7.2 功 学案（人教版必修2）
1．一个物体受到______的作用，如果在力的方向上发生了一段________，这个力就对物
体做了功．做功的两个不可缺少的因素：______和在力的方向上发生的__________．功
的公式：____________，功的单位：________，符号是______．功是______(矢、标)量．
2．正功和负功：根据W＝Flcos α可知
(1)当α＝________时，W＝0.即当力F和位移l________时，力对物体不做功．这种情况，
物体在力F的方向上没有发生位移．
(2)当______≤α<______时，W>0.即当力F跟位移l的夹角为______(锐、钝)角时，力F
对物体做正功，这时力F是______(动、阻)力，所以______(动、阻)力对物体做正功．
(3)当______<α≤________时，W<0.即当力F跟位移l的夹角为______(锐、钝)角时，力
F对物体做负功，这时力F是______(动、阻)力，所以，______(动、阻)力对物体做负功．一
个力对物体做负功，又常说成“物体________这个力做功”(取绝对值)．
3．总功的计算：总功的计算有如下方法
(1)W合＝____________(α为F合与位移l的夹角)．
(2)W合＝WF1＋WF2＋…＋WFn(即总功为各个分力所做功的____________)．
4．在下面哪些情况下，人对书本的作用力F做了功( )
A．F竖直向上，书本保持静止
B．F竖直向上，人与书本沿水平方向匀速运动
C．F沿水平方向，书本保持静止
D．F竖直向上，人与书本竖直向上做匀速运动
5．足球运动员飞起一脚用60 N的力将足球踢出，足球沿草地运动了40 m后停止运动，
关于运动员对足球做功的情况，下列说法正确的是( )
A．运动员对足球做功2 400 J
B．运动员对足球没有做功
C．运动员对足球做了功，但无法确定其大小
D．以上说法都不对
6．一个力对物体做了负功，则说明( )
A．这个力一定阻碍物体的运动
B．这个力不一定阻碍物体的运动
C．这个力与物体运动方向的夹角α>90°
D．这个力与物体运动方向的夹角α<90°
图1
7．如图1所示，两个互相垂直的力F1和F2作用在同一物体上，使物体运动，物体通过
一段位移时，力F1对物体做功4 J，力F2对物体做功3 J，则力F1和F2的合力对物体做
功为( )
A．7 J B．1 J
C．5 J D．3.5
【概念规律练】
知识点一 功的理解
1．下列关于做功的说法中正确的是( )
A．凡是受力的作用的物体，一定有力对物体做功
B．凡是发生了位移的物体，一定有力对物体做功
C．只要物体受力的同时又有位移发生，就一定有力对物体做功
D．只要物体受力且在力的方向上发生了位移，就一定有力对物体做功
2．用水平恒力F作用于质量为M的物体上，使之在光滑的水平面上沿力的方向移动距
离l，恒力做功为W1.再用该恒力作用于质量为m(m上移动同样距离l，恒力做功为W2，则两次恒力做功的关系是( )
A．W1>W2 B．W1C．W1＝W2 D．无法判断
知识点二 功的正负
3．下列说法中正确的是( )
A．功是矢量，正、负表示方向
B．功是标量，正、负表示外力对物体做功还是物体克服外力做功
C．力对物体做正功还是做负功，取决于力和位移的方向关系
D．力做功总是在某过程中完成的，所以功是一个过程量
知识点三 公式W＝Flcos α的应用
4．如图2所示，一个人用与水平方向成60°的力F＝40 N拉一木箱，在水平地面上沿直
线匀速前进了8 m，则
图2
(1)拉力F对木箱所做的功是________ J.
(2)摩擦力对木箱所做的功是________ J.
(3)外力对木箱所做的总功是________ J.
