3.4 力的合成与分解 学案2（粤教版必修1）
一、应用图解法分析动态问题
所谓图解法就是通过平行四边形的邻边和对角线长短的关系或变化情况，作一些较为复杂的定性分析，从图形上就可以看出结果，得出结论．
图1
例1 用细绳AO、BO悬挂一重物，BO水平，O为半圆形支架的圆心，悬点A和B在支架上．悬点A固定不动，将悬点B从图1所示位置逐渐移到C点的过程中，试分析OA绳和OB绳中的拉力变化情况．
[方法归纳]
解决动态问题的一般步骤：
(1)进行受力分析
对物体进行受力分析，一般情况下物体只受三个力：一个是恒力，大小方向均不变；另外两个是变力，一个是方向不变的力，另一个是方向改变的力．在这一步骤中要明确这些力．
(2)画三力平衡图
由三力平衡知识可知，其中两个变力的合力必与恒力等大反向，因此先画出与恒力等大反向的力，再以此力为对角线，以两变力为邻边作出平行四边形．若采用力的分解法，则是将恒力按其作用效果分解，作出平行四边形．
(3)分析变化情况
分析方向变化的力在哪个空间内变化，借助平行四边形定则，判断各力变化情况．
图2
变式训练1 如图2所示，一定质量的物块用两根轻绳悬在空中，其中绳OA固定不动，绳OB在竖直平面内由水平方向向上转动，则在绳OB由水平转至竖直的过程中，绳OB的张力的大小将( )
A．一直变大
B．一直变小
C．先变大后变小
D．先变小后变大
二、力的正交分解法
1．概念：将物体受到的所有力沿已选定的两个相互垂直的方向分解的方法，是处理相对复杂的多力的合成与分解的常用方法．
2．目的：将力的合成化简为同向、反向或垂直方向的分力，便于运用普通代数运算公式解决矢量的运算，“分解”的目的是为了更好地“合成”．
3．适用情况：适用于计算三个或三个以上力的合成．
图3
4．步骤
(1)建立坐标系：以共点力的作用点为坐标原点，直角坐标系x轴和y轴的选择应使尽量多的力在坐标轴上．
(2)正交分解各力：将每一个不在坐标轴上的力分解到x轴和y轴上，并求出各分力的大小，如图3所示．
(3)分别求出x轴、y轴上各分力的矢量和，即：
Fx＝F1x＋F2x＋…
Fy＝F1y＋F2y＋…
(4)求共点力的合力：合力大小F＝F2x＋F2y，合力的方向与x轴的夹角为α，则tan α＝FyFx，即α＝arctan FyFx.
图4
例2 如图4所示，在同一平面内有三个共点力，它们之间的夹角都是120°，大小分别为F1＝20 N，F2＝30 N，F3＝40 N，求这三个力的合力F.
