7.5 探究弹性势能的表达式 学案（人教版必修2）
1．________________的物体的各部分之间，由于____________________，也具有势能，
这种势能叫做弹性势能．研究弹性势能要从分析____________入手，对弹簧来说，规定
____________________，它的弹性势能为零，当弹簧____________________，就具有了
弹性势能．
2．(1)弹簧的弹性势能与弹簧被拉伸的长度l有关，并且，拉伸的长度l越大，弹性势能
______，但不一定是________关系；
(2)即使拉伸的长度l相同，劲度系数k不同的弹簧的弹性势能也不一样，并且拉伸的长
度l相同时，k越大，弹性势能________．
3．根据功是____________________可知，弹性势能的变化量与拉力对弹簧做功的关系为
____________．
4．设弹簧的劲度系数为k，当弹簧被拉伸l时，把这一拉伸过程分为很多小段，它们的
长度分别是Δl1、Δl2、Δl3……各个小段上拉力可以近似认为是不变的，分别为F1、F2、
F3……，所做的功分别为________________．
5．v－t图线下的面积代表________，F－l图线下的面积代表______；当所分成的小段
非常短时，F－l图线与l轴所围成的区域形状是__________，该区域的面积为________，
所以弹性势能的表达式是________________．
6．关于弹性势能，下列说法中正确的是( )
A．发生弹性形变的物体都具有弹性势能
B．只要弹簧发生形变，就一定具有弹性势能
C．弹性势能可以与其他形式的能相互转化
D．弹性势能在国际单位制中的单位是焦耳
7．关于弹簧的弹性势能，下列说法正确的是( )
A．弹簧的弹性势能跟拉伸(或压缩)的长度有关
B．弹簧的弹性势能跟弹簧的劲度系数有关
C．同一弹簧，在弹性限度内，形变量越大，弹性势能越大
D．弹性势能的大小跟使弹簧发生形变的物体有关
【概念规律练】
知识点一 弹性势能
1．关于弹性势能，下列说法中正确的是( )
A．任何发生弹性形变的物体，都具有弹性势能
B．任何具有弹性势能的物体，一定发生了弹性形变
C．物体只要发生形变，就一定具有弹性势能
D．弹簧的弹性势能只跟弹簧被拉伸或压缩的长度有关
2．关于弹性势能和重力势能下列说法正确的是( )
A．重力势能属于物体和地球这个系统，弹性势能属于发生弹性形变的物体
B．重力势能是相对的，弹性势能是绝对的
C．重力势能和弹性势能都是相对的
D．重力势能和弹性势能都是状态量
3．关于弹簧的弹性势能，下列说法中正确的是( )
A．当弹簧变长时，它的弹性势能一定增大
B．当弹簧变短时，它的弹性势能一定变小
C．在拉伸长度相同时，k越大的弹簧，它的弹性势能越大
D．弹簧在被拉伸时的弹性势能一定大于被压缩时的弹性势能
知识点二 弹力做功与弹性势能的关系
4．关于弹力做功与弹性势能的关系，我们在进行猜想时，可以参考对重力做功与重力势
能的关系的讨论，则下面的猜想有道理的是( )
A．弹力做功将引起弹性势能的变化，当弹力做正功时，弹性势能将增加
B．弹力做功将引起弹性势能的变化，当弹力做正功时，弹性势能将减少
C．弹力做功将引起弹性势能的变化，当弹力做负功时，弹性势能将增加
D．弹力做功将引起弹性势能的变化，当弹力做负功时，弹性势能将减少
5.
