11.4 单 摆
【目标】
（一）知识与技能
1、知道什么是单摆，了解单摆的构成。
2、掌握单摆振动的特点，知道单摆回复力的成因，理解摆角很小时单摆的振动是简谐运动。
3、知道单摆的周期跟什么因素有关，了解单摆的周期公式，并能用来进行有关的计算。
4、知道用单摆可测定重力加速度。
（二）过程与方法
1、知道单摆是一种理想化的系统，学会用理想化的方法建立物理模型。
2、通过单摆做简谐运动条件的，体会用近似处理方法来解决物理问题。
3、通过研究单摆的周期，掌握用控制变量的方法来研究物理问题。
（三）情感、态度与价值观
1、单摆在小角度情况下做简谐运动，它既有简谐运动的共性，又有其特殊性，理解共性和个性的关系；
2、当单摆的摆角大小变化时，单摆的振动也将不同，理解量变和质变的变化规律。
3、培养抓住主要因素，忽略次要因素的辨证唯物主义思想。
【教学重点】
1、知道单摆回复力的来源及单摆满足简谐运动的条件；
2、通过定性分析、实验、数据分析得出单摆周期公式。
【教学难点】
1、单摆振动回复力的分析；
2、与单摆振动周期有关的因素。
【教学方法】
分析推理与归纳总结、数学公式推导法、实验验证、讲授法与多媒体教学相结合。
【教学用具】
单摆、秒表、米尺、条形磁铁、装有墨水的注射器（演示振动图象用）、CAI课件。
【教学过程】
（一）引入新课
教师：1862年，18岁的伽利略离开神学院进入比萨大学学习医学，他的心中充满着奇妙的幻想和对自然科学的无穷疑问，一次他在比萨大学忘掉了向上帝祈祷，双眼注视着天花板上悬垂下来摇摆不定的挂灯，右手按着左手的脉搏，口中默默地数着数字，在一般人熟视无睹的现象中，他却第一个明白了挂灯每摆动一次的时间是相等的，于是制作了单摆的模型，潜心研究了单摆的运动规律，给人类奉献了最初的能准确计时的仪器。
在第一节中我们以弹簧振子为模型研究了简谐运动，日常生活中常见到摆钟、摆锤等的振动，这种振动有什么特点呢？本节课我们来学习简谐运动的另一典型实例??单摆。
（二）进行新课
1．单摆
（1）什么是单摆
秋千和钟摆等摆动的物体最终都会停下来，是因为有空气阻力存在，我们能不能由秋千和钟摆摆动的共性，忽略空气阻力，抽象出一个简单的物理模型呢？
（出示各种摆的模型，帮助学生正确认识什么是单摆）
①第一种摆的悬绳是橡皮筋，伸缩不可忽略，不是单摆；
②第二种摆的悬绳质量不可忽略，不是单摆；
③第三种摆的悬绳长度不是远大于球的直径，不是单摆；
④第四种摆的上端没有固定，也不是单摆；
⑤第五种摆是单摆。
定义：如果悬挂小球的细线的伸缩和质量可以忽略，线长又比球的直径大得多，这样的装置叫单摆。
单摆是实际摆的理想化模型：线的伸缩和质量可以忽略──使摆线有一定的长度而无质量，质量全部集中在摆球上。线长比球的直径大得多，可把摆球当作一个质点，此时悬线的长度就是摆长，实际单摆的摆长是从悬点到小球的球心。单摆的运动忽略了空气阻力，实际的单摆在观察的时间内可以不考虑各种阻力。
（2）单摆的摆动
①单摆的平衡位置
当摆球静止在O点时，摆球受到重力G和悬线的拉力Ｆ＇作用，这两个力是平衡的。O点就是单摆的平衡位置。
②单摆的摆动
演示：用力将摆球拉离平衡位置，使悬线与竖直方向成一角度，然后释放。
分析：摆球被拉到位置A＇时，摆球受到重力G，绳的拉力Ｆ＇，且G与拉力Ｆ＇不再平衡，所以摆球在这两个力的共同作用下，将沿以O为中点的一段圆弧做往复运动。
结论：摆球沿着以平衡位置O为中点的一段圆弧做往复运动，这就是单摆的振动。
（用CAI课件模拟摆球所做的运动）