5．如图3所示，
图3
用恒定的拉力F拉置于光滑水平面上的质量为m的物体，由静止开始运动时间t，拉力
F斜向上与水平面夹角为θ＝60°.如果要使拉力做的功变为原来的4倍，在其他条件不变
的情况下，可以将( )
A．拉力变为2F
B．时间变为2t
C．物体质量变为m2
D．拉力大小不变，但方向改为与水平面平行
【方法技巧练】
一、合力的功的计算
6．如图4所示，
图4
质量为m的物体静止在倾角为θ的斜面上，物体与斜面的动摩擦因数为μ.现使斜面水平
向左匀速移动距离l.试求：
(1)摩擦力对物体做的功(物体与斜面相对静止)；
(2)斜面对物体的弹力做的功；
(3)重力对物体做的功；
(4)斜面对物体做的功是多少？各力对物体所做的总功是多少？
二、变力做功的计算方法
7.
图5
人在A点拉着细绳通过一定滑轮吊起质量m＝50 kg的物体，如图5所示，开始时绳与
水平方向夹角为60°，当人匀速拉着重物由A点沿水平方向运动s＝2 m到达B点时绳与
水平方向成30°.求人对绳的拉力做了多少功？(g取10 m/s2)
参考答案
课前预习练
1．力 位移 力 位移 W＝Flcos α 焦耳 J 标
2．(1)90° 垂直 (2)0° 90° 锐 动 动 (3)90° 180° 钝 阻 阻 克服
3．(1)F合lcos α (2)代数和
4．D
5．C [足球运动员对足球做功，足球发生运动，但60 N的力与40 m的位移不对应同一过程，故无法确定功的大小，选C.]
6．AC [力对物体做负功，说明该力对物体来说是阻力，其方向与物体运动方向的夹角大于90°，故选A、C.]
7．A [合力做的功等于它的各个分力做功的代数和，即4 J＋3 J＝7 J．]
课堂探究练
1．D [做功的两个必要条件是：力和物体在力的方向上发生的位移，也就是说，只有力或只有位移，是不符合做功条件的，故A、B错误；若物体发生位移的同时也受力的作用，但力与位移垂直时，此力并不做功，故C错，D对．]
2．C [在粗糙水平面上移动的距离跟在光滑水平面上移动的距离相同，对力F做的功来说，是相同的，即W1＝W2＝Fl.]
点评 求功时，必须要明确哪个力在哪个过程中的功．根据功的定义，力F所做的功只与F的大小及在F方向上发生的位移大小有关，与物体是否受其他力及物体的运动状态等其他因素均无关．
3．BCD [理解功的概念，功有正、负之分，但功是标量，此处易误解．]
4．(1)160 (2)－160 (3)0
解析 (1)拉力F对木箱所做的功为W1＝Flcos 60°＝40×8×12 J＝1.6×102 J.
(2)摩擦力Ff对木箱所做的功为W2＝Fflcos 180°＝Fcos 60°?lcos 180°＝40×12×8×(－1) J＝－1.6×102 J.
(2)外力对木箱做的总功为W＝W1＋W2＝1.6×102 J＋(－1.6×102 J)＝0或者F合＝0(因为匀速直线运动)，W＝F合?l＝0.
点评 求恒力做功的关键是找准力F、位移l、夹角α，再应用公式W＝F合?l＝0求解即可．
5．ABD [本题要讨论的是恒力做功的问题，所以选择功的计算公式，要讨论影响做功大小的因素变化如何影响功的大小变化，比较快捷的思路是先写出功的通式，再讨论变化关系．
位移l＝12at2＝12Fcos 60°mt2，W＝Fl?cos 60°＝F2cos2 60°2mt2，当F′＝2F时，W′＝4W，当t′＝2t时，W′＝4W；当m′＝12m时，W′＝2W；当θ＝0°时，W′＝4W，由此可知，C错，A、B、D对．]
6．见解析
解析 物体受力情况如图所示，
物体受到重力mg，摩擦力Ff和支持力FN的作用，物体相对斜面静止，物体相对地面水平向左匀速移动l，这些力均为恒力，故可用W＝Flcos α计算各力的功．根据物体平衡条件，可得Ff＝mgsin θ，FN＝mgcos θ，
(1)WFf＝Ff?lcos (180°－θ)＝－mglsin θ?cos θ.
