功率
6.（2011?上海高考物理?T33）如图(a)，磁铁A、B的同名磁极相对放置，置于水平气垫导轨上。A固定于导轨左端，B的质量m=0.5kg，可在导轨上无摩擦滑动。将B在A附近某一位置由静止释放，由于能量守恒，可通过测量B在不同位置处的速度，得到B的势能随位置x的变化规律，见图(c)中曲线I。若将导轨右端抬高，使其与水平面成一定角度(如图(b)所示)，则B的总势能曲线如图(c)中II所示，将B在 处由静止释放，求：(解答时必须写出必要的推断说明。取 )
(1)B在运动过程中动能最大的位置；
(2)运动过程中B的最大速度和最大位移。
(3)图(c)中直线III为曲线II的渐近线，求导轨的倾角。
(4)若A、B异名磁极相对放置，导轨的倾角不变，在图(c)上画出B的总势能随x的变化曲线．
【答案】⑴ (在5.9 ~ 6.3cm间均视为正确)
⑵ 1.31m/s ( 在1.29～1.33 m／s间均视为正确)，18.0cm ( 在17.9~18.1cm间均视为正确)
⑶59.7°（ 在 间均视为正确）
⑷见解析
【详解】 (1)势能最小处动能最大
由图线II得
(在5.9 ~ 6.3cm间均视为正确)
(2)由图读得释放处势能 ，此即B的总能量。出于运动中总能量守恒，因此在势能最小处动能最大，由图像得最小势能为0.47J，则最大动能为
( 在0.42 ~ 0.44J间均视为正确)
最大速度为
( 在1.29～1.33 m／s间均视为正确)
x=20.0 cm处的总能量为0.90J，最大位移由E=0.90J的水平直线与曲线II的左侧交点确定,由图中读出交点位置为x=2.0cm，因此，最大位移
( 在17.9~18.1cm间均视为正确)
(3)渐近线III表示B的重力势能随位置变化关系，即
∴
由图读出直线斜率
（ 在 间均视为正确）
（4）若异名磁极相对放置，A，B间相互作用势能为负值，总势能如图。
.7.（2011?浙江理综?T24）节能混合动力车是一种可以利用汽油及所储存电能作为动力来源的汽车。有一质量m=1000kg的混合动力轿车，在平直公路上以v1=90km/h匀速行驶，发动机的输出功率为P=50kw。当驾驶员看到前方有80km/h的限速标志时，保持发动机功率不变，立即启动利用电磁阻尼带动的发电机工作给电池充电，使轿车做减速运动，运动 =72m后，速度变为v2=72km/h。此过程中发动机功率的 用于轿车的牵引， 用于供给发电机工作，发动机输送给发电机的能量最后有50%转化为电池的电能。假设轿车在上述运动过程中所受阻力保持不变。求
（1）轿车以90km/h在平直公路上匀速行驶时，所受阻力F阻的大小；
（2）轿车从90km/h减速到72km/h过程中，获得的电能E电；
（3）轿车仅用其在上述减速过程中获得的电能E电维持72km/h匀速运动的距离 。
【答案】（1） （2） （3）
【详解】（1）汽车牵引力与输出功率关系
将P=50kW, v1=90 km/h=25 m/s代入得
当轿车匀速行驶时，牵引力与阻力大小相等，有
（2）在减速过程中，发动机只有 用于汽车的牵引.根据动能定理
代入数据得
电源获得的电能为
（3）根据题设，轿车在平直公路上匀速行驶时受到的阻力仍为 .在此过程中，由能量转化及守恒定律可知，仅有电能用于克服阻力做功
代入数据的
8.（2011?广东理综?T36）如图所示，以A、B和C、D为端点的两半圆形光滑轨道固定于竖直平面内，一滑板静止在光滑水平面上，左端紧靠B点，上表面所在平面与两半圆分别相切于B、C。一物块被轻放在水平匀速运动的传送带上E点，运动到A时刚好与传送带速度相同，然后经A沿半圆轨道滑下，再经B滑上滑板.滑板运动到C时被牢固粘连。物块可视为质点，质量为m，滑板质量M=2m，两半圆半径均为R，板长 ，板右端到C的距离 在 范围内取值，E距A为 ，物块与传送带、物块与滑板间的动摩擦因数均为 ，重力加速度取g.
求物块滑到B点的速度大小；
试讨论物块从滑上滑板到离开滑板右端的过程中，克服摩擦力做的功 与 的关系，并判断物块能否滑到CD轨道的中点。
【详解】（1）物块从E点运动到B点的过程中，只有皮带对物块的摩擦力和重力两个力做功，对该过程应用动能定理得：
（2）物块m和木板M在相互作用的过程中动量守恒，设两者可以达到共同速度，设为 ,该过程中木板运动的位移为 ，两者的相对位移为x,由动量守恒定律得：
所以
由能量守恒定律得：
对木板应用动能定理得：
当 时，到达C点的整个过程中始终存在滑动摩擦力，所以克服摩擦力做功为:
当 时，物块和木板可以达到相同的速度，此后直到木板碰到C点这一过程中，物块和木板之间是没有摩擦力的，该阶段摩擦力不做功。故这种情况下克服摩擦力做功为：
,与L无关。
综合两种情况可知，当L=R时，物块克服摩擦力做功最小，这个过程中物块到达C点的速度最大，对这个过程有：-
滑上CD轨道后，设上升的最大高度为h,由机械能守恒定律得：
可见物块滑不到CD轨道的中点。
答案(1)
(2) 当 时 ;当 时 ,与L无关; 物块滑不到CD轨道的中点.