图5
变式训练2 如图5所示，质量为m的木块在推力F的作用下，在水平地面上做匀速运动．已知木块与地面间的动摩擦因数为μ，那么木块受到的滑动摩擦力为( )
A．μmg
B．μ(mg＋Fsin θ)
C．μ(mg－Fsin θ)
D．Fcos θ
三、力的分解的实际应用
图6
例3 压榨机结构如图6所示，B为固定铰链，A为活动铰链，若在A处施另一水平力F，轻质活塞C就以比F大得多的力压D，若BC间距为2L，AC水平距离为h，C与左壁接触处光滑，则D所受的压力为多大？
图7
例4 如图7所示，是木工用凿子工作时的截面示意图，三角形ABC为直角三角形，∠C＝30°.用大小为F＝100 N的力垂直作用于MN，MN与AB平行．忽略凿子的重力，求这时凿子推开木料AC面和BC面的力分别为多大？
图8
变式训练3 光滑小球放在两板间，如图8所示，当OA板绕O点转动使 θ角变小时，两板对球的压力FA和FB的变化为( )
A．FA变大，FB不变
B．FA和FB都变大
C．FA变大，FB变小
D．FA变小，FB变大
例5 如图9所示，在C点系住一重物P，细绳两端A、B分别固定在墙上，使AC保持水平，BC与水平方向成30°角．已知细绳最大只能承受200 N的拉力，那么C点悬挂物体的重量最
多为多少，这时细绳的哪一段即将被拉断？
图9
参考答案
解题方法探究
例1 见解析
解析 在支架上选取三个点B1、B2、B3，当悬点B分别移动到B1、B2、B3各点时，AO、BO中的拉力分别为FTA1、FTA2、FTA3、和FTB1、FTB2、FTB3，从图中可以直观地看出，FTA逐渐变小，且方向不变；而FTB先变小，后变大，且方向不断改变；当FTB与FTA垂直时，FTB最小．
变式训练1 D
例2 F＝103 N，方向与x轴负向的夹角为30°
解析 以O点为坐标原点，建立直角坐标系xOy，使Ox方向沿力F1的方向，则F2与y轴正向间夹角α＝30°，F3与y轴负向夹角β＝30°，如图甲所示．
先把这三个力分解到x轴和y轴上，再求它们在x轴、y轴上的分力之和．
Fx＝F1x＋F2x＋F3x
＝F1－F2sin α－F3sin β
＝20 N－30sin 30° N－40sin 30° N＝－15 N
Fy＝F1y＋F2y＋F3y
＝0＋F2cos α－F3cos β
＝30cos 30° N－40cos 30° N＝－53 N
这样，原来的三个力就变成互相垂直的两个力，如图乙所示，最终的合力为：
F＝F2x＋F2y＝?－15?2＋?－53?2 N＝103 N
设合力F与x轴负向的夹角为θ，则tan θ＝FyFx＝－53 N－15 N＝33，所以θ＝30°.
变式训练2 BD
例3 L2hF
解析 水平力F有沿AB和AC两个效果，作出力F的分解图如图甲所示，F′＝h2＋L22h?F，由于夹角θ很大，力F产生的沿AB、AC方向的效果力比力F大；而F′又产生两个作用效果，沿水平方向和竖直方向，如图乙所示．
甲 乙
Fy＝Lh2＋L2?F′＝L2hF.
例4 1003 N 200 N
解析 弹力垂直于接触面，将力F按作用效果进行分解如图所示，由几何关系易得，推开AC面的力为F1＝F/tan 30°＝1003 N.
推开BC面的力为F2＝F/sin 30°＝200 N.
变式训练3 B [利用三力平衡判断如下图所示．
当θ角变小时，FA、FB分别变为FA′、FB′，都变大．]
例5 100 N BC段先断
解析 方法一 力的合成法
根据一个物体受三个力作用处于平衡状态，则三个力的任意两个力的合力大小等于第三个力大小，方向与第三个力方向相反，在图甲中可得出F1和F2的合力F合竖直向上，大小等于F，由三角函数关系可得出F合＝F1sin 30°，F2＝F1cos 30°，且F合＝F＝G.
甲
设F1达到最大值200 N，可得G＝100 N，F2＝173 N.
由此可看出BC绳的张力达到最大时，AC绳的张力还没有达到最大值，在该条件下，BC段绳子即将断裂．
设F2达到最大值200 N，可得G＝115.5 N，F1＝231 N>200 N.
由此可看出AC绳的张力达到最大时，BC绳的张力已经超过其最大能承受的力．在该条件下，BC段绳子早已断裂．
从以上分析可知，C点悬挂物体的重量最多为100 N，这时细绳的BC段即将被拉断．
乙
方法二 正交分解法
如图乙所示，将拉力F1按水平方向(x轴)和竖直方向(y轴)两个方向进行正交分解．由力的平衡条件可得F1sin 30°＝F＝G，F1cos 30°＝F2.
