第一章 集合与常用逻辑用语
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考试要求重难点击命题展望
1.集合的含义与表示
(1)了解集合的含义、元素与集合的属于关系；
(2)能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.
2.集合间的基本关系
(1)理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；
(2)在具体情境中，了解全集与空集的含义.
3.集合的基本运算
(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；
(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；
(3)能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算.
4.命题及其关系
(1)理解命题的概念；
(2)了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题，否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系；
(3)理解必要条件，充分条件与充要条件的意义.
5.简单的逻辑联结词
了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义.
6.全称量词与存在量词
(1)理解全称量词与存在量词的意义；
(2)能正确地对含有一个量词的命题进行否定.本章重点：
1.集合的含义与表示、集合间的基本关系与基本运算；
2.命题的必要条件、充分条件与充要条件，对所给命题进行等价转化.
本章难点：
1.自然语言、图形语言、集合语言之间相互转换；
2.充分条件、必要条件的判断；
3.对含有一个量词的命题进行否定的理解.1.考查集合本身的基础知识，如集合的概念，集合间的关系判断和运算等；
2.将集合知识与其他知识点综合，考查集合语言与集合思想的运用；
3.考查命题的必要条件、充分条件与充要条件，要求考生会对所给命题进行等价转化；
4.要求考生理解全称量词与存在量词的意义，能正确地对含有一个量词的命题进行否定.
知识网络
1.1 集合及其运算
典例精析
题型一 集合中元素的性质
【例1】设集合A＝{a＋1，a－3，2a－1，a2＋1}，若－3∈A，求实数a的值.
【解析】令a＋1＝－3?a＝－4，检验合格；
令a－3＝－3?a＝0，此时a＋1＝a2＋1，舍去；
令2a－1＝－3?a＝－1，检验合格；
而a2＋1≠－3；故所求a的值为－1或－4.
【点拨】此题重在考查元素的确定性和互异性.首先确定－3是集合A的元素，但A中四个元素全是未知的，所以需要讨论；而当每一种情况求出a的值以后，又需要由元素的互异性检验a是否符合要求.
【变式训练1】若a、b∈R，集合{1，a＋b，a}＝{0，ba，b}，求a和b的值.
【解析】由{1，a＋b，a}＝{0，ba，b}，
得① 或② 显然①无解；由②得a＝－1，b＝1.
题型二 集合的基本运算
【例2】已知A＝{xx2－8x＋15＝0}，B＝{xax－1＝0}，若B?A，求实数a.
【解析】由已知得A＝{3，5}.当a＝0时，B＝??A；当a≠0时，B＝{1a}.
要使B?A，则1a＝3或1a＝5，即a＝13或15.
综上，a＝0或13或15.
【点拨】对方程ax＝1，两边除以x的系数a，能不能除，导致B是否为空集，是本题分类讨论的根源.
【变式训练2】(2010江西)若集合A＝{xx≤1，x∈R}，B＝{yy＝x2，x∈R}，则A∩B等于( )
A.{x－1≤x≤1} B.{xx≥0}
C.{x0≤x≤1} D.
【解析】选C.A＝[－1,1]，B＝[0,＋∞)，所以A∩B＝[0,1].
题型三 集合语言的运用
【例3】已知集合A＝[2，log2t]，集合B＝{xx2－14x＋24≤0}，x，t∈R，且A?B.
(1) 对于区间[a，b]，定义此区间的“长度”为b－a，若A的区间“长度”为3，试求t的值；
(2)某个函数f(x)的值域是B，且f(x)∈A的概率不小于0.6，试确定t的取值范围.
【解析】(1)因为A的区间“长度”为3，所以log2t－2＝3，即log2t＝5，所以t＝32.
(2)由x2－14x＋24≤0，得2≤x≤12，所以B＝[2,12]，所以B的区间“长度”为10.
设A的区间“长度”为y，因为f(x)∈A的概率不小于0.6，
所以y10≥0.6，所以y≥6，即log2t－2 ≥6，解得t≥28＝256.
又A?B，所以log2t≤12，即t≤212＝4 096，所以t的取值范围为[256,4 096](或[28, 212]).
【变式训练3】设全集U是实数集R，M＝{xx2＞4}，N＝{x2x－1≥1}，则图中阴影部分所表示的集合是( )
A.{x－2≤x＜1}
B.{x－2≤x≤2}
C.{x1＜x≤2}
D.{xx＜2}
【解析】选C.