9（2010?江苏卷）8.如图所示，平直木板AB倾斜放置，板上的P点距A端较近，小物块与木板间的动摩擦因数由A到B逐渐减小，先让物块从A由静止开始滑到B。然后，将A着地，抬高B，使木板的倾角与前一过程相同，再让物块从B由静止开始滑到A。上述两过程相比较，下列说法中一定正确的有
A．物块经过P点的动能，前一过程较小
B．物块从顶端滑到P点的过程中因摩擦产生的热量，前一过程较少
C．物块滑到底端的速度，前一过程较大
D．物块从顶端滑到底端的时间，前一过程较长
答案：AD
解析：加速度 ，开始， ＞ ，所以 ＜ ，（下标为1表示前一过程，下标为2表示后一过程），前一过程，μ逐渐减小，a逐渐增大；后以过程，μ逐渐增大，a逐渐减小。
A. ，因s较小，所以 ＞ ， ＜ ，得物块经过P点的动能，前一过程较小，A正确；
B.根据 ，因为 ＞ ，所以，物块从顶端滑到P点的过程中因摩擦力产生的热量，前一过程较多，B错误；
C. 根据 ，因S为全部木板长，物块滑到底端的速度，应该一样大，C错误；
D.因为前一过程，加速度先小后大，后一过程，加速度先大后小，物块从顶端滑到底端的时间，前一过程较长，D正确。
本题考查力的分析，功，动能定理等，分析和综合能力。
难度：难。
10.（2010?浙江卷）22. （16分）在一次国际城市运动会中，要求运动员从高为H的平台上A点由静止出发，沿着动摩擦因数为滑 的道向下运动到B点后水平滑出，最后落在水池中。设滑道的水平距离为L，B点的高度h可由运动员自由调节（取;g=10m/s2）。求：
（1）运动员到达B点的速度与高度h的关系；
（2）运动员要达到最大水平运动距离，B点的高度h应调为多大？对应的最大水平距离SBH为多少？
（3若图中H＝4m，L＝5m，动摩擦因数 ＝0.2，则水平运动距离要达到7m，h值应为多少？
解析：
（1）设斜面长度为L1，斜面倾角为α，根据动能定理得
①
即 ②
③
（2）根据平抛运动公式
X=vot ④
h= gt2 ⑤
由③-⑤式得 ⑥
（3）在⑥式中令x=2m ,H=4m,L=5m, =0.2
则可得到：―h2+3h-1=0
求出
11、 （2010?四川卷）25.（20分）如图所示，空间有场强 的竖直向下的匀强电场，长 的不可伸长的轻绳一端固定于O点，另一端系一质量 的不带电小球 ，拉起小球至绳水平后，无初速释放。另一电荷量 、质量与 相同的小球 ，以速度 水平抛出，经时间 与小球 与 点下方一足够大的平板相遇。不计空气阻力，小球均可视为质点，取 。
（1）求碰撞前瞬间小球 的速度。
（2）若小球 经过路 到达平板，此时速度恰好为0，求所加的恒力。
（3）若施加恒力后，保持平板垂直于纸面且与水平面的夹角不变，在 点下方面任意改变平板位置，小球 均能与平板正碰，求出所有满足条件的恒力。
【解析】（1）P做抛物线运动，竖直方向的加速度为
在D点的竖直速度为
P碰前的速度为
（2）设在D点轻绳与竖直方向的夹角为 ，由于P与A迎面正碰，则P与A速度方向相反，所以P的速度与水平方向的夹角为 有
， =30°
对A到达D点的过程中根据动能定理
化简并解得
P与A迎面正碰结合为C，根据动量守恒得
解得 m/s
小球C经过s速度变为0，一定做匀减速运动，根据位移推论式
m/s2
设恒力F与竖直方向的夹角为α，如图，根据牛顿第二定律
给以上二式带入数据得
解得 α=30°
（3）平板足够大，如果将平板放置到无限远根据题意也能相碰，此时小球C必须匀速或加速不能减速，所以满足条件的恒力在竖直线与C的速度线之间，设恒力与竖直方向的夹角为β，则 0≤β＜120°
在垂直速度的方向上，恒力的分力与重力和电场力的分力等大反向，有
则满足条件的恒力为
（其中0≤β＜120°）
12.（09?天津?4）如图所示，竖直放置的两根平行金属导轨之间接有定值电阻R，质量不能忽略的金属棒与两导轨始终保持垂直并良好接触且无摩擦，棒与导轨的电阻均不计，整个装置放在匀强磁场中，磁场方向与导轨平面垂直，棒在竖直向上的恒力F作用下加速上升的一段时间内，力F做的功与安培力做的功的代数和等于 （ A ）
A.棒的机械能增加量
B.棒的动能增加量
C.棒的重力势能增加量
D.电阻R上放出的热量
解析：棒受重力G、拉力F和安培力FA的作用。由动能定理： 得 即力F做的功与安培力做功的代数和等于机械能的增加量。选A。
13.（09?福建?21）如图甲，在水平地面上固定一倾角为θ的光滑绝缘斜面，斜面处于电场强度大小为E、方向沿斜面向下的匀强电场中。一劲度系数为k的绝缘轻质弹簧的一端固定在斜面底端，整根弹簧处于自然状态。一质量为m、带电量为q（q>0）的滑块从距离弹簧上端为s0处静止释放，滑块在运动过程中电量保持不变，设滑块与弹簧接触过程没有机械能损失，弹簧始终处在弹性限度内，重力加速度大小为g。
（1）求滑块从静止释放到与弹簧上端接触瞬间所经历的时间t1
（2）若滑块在沿斜面向下运动的整个过程中最大速度大小为vm，求滑块从静止释放到速度大小为vm过程中弹簧的弹力所做的功W；
（3）从滑块静止释放瞬间开始计时，请在乙图中画出滑块在沿斜面向下运动的整个过程中速度与时间关系v-t图象。图中横坐标轴上的t1、t2及t3分别表示滑块第一次与弹簧上端接触、第一次速度达到最大值及第一次速度减为零的时刻，纵坐标轴上的v1为滑块在t1时刻的速度大小，vm是题中所指的物理量。（本小题不要求写出计算过程）
答案：（1） ; （2） ;
(3)
解析：本题考查的是电场中斜面上的弹簧类问题。涉及到匀变速直线运动、运用动能定理处理变力功问题、最大速度问题和运动过程分析。
（1）滑块从静止释放到与弹簧刚接触的过程中作初速度为零的匀加速直线运动，设加速度大小为a，则有
qE+mgsin =ma ①
②
联立①②可得
③
（2）滑块速度最大时受力平衡，设此时弹簧压缩量为 ，则有
④
从静止释放到速度达到最大的过程中，由动能定理得
⑤
联立④⑤可得
s
（3）如图
14.（09?上海物理?20）质量为5?103 kg的汽车在t＝0时刻速度v0＝10m/s，随后以P＝6?104 W的额定功率沿平直公路继续前进，经72s达到最大速度，设汽车受恒定阻力，其大小为2.5?103N。求：（1）汽车的最大速度vm；（2）汽车在72s内经过的路程s。
解析：（1）当达到最大速度时，P＝=Fv=fvm，vm＝Pf ＝6?1042.5?103 m/s＝24m/s
（2）从开始到72s时刻依据动能定理得：
Pt－fs＝12 mvm2－12 mv02，解得：s＝2Pt－mvm2＋mv022f ＝1252m。
【考点模拟演练】
1.关于动能的理解，下列说法正确的是( )
A.动能是机械能的一种表现形式，凡是运动的物体都具有动能
B.动能有可能为负值
C.一定质量的物体动能变化时，速度一定变化，但速度变化时，动能不一定变化
D.动能不变的物体，一定处于平衡状态
【答案】选A、C.
【详解】机械能包括动能和势能，而动能是物体由于运动具有的能，且Ek= ≥0,故A正确，B错误;一定质量的物体的动能变化时，速度的大小一定变化，但速度变化时，动能不一定变化，如匀速圆周运动，动能不变，但速度变化，故C正确，D错误.
2.一个质量为0.3 kg的弹性小球，在光滑水平面上以6 m/s 的速度垂直撞到墙上，碰撞后小球沿相反方向运动，反弹后的速度大小与碰撞前相同，则碰撞前后小球速度变化量的大小Δv和碰撞过程中墙对小球做功的大小W为( )
A.Δv=0 B.Δv=12 m/s
C.W=1.8 J D.W=10.8 J
【答案】选B.
【详解】取末速度的方向为正方向，则v2=6 m/s，v1=-6 m/s，速度变化量Δv=v2-v1=12 m/s，A错误，B正确；小球与墙碰撞过程中，只有墙对小球的作用力做功，由动能定理得：W= =0，故C、D均错误.
3.某物体同时受到两个在同一直线上的力F1、F2的作用，由静止开始做直线运动，力F1、F2与位移x的关系图象如图所示，在物体开始运动后的前4.0 m内，物体具有最大动能时对应的位移是( )
A.2.0 m B.1.0 m
C.3.0 m D.4.0 m
【答案】选A.
【详解】由题图知x=2.0 m时，F合=0，此前F合做正功，而此后F合做负功，故x=2.0 m时物体的动能最大，故A正确.