图1
如图1所示，一个物体以速度v0冲向与竖直墙壁相连的轻质弹簧，墙壁和物体间的弹簧
被物体压缩，在此过程中以下说法正确的是( )
A．物体对弹簧做的功与弹簧的压缩量成正比
B．压缩弹簧的过程中，物体向墙壁移动相同的距离，弹力做的功不相等
C．弹簧的弹力做正功，弹性势能减少
D．弹簧的弹力做负功，弹性势能增加
【方法技巧练】
一、探究弹性势能表达式的方法
6．在猜想弹性势能可能与哪几个物理量有关的时候，有人猜想弹性势能与弹簧的劲度系
数k及弹簧的伸长量l有关，但究竟是与l的一次方，还是l的二次方，还是l的三次方
有关呢？请完成下面练习以帮助思考．
(1)若弹性势能Ep∝kl，由于劲度系数k的单位是N/m，弹簧伸长量l的单位是m，则kl
的单位是________．
(2)若弹性势能Ep∝kl2，由于劲度系数k的单位是N/m，弹簧伸长量l的单位是m，则kl2
的单位是________．
(3)若弹性势能Ep∝kl3，由于劲度系数k的单位是N/m，弹簧伸长量l的单位是m，则kl3
的单位是________．
从(1)、(2)、(3)对单位的计算，你可以得到的启示是____________________
________________________________________________________．
二、弹性势能的求解方法
图2
7．一根弹簧的弹力?位移图线如图2所示，那么弹簧由伸长量8 cm到伸长量4 cm的过
程中，弹力做功和弹性势能的变化量为( )
A．3.6 J，－3.6 J
B．－3.6 J,3.6 J
C．1.8 J，－1.8 J
D．－1.8 J,1.8 J
图3
8．在水平地面上放一个竖直轻弹簧，弹簧上端与一个质量为2.0 kg的木块相连，系统处
于平衡状态．若在木块上再加一个竖直向下的力F，使木块缓慢向下移动0.10 m，力F
做功2.5 J，此时木块再次处于平衡状态，力F的大小为50 N，如图3所示．求：在木块
下移0.10 m的过程中弹性势能的增加量．
参考答案
课前预习练
1．发生弹性形变 有弹力的相互作用 弹力做功 弹簧长度为原长时 被拉长或被压缩后
2．(1)越大 正比 (2)越大
3．能量变化的量度 大小相等
4．F1Δl1、F2Δl2、F3Δl3……
5．位移 功 三角形 12kl2 Ep＝12kl2
6．ACD [发生弹性形变的物体的各部分之间，由于有弹力的相互作用，都具有弹性势能，A正确．弹性势能跟重力势能一样，可以与其他形式的能相互转化，C正确．所有能的单位跟功的单位相同，在国际单位制中的单位是焦耳，D正确．]
7．ABC [由弹性势能的表达式Ep＝12kl2可知，弹性势能Ep与弹簧拉伸(或压缩)的长度有关，A选项正确．Ep的大小还与k有关，B选项正确．在弹性限度内，Ep的大小还与l有关，l越大，Ep越大，C正确．弹簧的弹性势能是由弹簧的劲度系数k和形变量l决定的，与使弹簧发生形变的物体无关．]
课堂探究练
1．AB [由弹性势能的定义和相关因素进行判断．发生弹性形变的物体的各部分之间，由于弹力作用而具有的势能，叫做弹性势能．所以，任何发生弹性形变的物体都具有弹性势能，任何具有弹性势能的物体一定发生了弹性形变．物体发生了形变，若是非弹性形变，无弹力作用，物体就不具有弹性势能．弹簧的弹性势能除了跟弹簧被拉伸或压缩的长度有关外，还跟弹簧劲度系数的大小有关．正确选项为A、B.]
2．ACD [重力势能具有系统性，弹性势能只属于发生弹性形变的物体，故A正确；重力势能和弹性势能都是相对的，且都是状态量，故B错，C、D正确．]
3．C [弹簧弹性势能的大小，除了跟劲度系数k有关外，还跟它的形变量(拉伸或压缩的长度)有关．如果弹簧原来处在压缩状态，当它变长时，它的弹性势能应该先减小，在原长处它的弹性势能最小，所以A、B、D均不对．]
4．BC
5．BD [由功的计算公式W＝Flcos θ知，恒力做功时，做功的多少与物体的位移成正比，而弹簧对物体的弹力是一个变力，所以A不正确；弹簧开始被压缩时弹力小，弹力做的功也少，弹簧的压缩量变大时，物体移动相同的距离做的功增多，故B正确；物体压缩弹簧的过程，弹簧的弹力与弹力作用点的位移方向相反，所以弹力做负功，弹性势能增加，故C错误，D正确．]
6．(1)N (2)J (3)J?m 弹性势能Ep与弹簧伸长量l的二次方有关
7．C [弹力做的功W＝60＋302×0.04 J＝1.8 J>0，故弹性势能减少1.8 J，即ΔEp＝Ep2－Ep1＝－1.8 J，故选项C正确．]
8．4.5 J
解析 木块缓慢下移0.10 m的过程中，F与重力的合力始终与弹簧弹力等大反向，所以力F和重力做的总功等于克服弹簧弹力做的功，即
W弹＝－(WF＋mgh)＝－(2.5＋2.0×10×0.10) J＝－4.5 J
由弹力做功与弹性势能变化的关系知，
ΔEp＝－W弹＝4.5 J.
