6.3 万有引力定律 学案（人教版必修2）
1．假定维持月球绕地球运动的力与使得苹果下落的力真的是同一种力，同样遵从
“____________”的规律，由于月球轨道半径约为地球半径(苹果到地心的距离)的60倍，
所以月球轨道上一个物体受到的引力是地球上的________倍．根据牛顿第二定律，物体
在月球轨道上运动时的加速度(月球______________加速度)是它在地面附近下落时的加
速度(____________加速度)的________．根据牛顿时代测出的月球公转周期和轨道半径，
检验的结果是____________________．
2．自然界中任何两个物体都____________，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与
________________________成正比、与__________________________成反比，用公式表
示即________________．其中G叫____________，数值为________________，它是英国
物理学家______________在实验室利用扭秤实验测得的．
3．万有引力定律适用于________的相互作用．近似地，用于两个物体间的距离远远大于
物体本身的大小时；特殊地，用于两个均匀球体，r是________间的距离．
4．关于万有引力和万有引力定律的理解正确的是( )
A．不能看做质点的两物体间不存在相互作用的引力
B．只有能看做质点的两物体间的引力才能用F＝Gm1m2r2计算
C．由F＝Gm1m2r2知，两物体间距离r减小时，它们之间的引力增大
D．万有引力常量的大小首先是由牛顿测出来的，且等于6.67×10－11 N?m2/kg2
5．对于公式F＝Gm1m2r2理解正确的是( )
A．m1与m2之间的相互作用力，总是大小相等、方向相反，是一对平衡力
B．m1与m2之间的相互作用力，总是大小相等、方向相反，是一对作用力与反作用力
C．当r趋近于零时，F趋向无穷大
D．当r趋近于零时，公式不适用
6．要使两物体间的万有引力减小到原来的14，下列办法不可采用的是( )
A．使物体的质量各减小一半，距离不变
B．使其中一个物体的质量减小到原来的14，距离不变
C．使两物体间的距离增为原来的2倍，质量不变
D．使两物体间的距离和质量都减为原来的14
【概念规律练】
知识点一 万有引力定律的理解
1．关于万有引力定律的适用范围，下列说法中正确的是( )
A．只适用于天体，不适用于地面上的物体
B．只适用于球形物体，不适用于其他形状的物体
C．只适用于质点，不适用于实际物体
D．适用于自然界中任何两个物体之间
2．两个大小相同的实心小铁球紧靠在一起，它们之间的万有引力为F，若两个半径是小
铁球2倍的实心大铁球紧靠在一起，则它们之间的万有引力为( )
A.14F B．4F C.116F D．16F
3．一名宇航员来到一个星球上，如果该星球的质量是地球质量的一半，它的直径也是地
球直径的一半，那么这名宇航员在该星球上所受的万有引力大小是它在地球上所受万有
引力的( )
A．0.25倍 B．0.5倍 C．2.0倍 D．4.0倍
知识点二 用万有引力公式计算重力加速度
4．设地球表面重力加速度为g0，物体在距离地心4R(R是地球的半径)处，由于地球的
作用而产生的加速度为g，则g/g0为( )
A．1 B．1/9 C．1/4 D．1/16
5．假设火星和地球都是球体，火星质量M火和地球质量M地之比为M火M地＝p，火星半径R
火和地球半径R地之比R火R地＝q，那么离火星表面R火高处的重力加速度g火h和离地球表面
R地高处的重力加速度g地h之比g火hg地h＝________.
【方法技巧练】
一、用割补法求解万有引力的技巧
6．有一质量为M、
图1
半径为R的密度均匀球体，在距离球心O为2R的地方有一质量为m的质点，现在从M
中挖去一半径为R2的球体，如图1所示，求剩下部分对m的万有引力F为多大？
二、万有引力定律与抛体运动知识的综合
7．宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球，经过时间t小球落回原处；若他在
某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，需经过时间5t小球落回原处．(取地球
表面重力加速度g＝10 m/s2，空气阻力不计)
(1)求该星球表面附近的重力加速度g′.