4.(2011?杭州模拟)人用手托着质量为m的物体，从静止开始沿水平方向运动，前进距离l后，速度为v(物体与手始终相对静止)，物体与手掌之间的动摩擦因数为μ，则人对物体做的功为( )
A.mgl B.0 C.μmgl D.
【答案】选D.
【详解】物体与手掌之间的摩擦力是静摩擦力，静摩擦力在零与最大值μmg之间取值，不一定等于μmg，在题述过程中，只有静摩擦力对物体做功，根据动能定理，摩擦力对物体做的功W= ，D正确.
5.(2011?南通检测)质量为1 kg的物体以某一初速度在水平面上滑行，由于摩擦阻力的作用，其动能随位移变化的图线如图所示，g取10 m/s2，则以下说法中正确的是( )
A．物体与水平面间的动摩擦因数为0.5
B．物体与水平面间的动摩擦因数为0.25
C．物体滑行的总时间为4 s
D．物体滑行的总时间为2.5 s
【答案】BC
【详解】根据动能定理Ek2－Ek1＝－Ffx可得Ff＝Ek1－Ek2x＝50－020 N＝2.5 N，所以μ＝Ffmg＝0.25，A选项错误，B选项正确；根据牛顿第二定律可得a＝Ffm＝2.5 m/s2，由运动学公式得物体滑行的总时间t＝ 2xa＝ 2×202.5 s＝4 s，C选项正确，D选项错误．
6．(2010?淄博一模)如图所示，质量为m的小车在水平恒力F推动下，从山坡(粗糙)底部A处由静止起运动至高为h的坡顶B，获得速度为v，AB之间的水平距离为x，重力加速度为g.下列说法正确的是( )
A．小车克服重力所做的功是mgh
B．合外力对小车做的功是12mv2
C．推力对小车做的功是12mv2＋mgh
D．阻力对小车做的功是12mv2＋mgh－Fx
【答案】ABD
【详解】小车克服重力做功W＝Gh＝mgh，A选项正确；由动能定理小车受到的合力做的功等于小车动能的增加，W合＝ΔEk＝12mv2，B选项正确；由动能定理W合＝W推＋W重＋W阻＝12mv2，所以推力做的功W推＝12mv2－W阻－W重＝12mv2＋mgh－W阻，C选项错误；阻力对小车做的功W阻＝12mv2－W推－W重＝12mv2＋mgh－Fx，D选项正确．
7．(2011?湖北黄冈)在新疆旅游时，最刺激的莫过于滑沙运动．某人坐在滑沙板上从沙坡斜面的顶端由静止沿直线下滑到斜面底端时，速度为2v0，设人下滑时所受阻力恒定不变，沙坡长度为L，斜面倾角为α，人的质量为m，滑沙板质量不计，重力加速度为g.则( )
A．若人在斜面顶端被其他人推了一把，沿斜面以v0的初速度下滑，则人到达斜面底端时的速度大小为3v0
B．若人在斜面顶端被其他人推了一把，沿斜面以v0的初速度下滑，则人到达斜面底端时的速度大小为5v0
C．人沿沙坡下滑时所受阻力Ff＝mgsin α＋2mv20/L
D．人在下滑过程中重力功率的最大值为2mgv0
【答案】 B
【详解】
对人进行受力分析如图所示，根据匀变速直线运动的规律有：(2v0)2－0＝2aL，v21－v20＝2aL，可解得v1＝5v0，所以A错误，B正确；根据动能定理有：mgLsin θ－FfL＝12m(2v0)2，可解得Ff＝mgsin α－2mv20/L，C错误；重力功率的最大值为Pm＝2mgv0sin α，D错误．
8. (2011年如皋模拟)如图所示，斜面AB和水平面BC是从同一板材上截下的两段，在B处用小圆弧连接．将小铁块(可视为质点)从A处由静止释放后，它沿斜面向下滑行，进入平面，最终静止于P处．若从该板材上再截下一段，搁置在A、P之间，构成一个新的斜面，再将铁块放回A处，并轻推一下使之沿新斜面向下滑动．关于此情况下铁块运动情况的描述，正确的是( )
A．铁块一定能够到达P点
B．铁块的初速度必须足够大才能到达P点
C．铁块能否到达P点与铁块质量有关
D．以上说法均不对
【答案】选A.
【详解】设AB＝x1，BP＝x2，AP＝x3，动摩擦因数为μ，由动能定理得：mgx1sinα－μmgcosαx1－μmgx2＝0，可得：
mgx1sinα＝μmg(x1cosα＋x2)，设沿AP滑到P的速度为vP，由动能定理得：mgx1sinα－μmgcosβ?x3＝12mv2P，因x1cosα＋x2＝x3cosβ，故得：vP＝0，即铁块恰好沿AP滑到P点，故A正确．
9．(2011年湖北黄冈检测)在新疆旅游时，最刺激的莫过于滑沙运动．某人坐在滑沙板上从沙坡斜面的顶端由静止沿直线下滑到斜面底端时，速度为2v0，设人下滑时所受阻力恒定不变，沙坡长度为L，斜面倾角为α，人的质量为m，滑沙板质量不计，重力加速度为g.则( )
A．若人在斜面顶端被其他人推了一把，沿斜面以v0的初速度下滑，则人到达斜面底端时的速度大小为3v0
B．若人在斜面顶端被其他人推了一把，沿斜面以v0的初速度下滑，则人到达斜面底端时的速度大小为5v0
C．人沿沙坡下滑时所受阻力Ff＝mgsinα－2mv20/L
D．人在下滑过程中重力功率的最大值为2mgv0
【答案】选BC.
【详解】对人进行受力分析如图所示，
根据匀变速直线运动的规律有：(2v0)2－0＝2aL，v21－v20＝2aL，可解得：v1＝5v0，所以A错误，B正确；根据动能定理有：mgLsinα－FfL＝12m(2v0)2，可解得Ff＝mgsinα－2mv20/L，C正确；重力功率的最大值为Pm＝2mgv0sinα，D错误．
10．如图甲所示，质量不计的弹簧竖直固定在水平面上，t＝0时刻，将一金属小球从弹簧正上方某一高度处由静止释放，小球落到弹簧上压缩弹簧到最低点，然后又被弹起离开弹簧，上升到一定高度后再下落，如此反复．通过安装在弹簧下端的压力传感器，测出这一过程弹簧弹力F随时间t变化的图象如图乙所示，则( )
A．t1时刻小球动能最大
B．t2时刻小球动能最大
C．t2～t3这段时间内，小球的动能先增加后减少
D．t2～t3这段时间内，小球增加的动能等于弹簧减少的弹性势能
【答案】C
【详解】0～t1时间内，小球做自由落体运动，故弹簧弹力为零．t1～t2时间内，小球压缩弹簧，当弹力等于重力时，小球速度最大，在此时刻之前，小球做加速度减小的加速运动，之后做加速度增加的减速运动，t2时刻减速到零．t2～t3时间内，小球向上先加速运动后减速运动．故A、B、C三选项中，只有C项正确．t2～t3时间内弹簧减少的弹性势能转化为小球增加的动能和重力势能之和，故D项错误．
11．(2011年昆明模拟)如图甲所示，在倾角为30°的足够长光滑斜面AB前，有一粗糙水平面OA，OA长为4 m．有一质量为m的滑块，从O处由静止开始受一水平向右的力F作用．F按图乙所示的规律变化．滑块与OA间的动摩擦因数μ＝0.25，g取10 m/s2，试求：
(1)滑块到A处的速度大小；
(2)不计滑块在A处的速率变化，滑块冲上斜面AB的长度是多少？
【答案】(1)52 m/s (2)5 m
【详解】(1)由题图乙知，在前2 m内，F1＝2mg，做正功；
在第3 m内，F2＝－0.5mg，做负功；
在第4 m内，F3＝0.