化简得M＝{x＜－2或x＞2}，N＝{x1＜x≤3}，故图中阴影部分为?RM∩N＝{x1＜x≤2}.
总结提高
1.元素与集合及集合与集合之间的关系
对于符号∈，?和?，?的使用 ，实质上就是准确把握两者之间是元素与集合，还是集合与集合的关系.
2.“数形结合”思想在集合运算中的运用
认清集合的本质特征，准确地转化为图形关系，是解决集合运算中的重要数学思想.
(1)要牢固掌握两个重要工具：韦恩图和数轴，连续取值的数集运算，一般借助数轴处理，而列举法表示的有限集合则侧重于用韦恩图处理.
(2)学会将集合语言转化为代数、几何语言，借助函数图象及方程的曲线将问题形象化、直观化，以便于问题的解决.
3.处理集合之间的关系时， 是一个不可忽视、但又容易遗漏的内容，如 A?B，A∩B＝A，A∪B＝B等条件中，集合A可以是空集，也可以是非空集合，通常必须分类讨论.
命题及其关系、充分条件与必要条件
典例精析
题型一 四种命题的写法及真假判断
【例1】写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断其真假.
(1)若m，n都是奇数，则m＋n是奇数；
(2)若x＋y＝5，则x＝3且y＝2.
【解析】(1)逆命题： 若m＋n是奇数，则m，n都是 奇数，假命题；
否命题：若m，n不都是奇数，则m＋n不是奇数，假命题；
逆否命题：若m＋n不是奇数， 则m，n不都是奇数，假命题.
(2)逆命题：若x＝3且y＝2，则x＋y＝5，真命题；
否命题：若x＋y≠5，则x≠3或y≠2，真命题；
逆否命题：若x≠3或y≠2，则x＋y≠5，假命题.
【点拨】写命题的四种形式，关键是找出命题的条件与结论，根据四种命题结构写出所求命题.判断 四种命题真假，要熟悉四种命题的相互关系，注意它们之间的相互性.
【变式训练1】已知命题“若p，则q”为真，则下列命题中一定为真的是( )
A.若 p，则 q B.若 q，则 p
C.若q，则p D.若 q，则p
【解析】选 B.
题型二 充分必要条件探究
【例2】设m＞0，且为常数，已知条件p：x－2＜m，条件q：x2－4＜1，若 p是 q的必要非充分条件，求实数m的取值范围.
【解析】 设集合A＝{x x－2＜m}＝{x2－m＜x＜2＋m}，B＝{xx2－4＜1}＝{x3＜x＜5或－5＜x＜－3}.
由题设有： q? p且 p不能推出 q，所以p?q且q不能推出p，所以A?B.
因为m＞0，所以(2－m，2＋m)?(3，5)，
故由2＋m≤5且2－m≥3?0＜m≤5－2，故实数m的取值范围为(0，5－2].
【点拨】正确化简条件p和q，然后将充分条件、必要条件问题等价转化为集合与集合之间的包含问题，借助数轴这个处理集合问题的有力工具使问题得以解决.
【变式训练2】已知集合A＝{xa－2＜x＜a＋2}，B＝{xx≤－2或x≥4}，则A∩B＝?的充要条件是( )
A.0≤a≤2 B.－2＜a＜2
C.0＜a≤2D.0＜a＜2
【解析】选A.因为A＝{xa－2＜x＜a＋2}，B＝{xx≤－2或x≥4}，且A∩B＝?，所以如图 ，由画出的数轴可知，
即0≤a≤2.
题型三 充分必要条件的证明
【例3】设数列{an}的各项都不为零，求证：对任意n∈N*且n≥2，都有1a1a2＋1a2a3＋…＋1an－1an＝n－1a1an成立的充要条件是{an}为等差数列.
【证明】(1)(充分性)若{an}为等差数列，设其公差为d，则
1a1a2＋1a2a3＋…＋1an－1an＝1d[(1a1－1a2)＋(1a2－1a3)＋…＋(1an－1－1an)]
＝1d(1a1－1an)＝an－a1da1an＝n－1a1an.