F1>F2；绳BC先断， F1＝200 N.
一、应用图解法分析动态问题
所谓图解法就是通过平行四边形的邻边和对角线长短的关系或变化情况，作一些较为复杂的定性分析，从图形上就可以看出结果，得出结论．
图1
例1 用细绳AO、BO悬挂一重物，BO水平，O为半圆形支架的圆心，悬点A和B在支架上．悬点A固定不动，将悬点B从图1所示位置逐渐移到C点的过程中，试分析OA绳和OB绳中的拉力变化情况．
[方法归纳]
解决动态问题的一般步骤：
(1)进行受力分析
对物体进行受力分析，一般情况下物体只受三个力：一个是恒力，大小方向均不变；另外两个是变力，一个是方向不变的力，另一个是方向改变的力．在这一步骤中要明确这些力．
(2)画三力平衡图
由三力平衡知识可知，其中两个变力的合力必与恒力等大反向，因此先画出与恒力等大反向的力，再以此力为对角线，以两变力为邻边作出平行四边形．若采用力的分解法，则是将恒力按其作用效果分解，作出平行四边形．
(3)分析变化情况
分析方向变化的力在哪个空间内变化，借助平行四边形定则，判断各力变化情况．
图2
变式训练1 如图2所示，一定质量的物块用两根轻绳悬在空中，其中绳OA固定不动，绳OB在竖直平面内由水平方向向上转动，则在绳OB由水平转至竖直的过程中，绳OB的张力的大小将( )
A．一直变大
B．一直变小
C．先变大后变小
D．先变小后变大
二、力的正交分解法
1．概念：将物体受到的所有力沿已选定的两个相互垂直的方向分解的方法，是处理相对复杂的多力的合成与分解的常用方法．
2．目的：将力的合成化简为同向、反向或垂直方向的分力，便于运用普通代数运算公式解决矢量的运算，“分解”的目的是为了更好地“合成”．
3．适用情况：适用于计算三个或三个以上力的合成．
图3
4．步骤
(1)建立坐标系：以共点力的作用点为坐标原点，直角坐标系x轴和y轴的选择应使尽量多的力在坐标轴上．
(2)正交分解各力：将每一个不在坐标轴上的力分解到x轴和y轴上，并求出各分力的大小，如图3所示．
(3)分别求出x轴、y轴上各分力的矢量和，即：
Fx＝F1x＋F2x＋…
Fy＝F1y＋F2y＋…
(4)求共点力的合力：合力大小F＝F2x＋F2y，合力的方向与x轴的夹角为α，则tan α＝FyFx，即α＝arctan FyFx.
图4
例2 如图4所示，在同一平面内有三个共点力，它们之间的夹角都是120°，大小分别为F1＝20 N，F2＝30 N，F3＝40 N，求这三个力的合力F.