滑动摩擦力
Ff＝－μmg＝－0.25mg，始终做负功．
对OA过程由动能定理列式得
F1x1＋F2x2＋Ff?x＝12mv2A－0.
即2mg×2－0.5mg×1－0.25mg×4＝12mv2A，
解得vA＝52 m/s.
(2)冲上斜面的过程，由动能定理得
－mg?L?sin30°＝0－12mv2A，
所以冲上斜面AB的长度L＝5 m.
12. (2011年南京质检)如图所示为“S”形玩具轨道，该轨道是用内壁光滑的薄壁细圆管弯成的，固定在竖直平面内，轨道弯曲部分是由两个半径相等的半圆连接而成的，圆半径比细管内径大得多，轨道底端与水平地面相切，弹射装置将一个小球(可视为质点)从a点水平射向b点并进入轨道，经过轨道后从p点水平抛出，已知小球与地面ab段间的动摩擦因数μ＝0.2，不计其他机械能损失，ab段长L＝1.25 m，圆的半径R＝0.1 m，小球质量m＝0.01 kg，轨道质量为M＝0.15 kg，g＝10 m/s2，求：
(1)若v0＝5 m/s，小球从p点抛出后的水平射程；
(2)若v0＝5 m/s，小球经过轨道的最高点时，管道对小球作用力的大小和方向；
(3)设小球进入轨道之前，轨道对地面的压力大小等于轨道自身的重力，当v0至少为多大时，轨道对地面的压力为零．
【答案】(1)0.46 m
(2)1.1 N，方向竖直向下
(3)5 m/s
【详解】(1)设小球运动到p点时的速度大小为v，对小球由a点运动到p点的过程，应用动能定理得：
－μmgL－4Rmg＝12mv2－12mv20①
小球从p点抛出后做平抛运动，设运动时间为t，水平射程为x，则
4R＝12gt2②
x＝vt③
联立①②③代入数据解得x＝0.46 m.
(2)设在轨道最高点时管道对小球的作用力大小为F，取竖直向下为正方向，有：F＋mg＝mv2R④
联立①④代入数据解得F＝1. 1 N，方向竖直向下．
(3)分析可知，要使小球以最小速度v0运动，且轨道对地面的压力为零，则小球的位置应该在“S”形轨道的中间位置，
则有：F′＋mg＝mv21R，F′＝Mg
－μmgL－2mgR＝12mv21－12mv20
解得：v0＝5 m/s.
【考纲知识梳理】
一、动能
定义：物体由于运动而具有的能叫动能
表达式为: ，
动能和动量的关系：动能是用以描述机械运动的状态量。动量是从机械运动出发量化机械运动的状态,动量确定的物体决定着它克服一定的阻力还能运动多久；动能则是从机械运动与其它运动的关系出发量化机械运动的状态，动能确定的物体决定着它克服一定的阻力还能运动多远。
二、动能定理
1.定义：合外力所做的总功等于物体动能的变化量. ―― 这个结论叫做动能定理.
2.表达式： ，
式中W合是各个外力对物体做功的总和，ΔEK是做功过程中始末两个状态动能的增量.
3.推导：动能定理实际上是在牛顿第二定律的基础上对空间累积而得：
在牛顿第二定律 F=ma 两端同乘以合外力方向上的位移s，即可得
【要点名师透析】
一、对动能定理的理解
1.总功的计算
物体受到多个外力作用时，计算合外力的功，要考虑各个外力共同做功产生的效果，一般有如下两种方法：
(1)先由力的合成或根据牛顿第二定律求出合力F合，然后由W=F合lcosα计算.
(2)由W=Flcosα计算各个力对物体做的功W1、W2、…、Wn,然后将各个外力所做的功求代数和，即
W合=W1+W2+…+Wn.
2.动能定理公式中等号的意义
(1)数量关系:即合外力所做的功与物体动能的变化具有等量代换关系.可以通过计算物体动能的变化,求合力的功,进而求得某一力的功.
(2)单位相同:国际单位都是焦耳.
(3)因果关系:合外力的功是物体动能变化的原因.
3.动能定理叙述中所说的“外力”，既可以是重力、弹力、摩擦力，也可以是电场力、磁场力或其他力.
4.动能定理应用广泛，直线运动、曲线运动、恒力做功、变力做功、同时做功、分段做功等各种情况均适用.
注意：(1)动能定理说明了外力对物体所做的总功和动能变化间的一种因果关系和数量关系，不可理解为功转变成了物体的动能.
(2)动能定理中的位移和速度必须是相对于同一个参考系的，一般以地面或相对地面静止的物体为参考系.
【例证1】如图所示,一块长木板B放在光滑的水平面上,在B上放一物体A,现以恒定的外力拉B,由于A、B间摩擦力的作用,A将在B上滑动,以地面为参照物,A、B都向前移动一段距离,在此过程中( )
A.外力F做的功等于A和B动能的增量
B.B对A的摩擦力所做的功等于A的动能的增量
C.A对B的摩擦力所做的功等于B对A的摩擦力所做的功
D.外力F对B做的功等于B的动能的增量与B克服摩擦力所做的功之和
【答案】选B、D.
【详解】物体A所受的合外力等于B对A的摩擦力,所以B对A的摩擦力所做的功等于A的动能的增量,所以B对.A对B的摩擦力与B对A的摩擦力是一对作用力与反作用力,大小相等,方向相反,但由于A在B上滑动,A、B对地的位移不等,所以二者做功不等,故C错.对B应用动能定理,WF-Wf=ΔEkB，即WF=ΔEkB+Wf,即外力F对B做的功等于B的动能增量与B克服摩擦力所做功之和，所以D对，A错,故选B、D.
二、动能定理的应用
1.基本步骤
(1)选取研究对象，明确它的运动过程；
(2)分析研究对象的受力情况和各力的做功情况：
(3)明确研究对象在过程的始末状态的动能Ek1和Ek2；
(4)列出动能定理的方程W合=Ek2-Ek1及其他必要的解题方程，进行求解.
2.注意事项
(1)动能定理的研究对象可以是单一物体，或者是可以看做单一物体的物体系统.
(2)动能定理是求解物体的位移或速率的简捷公式.当题目中涉及到位移和速度而不涉及时间时可优先考虑动能定理；处理曲线运动中的速率问题时也要优先考虑动能定理.
(3)若过程包含了几个运动性质不同的分过程，既可分段考虑，也可整个过程考虑.但求功时，有些力不是全过程都做功，必须根据不同的情况分别对待求出总功.
(4)应用动能定理时，必须明确各力做功的正、负.当一个力做负功时，可设物体克服该力做功为W，将该力做功表达为
-W，也可以直接用字母W表示该力做功，使其字母本身含有负号.