(2)(必要性)若1a1a2＋1a2a3＋…＋1an－1an＝n－1a1an，
则1a1a2＋1a2a3＋…＋1an－1an＋1anan＋1＝na1an＋1，
两式相减得1anan＋1＝na1an＋1－n－1a1an ?a1＝nan－(n－1)an＋1.①
于是有a1＝(n＋1)an＋1－nan＋2，②
由①②得nan－2nan＋1＋nan＋2＝0，所以an＋1－an＝an＋2－an＋1(n≥2).
又由1a1a2＋1a2a3＝2a1a3?a3－a2＝a2－a1，
所以n∈N*,2an＋1＝an＋2＋an，故{an}为等差数列.
【点拨】按照充分必要条件的概念，分别从充分性和必要性两方面进行探求.
【变式训练3】设0＜x＜π2，则“xsin2x＜1”是“xsin x＜1”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
【解析】选B.若xsin x＜1，因为x∈(0，π2)，所以xsin x＞xsin2x，由此可得xsin2x＜1，即必要性成立.若xsin2x＜1，由于函数f(x)＝xsin2x在(0，π2)上单调递增，且π2sin2π2＝π2＞1，所以存在x0∈(0，π2) 使得x0sin2x0＝1.又x0sin x0＞x0sin2x0＝1，即x0sin x0＞1，所以存在x0′∈(0，x0)使得x0′sin2x0′＜1，且x0′sin x0′≥1，故充分性不成立.
总结提高
1.四种命题的定义和区别，主要在于命题的结论和条件的变化上.
2.由于互 为逆否命题的两个命题是等价的，所以我们在证明一个命题的真假时，可以通过其逆否命题的证明来达到目的.适合这种处理方法的题型有：
①原命题含有否定词“不”、“不能”、“不是”等；②原命题含有“所有的”、“任意的”、“至少 ”、“至多”等；③原命题分类复杂，而逆否命题分类简单；④原命题化简复杂，而逆否命题化简简单.
3.p是q的充分条件，即p?q，相当于分别满足条件p和q的两个集合P与Q之间有包含关系：P?Q，即P Q或P＝Q，必要条件正好相反.而充要条件p?q就相当于P＝Q.
4.以下四种说法表达的意义是相同的：①命题“若p，则q”为真；②p?q；③p是q的充分条件；④q是p的必要条件.
1.3 简易逻辑联结词、全称量词与存在量词
典例精析
题型一 全称命题和特称命题的真假判断
【例1】判断下列命题的真假.
(1)?x∈R，都有x2－x＋1＞12；
(2)?α，β使cos(α－β)＝cos α－cos β；
(3)?x，y∈N，都有x－y∈N；
(4)?x0，y0∈Z，使得2x0＋y0＝3.
【解析】(1)真命题，因为x2－x＋1＝(x－12)2＋34≥34＞12.
(2)真命题，例如α＝π4，β＝π2，符合题意.
(3)假命题，例如x＝1，y＝5，但x－y＝－4?N.
(4)真命题，例如x0＝0，y0＝3，符合题意.
【点拨】全称命题是真命题，必须确定对集合中的每一个元素都成立，若是假命题，举反例即可；特称命题是真命题，只要在限定集合中，至少找到一个元素使得命题成立.
【变式训练1】已知命题p：?x∈R，使tan x＝1，命题q：?x∈R，x2＞0.则下面结论正确的是( )
A.命题“p∧q”是真命题B.命题“p∧ q”是假命题
C. 命题“ p∨q”是真命题D.命题“ p∧ q”是假命题
【解析】选D.先判断命题p和q的真假，再逐个判断.容易知命题p是真命题，如x＝π4， p是假命题；因为当x＝0时，x2＝0，所以命题q是假命题， q是真命题.所以“p∧q”是假命题，A错误；“p∧ q”是真命题，B错误；“ p∨q”是假命题，C错误；“ p∧ q”是假命题，D正确.
题型二 含有一个量词的命题的否定
【例2】写出下列命题的否定，并判断其真假.
(1)p：?x∈R，x2－x＋14≥0；
(2)q：所有的正方形都是矩形；
(3)r：?x∈R，x2＋2x＋2≤0；
(4)s：至少有一个实数x，使x3＋1＝0.
【解析】(1) p：?x∈R，x2－x＋14＜0，是假命题.
(2) q：至少存在一个正方形不是矩形，是假命题.