2、单摆做简谐运动
（1）单摆的回复力
摆球受到的重力G和悬线拉力F＇，在单摆振动时，一方面要使单摆振动，另一方面还要提供摆球沿圆弧的运动的向心力。在研究摆球沿圆弧的运动情况时，可以不考虑与摆球运动方向垂直的力，而只考虑沿摆球运动方向的力，如图所示。
因为Ｆ＇垂直于v，所以，我们可将重力G分解到速度v的方向及垂直于v的方向。且G1=Gsinθ=mgsinθ，G2=Gcosθ=mgcosθ。
重力G沿圆弧切线方向的分力G1=mgsinθ是沿摆球运动方向的力，正是这个力提供了使摆球振动的回复力，也可以说成是摆球沿运动方向的合力提供了摆球摆动的回复力。
F=G1=mgsinθ
（2）单摆做简谐运动的推证
在偏角很小时，sinθ≈
又回复力Ｆ=mgsinθ
所以单摆的回复力为
（其中x表示摆球偏离平衡位置的位移，L表示单摆的摆长，负号表示回复力F与位移x的方向相反）
对确定的单摆，m、g、L都有确定的数值， 可以用一个常数表示，上式可以写成
可见：在偏角很小的情况下，单摆所受的回复力与偏离平衡位置的位移成正比而方向相反，单摆做简谐运动。
（3）实验验证
我们知道简谐运动的图象是正弦（或余弦曲线），那么在摆角很小的情况下，既然单摆做的是简谐运动，它振动的图象也是正弦或余弦曲线。
（让学生亲身体验一下振动的图象）
实验：用装有墨水的注射器，演示振动图象。（用实物投影仪投影）
现象：注射器漏出的墨水洒到匀速拉动的硬纸板上形成的图线是正弦或余弦曲线。
总结：从实际得到的图象中均可看出，在摆角很小的情况下，单摆振动的图象符合简谐运动的要求，单摆做简谐运动。
（4）单摆做简谐运动的条件
单摆做简谐运动的条件是偏角很小，通常应在10以内，误差不超过0.5%。
3、单摆的周期
（1）实验研究
问题：单摆的周期与哪些因素有关呢?
学生猜想：可能与振幅、摆球质量、摆长、重力加速度及空气阻力有关。
说明：在摆角很小，观察时间不长时，空气阻力的影响较小，可以忽略不计。
对比实验：
①当摆长为1ｍ时，使振幅A1=8cm，测出单摆的周期T1；当摆长为1ｍ时，使振幅A2=5cm，测出单摆的周期T1′。
②当摆长为1ｍ时，使摆球质量为ｍ，测出单摆的周期T2；当摆长为1ｍ时，换用质量为2m的摆球，测出单摆的周期T2′。
③当摆长为1ｍ时，使用一定的质量的摆球，测出单摆的周期T3；当摆长为0.64ｍ时，使用质量相同的摆球，测出单摆的周期T3′。
④单摆的摆球用铁球（质量为ｍ），测出单摆的周期T4；在单摆摆球的平衡位置下方放一块磁铁（相当于重力加速度增大）测出单摆的周期T4′。（实验结果分析、比较）
结论：单摆摆动的周期与单摆的振幅无关，与单摆的摆长、重力加速度有关。
（2）周期公式
荷兰物理学家惠更斯研究了单摆的摆动，定量得到：单摆做简谐运动的周期T跟摆长L的二次方根成正比，跟重力加速度g的二次方根成反比，跟振幅、摆球的质量无关。
4、单摆的应用
（1）利用单摆的等时性计时
单摆振动的周期与振幅的大小无关，这一特点叫做单摆振动的等时性。惠更斯利用摆的等时性发明了带摆的计时器，摆的周期可以通过改变摆长来调节，计时很方便。
（2）测定当地的重力加速度
单摆的周期和摆长容易用实验准确地测定出来，所以利用单摆能准确地测定各地的重力加速度。
引导学生阅读17页有关内容，了解用单摆测重力加速度的原理及实验误差的分析，了解减小实验误差的措施。
巩固练习
1、秒摆的周期是______（G=9.8 m/s2时，秒摆的摆长大约是_______米 （取两位有效数字）。（参考答案：2s，0.99m）