【例2】(2011?济南模拟)(14分)如图甲所示，一质量为m=1 kg的物块静止在粗糙水平面上的A点，从t=0时刻开始，物块受到按如图乙所示规律变化的水平力F作用并向右运动，第3 s末物块运动到B点时速度刚好为0，第5 s末物块刚好回到A点，已知物块与粗糙水平面之间的动摩擦因数μ=0.2，(g取10 m/s2)求：
(1)A与B间的距离；
(2)水平力F在5 s内对物块所做的功.
【答案】(1)4 m (2)24 J
【详解】(1)在3 s～5 s内物块在水平恒力F作用下由B点匀加速运动到A点，设加速度为a，A与B间的距离为x，则
F-μmg=ma (2分)
得a=2 m/s2 (1分)
x= =4 m (2分)
(2)设物块回到A点时的速度为vA，
由vA2=2ax得vA=4 m/s (3分)
设整个过程中F做的功为WF，
由动能定理得：WF-2μmgx= (4分)
解得：WF=24 J (2分)
【感悟高考真题】
1.（2011?新课标全国卷?T15）一质点开始时做匀速直线运动，从某时刻起受到一恒力作用。此后，该质点的动能可能
A. 一直增大
B. 先逐渐减小至零，再逐渐增大
C. 先逐渐增大至某一最大值，再逐渐减小
D. 先逐渐减小至某一非零的最小值，再逐渐增大
【答案】选A、B、 D。
【详解】当恒力方向与速度方向相同时，物体加速，动能一直增大，故A正确。当恒力方向与速度方向相反时，物体开始减速至零，再反向加速，动能先减小再增大，故B正确。当恒力与速度成小于90°夹角时，把速度沿恒力方向和垂直方向分解，物体做曲线运动，速度一直增大，故C错。当恒力与速度成大于90°的夹角时，把速度沿恒力方向和垂直方向分解，开始在原运动方向物体做减速运动直至速度为0，而在垂直原运动方向上物体速度逐渐增加，某一时刻物体速度最小，此后，物体在恒力作用下速度增加，其动能经历一个先减小到某一数值，再逐渐增大的过程，故D正确。
2.（2011?山东高考?T18）.如图所示，将小球 从地面以初速度v0竖直上抛的同时，将另一相同质量的小球 从距地面 处由静止释放，两球恰在 处相遇（不计空气阻力）。则
A.两球同时落地
B.相遇时两球速度大小相等
C.从开始运动到相遇，球 动能的减少量等于球 动能的增加量
D.相遇后的任意时刻，重力对球 做功功率和对球 做功功率相等
【答案】选C。
【详解】相遇时b球的位移 ，相遇时a球 ,可得 ,相遇时a球的速度 0，由题意可得此时b球已经具有向下的速度而a球速度为零，故b球以较大速度先落地,以后任意时刻重力的瞬时功率 ，b球的瞬时功率总是大于a球瞬时功率。选项A、B、D错误。从开始运动到相遇，a球克服重力所做的功等于重力对b球所做的功，由动能定理可得C项正确。
3.（2011?江苏物理?T4）如图所示，演员正在进行杂技表演。由图可估算出他将一只鸡蛋抛出的过程中对鸡蛋所做的功最接近于（ ）
A．0.3J
B．3J
C．30J
D．300J
【答案】选A.
【详解】估计一只鸡蛋的重力为60克，鸡蛋上升的高度为50厘米，选择人抛鸡蛋以及鸡蛋上升到最到点全程应用动能定理有： ，带入数值可知 ，A对。
4.（2011?四川理综?T19）如图是“神舟”系列航天飞船返回舱返回地面的示意图，假定其过程可简化为：打开降落伞一段时间后，整个装置匀速下降，为确保安全着陆，需点燃返回舱的缓冲火箭，在火箭喷气过程中返回舱做减速直线运动，则
A.火箭开始喷气瞬间伞绳对返回舱的拉力变小
B.返回舱在喷气过程中减速的主要原因是空气阻力
C返回舱在喷气过程中所受合外力可能做正功
D.返回舱在喷气过程中处于失重状态
【答案】选A.
【详解】由整体法、隔离法结合牛顿第二定律，可知A正确B错；由动能定理可知C错；因为物体具有竖直向上的加速度，因此处于超重状态，D错.
5.（2011?上海高考物理?T15）如图，一长为 的轻杆一端固定在光滑铰链上，另一端固定一质量为 的小球。一水平向右的拉力作用于杆的中点，使杆以角速度 匀速转动，当杆与水平方向成60°时，拉力的功率为
(A) (B) (C) (D)
【答案】选C.
【详解】匀速转动，动能不变，拉力的功率在数值上应等于重力的功率。为此，将线速度分解，分解为水平速度和竖直速度，重力的功率 ，所以拉力的功率
6.（2011?上海高考物理?T33）如图(a)，磁铁A、B的同名磁极相对放置，置于水平气垫导轨上。A固定于导轨左端，B的质量m=0.5kg，可在导轨上无摩擦滑动。将B在A附近某一位置由静止释放，由于能量守恒，可通过测量B在不同位置处的速度，得到B的势能随位置x的变化规律，见图(c)中曲线I。若将导轨右端抬高，使其与水平面成一定角度(如图(b)所示)，则B的总势能曲线如图(c)中II所示，将B在 处由静止释放，求：(解答时必须写出必要的推断说明。取 )
(1)B在运动过程中动能最大的位置；
(2)运动过程中B的最大速度和最大位移。
(3)图(c)中直线III为曲线II的渐近线，求导轨的倾角。
(4)若A、B异名磁极相对放置，导轨的倾角不变，在图(c)上画出B的总势能随x的变化曲线．
【答案】⑴ (在5.9 ~ 6.3cm间均视为正确)
⑵ 1.31m/s ( 在1.29～1.33 m／s间均视为正确)，18.0cm ( 在17.9~18.1cm间均视为正确)
⑶59.7°（ 在 间均视为正确）
⑷见解析
【详解】 (1)势能最小处动能最大
由图线II得
(在5.9 ~ 6.3cm间均视为正确)
(2)由图读得释放处势能 ，此即B的总能量。出于运动中总能量守恒，因此在势能最小处动能最大，由图像得最小势能为0.47J，则最大动能为
( 在0.42 ~ 0.44J间均视为正确)
最大速度为
( 在1.29～1.33 m／s间均视为正确)
x=20.0 cm处的总能量为0.90J，最大位移由E=0.90J的水平直线与曲线II的左侧交点确定,由图中读出交点位置为x=2.0cm，因此，最大位移
( 在17.9~18.1cm间均视为正确)
(3)渐近线III表示B的重力势能随位置变化关系，即
∴
由图读出直线斜率
（ 在 间均视为正确）
（4）若异名磁极相对放置，A，B间相互作用势能为负值，总势能如图。
.7.（2011?浙江理综?T24）节能混合动力车是一种可以利用汽油及所储存电能作为动力来源的汽车。有一质量m=1000kg的混合动力轿车，在平直公路上以v1=90km/h匀速行驶，发动机的输出功率为P=50kw。当驾驶员看到前方有80km/h的限速标志时，保持发动机功率不变，立即启动利用电磁阻尼带动的发电机工作给电池充电，使轿车做减速运动，运动 =72m后，速度变为v2=72km/h。此过程中发动机功率的 用于轿车的牵引， 用于供给发电机工作，发动机输送给发电机的能量最后有50%转化为电池的电能。假设轿车在上述运动过程中所受阻力保持不变。求
（1）轿车以90km/h在平直公路上匀速行驶时，所受阻力F阻的大小；
（2）轿车从90km/h减速到72km/h过程中，获得的电能E电；
（3）轿车仅用其在上述减速过程中获得的电能E电维持72km/h匀速运动的距离 。
【答案】（1） （2） （3）
【详解】（1）汽车牵引力与输出功率关系
将P=50kW, v1=90 km/h=25 m/s代入得
当轿车匀速行驶时，牵引力与阻力大小相等，有
（2）在减速过程中，发动机只有 用于汽车的牵引.根据动能定理
代入数据得
电源获得的电能为
（3）根据题设，轿车在平直公路上匀速行驶时受到的阻力仍为 .在此过程中，由能量转化及守恒定律可知，仅有电能用于克服阻力做功
代入数据的
8.（2011?广东理综?T36）如图所示，以A、B和C、D为端点的两半圆形光滑轨道固定于竖直平面内，一滑板静止在光滑水平面上，左端紧靠B点，上表面所在平面与两半圆分别相切于B、C。一物块被轻放在水平匀速运动的传送带上E点，运动到A时刚好与传送带速度相同，然后经A沿半圆轨道滑下，再经B滑上滑板.滑板运动到C时被牢固粘连。物块可视为质点，质量为m，滑板质量M=2m，两半圆半径均为R，板长 ，板右端到C的距离 在 范围内取值，E距A为 ，物块与传送带、物块与滑板间的动摩擦因数均为 ，重力加速度取g.