(3) r：?x∈R，x2＋2x＋2＞0，是真命题.
(4) s：?x∈R，x3＋1≠0，是假命题.
【点拨】含有一个量词的命题否定中，全称命题的否定是特称命题，而特称命题的否定是全称命题，一般命题的否定则是直接否定结论即可.
【变式训练2】已知命题p：?x∈(1，＋∞)，log3x＞0，则 p为 .
【解析】?x0∈(1，＋∞)，log3x0≤0.
题型三 命题的真假运用
【例3】若r(x)：sin x＋cos x＞m，s(x)：x2＋mx＋1＞0，如果“对任意的x∈R，r(x)为假命题”且“对任意的x∈R，s(x)为真命题”，求实数m的取值范围.
【解析】因为由m＜sin x＋cos x＝2sin(x＋π4)恒成立，得m＜－2；
而由x2＋mx＋1＞0恒成立，得m2－4＜0，即－2＜m＜2.
依题意，r(x)为假命题且s(x)为真命题，所以有m≥－2且－2＜m＜2，
故所求m的取值范围为－2≤m＜2.
【点拨】先将满足命题p、q的m的取值集合A、B分别求出，然后由r(x)为假命题(取A的补集)，s(x)为真命题同时成立(取交集)即得.
【变式训练3】设M是由满足下列性质的函数f(x)构成的集合：在定义域内存在x0，使得f(x0＋1)＝f(x0)＋f(1)成立.已知下列函数：①f(x)＝1x；②f(x)＝2x；③f(x)＝lg(x2＋2)；④f(x)＝cos πx，其中属于集合M的函数是 (写出所有满足要求的函数的序号).
【解析】②④.对于①，方程1x＋1＝1x＋1，显然无实数解；
对于②，由方程2x＋1＝2x＋2，解得x＝1；
对于③，方程lg[(x＋1)2＋2]＝lg(x2＋2)＋lg 3，显然也无实数解；
对于④，方程cos[π(x＋1)]＝cos πx＋cos π，
即cos πx＝12，显然存在x使等式成立.故填②④.
总结提高
1.同一个全称命题，特称命题，由于自然语言的不同，可能有不同的表述方法，在实际应用中可以灵活选择.
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考试要求重难点击命题展望
1.集合的含义与表示
(1)了解集合的含义、元素与集合的属于关系；
(2)能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.
2.集合间的基本关系
(1)理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；
(2)在具体情境中，了解全集与空集的含义.
3.集合的基本运算
(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；
(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；
(3)能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算.
4.命题及其关系
(1)理解命题的概念；
(2)了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题，否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系；
(3)理解必要条件，充分条件与充要条件的意义.
5.简单的逻辑联结词
了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义.
6.全称量词与存在量词
(1)理解全称量词与存在量词的意义；
(2)能正确地对含有一个量词的命题进行否定.本章重点：
1.集合的含义与表示、集合间的基本关系与基本运算；
2.命题的必要条件、充分条件与充要条件，对所给命题进行等价转化.
本章难点：
1.自然语言、图形语言、集合语言之间相互转换；
2.充分条件、必要条件的判断；
3.对含有一个量词的命题进行否定的理解.1.考查集合本身的基础知识，如集合的概念，集合间的关系判断和运算等；
2.将集合知识与其他知识点综合，考查集合语言与集合思想的运用；
3.考查命题的必要条件、充分条件与充要条件，要求考生会对所给命题进行等价转化；
4.要求考生理解全称量词与存在量词的意义，能正确地对含有一个量词的命题进行否定.
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1.1 集合及其运算
典例精析
题型一 集合中元素的性质
【例1】设集合A＝{a＋1，a－3，2a－1，a2＋1}，若－3∈A，求实数a的值.
【解析】令a＋1＝－3?a＝－4，检验合格；
令a－3＝－3?a＝0，此时a＋1＝a2＋1，舍去；
令2a－1＝－3?a＝－1，检验合格；
而a2＋1≠－3；故所求a的值为－1或－4.
【点拨】此题重在考查元素的确定性和互异性.首先确定－3是集合A的元素，但A中四个元素全是未知的，所以需要讨论；而当每一种情况求出a的值以后，又需要由元素的互异性检验a是否符合要求.
【变式训练1】若a、b∈R，集合{1，a＋b，a}＝{0，ba，b}，求a和b的值.