图5
变式训练2 如图5所示，质量为m的木块在推力F的作用下，在水平地面上做匀速运动．已知木块与地面间的动摩擦因数为μ，那么木块受到的滑动摩擦力为( )
A．μmg
B．μ(mg＋Fsin θ)
C．μ(mg－Fsin θ)
D．Fcos θ
三、力的分解的实际应用
图6
例3 压榨机结构如图6所示，B为固定铰链，A为活动铰链，若在A处施另一水平力F，轻质活塞C就以比F大得多的力压D，若BC间距为2L，AC水平距离为h，C与左壁接触处光滑，则D所受的压力为多大？
图7
例4 如图7所示，是木工用凿子工作时的截面示意图，三角形ABC为直角三角形，∠C＝30°.用大小为F＝100 N的力垂直作用于MN，MN与AB平行．忽略凿子的重力，求这时凿子推开木料AC面和BC面的力分别为多大？
图8
变式训练3 光滑小球放在两板间，如图8所示，当OA板绕O点转动使 θ角变小时，两板对球的压力FA和FB的变化为( )
A．FA变大，FB不变
B．FA和FB都变大
C．FA变大，FB变小
D．FA变小，FB变大
例5 如图9所示，在C点系住一重物P，细绳两端A、B分别固定在墙上，使AC保持水平，BC与水平方向成30°角．已知细绳最大只能承受200 N的拉力，那么C点悬挂物体的重量最
多为多少，这时细绳的哪一段即将被拉断？
图9
参考答案
解题方法探究
例1 见解析
解析 在支架上选取三个点B1、B2、B3，当悬点B分别移动到B1、B2、B3各点时，AO、BO中的拉力分别为FTA1、FTA2、FTA3、和FTB1、FTB2、FTB3，从图中可以直观地看出，FTA逐渐变小，且方向不变；而FTB先变小，后变大，且方向不断改变；当FTB与FTA垂直时，FTB最小．
变式训练1 D
例2 F＝103 N，方向与x轴负向的夹角为30°
解析 以O点为坐标原点，建立直角坐标系xOy，使Ox方向沿力F1的方向，则F2与y轴正向间夹角α＝30°，F3与y轴负向夹角β＝30°，如图甲所示．
先把这三个力分解到x轴和y轴上，再求它们在x轴、y轴上的分力之和．
Fx＝F1x＋F2x＋F3x
＝F1－F2sin α－F3sin β
＝20 N－30sin 30° N－40sin 30° N＝－15 N
Fy＝F1y＋F2y＋F3y
＝0＋F2cos α－F3cos β
＝30cos 30° N－40cos 30° N＝－53 N
这样，原来的三个力就变成互相垂直的两个力，如图乙所示，最终的合力为：
F＝F2x＋F2y＝?－15?2＋?－53?2 N＝103 N
设合力F与x轴负向的夹角为θ，则tan θ＝FyFx＝－53 N－15 N＝33，所以θ＝30°.
变式训练2 BD
例3 L2hF
解析 水平力F有沿AB和AC两个效果，作出力F的分解图如图甲所示，F′＝h2＋L22h?F，由于夹角θ很大，力F产生的沿AB、AC方向的效果力比力F大；而F′又产生两个作用效果，沿水平方向和竖直方向，如图乙所示．
甲 乙
Fy＝Lh2＋L2?F′＝L2hF.
例4 1003 N 200 N
解析 弹力垂直于接触面，将力F按作用效果进行分解如图所示，由几何关系易得，推开AC面的力为F1＝F/tan 30°＝1003 N.
推开BC面的力为F2＝F/sin 30°＝200 N.
变式训练3 B [利用三力平衡判断如下图所示．
当θ角变小时，FA、FB分别变为FA′、FB′，都变大．]
例5 100 N BC段先断
解析 方法一 力的合成法
根据一个物体受三个力作用处于平衡状态，则三个力的任意两个力的合力大小等于第三个力大小，方向与第三个力方向相反，在图甲中可得出F1和F2的合力F合竖直向上，大小等于F，由三角函数关系可得出F合＝F1sin 30°，F2＝F1cos 30°，且F合＝F＝G.
甲
设F1达到最大值200 N，可得G＝100 N，F2＝173 N.
由此可看出BC绳的张力达到最大时，AC绳的张力还没有达到最大值，在该条件下，BC段绳子即将断裂．
设F2达到最大值200 N，可得G＝115.5 N，F1＝231 N>200 N.
由此可看出AC绳的张力达到最大时，BC绳的张力已经超过其最大能承受的力．在该条件下，BC段绳子早已断裂．
从以上分析可知，C点悬挂物体的重量最多为100 N，这时细绳的BC段即将被拉断．
乙
方法二 正交分解法
如图乙所示，将拉力F1按水平方向(x轴)和竖直方向(y轴)两个方向进行正交分解．由力的平衡条件可得F1sin 30°＝F＝G，F1cos 30°＝F2.
F1>F2；绳BC先断， F1＝200 N.