求物块滑到B点的速度大小；
试讨论物块从滑上滑板到离开滑板右端的过程中，克服摩擦力做的功 与 的关系，并判断物块能否滑到CD轨道的中点。
【详解】（1）物块从E点运动到B点的过程中，只有皮带对物块的摩擦力和重力两个力做功，对该过程应用动能定理得：
（2）物块m和木板M在相互作用的过程中动量守恒，设两者可以达到共同速度，设为 ,该过程中木板运动的位移为 ，两者的相对位移为x,由动量守恒定律得：
所以
由能量守恒定律得：
对木板应用动能定理得：
当 时，到达C点的整个过程中始终存在滑动摩擦力，所以克服摩擦力做功为:
当 时，物块和木板可以达到相同的速度，此后直到木板碰到C点这一过程中，物块和木板之间是没有摩擦力的，该阶段摩擦力不做功。故这种情况下克服摩擦力做功为：
,与L无关。
综合两种情况可知，当L=R时，物块克服摩擦力做功最小，这个过程中物块到达C点的速度最大，对这个过程有：-
滑上CD轨道后，设上升的最大高度为h,由机械能守恒定律得：
可见物块滑不到CD轨道的中点。
答案(1)
(2) 当 时 ;当 时 ,与L无关; 物块滑不到CD轨道的中点.
9（2010?江苏卷）8.如图所示，平直木板AB倾斜放置，板上的P点距A端较近，小物块与木板间的动摩擦因数由A到B逐渐减小，先让物块从A由静止开始滑到B。然后，将A着地，抬高B，使木板的倾角与前一过程相同，再让物块从B由静止开始滑到A。上述两过程相比较，下列说法中一定正确的有
A．物块经过P点的动能，前一过程较小
B．物块从顶端滑到P点的过程中因摩擦产生的热量，前一过程较少
C．物块滑到底端的速度，前一过程较大
D．物块从顶端滑到底端的时间，前一过程较长
答案：AD
解析：加速度 ，开始， ＞ ，所以 ＜ ，（下标为1表示前一过程，下标为2表示后一过程），前一过程，μ逐渐减小，a逐渐增大；后以过程，μ逐渐增大，a逐渐减小。
A. ，因s较小，所以 ＞ ， ＜ ，得物块经过P点的动能，前一过程较小，A正确；
B.根据 ，因为 ＞ ，所以，物块从顶端滑到P点的过程中因摩擦力产生的热量，前一过程较多，B错误；
C. 根据 ，因S为全部木板长，物块滑到底端的速度，应该一样大，C错误；
D.因为前一过程，加速度先小后大，后一过程，加速度先大后小，物块从顶端滑到底端的时间，前一过程较长，D正确。
本题考查力的分析，功，动能定理等，分析和综合能力。
难度：难。
10.（2010?浙江卷）22. （16分）在一次国际城市运动会中，要求运动员从高为H的平台上A点由静止出发，沿着动摩擦因数为滑 的道向下运动到B点后水平滑出，最后落在水池中。设滑道的水平距离为L，B点的高度h可由运动员自由调节（取;g=10m/s2）。求：
（1）运动员到达B点的速度与高度h的关系；
（2）运动员要达到最大水平运动距离，B点的高度h应调为多大？对应的最大水平距离SBH为多少？
（3若图中H＝4m，L＝5m，动摩擦因数 ＝0.2，则水平运动距离要达到7m，h值应为多少？
解析：
（1）设斜面长度为L1，斜面倾角为α，根据动能定理得
①
即 ②
③
（2）根据平抛运动公式
X=vot ④
h= gt2 ⑤
由③-⑤式得 ⑥
（3）在⑥式中令x=2m ,H=4m,L=5m, =0.2
则可得到：―h2+3h-1=0
求出
11、 （2010?四川卷）25.（20分）如图所示，空间有场强 的竖直向下的匀强电场，长 的不可伸长的轻绳一端固定于O点，另一端系一质量 的不带电小球 ，拉起小球至绳水平后，无初速释放。另一电荷量 、质量与 相同的小球 ，以速度 水平抛出，经时间 与小球 与 点下方一足够大的平板相遇。不计空气阻力，小球均可视为质点，取 。
（1）求碰撞前瞬间小球 的速度。
（2）若小球 经过路 到达平板，此时速度恰好为0，求所加的恒力。
（3）若施加恒力后，保持平板垂直于纸面且与水平面的夹角不变，在 点下方面任意改变平板位置，小球 均能与平板正碰，求出所有满足条件的恒力。
【解析】（1）P做抛物线运动，竖直方向的加速度为
在D点的竖直速度为
P碰前的速度为
（2）设在D点轻绳与竖直方向的夹角为 ，由于P与A迎面正碰，则P与A速度方向相反，所以P的速度与水平方向的夹角为 有
， =30°
对A到达D点的过程中根据动能定理
化简并解得
P与A迎面正碰结合为C，根据动量守恒得
解得 m/s
小球C经过s速度变为0，一定做匀减速运动，根据位移推论式
m/s2
设恒力F与竖直方向的夹角为α，如图，根据牛顿第二定律
给以上二式带入数据得
解得 α=30°
（3）平板足够大，如果将平板放置到无限远根据题意也能相碰，此时小球C必须匀速或加速不能减速，所以满足条件的恒力在竖直线与C的速度线之间，设恒力与竖直方向的夹角为β，则 0≤β＜120°
在垂直速度的方向上，恒力的分力与重力和电场力的分力等大反向，有
则满足条件的恒力为
（其中0≤β＜120°）
12.（09?天津?4）如图所示，竖直放置的两根平行金属导轨之间接有定值电阻R，质量不能忽略的金属棒与两导轨始终保持垂直并良好接触且无摩擦，棒与导轨的电阻均不计，整个装置放在匀强磁场中，磁场方向与导轨平面垂直，棒在竖直向上的恒力F作用下加速上升的一段时间内，力F做的功与安培力做的功的代数和等于 （ A ）
A.棒的机械能增加量
B.棒的动能增加量
C.棒的重力势能增加量
D.电阻R上放出的热量
解析：棒受重力G、拉力F和安培力FA的作用。由动能定理： 得 即力F做的功与安培力做功的代数和等于机械能的增加量。选A。
13.（09?福建?21）如图甲，在水平地面上固定一倾角为θ的光滑绝缘斜面，斜面处于电场强度大小为E、方向沿斜面向下的匀强电场中。一劲度系数为k的绝缘轻质弹簧的一端固定在斜面底端，整根弹簧处于自然状态。一质量为m、带电量为q（q>0）的滑块从距离弹簧上端为s0处静止释放，滑块在运动过程中电量保持不变，设滑块与弹簧接触过程没有机械能损失，弹簧始终处在弹性限度内，重力加速度大小为g。
（1）求滑块从静止释放到与弹簧上端接触瞬间所经历的时间t1
（2）若滑块在沿斜面向下运动的整个过程中最大速度大小为vm，求滑块从静止释放到速度大小为vm过程中弹簧的弹力所做的功W；
（3）从滑块静止释放瞬间开始计时，请在乙图中画出滑块在沿斜面向下运动的整个过程中速度与时间关系v-t图象。图中横坐标轴上的t1、t2及t3分别表示滑块第一次与弹簧上端接触、第一次速度达到最大值及第一次速度减为零的时刻，纵坐标轴上的v1为滑块在t1时刻的速度大小，vm是题中所指的物理量。（本小题不要求写出计算过程）
答案：（1） ; （2） ;
(3)