【解析】由{1，a＋b，a}＝{0，ba，b}，
得① 或② 显然①无解；由②得a＝－1，b＝1.
题型二 集合的基本运算
【例2】已知A＝{xx2－8x＋15＝0}，B＝{xax－1＝0}，若B?A，求实数a.
【解析】由已知得A＝{3，5}.当a＝0时，B＝??A；当a≠0时，B＝{1a}.
要使B?A，则1a＝3或1a＝5，即a＝13或15.
综上，a＝0或13或15.
【点拨】对方程ax＝1，两边除以x的系数a，能不能除，导致B是否为空集，是本题分类讨论的根源.
【变式训练2】(2010江西)若集合A＝{xx≤1，x∈R}，B＝{yy＝x2，x∈R}，则A∩B等于( )
A.{x－1≤x≤1} B.{xx≥0}
C.{x0≤x≤1} D.
【解析】选C.A＝[－1,1]，B＝[0,＋∞)，所以A∩B＝[0,1].
题型三 集合语言的运用
【例3】已知集合A＝[2，log2t]，集合B＝{xx2－14x＋24≤0}，x，t∈R，且A?B.
(1) 对于区间[a，b]，定义此区间的“长度”为b－a，若A的区间“长度”为3，试求t的值；
(2)某个函数f(x)的值域是B，且f(x)∈A的概率不小于0.6，试确定t的取值范围.
【解析】(1)因为A的区间“长度”为3，所以log2t－2＝3，即log2t＝5，所以t＝32.
(2)由x2－14x＋24≤0，得2≤x≤12，所以B＝[2,12]，所以B的区间“长度”为10.
设A的区间“长度”为y，因为f(x)∈A的概率不小于0.6，
所以y10≥0.6，所以y≥6，即log2t－2 ≥6，解得t≥28＝256.
又A?B，所以log2t≤12，即t≤212＝4 096，所以t的取值范围为[256,4 096](或[28, 212]).
【变式训练3】设全集U是实数集R，M＝{xx2＞4}，N＝{x2x－1≥1}，则图中阴影部分所表示的集合是( )
A.{x－2≤x＜1}
B.{x－2≤x≤2}
C.{x1＜x≤2}
D.{xx＜2}
【解析】选C.
化简得M＝{x＜－2或x＞2}，N＝{x1＜x≤3}，故图中阴影部分为?RM∩N＝{x1＜x≤2}.
总结提高
1.元素与集合及集合与集合之间的关系
对于符号∈，?和?，?的使用 ，实质上就是准确把握两者之间是元素与集合，还是集合与集合的关系.
2.“数形结合”思想在集合运算中的运用
认清集合的本质特征，准确地转化为图形关系，是解决集合运算中的重要数学思想.
(1)要牢固掌握两个重要工具：韦恩图和数轴，连续取值的数集运算，一般借助数轴处理，而列举法表示的有限集合则侧重于用韦恩图处理.
(2)学会将集合语言转化为代数、几何语言，借助函数图象及方程的曲线将问题形象化、直观化，以便于问题的解决.
3.处理集合之间的关系时， 是一个不可忽视、但又容易遗漏的内容，如 A?B，A∩B＝A，A∪B＝B等条件中，集合A可以是空集，也可以是非空集合，通常必须分类讨论.
命题及其关系、充分条件与必要条件
典例精析
题型一 四种命题的写法及真假判断
【例1】写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断其真假.
(1)若m，n都是奇数，则m＋n是奇数；
(2)若x＋y＝5，则x＝3且y＝2.
【解析】(1)逆命题： 若m＋n是奇数，则m，n都是 奇数，假命题；
否命题：若m，n不都是奇数，则m＋n不是奇数，假命题；
逆否命题：若m＋n不是奇数， 则m，n不都是奇数，假命题.
(2)逆命题：若x＝3且y＝2，则x＋y＝5，真命题；
否命题：若x＋y≠5，则x≠3或y≠2，真命题；
逆否命题：若x≠3或y≠2，则x＋y≠5，假命题.
【点拨】写命题的四种形式，关键是找出命题的条件与结论，根据四种命题结构写出所求命题.判断 四种命题真假，要熟悉四种命题的相互关系，注意它们之间的相互性.