2、关于单摆做简谐运动的回复力正确的说法是（ BCD ）
A．就是振子所受的合外力B．振子所受合外力在振子运动方向的分力
C．振子的重力在运动方向的分力D．振子经过平衡位置时回复力为零
3、用空心铁球内部装满水做摆球，若球正下方有一小孔，水不断从孔中流出，从球内装满水到水流完为止的过程中，其振动周期的大小是（ C ）
A．不变 B．变大
C．先变大后变小再回到原值 D．先变小后变大再回到原值
4、如右图所示，光滑轨道的半径为2ｍ，C点为圆心正下方的点，A、B两点与C点相距分别为6cm与2cm，a、b两小球分别从A、B两点由静止同时放开，则两小球相碰的位置是（ A ）
A．C点 B．C点右侧 C．C点左侧 D．不能确定
5、一个摆钟从甲地拿到乙地，它的钟摆摆动加快了，则下列对此现象的分析及调准方法的叙述中正确的是（ C ）
A．G甲＞G乙，将摆长适当增长 B．G甲＞G乙，将摆长适当缩短
C．G甲＜G乙，将摆长适当增长 D．G甲＜G乙，将摆长适当缩短
6、一绳长为L的单摆，在悬点正下方（L?L＇）处的点有一个钉子，如图所示，这个摆的周期是（ D ）
A．T=2π B．T=2π
C．T=2π（ + ） D．T=π（ + ）
（三）课堂总结、点评
通过本节课学习，我们知道单摆是一种理想化的振动模型，单摆振动的回复力是由摆球重力沿圆弧切线方向的分力mgsinθ提供的，在摆角很小时，回复力F=－ ，单摆的振动可看成简谐运动。单摆振动的周期跟振幅、摆球质量的大小无关，跟摆长的二次方根成正比，跟重力加速度的二次根成反比，即T=2πL/g。利用单摆可以计时和测定重力加速度等。
（四）课余作业
完成P18“问题与练习”的题目。
附：教材分析
【目标】
（一）知识与技能
1、知道什么是单摆，了解单摆的构成。
2、掌握单摆振动的特点，知道单摆回复力的成因，理解摆角很小时单摆的振动是简谐运动。
3、知道单摆的周期跟什么因素有关，了解单摆的周期公式，并能用来进行有关的计算。
4、知道用单摆可测定重力加速度。
（二）过程与方法
1、知道单摆是一种理想化的系统，学会用理想化的方法建立物理模型。
2、通过单摆做简谐运动条件的，体会用近似处理方法来解决物理问题。
3、通过研究单摆的周期，掌握用控制变量的方法来研究物理问题。
（三）情感、态度与价值观
1、单摆在小角度情况下做简谐运动，它既有简谐运动的共性，又有其特殊性，理解共性和个性的关系；
2、当单摆的摆角大小变化时，单摆的振动也将不同，理解量变和质变的变化规律。
3、培养抓住主要因素，忽略次要因素的辨证唯物主义思想。
【教学重点】
1、知道单摆回复力的来源及单摆满足简谐运动的条件；
2、通过定性分析、实验、数据分析得出单摆周期公式。
【教学难点】
1、单摆振动回复力的分析；
2、与单摆振动周期有关的因素。
【教学方法】
分析推理与归纳总结、数学公式推导法、实验验证、讲授法与多媒体教学相结合。
【教学用具】
单摆、秒表、米尺、条形磁铁、装有墨水的注射器（演示振动图象用）、CAI课件。
【教学过程】
（一）引入新课
教师：1862年，18岁的伽利略离开神学院进入比萨大学学习医学，他的心中充满着奇妙的幻想和对自然科学的无穷疑问，一次他在比萨大学忘掉了向上帝祈祷，双眼注视着天花板上悬垂下来摇摆不定的挂灯，右手按着左手的脉搏，口中默默地数着数字，在一般人熟视无睹的现象中，他却第一个明白了挂灯每摆动一次的时间是相等的，于是制作了单摆的模型，潜心研究了单摆的运动规律，给人类奉献了最初的能准确计时的仪器。