解析：本题考查的是电场中斜面上的弹簧类问题。涉及到匀变速直线运动、运用动能定理处理变力功问题、最大速度问题和运动过程分析。
（1）滑块从静止释放到与弹簧刚接触的过程中作初速度为零的匀加速直线运动，设加速度大小为a，则有
qE+mgsin =ma ①
②
联立①②可得
③
（2）滑块速度最大时受力平衡，设此时弹簧压缩量为 ，则有
④
从静止释放到速度达到最大的过程中，由动能定理得
⑤
联立④⑤可得
s
（3）如图
14.（09?上海物理?20）质量为5?103 kg的汽车在t＝0时刻速度v0＝10m/s，随后以P＝6?104 W的额定功率沿平直公路继续前进，经72s达到最大速度，设汽车受恒定阻力，其大小为2.5?103N。求：（1）汽车的最大速度vm；（2）汽车在72s内经过的路程s。
解析：（1）当达到最大速度时，P＝=Fv=fvm，vm＝Pf ＝6?1042.5?103 m/s＝24m/s
（2）从开始到72s时刻依据动能定理得：
Pt－fs＝12 mvm2－12 mv02，解得：s＝2Pt－mvm2＋mv022f ＝1252m。
【考点模拟演练】
1.关于动能的理解，下列说法正确的是( )
A.动能是机械能的一种表现形式，凡是运动的物体都具有动能
B.动能有可能为负值
C.一定质量的物体动能变化时，速度一定变化，但速度变化时，动能不一定变化
D.动能不变的物体，一定处于平衡状态
【答案】选A、C.
【详解】机械能包括动能和势能，而动能是物体由于运动具有的能，且Ek= ≥0,故A正确，B错误;一定质量的物体的动能变化时，速度的大小一定变化，但速度变化时，动能不一定变化，如匀速圆周运动，动能不变，但速度变化，故C正确，D错误.
2.一个质量为0.3 kg的弹性小球，在光滑水平面上以6 m/s 的速度垂直撞到墙上，碰撞后小球沿相反方向运动，反弹后的速度大小与碰撞前相同，则碰撞前后小球速度变化量的大小Δv和碰撞过程中墙对小球做功的大小W为( )
A.Δv=0 B.Δv=12 m/s
C.W=1.8 J D.W=10.8 J
【答案】选B.
【详解】取末速度的方向为正方向，则v2=6 m/s，v1=-6 m/s，速度变化量Δv=v2-v1=12 m/s，A错误，B正确；小球与墙碰撞过程中，只有墙对小球的作用力做功，由动能定理得：W= =0，故C、D均错误.
3.某物体同时受到两个在同一直线上的力F1、F2的作用，由静止开始做直线运动，力F1、F2与位移x的关系图象如图所示，在物体开始运动后的前4.0 m内，物体具有最大动能时对应的位移是( )
A.2.0 m B.1.0 m
C.3.0 m D.4.0 m
【答案】选A.
【详解】由题图知x=2.0 m时，F合=0，此前F合做正功，而此后F合做负功，故x=2.0 m时物体的动能最大，故A正确.
4.(2011?杭州模拟)人用手托着质量为m的物体，从静止开始沿水平方向运动，前进距离l后，速度为v(物体与手始终相对静止)，物体与手掌之间的动摩擦因数为μ，则人对物体做的功为( )
A.mgl B.0 C.μmgl D.
【答案】选D.
【详解】物体与手掌之间的摩擦力是静摩擦力，静摩擦力在零与最大值μmg之间取值，不一定等于μmg，在题述过程中，只有静摩擦力对物体做功，根据动能定理，摩擦力对物体做的功W= ，D正确.
5.(2011?南通检测)质量为1 kg的物体以某一初速度在水平面上滑行，由于摩擦阻力的作用，其动能随位移变化的图线如图所示，g取10 m/s2，则以下说法中正确的是( )
A．物体与水平面间的动摩擦因数为0.5
B．物体与水平面间的动摩擦因数为0.25
C．物体滑行的总时间为4 s
D．物体滑行的总时间为2.5 s
【答案】BC
【详解】根据动能定理Ek2－Ek1＝－Ffx可得Ff＝Ek1－Ek2x＝50－020 N＝2.5 N，所以μ＝Ffmg＝0.25，A选项错误，B选项正确；根据牛顿第二定律可得a＝Ffm＝2.5 m/s2，由运动学公式得物体滑行的总时间t＝ 2xa＝ 2×202.5 s＝4 s，C选项正确，D选项错误．
6．(2010?淄博一模)如图所示，质量为m的小车在水平恒力F推动下，从山坡(粗糙)底部A处由静止起运动至高为h的坡顶B，获得速度为v，AB之间的水平距离为x，重力加速度为g.下列说法正确的是( )
A．小车克服重力所做的功是mgh
B．合外力对小车做的功是12mv2
C．推力对小车做的功是12mv2＋mgh
D．阻力对小车做的功是12mv2＋mgh－Fx
【答案】ABD
【详解】小车克服重力做功W＝Gh＝mgh，A选项正确；由动能定理小车受到的合力做的功等于小车动能的增加，W合＝ΔEk＝12mv2，B选项正确；由动能定理W合＝W推＋W重＋W阻＝12mv2，所以推力做的功W推＝12mv2－W阻－W重＝12mv2＋mgh－W阻，C选项错误；阻力对小车做的功W阻＝12mv2－W推－W重＝12mv2＋mgh－Fx，D选项正确．
7．(2011?湖北黄冈)在新疆旅游时，最刺激的莫过于滑沙运动．某人坐在滑沙板上从沙坡斜面的顶端由静止沿直线下滑到斜面底端时，速度为2v0，设人下滑时所受阻力恒定不变，沙坡长度为L，斜面倾角为α，人的质量为m，滑沙板质量不计，重力加速度为g.则( )
A．若人在斜面顶端被其他人推了一把，沿斜面以v0的初速度下滑，则人到达斜面底端时的速度大小为3v0
B．若人在斜面顶端被其他人推了一把，沿斜面以v0的初速度下滑，则人到达斜面底端时的速度大小为5v0
C．人沿沙坡下滑时所受阻力Ff＝mgsin α＋2mv20/L
D．人在下滑过程中重力功率的最大值为2mgv0
【答案】 B
【详解】
对人进行受力分析如图所示，根据匀变速直线运动的规律有：(2v0)2－0＝2aL，v21－v20＝2aL，可解得v1＝5v0，所以A错误，B正确；根据动能定理有：mgLsin θ－FfL＝12m(2v0)2，可解得Ff＝mgsin α－2mv20/L，C错误；重力功率的最大值为Pm＝2mgv0sin α，D错误．
8. (2011年如皋模拟)如图所示，斜面AB和水平面BC是从同一板材上截下的两段，在B处用小圆弧连接．将小铁块(可视为质点)从A处由静止释放后，它沿斜面向下滑行，进入平面，最终静止于P处．若从该板材上再截下一段，搁置在A、P之间，构成一个新的斜面，再将铁块放回A处，并轻推一下使之沿新斜面向下滑动．关于此情况下铁块运动情况的描述，正确的是( )
A．铁块一定能够到达P点
B．铁块的初速度必须足够大才能到达P点
C．铁块能否到达P点与铁块质量有关
D．以上说法均不对
【答案】选A.