【变式训练1】已知命题“若p，则q”为真，则下列命题中一定为真的是( )
A.若 p，则 q B.若 q，则 p
C.若q，则p D.若 q，则p
【解析】选 B.
题型二 充分必要条件探究
【例2】设m＞0，且为常数，已知条件p：x－2＜m，条件q：x2－4＜1，若 p是 q的必要非充分条件，求实数m的取值范围.
【解析】 设集合A＝{x x－2＜m}＝{x2－m＜x＜2＋m}，B＝{xx2－4＜1}＝{x3＜x＜5或－5＜x＜－3}.
由题设有： q? p且 p不能推出 q，所以p?q且q不能推出p，所以A?B.
因为m＞0，所以(2－m，2＋m)?(3，5)，
故由2＋m≤5且2－m≥3?0＜m≤5－2，故实数m的取值范围为(0，5－2].
【点拨】正确化简条件p和q，然后将充分条件、必要条件问题等价转化为集合与集合之间的包含问题，借助数轴这个处理集合问题的有力工具使问题得以解决.
【变式训练2】已知集合A＝{xa－2＜x＜a＋2}，B＝{xx≤－2或x≥4}，则A∩B＝?的充要条件是( )
A.0≤a≤2 B.－2＜a＜2
C.0＜a≤2D.0＜a＜2
【解析】选A.因为A＝{xa－2＜x＜a＋2}，B＝{xx≤－2或x≥4}，且A∩B＝?，所以如图 ，由画出的数轴可知，
即0≤a≤2.
题型三 充分必要条件的证明
【例3】设数列{an}的各项都不为零，求证：对任意n∈N*且n≥2，都有1a1a2＋1a2a3＋…＋1an－1an＝n－1a1an成立的充要条件是{an}为等差数列.
【证明】(1)(充分性)若{an}为等差数列，设其公差为d，则
1a1a2＋1a2a3＋…＋1an－1an＝1d[(1a1－1a2)＋(1a2－1a3)＋…＋(1an－1－1an)]
＝1d(1a1－1an)＝an－a1da1an＝n－1a1an.
(2)(必要性)若1a1a2＋1a2a3＋…＋1an－1an＝n－1a1an，
则1a1a2＋1a2a3＋…＋1an－1an＋1anan＋1＝na1an＋1，
两式相减得1anan＋1＝na1an＋1－n－1a1an ?a1＝nan－(n－1)an＋1.①
于是有a1＝(n＋1)an＋1－nan＋2，②
由①②得nan－2nan＋1＋nan＋2＝0，所以an＋1－an＝an＋2－an＋1(n≥2).
又由1a1a2＋1a2a3＝2a1a3?a3－a2＝a2－a1，
所以n∈N*,2an＋1＝an＋2＋an，故{an}为等差数列.
【点拨】按照充分必要条件的概念，分别从充分性和必要性两方面进行探求.
【变式训练3】设0＜x＜π2，则“xsin2x＜1”是“xsin x＜1”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
【解析】选B.若xsin x＜1，因为x∈(0，π2)，所以xsin x＞xsin2x，由此可得xsin2x＜1，即必要性成立.若xsin2x＜1，由于函数f(x)＝xsin2x在(0，π2)上单调递增，且π2sin2π2＝π2＞1，所以存在x0∈(0，π2) 使得x0sin2x0＝1.又x0sin x0＞x0sin2x0＝1，即x0sin x0＞1，所以存在x0′∈(0，x0)使得x0′sin2x0′＜1，且x0′sin x0′≥1，故充分性不成立.
总结提高
1.四种命题的定义和区别，主要在于命题的结论和条件的变化上.
2.由于互 为逆否命题的两个命题是等价的，所以我们在证明一个命题的真假时，可以通过其逆否命题的证明来达到目的.适合这种处理方法的题型有：
①原命题含有否定词“不”、“不能”、“不是”等；②原命题含有“所有的”、“任意的”、“至少 ”、“至多”等；③原命题分类复杂，而逆否命题分类简单；④原命题化简复杂，而逆否命题化简简单.
3.p是q的充分条件，即p?q，相当于分别满足条件p和q的两个集合P与Q之间有包含关系：P?Q，即P Q或P＝Q，必要条件正好相反.而充要条件p?q就相当于P＝Q.
4.以下四种说法表达的意义是相同的：①命题“若p，则q”为真；②p?q；③p是q的充分条件；④q是p的必要条件.