在第一节中我们以弹簧振子为模型研究了简谐运动，日常生活中常见到摆钟、摆锤等的振动，这种振动有什么特点呢？本节课我们来学习简谐运动的另一典型实例??单摆。
（二）进行新课
1．单摆
（1）什么是单摆
秋千和钟摆等摆动的物体最终都会停下来，是因为有空气阻力存在，我们能不能由秋千和钟摆摆动的共性，忽略空气阻力，抽象出一个简单的物理模型呢？
（出示各种摆的模型，帮助学生正确认识什么是单摆）
①第一种摆的悬绳是橡皮筋，伸缩不可忽略，不是单摆；
②第二种摆的悬绳质量不可忽略，不是单摆；
③第三种摆的悬绳长度不是远大于球的直径，不是单摆；
④第四种摆的上端没有固定，也不是单摆；
⑤第五种摆是单摆。
定义：如果悬挂小球的细线的伸缩和质量可以忽略，线长又比球的直径大得多，这样的装置叫单摆。
单摆是实际摆的理想化模型：线的伸缩和质量可以忽略──使摆线有一定的长度而无质量，质量全部集中在摆球上。线长比球的直径大得多，可把摆球当作一个质点，此时悬线的长度就是摆长，实际单摆的摆长是从悬点到小球的球心。单摆的运动忽略了空气阻力，实际的单摆在观察的时间内可以不考虑各种阻力。
（2）单摆的摆动
①单摆的平衡位置
当摆球静止在O点时，摆球受到重力G和悬线的拉力Ｆ＇作用，这两个力是平衡的。O点就是单摆的平衡位置。
②单摆的摆动
演示：用力将摆球拉离平衡位置，使悬线与竖直方向成一角度，然后释放。
分析：摆球被拉到位置A＇时，摆球受到重力G，绳的拉力Ｆ＇，且G与拉力Ｆ＇不再平衡，所以摆球在这两个力的共同作用下，将沿以O为中点的一段圆弧做往复运动。
结论：摆球沿着以平衡位置O为中点的一段圆弧做往复运动，这就是单摆的振动。
（用CAI课件模拟摆球所做的运动）
2、单摆做简谐运动
（1）单摆的回复力
摆球受到的重力G和悬线拉力F＇，在单摆振动时，一方面要使单摆振动，另一方面还要提供摆球沿圆弧的运动的向心力。在研究摆球沿圆弧的运动情况时，可以不考虑与摆球运动方向垂直的力，而只考虑沿摆球运动方向的力，如图所示。
因为Ｆ＇垂直于v，所以，我们可将重力G分解到速度v的方向及垂直于v的方向。且G1=Gsinθ=mgsinθ，G2=Gcosθ=mgcosθ。
重力G沿圆弧切线方向的分力G1=mgsinθ是沿摆球运动方向的力，正是这个力提供了使摆球振动的回复力，也可以说成是摆球沿运动方向的合力提供了摆球摆动的回复力。
F=G1=mgsinθ
（2）单摆做简谐运动的推证
在偏角很小时，sinθ≈
又回复力Ｆ=mgsinθ
所以单摆的回复力为
（其中x表示摆球偏离平衡位置的位移，L表示单摆的摆长，负号表示回复力F与位移x的方向相反）
对确定的单摆，m、g、L都有确定的数值， 可以用一个常数表示，上式可以写成
可见：在偏角很小的情况下，单摆所受的回复力与偏离平衡位置的位移成正比而方向相反，单摆做简谐运动。
（3）实验验证
我们知道简谐运动的图象是正弦（或余弦曲线），那么在摆角很小的情况下，既然单摆做的是简谐运动，它振动的图象也是正弦或余弦曲线。
（让学生亲身体验一下振动的图象）
实验：用装有墨水的注射器，演示振动图象。（用实物投影仪投影）
现象：注射器漏出的墨水洒到匀速拉动的硬纸板上形成的图线是正弦或余弦曲线。
总结：从实际得到的图象中均可看出，在摆角很小的情况下，单摆振动的图象符合简谐运动的要求，单摆做简谐运动。
（4）单摆做简谐运动的条件
单摆做简谐运动的条件是偏角很小，通常应在10以内，误差不超过0.5%。
3、单摆的周期
（1）实验研究
问题：单摆的周期与哪些因素有关呢?