(2)WFN＝FN?lcos (90°－θ)＝mglsin θ?cos θ.
(3)WG＝G?lcos 90°＝0.
(4)FN与Ff的合力与G等大反向，即物体所受斜面的力对物体做功为0，或WFN＋WFf＝0.
合力对物体做的总功W总＝WG＋WFf＋WFN
＝0＋(－mglsin θcos θ)＋mglsin θcos θ＝0，
或物体受力平衡，F合＝0，则W总＝F合lcos θ＝0.
方法总结 计算几个力的总功，通常有以下两种不同的处理方法：
(1)虽然力、位移都是矢量，但功是标量，所以几个力的总功等于各个力所做功的代数和．若以W1、W2、W3……Wn分别表示力F1、F2、F3…Fn所做的功(含正功与负功)，则这些力所做的总功为W总＝W1＋W2＋W3＋…Wn.
(2)求出物体所受的合外力，根据公式W合＝F合lcos α求合外力做的功，则物体所受的外力做的总功为W总＝W合＝F合lcos α.
7．732 J
解析 设滑轮距地面的高度为h，则
h(cot 30°－cot 60°)＝s
人由A走到B的过程中，重物G上升的高度Δh等于滑轮右侧绳子增加的长度，即
Δh＝hsin 30°－hsin 60°
人对绳子做的功为：W＝GΔh
代入数据可得：W≈732 J.
方法总结 求变力做功的方法有以下几种：
(1)平均值法：当力F的大小发生变化，但F、l成线性关系时，可以代入F的平均值计算F做的功．
(2)图象法：变力做的功W可用F－l图线中所包围的面积表示．l轴上方的面积表示力对物体做的正功的多少，l轴下方的面积表示力对物体做的负功的多少．
(3)分段法(或微元法)：当力的大小不变，力的方向时刻与速度同向(或反向)时，把物体的运动过程分为很多小段，这样每一小段可以看成直线，先求力在每一小段上的功，再求和即可．
1．一个物体受到______的作用，如果在力的方向上发生了一段________，这个力就对物
体做了功．做功的两个不可缺少的因素：______和在力的方向上发生的__________．功
的公式：____________，功的单位：________，符号是______．功是______(矢、标)量．
2．正功和负功：根据W＝Flcos α可知
(1)当α＝________时，W＝0.即当力F和位移l________时，力对物体不做功．这种情况，
物体在力F的方向上没有发生位移．
(2)当______≤α<______时，W>0.即当力F跟位移l的夹角为______(锐、钝)角时，力F
对物体做正功，这时力F是______(动、阻)力，所以______(动、阻)力对物体做正功．
(3)当______<α≤________时，W<0.即当力F跟位移l的夹角为______(锐、钝)角时，力
F对物体做负功，这时力F是______(动、阻)力，所以，______(动、阻)力对物体做负功．一
个力对物体做负功，又常说成“物体________这个力做功”(取绝对值)．
3．总功的计算：总功的计算有如下方法
(1)W合＝____________(α为F合与位移l的夹角)．
(2)W合＝WF1＋WF2＋…＋WFn(即总功为各个分力所做功的____________)．
4．在下面哪些情况下，人对书本的作用力F做了功( )
A．F竖直向上，书本保持静止
B．F竖直向上，人与书本沿水平方向匀速运动
C．F沿水平方向，书本保持静止
D．F竖直向上，人与书本竖直向上做匀速运动
5．足球运动员飞起一脚用60 N的力将足球踢出，足球沿草地运动了40 m后停止运动，
关于运动员对足球做功的情况，下列说法正确的是( )
A．运动员对足球做功2 400 J
B．运动员对足球没有做功
C．运动员对足球做了功，但无法确定其大小
D．以上说法都不对
6．一个力对物体做了负功，则说明( )