(2)已知该星球的半径与地球半径之比为R星∶R地＝1∶4，求该星球的质量与地球质量之
比M星∶M地．
8．宇航员站在某一星球距离表面h高度处，以初速度v0沿水平方向抛出一个小球，经
过时间t后小球落到星球表面，已知该星球的半径为R，引力常量为G，求：
(1)该星球表面重力加速度g的大小；
(2)小球落地时的速度大小；
(3)该星球的质量．
参考答案
课前预习练
1．平方反比 1602 公转的向心 自由落体 1602 遵从相同的规律
2．相互吸引 物体的质量m1和m2的乘积 它们之间距离r的二次方 F＝Gm1m2r2 引力常量 6.67×10－11 N?m2/kg2 卡文迪许
3．质点 球心
4．C [任何物体间都存在相互作用的引力，故称万有引力，A错；两个质量均匀的球体间的万有引力也能用F＝Gm1m2r2来计算，B错；物体间的万有引力与它们距离r的二次方成反比，故r减小，它们间的引力增大，C对；引力常量G是由卡文迪许精确测出的，D错．]
5．BD [两物体间的万有引力是一对相互作用力，而非平衡力，故A错，B对；万有引力公式F＝Gm1m2r2只适用于质点间的万有引力计算，当r→0时，物体便不能再视为质点，公式不适用，故C错，D对．]
6．D
课堂探究练
1．D
2．D [小铁球间的万有引力F＝Gm2(2r)2＝Gm24r2
大铁球半径是小铁球半径的2倍，其质量为
小铁球m＝ρV＝ρ?43πr3
大铁球M＝ρV′＝ρ?43π(2r)3＝8?ρ?43πr3＝8m
所以两个大铁球之间的万有引力
F′＝G8m?8m(4r)2＝16?Gm24r2＝16F.]
点评 运用万有引力定律时，要准确理解万有引力定律公式中各量的意义并能灵活运用．本题通常容易出现的错误是考虑两球球心距离的变化而忽略球体半径变化而引起的质量变化，从而导致错误．
3．C [由万有引力定律公式，在地球上引力F＝GMmR2，在另一星球上引力F′＝GM′mR′2＝GM2m(R2)2＝2GMmR2＝2F，故C正确．]
点拨 利用万有引力定律分别计算宇航员在地球表面和星球表面所受到的万有引力，然后比较即可得到结果．
4．D [地球表面：GMmR2＝mg0.离地心4R处：GMm(4R)2＝mg由以上两式得：gg0＝(R4R)2＝116.]
点评 (1)切记在地球表面的物体与地心的距离为R.
(2)物体在离地面h高度处，所受的万有引力和重力相等，有mg＝GMm(R＋h)2.所以g随高度的增加而减小，不再等于地面附近的重力加速度．
(3)通常情况下，处在地面上的物体，不管这些物体是处于何种状态，都可以认为万有引力和重力相等，但有两种情况必须对两者加以区别：一是从细微之处分析重力与万有引力大小的关系，二是物体离地面高度与地球半径相比不能忽略的情况．
5.pq2
解析 距某一星球表面h高处的物体的重力，可认为等于星球对该物体的万有引力，即mgh＝GM星m(R＋h)2，解得距星球表面h高处的重力加速度为gh＝GM星(R＋h)2.故距火星表面R火高处的重力加速度为g火h＝GM火(2R火)2，距地球表面R地高处的重力加速度为g地h＝GM地(2R地)2，以上两式相除得g火hg地h＝M火M地?R2地R2火＝pq2.