方法总结 功是能量转化的量度，因此确定某一过程中的力做的功，是研究该过程能量转化的重要方法．
1．________________的物体的各部分之间，由于____________________，也具有势能，
这种势能叫做弹性势能．研究弹性势能要从分析____________入手，对弹簧来说，规定
____________________，它的弹性势能为零，当弹簧____________________，就具有了
弹性势能．
2．(1)弹簧的弹性势能与弹簧被拉伸的长度l有关，并且，拉伸的长度l越大，弹性势能
______，但不一定是________关系；
(2)即使拉伸的长度l相同，劲度系数k不同的弹簧的弹性势能也不一样，并且拉伸的长
度l相同时，k越大，弹性势能________．
3．根据功是____________________可知，弹性势能的变化量与拉力对弹簧做功的关系为
____________．
4．设弹簧的劲度系数为k，当弹簧被拉伸l时，把这一拉伸过程分为很多小段，它们的
长度分别是Δl1、Δl2、Δl3……各个小段上拉力可以近似认为是不变的，分别为F1、F2、
F3……，所做的功分别为________________．
5．v－t图线下的面积代表________，F－l图线下的面积代表______；当所分成的小段
非常短时，F－l图线与l轴所围成的区域形状是__________，该区域的面积为________，
所以弹性势能的表达式是________________．
6．关于弹性势能，下列说法中正确的是( )
A．发生弹性形变的物体都具有弹性势能
B．只要弹簧发生形变，就一定具有弹性势能
C．弹性势能可以与其他形式的能相互转化
D．弹性势能在国际单位制中的单位是焦耳
7．关于弹簧的弹性势能，下列说法正确的是( )
A．弹簧的弹性势能跟拉伸(或压缩)的长度有关
B．弹簧的弹性势能跟弹簧的劲度系数有关
C．同一弹簧，在弹性限度内，形变量越大，弹性势能越大
D．弹性势能的大小跟使弹簧发生形变的物体有关
【概念规律练】
知识点一 弹性势能
1．关于弹性势能，下列说法中正确的是( )
A．任何发生弹性形变的物体，都具有弹性势能
B．任何具有弹性势能的物体，一定发生了弹性形变
C．物体只要发生形变，就一定具有弹性势能
D．弹簧的弹性势能只跟弹簧被拉伸或压缩的长度有关
2．关于弹性势能和重力势能下列说法正确的是( )
A．重力势能属于物体和地球这个系统，弹性势能属于发生弹性形变的物体
B．重力势能是相对的，弹性势能是绝对的
C．重力势能和弹性势能都是相对的
D．重力势能和弹性势能都是状态量
3．关于弹簧的弹性势能，下列说法中正确的是( )
A．当弹簧变长时，它的弹性势能一定增大
B．当弹簧变短时，它的弹性势能一定变小
C．在拉伸长度相同时，k越大的弹簧，它的弹性势能越大
D．弹簧在被拉伸时的弹性势能一定大于被压缩时的弹性势能
知识点二 弹力做功与弹性势能的关系
4．关于弹力做功与弹性势能的关系，我们在进行猜想时，可以参考对重力做功与重力势
能的关系的讨论，则下面的猜想有道理的是( )
A．弹力做功将引起弹性势能的变化，当弹力做正功时，弹性势能将增加
B．弹力做功将引起弹性势能的变化，当弹力做正功时，弹性势能将减少
C．弹力做功将引起弹性势能的变化，当弹力做负功时，弹性势能将增加
D．弹力做功将引起弹性势能的变化，当弹力做负功时，弹性势能将减少
5.