1.3 简易逻辑联结词、全称量词与存在量词
典例精析
题型一 全称命题和特称命题的真假判断
【例1】判断下列命题的真假.
(1)?x∈R，都有x2－x＋1＞12；
(2)?α，β使cos(α－β)＝cos α－cos β；
(3)?x，y∈N，都有x－y∈N；
(4)?x0，y0∈Z，使得2x0＋y0＝3.
【解析】(1)真命题，因为x2－x＋1＝(x－12)2＋34≥34＞12.
(2)真命题，例如α＝π4，β＝π2，符合题意.
(3)假命题，例如x＝1，y＝5，但x－y＝－4?N.
(4)真命题，例如x0＝0，y0＝3，符合题意.
【点拨】全称命题是真命题，必须确定对集合中的每一个元素都成立，若是假命题，举反例即可；特称命题是真命题，只要在限定集合中，至少找到一个元素使得命题成立.
【变式训练1】已知命题p：?x∈R，使tan x＝1，命题q：?x∈R，x2＞0.则下面结论正确的是( )
A.命题“p∧q”是真命题B.命题“p∧ q”是假命题
C. 命题“ p∨q”是真命题D.命题“ p∧ q”是假命题
【解析】选D.先判断命题p和q的真假，再逐个判断.容易知命题p是真命题，如x＝π4， p是假命题；因为当x＝0时，x2＝0，所以命题q是假命题， q是真命题.所以“p∧q”是假命题，A错误；“p∧ q”是真命题，B错误；“ p∨q”是假命题，C错误；“ p∧ q”是假命题，D正确.
题型二 含有一个量词的命题的否定
【例2】写出下列命题的否定，并判断其真假.
(1)p：?x∈R，x2－x＋14≥0；
(2)q：所有的正方形都是矩形；
(3)r：?x∈R，x2＋2x＋2≤0；
(4)s：至少有一个实数x，使x3＋1＝0.
【解析】(1) p：?x∈R，x2－x＋14＜0，是假命题.
(2) q：至少存在一个正方形不是矩形，是假命题.
(3) r：?x∈R，x2＋2x＋2＞0，是真命题.
(4) s：?x∈R，x3＋1≠0，是假命题.
【点拨】含有一个量词的命题否定中，全称命题的否定是特称命题，而特称命题的否定是全称命题，一般命题的否定则是直接否定结论即可.
【变式训练2】已知命题p：?x∈(1，＋∞)，log3x＞0，则 p为 .
【解析】?x0∈(1，＋∞)，log3x0≤0.
题型三 命题的真假运用
【例3】若r(x)：sin x＋cos x＞m，s(x)：x2＋mx＋1＞0，如果“对任意的x∈R，r(x)为假命题”且“对任意的x∈R，s(x)为真命题”，求实数m的取值范围.
【解析】因为由m＜sin x＋cos x＝2sin(x＋π4)恒成立，得m＜－2；
而由x2＋mx＋1＞0恒成立，得m2－4＜0，即－2＜m＜2.
依题意，r(x)为假命题且s(x)为真命题，所以有m≥－2且－2＜m＜2，
故所求m的取值范围为－2≤m＜2.
【点拨】先将满足命题p、q的m的取值集合A、B分别求出，然后由r(x)为假命题(取A的补集)，s(x)为真命题同时成立(取交集)即得.
【变式训练3】设M是由满足下列性质的函数f(x)构成的集合：在定义域内存在x0，使得f(x0＋1)＝f(x0)＋f(1)成立.已知下列函数：①f(x)＝1x；②f(x)＝2x；③f(x)＝lg(x2＋2)；④f(x)＝cos πx，其中属于集合M的函数是 (写出所有满足要求的函数的序号).
【解析】②④.对于①，方程1x＋1＝1x＋1，显然无实数解；
对于②，由方程2x＋1＝2x＋2，解得x＝1；
对于③，方程lg[(x＋1)2＋2]＝lg(x2＋2)＋lg 3，显然也无实数解；
对于④，方程cos[π(x＋1)]＝cos πx＋cos π，
即cos πx＝12，显然存在x使等式成立.故填②④.
总结提高
1.同一个全称命题，特称命题，由于自然语言的不同，可能有不同的表述方法，在实际应用中可以灵活选择.