点评 对于星球表面上空某处的重力加速度gh＝GM星(R＋h)2，可理解为gh与星球质量成正比，与该处到星球球心距离的二次方成反比．
6.7GMm36R2
解析 一个质量均匀分布的球体与球外的一个质点间的万有引力可以用公式F＝GmMr2直接进行计算，但当球体被挖去一部分后，由于质量分布不均匀，万有引力定律就不再适用．此时我们可以用“割补法”进行求解．
设想将被挖部分重新补回，则完整球体对质点m的万有引力为F1，可以看做是剩余部分对质点的万有引力F与被挖小球对质点的万有引力F2的合力，即
F1＝F＋F2.
设被挖小球的质量为M′，其球心到质点间的距离为r′.
由题意知M′＝M8，r′＝3R2；
由万有引力定律得
F1＝GMm(2R)2＝GMm4R2
F2＝GM′mr′2＝GM8m(32R)2＝GMm18R2
故F＝F1－F2＝7GMm36R2.
方法 本题易错之处为求F时将球体与质点之间的距离d当做两物体间的距离，直接用公式求解．求解时要注意，挖去球形空穴后的剩余部分已不是一个均匀球体，不能直接运用万有引力定律公式进行计算，只能用割补法．
7．(1)2 m/s2 (2)1∶80
解析 (1)依据竖直上抛运动规律可知，地面上竖直上抛物体落回原地经历的时间为：t＝2v0g
在该星球表面上竖直上抛的物体落回原地所用时间为：5t＝2v0g′
所以g′＝15g＝2 m/s2
(2)星球表面物体所受重力等于其所受星体的万有引力，则有mg＝GMmR2
所以M＝gR2G
可解得：M星∶M地＝1∶80.
8．(1)2ht2 (2)v20＋4h2t2 (3)2hR2Gt2
解析 (1)由平抛运动的知识知，在竖直方向小球做自由落体运动，h＝12gt2
所以g＝2ht2.
(2)水平方向速度不变vx＝v0
竖直方向做匀加速运动vy＝gt＝2ht
所以落地速度v＝v2x＋v2y＝v20＋4h2t2
(3)在星球表面，物体的重力和所受的万有引力相等．故有：
mg＝GMmR2
所以M＝gR2G＝2hR2Gt2
1．假定维持月球绕地球运动的力与使得苹果下落的力真的是同一种力，同样遵从
“____________”的规律，由于月球轨道半径约为地球半径(苹果到地心的距离)的60倍，
所以月球轨道上一个物体受到的引力是地球上的________倍．根据牛顿第二定律，物体
在月球轨道上运动时的加速度(月球______________加速度)是它在地面附近下落时的加
速度(____________加速度)的________．根据牛顿时代测出的月球公转周期和轨道半径，
检验的结果是____________________．
2．自然界中任何两个物体都____________，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与
________________________成正比、与__________________________成反比，用公式表
示即________________．其中G叫____________，数值为________________，它是英国
物理学家______________在实验室利用扭秤实验测得的．
3．万有引力定律适用于________的相互作用．近似地，用于两个物体间的距离远远大于
物体本身的大小时；特殊地，用于两个均匀球体，r是________间的距离．
4．关于万有引力和万有引力定律的理解正确的是( )
A．不能看做质点的两物体间不存在相互作用的引力
B．只有能看做质点的两物体间的引力才能用F＝Gm1m2r2计算
C．由F＝Gm1m2r2知，两物体间距离r减小时，它们之间的引力增大
D．万有引力常量的大小首先是由牛顿测出来的，且等于6.67×10－11 N?m2/kg2
5．对于公式F＝Gm1m2r2理解正确的是( )
A．m1与m2之间的相互作用力，总是大小相等、方向相反，是一对平衡力
B．m1与m2之间的相互作用力，总是大小相等、方向相反，是一对作用力与反作用力
C．当r趋近于零时，F趋向无穷大