图1
如图1所示，一个物体以速度v0冲向与竖直墙壁相连的轻质弹簧，墙壁和物体间的弹簧
被物体压缩，在此过程中以下说法正确的是( )
A．物体对弹簧做的功与弹簧的压缩量成正比
B．压缩弹簧的过程中，物体向墙壁移动相同的距离，弹力做的功不相等
C．弹簧的弹力做正功，弹性势能减少
D．弹簧的弹力做负功，弹性势能增加
【方法技巧练】
一、探究弹性势能表达式的方法
6．在猜想弹性势能可能与哪几个物理量有关的时候，有人猜想弹性势能与弹簧的劲度系
数k及弹簧的伸长量l有关，但究竟是与l的一次方，还是l的二次方，还是l的三次方
有关呢？请完成下面练习以帮助思考．
(1)若弹性势能Ep∝kl，由于劲度系数k的单位是N/m，弹簧伸长量l的单位是m，则kl
的单位是________．
(2)若弹性势能Ep∝kl2，由于劲度系数k的单位是N/m，弹簧伸长量l的单位是m，则kl2
的单位是________．
(3)若弹性势能Ep∝kl3，由于劲度系数k的单位是N/m，弹簧伸长量l的单位是m，则kl3
的单位是________．
从(1)、(2)、(3)对单位的计算，你可以得到的启示是____________________
________________________________________________________．
二、弹性势能的求解方法
图2
7．一根弹簧的弹力?位移图线如图2所示，那么弹簧由伸长量8 cm到伸长量4 cm的过
程中，弹力做功和弹性势能的变化量为( )
A．3.6 J，－3.6 J
B．－3.6 J,3.6 J
C．1.8 J，－1.8 J
D．－1.8 J,1.8 J
图3
8．在水平地面上放一个竖直轻弹簧，弹簧上端与一个质量为2.0 kg的木块相连，系统处
于平衡状态．若在木块上再加一个竖直向下的力F，使木块缓慢向下移动0.10 m，力F
做功2.5 J，此时木块再次处于平衡状态，力F的大小为50 N，如图3所示．求：在木块
下移0.10 m的过程中弹性势能的增加量．
参考答案
课前预习练
1．发生弹性形变 有弹力的相互作用 弹力做功 弹簧长度为原长时 被拉长或被压缩后
2．(1)越大 正比 (2)越大
3．能量变化的量度 大小相等
4．F1Δl1、F2Δl2、F3Δl3……
5．位移 功 三角形 12kl2 Ep＝12kl2
6．ACD [发生弹性形变的物体的各部分之间，由于有弹力的相互作用，都具有弹性势能，A正确．弹性势能跟重力势能一样，可以与其他形式的能相互转化，C正确．所有能的单位跟功的单位相同，在国际单位制中的单位是焦耳，D正确．]
7．ABC [由弹性势能的表达式Ep＝12kl2可知，弹性势能Ep与弹簧拉伸(或压缩)的长度有关，A选项正确．Ep的大小还与k有关，B选项正确．在弹性限度内，Ep的大小还与l有关，l越大，Ep越大，C正确．弹簧的弹性势能是由弹簧的劲度系数k和形变量l决定的，与使弹簧发生形变的物体无关．]
课堂探究练
1．AB [由弹性势能的定义和相关因素进行判断．发生弹性形变的物体的各部分之间，由于弹力作用而具有的势能，叫做弹性势能．所以，任何发生弹性形变的物体都具有弹性势能，任何具有弹性势能的物体一定发生了弹性形变．物体发生了形变，若是非弹性形变，无弹力作用，物体就不具有弹性势能．弹簧的弹性势能除了跟弹簧被拉伸或压缩的长度有关外，还跟弹簧劲度系数的大小有关．正确选项为A、B.]
2．ACD [重力势能具有系统性，弹性势能只属于发生弹性形变的物体，故A正确；重力势能和弹性势能都是相对的，且都是状态量，故B错，C、D正确．]
3．C [弹簧弹性势能的大小，除了跟劲度系数k有关外，还跟它的形变量(拉伸或压缩的长度)有关．如果弹簧原来处在压缩状态，当它变长时，它的弹性势能应该先减小，在原长处它的弹性势能最小，所以A、B、D均不对．]
4．BC
5．BD [由功的计算公式W＝Flcos θ知，恒力做功时，做功的多少与物体的位移成正比，而弹簧对物体的弹力是一个变力，所以A不正确；弹簧开始被压缩时弹力小，弹力做的功也少，弹簧的压缩量变大时，物体移动相同的距离做的功增多，故B正确；物体压缩弹簧的过程，弹簧的弹力与弹力作用点的位移方向相反，所以弹力做负功，弹性势能增加，故C错误，D正确．]
6．(1)N (2)J (3)J?m 弹性势能Ep与弹簧伸长量l的二次方有关
7．C [弹力做的功W＝60＋302×0.04 J＝1.8 J>0，故弹性势能减少1.8 J，即ΔEp＝Ep2－Ep1＝－1.8 J，故选项C正确．]
8．4.5 J
解析 木块缓慢下移0.10 m的过程中，F与重力的合力始终与弹簧弹力等大反向，所以力F和重力做的总功等于克服弹簧弹力做的功，即
W弹＝－(WF＋mgh)＝－(2.5＋2.0×10×0.10) J＝－4.5 J
由弹力做功与弹性势能变化的关系知，
ΔEp＝－W弹＝4.5 J.
方法总结 功是能量转化的量度，因此确定某一过程中的力做的功，是研究该过程能量转化的重要方法．