【详解】设AB＝x1，BP＝x2，AP＝x3，动摩擦因数为μ，由动能定理得：mgx1sinα－μmgcosαx1－μmgx2＝0，可得：
mgx1sinα＝μmg(x1cosα＋x2)，设沿AP滑到P的速度为vP，由动能定理得：mgx1sinα－μmgcosβ?x3＝12mv2P，因x1cosα＋x2＝x3cosβ，故得：vP＝0，即铁块恰好沿AP滑到P点，故A正确．
9．(2011年湖北黄冈检测)在新疆旅游时，最刺激的莫过于滑沙运动．某人坐在滑沙板上从沙坡斜面的顶端由静止沿直线下滑到斜面底端时，速度为2v0，设人下滑时所受阻力恒定不变，沙坡长度为L，斜面倾角为α，人的质量为m，滑沙板质量不计，重力加速度为g.则( )
A．若人在斜面顶端被其他人推了一把，沿斜面以v0的初速度下滑，则人到达斜面底端时的速度大小为3v0
B．若人在斜面顶端被其他人推了一把，沿斜面以v0的初速度下滑，则人到达斜面底端时的速度大小为5v0
C．人沿沙坡下滑时所受阻力Ff＝mgsinα－2mv20/L
D．人在下滑过程中重力功率的最大值为2mgv0
【答案】选BC.
【详解】对人进行受力分析如图所示，
根据匀变速直线运动的规律有：(2v0)2－0＝2aL，v21－v20＝2aL，可解得：v1＝5v0，所以A错误，B正确；根据动能定理有：mgLsinα－FfL＝12m(2v0)2，可解得Ff＝mgsinα－2mv20/L，C正确；重力功率的最大值为Pm＝2mgv0sinα，D错误．
10．如图甲所示，质量不计的弹簧竖直固定在水平面上，t＝0时刻，将一金属小球从弹簧正上方某一高度处由静止释放，小球落到弹簧上压缩弹簧到最低点，然后又被弹起离开弹簧，上升到一定高度后再下落，如此反复．通过安装在弹簧下端的压力传感器，测出这一过程弹簧弹力F随时间t变化的图象如图乙所示，则( )
A．t1时刻小球动能最大
B．t2时刻小球动能最大
C．t2～t3这段时间内，小球的动能先增加后减少
D．t2～t3这段时间内，小球增加的动能等于弹簧减少的弹性势能
【答案】C
【详解】0～t1时间内，小球做自由落体运动，故弹簧弹力为零．t1～t2时间内，小球压缩弹簧，当弹力等于重力时，小球速度最大，在此时刻之前，小球做加速度减小的加速运动，之后做加速度增加的减速运动，t2时刻减速到零．t2～t3时间内，小球向上先加速运动后减速运动．故A、B、C三选项中，只有C项正确．t2～t3时间内弹簧减少的弹性势能转化为小球增加的动能和重力势能之和，故D项错误．
11．(2011年昆明模拟)如图甲所示，在倾角为30°的足够长光滑斜面AB前，有一粗糙水平面OA，OA长为4 m．有一质量为m的滑块，从O处由静止开始受一水平向右的力F作用．F按图乙所示的规律变化．滑块与OA间的动摩擦因数μ＝0.25，g取10 m/s2，试求：
(1)滑块到A处的速度大小；
(2)不计滑块在A处的速率变化，滑块冲上斜面AB的长度是多少？
【答案】(1)52 m/s (2)5 m
【详解】(1)由题图乙知，在前2 m内，F1＝2mg，做正功；
在第3 m内，F2＝－0.5mg，做负功；
在第4 m内，F3＝0.
滑动摩擦力
Ff＝－μmg＝－0.25mg，始终做负功．
对OA过程由动能定理列式得
F1x1＋F2x2＋Ff?x＝12mv2A－0.
即2mg×2－0.5mg×1－0.25mg×4＝12mv2A，
解得vA＝52 m/s.
(2)冲上斜面的过程，由动能定理得
－mg?L?sin30°＝0－12mv2A，
所以冲上斜面AB的长度L＝5 m.
12. (2011年南京质检)如图所示为“S”形玩具轨道，该轨道是用内壁光滑的薄壁细圆管弯成的，固定在竖直平面内，轨道弯曲部分是由两个半径相等的半圆连接而成的，圆半径比细管内径大得多，轨道底端与水平地面相切，弹射装置将一个小球(可视为质点)从a点水平射向b点并进入轨道，经过轨道后从p点水平抛出，已知小球与地面ab段间的动摩擦因数μ＝0.2，不计其他机械能损失，ab段长L＝1.25 m，圆的半径R＝0.1 m，小球质量m＝0.01 kg，轨道质量为M＝0.15 kg，g＝10 m/s2，求：
(1)若v0＝5 m/s，小球从p点抛出后的水平射程；
(2)若v0＝5 m/s，小球经过轨道的最高点时，管道对小球作用力的大小和方向；
(3)设小球进入轨道之前，轨道对地面的压力大小等于轨道自身的重力，当v0至少为多大时，轨道对地面的压力为零．
【答案】(1)0.46 m
(2)1.1 N，方向竖直向下
(3)5 m/s
【详解】(1)设小球运动到p点时的速度大小为v，对小球由a点运动到p点的过程，应用动能定理得：
－μmgL－4Rmg＝12mv2－12mv20①
小球从p点抛出后做平抛运动，设运动时间为t，水平射程为x，则
4R＝12gt2②
x＝vt③
联立①②③代入数据解得x＝0.46 m.
(2)设在轨道最高点时管道对小球的作用力大小为F，取竖直向下为正方向，有：F＋mg＝mv2R④
联立①④代入数据解得F＝1. 1 N，方向竖直向下．
(3)分析可知，要使小球以最小速度v0运动，且轨道对地面的压力为零，则小球的位置应该在“S”形轨道的中间位置，
则有：F′＋mg＝mv21R，F′＝Mg
－μmgL－2mgR＝12mv21－12mv20
解得：v0＝5 m/s.