D．当r趋近于零时，公式不适用
6．要使两物体间的万有引力减小到原来的14，下列办法不可采用的是( )
A．使物体的质量各减小一半，距离不变
B．使其中一个物体的质量减小到原来的14，距离不变
C．使两物体间的距离增为原来的2倍，质量不变
D．使两物体间的距离和质量都减为原来的14
【概念规律练】
知识点一 万有引力定律的理解
1．关于万有引力定律的适用范围，下列说法中正确的是( )
A．只适用于天体，不适用于地面上的物体
B．只适用于球形物体，不适用于其他形状的物体
C．只适用于质点，不适用于实际物体
D．适用于自然界中任何两个物体之间
2．两个大小相同的实心小铁球紧靠在一起，它们之间的万有引力为F，若两个半径是小
铁球2倍的实心大铁球紧靠在一起，则它们之间的万有引力为( )
A.14F B．4F C.116F D．16F
3．一名宇航员来到一个星球上，如果该星球的质量是地球质量的一半，它的直径也是地
球直径的一半，那么这名宇航员在该星球上所受的万有引力大小是它在地球上所受万有
引力的( )
A．0.25倍 B．0.5倍 C．2.0倍 D．4.0倍
知识点二 用万有引力公式计算重力加速度
4．设地球表面重力加速度为g0，物体在距离地心4R(R是地球的半径)处，由于地球的
作用而产生的加速度为g，则g/g0为( )
A．1 B．1/9 C．1/4 D．1/16
5．假设火星和地球都是球体，火星质量M火和地球质量M地之比为M火M地＝p，火星半径R
火和地球半径R地之比R火R地＝q，那么离火星表面R火高处的重力加速度g火h和离地球表面
R地高处的重力加速度g地h之比g火hg地h＝________.
【方法技巧练】
一、用割补法求解万有引力的技巧
6．有一质量为M、
图1
半径为R的密度均匀球体，在距离球心O为2R的地方有一质量为m的质点，现在从M
中挖去一半径为R2的球体，如图1所示，求剩下部分对m的万有引力F为多大？
二、万有引力定律与抛体运动知识的综合
7．宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球，经过时间t小球落回原处；若他在
某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，需经过时间5t小球落回原处．(取地球
表面重力加速度g＝10 m/s2，空气阻力不计)
(1)求该星球表面附近的重力加速度g′.
(2)已知该星球的半径与地球半径之比为R星∶R地＝1∶4，求该星球的质量与地球质量之
比M星∶M地．
8．宇航员站在某一星球距离表面h高度处，以初速度v0沿水平方向抛出一个小球，经
过时间t后小球落到星球表面，已知该星球的半径为R，引力常量为G，求：
(1)该星球表面重力加速度g的大小；
(2)小球落地时的速度大小；
(3)该星球的质量．
参考答案
课前预习练
1．平方反比 1602 公转的向心 自由落体 1602 遵从相同的规律
2．相互吸引 物体的质量m1和m2的乘积 它们之间距离r的二次方 F＝Gm1m2r2 引力常量 6.67×10－11 N?m2/kg2 卡文迪许
3．质点 球心
4．C [任何物体间都存在相互作用的引力，故称万有引力，A错；两个质量均匀的球体间的万有引力也能用F＝Gm1m2r2来计算，B错；物体间的万有引力与它们距离r的二次方成反比，故r减小，它们间的引力增大，C对；引力常量G是由卡文迪许精确测出的，D错．]
5．BD [两物体间的万有引力是一对相互作用力，而非平衡力，故A错，B对；万有引力公式F＝Gm1m2r2只适用于质点间的万有引力计算，当r→0时，物体便不能再视为质点，公式不适用，故C错，D对．]
6．D
课堂探究练
1．D
2．D [小铁球间的万有引力F＝Gm2(2r)2＝Gm24r2
大铁球半径是小铁球半径的2倍，其质量为
小铁球m＝ρV＝ρ?43πr3
大铁球M＝ρV′＝ρ?43π(2r)3＝8?ρ?43πr3＝8m
所以两个大铁球之间的万有引力
F′＝G8m?8m(4r)2＝16?Gm24r2＝16F.]