A．这个力一定阻碍物体的运动
B．这个力不一定阻碍物体的运动
C．这个力与物体运动方向的夹角α>90°
D．这个力与物体运动方向的夹角α<90°
图1
7．如图1所示，两个互相垂直的力F1和F2作用在同一物体上，使物体运动，物体通过
一段位移时，力F1对物体做功4 J，力F2对物体做功3 J，则力F1和F2的合力对物体做
功为( )
A．7 J B．1 J
C．5 J D．3.5
【概念规律练】
知识点一 功的理解
1．下列关于做功的说法中正确的是( )
A．凡是受力的作用的物体，一定有力对物体做功
B．凡是发生了位移的物体，一定有力对物体做功
C．只要物体受力的同时又有位移发生，就一定有力对物体做功
D．只要物体受力且在力的方向上发生了位移，就一定有力对物体做功
2．用水平恒力F作用于质量为M的物体上，使之在光滑的水平面上沿力的方向移动距
离l，恒力做功为W1.再用该恒力作用于质量为m(m
A．W1>W2 B．W1
知识点二 功的正负
3．下列说法中正确的是( )
A．功是矢量，正、负表示方向
B．功是标量，正、负表示外力对物体做功还是物体克服外力做功
C．力对物体做正功还是做负功，取决于力和位移的方向关系
D．力做功总是在某过程中完成的，所以功是一个过程量
知识点三 公式W＝Flcos α的应用
4．如图2所示，一个人用与水平方向成60°的力F＝40 N拉一木箱，在水平地面上沿直
线匀速前进了8 m，则
图2
(1)拉力F对木箱所做的功是________ J.
(2)摩擦力对木箱所做的功是________ J.
(3)外力对木箱所做的总功是________ J.
5．如图3所示，
图3
用恒定的拉力F拉置于光滑水平面上的质量为m的物体，由静止开始运动时间t，拉力
F斜向上与水平面夹角为θ＝60°.如果要使拉力做的功变为原来的4倍，在其他条件不变
的情况下，可以将( )
A．拉力变为2F
B．时间变为2t
C．物体质量变为m2
D．拉力大小不变，但方向改为与水平面平行
【方法技巧练】
一、合力的功的计算
6．如图4所示，
图4
质量为m的物体静止在倾角为θ的斜面上，物体与斜面的动摩擦因数为μ.现使斜面水平
向左匀速移动距离l.试求：
(1)摩擦力对物体做的功(物体与斜面相对静止)；
(2)斜面对物体的弹力做的功；
(3)重力对物体做的功；
(4)斜面对物体做的功是多少？各力对物体所做的总功是多少？
二、变力做功的计算方法
7.
图5
人在A点拉着细绳通过一定滑轮吊起质量m＝50 kg的物体，如图5所示，开始时绳与
水平方向夹角为60°，当人匀速拉着重物由A点沿水平方向运动s＝2 m到达B点时绳与
水平方向成30°.求人对绳的拉力做了多少功？(g取10 m/s2)
参考答案
课前预习练
1．力 位移 力 位移 W＝Flcos α 焦耳 J 标
2．(1)90° 垂直 (2)0° 90° 锐 动 动 (3)90° 180° 钝 阻 阻 克服
3．(1)F合lcos α (2)代数和
4．D
5．C [足球运动员对足球做功，足球发生运动，但60 N的力与40 m的位移不对应同一过程，故无法确定功的大小，选C.]
6．AC [力对物体做负功，说明该力对物体来说是阻力，其方向与物体运动方向的夹角大于90°，故选A、C.]
7．A [合力做的功等于它的各个分力做功的代数和，即4 J＋3 J＝7 J．]
课堂探究练
1．D [做功的两个必要条件是：力和物体在力的方向上发生的位移，也就是说，只有力或只有位移，是不符合做功条件的，故A、B错误；若物体发生位移的同时也受力的作用，但力与位移垂直时，此力并不做功，故C错，D对．]
2．C [在粗糙水平面上移动的距离跟在光滑水平面上移动的距离相同，对力F做的功来说，是相同的，即W1＝W2＝Fl.]