学生猜想：可能与振幅、摆球质量、摆长、重力加速度及空气阻力有关。
说明：在摆角很小，观察时间不长时，空气阻力的影响较小，可以忽略不计。
对比实验：
①当摆长为1ｍ时，使振幅A1=8cm，测出单摆的周期T1；当摆长为1ｍ时，使振幅A2=5cm，测出单摆的周期T1′。
②当摆长为1ｍ时，使摆球质量为ｍ，测出单摆的周期T2；当摆长为1ｍ时，换用质量为2m的摆球，测出单摆的周期T2′。
③当摆长为1ｍ时，使用一定的质量的摆球，测出单摆的周期T3；当摆长为0.64ｍ时，使用质量相同的摆球，测出单摆的周期T3′。
④单摆的摆球用铁球（质量为ｍ），测出单摆的周期T4；在单摆摆球的平衡位置下方放一块磁铁（相当于重力加速度增大）测出单摆的周期T4′。（实验结果分析、比较）
结论：单摆摆动的周期与单摆的振幅无关，与单摆的摆长、重力加速度有关。
（2）周期公式
荷兰物理学家惠更斯研究了单摆的摆动，定量得到：单摆做简谐运动的周期T跟摆长L的二次方根成正比，跟重力加速度g的二次方根成反比，跟振幅、摆球的质量无关。
4、单摆的应用
（1）利用单摆的等时性计时
单摆振动的周期与振幅的大小无关，这一特点叫做单摆振动的等时性。惠更斯利用摆的等时性发明了带摆的计时器，摆的周期可以通过改变摆长来调节，计时很方便。
（2）测定当地的重力加速度
单摆的周期和摆长容易用实验准确地测定出来，所以利用单摆能准确地测定各地的重力加速度。
引导学生阅读17页有关内容，了解用单摆测重力加速度的原理及实验误差的分析，了解减小实验误差的措施。
巩固练习
1、秒摆的周期是______（G=9.8 m/s2时，秒摆的摆长大约是_______米 （取两位有效数字）。（参考答案：2s，0.99m）
2、关于单摆做简谐运动的回复力正确的说法是（ BCD ）
A．就是振子所受的合外力B．振子所受合外力在振子运动方向的分力
C．振子的重力在运动方向的分力D．振子经过平衡位置时回复力为零
3、用空心铁球内部装满水做摆球，若球正下方有一小孔，水不断从孔中流出，从球内装满水到水流完为止的过程中，其振动周期的大小是（ C ）
A．不变 B．变大
C．先变大后变小再回到原值 D．先变小后变大再回到原值
4、如右图所示，光滑轨道的半径为2ｍ，C点为圆心正下方的点，A、B两点与C点相距分别为6cm与2cm，a、b两小球分别从A、B两点由静止同时放开，则两小球相碰的位置是（ A ）
A．C点 B．C点右侧 C．C点左侧 D．不能确定
5、一个摆钟从甲地拿到乙地，它的钟摆摆动加快了，则下列对此现象的分析及调准方法的叙述中正确的是（ C ）
A．G甲＞G乙，将摆长适当增长 B．G甲＞G乙，将摆长适当缩短
C．G甲＜G乙，将摆长适当增长 D．G甲＜G乙，将摆长适当缩短
6、一绳长为L的单摆，在悬点正下方（L?L＇）处的点有一个钉子，如图所示，这个摆的周期是（ D ）
A．T=2π B．T=2π
C．T=2π（ + ） D．T=π（ + ）
（三）课堂总结、点评
通过本节课学习，我们知道单摆是一种理想化的振动模型，单摆振动的回复力是由摆球重力沿圆弧切线方向的分力mgsinθ提供的，在摆角很小时，回复力F=－ ，单摆的振动可看成简谐运动。单摆振动的周期跟振幅、摆球质量的大小无关，跟摆长的二次方根成正比，跟重力加速度的二次根成反比，即T=2πL/g。利用单摆可以计时和测定重力加速度等。
（四）课余作业
完成P18“问题与练习”的题目。
附：教材分析