点评 运用万有引力定律时，要准确理解万有引力定律公式中各量的意义并能灵活运用．本题通常容易出现的错误是考虑两球球心距离的变化而忽略球体半径变化而引起的质量变化，从而导致错误．
3．C [由万有引力定律公式，在地球上引力F＝GMmR2，在另一星球上引力F′＝GM′mR′2＝GM2m(R2)2＝2GMmR2＝2F，故C正确．]
点拨 利用万有引力定律分别计算宇航员在地球表面和星球表面所受到的万有引力，然后比较即可得到结果．
4．D [地球表面：GMmR2＝mg0.离地心4R处：GMm(4R)2＝mg由以上两式得：gg0＝(R4R)2＝116.]
点评 (1)切记在地球表面的物体与地心的距离为R.
(2)物体在离地面h高度处，所受的万有引力和重力相等，有mg＝GMm(R＋h)2.所以g随高度的增加而减小，不再等于地面附近的重力加速度．
(3)通常情况下，处在地面上的物体，不管这些物体是处于何种状态，都可以认为万有引力和重力相等，但有两种情况必须对两者加以区别：一是从细微之处分析重力与万有引力大小的关系，二是物体离地面高度与地球半径相比不能忽略的情况．
5.pq2
解析 距某一星球表面h高处的物体的重力，可认为等于星球对该物体的万有引力，即mgh＝GM星m(R＋h)2，解得距星球表面h高处的重力加速度为gh＝GM星(R＋h)2.故距火星表面R火高处的重力加速度为g火h＝GM火(2R火)2，距地球表面R地高处的重力加速度为g地h＝GM地(2R地)2，以上两式相除得g火hg地h＝M火M地?R2地R2火＝pq2.
点评 对于星球表面上空某处的重力加速度gh＝GM星(R＋h)2，可理解为gh与星球质量成正比，与该处到星球球心距离的二次方成反比．
6.7GMm36R2
解析 一个质量均匀分布的球体与球外的一个质点间的万有引力可以用公式F＝GmMr2直接进行计算，但当球体被挖去一部分后，由于质量分布不均匀，万有引力定律就不再适用．此时我们可以用“割补法”进行求解．
设想将被挖部分重新补回，则完整球体对质点m的万有引力为F1，可以看做是剩余部分对质点的万有引力F与被挖小球对质点的万有引力F2的合力，即
F1＝F＋F2.
设被挖小球的质量为M′，其球心到质点间的距离为r′.
由题意知M′＝M8，r′＝3R2；
由万有引力定律得
F1＝GMm(2R)2＝GMm4R2
F2＝GM′mr′2＝GM8m(32R)2＝GMm18R2
故F＝F1－F2＝7GMm36R2.
方法 本题易错之处为求F时将球体与质点之间的距离d当做两物体间的距离，直接用公式求解．求解时要注意，挖去球形空穴后的剩余部分已不是一个均匀球体，不能直接运用万有引力定律公式进行计算，只能用割补法．
7．(1)2 m/s2 (2)1∶80
解析 (1)依据竖直上抛运动规律可知，地面上竖直上抛物体落回原地经历的时间为：t＝2v0g
在该星球表面上竖直上抛的物体落回原地所用时间为：5t＝2v0g′
所以g′＝15g＝2 m/s2
(2)星球表面物体所受重力等于其所受星体的万有引力，则有mg＝GMmR2
所以M＝gR2G
可解得：M星∶M地＝1∶80.
8．(1)2ht2 (2)v20＋4h2t2 (3)2hR2Gt2
解析 (1)由平抛运动的知识知，在竖直方向小球做自由落体运动，h＝12gt2
所以g＝2ht2.
(2)水平方向速度不变vx＝v0
竖直方向做匀加速运动vy＝gt＝2ht
所以落地速度v＝v2x＋v2y＝v20＋4h2t2
(3)在星球表面，物体的重力和所受的万有引力相等．故有：
mg＝GMmR2
所以M＝gR2G＝2hR2Gt2