点评 求功时，必须要明确哪个力在哪个过程中的功．根据功的定义，力F所做的功只与F的大小及在F方向上发生的位移大小有关，与物体是否受其他力及物体的运动状态等其他因素均无关．
3．BCD [理解功的概念，功有正、负之分，但功是标量，此处易误解．]
4．(1)160 (2)－160 (3)0
解析 (1)拉力F对木箱所做的功为W1＝Flcos 60°＝40×8×12 J＝1.6×102 J.
(2)摩擦力Ff对木箱所做的功为W2＝Fflcos 180°＝Fcos 60°?lcos 180°＝40×12×8×(－1) J＝－1.6×102 J.
(2)外力对木箱做的总功为W＝W1＋W2＝1.6×102 J＋(－1.6×102 J)＝0或者F合＝0(因为匀速直线运动)，W＝F合?l＝0.
点评 求恒力做功的关键是找准力F、位移l、夹角α，再应用公式W＝F合?l＝0求解即可．
5．ABD [本题要讨论的是恒力做功的问题，所以选择功的计算公式，要讨论影响做功大小的因素变化如何影响功的大小变化，比较快捷的思路是先写出功的通式，再讨论变化关系．
位移l＝12at2＝12Fcos 60°mt2，W＝Fl?cos 60°＝F2cos2 60°2mt2，当F′＝2F时，W′＝4W，当t′＝2t时，W′＝4W；当m′＝12m时，W′＝2W；当θ＝0°时，W′＝4W，由此可知，C错，A、B、D对．]
6．见解析
解析 物体受力情况如图所示，
物体受到重力mg，摩擦力Ff和支持力FN的作用，物体相对斜面静止，物体相对地面水平向左匀速移动l，这些力均为恒力，故可用W＝Flcos α计算各力的功．根据物体平衡条件，可得Ff＝mgsin θ，FN＝mgcos θ，
(1)WFf＝Ff?lcos (180°－θ)＝－mglsin θ?cos θ.
(2)WFN＝FN?lcos (90°－θ)＝mglsin θ?cos θ.
(3)WG＝G?lcos 90°＝0.
(4)FN与Ff的合力与G等大反向，即物体所受斜面的力对物体做功为0，或WFN＋WFf＝0.
合力对物体做的总功W总＝WG＋WFf＋WFN
＝0＋(－mglsin θcos θ)＋mglsin θcos θ＝0，
或物体受力平衡，F合＝0，则W总＝F合lcos θ＝0.
方法总结 计算几个力的总功，通常有以下两种不同的处理方法：
(1)虽然力、位移都是矢量，但功是标量，所以几个力的总功等于各个力所做功的代数和．若以W1、W2、W3……Wn分别表示力F1、F2、F3…Fn所做的功(含正功与负功)，则这些力所做的总功为W总＝W1＋W2＋W3＋…Wn.
(2)求出物体所受的合外力，根据公式W合＝F合lcos α求合外力做的功，则物体所受的外力做的总功为W总＝W合＝F合lcos α.
7．732 J
解析 设滑轮距地面的高度为h，则
h(cot 30°－cot 60°)＝s
人由A走到B的过程中，重物G上升的高度Δh等于滑轮右侧绳子增加的长度，即
Δh＝hsin 30°－hsin 60°
人对绳子做的功为：W＝GΔh
代入数据可得：W≈732 J.
方法总结 求变力做功的方法有以下几种：
(1)平均值法：当力F的大小发生变化，但F、l成线性关系时，可以代入F的平均值计算F做的功．
(2)图象法：变力做的功W可用F－l图线中所包围的面积表示．l轴上方的面积表示力对物体做的正功的多少，l轴下方的面积表示力对物体做的负功的多少．
(3)分段法(或微元法)：当力的大小不变，力的方向时刻与速度同向(或反向)时，把物体的运动过程分为很多小段，这样每一小段可以看成直线，先求力在每一小段上的功，再求和即可．
