●知识梳理
1.充分条件：如果p q，则p叫q的充分条件，原命题（或逆否命题）成立，命题中的条件是充分的，也可称q是p的必要条件.
2.必要条件：如果q p，则p叫q的必要条件，逆命题（或否命题）成立，命题中的条件为必要的，也可称q是p的充分条件.
3.充要条件：如果既有p q，又有q p，记作p q，则p叫做q的充分必要条件，简称充要条件，原命题和逆命题（或逆否命题和否命题）都成立，命题中的条件是充要的.
4.反证法：当直接证明有困难时，常用反证法.
●点击双基
1.ac2＞bc2是a＞b成立的
A.充分而不必要条件B.充要条件
C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件
解析：a＞b ac2＞bc2，如c=0.
答案：A
2.（2004年湖北，理4）已知a、b、c为非零的平面向量.甲：a?b=a?c，乙：b=c，则
A.甲是乙的充分条件但不是必要条件
B.甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.甲是乙的充要条件
D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
解析：命题甲:a?b=a?c a?（b－c）=0 a=0或b=c.
命题乙:b=c，因而乙 甲，但甲 乙.
故甲是乙的必要条件但不是充分条件.
答案：B
3.（2004年浙江，8）在△ABC中，“A＞30°”是“sinA＞ ”的
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
解析：在△ABC中，A＞30° 0＜sinA＜1 sinA＞ ，sinA＞ 30°＜A＜150°
A＞30°.∴“A＞30°”是“sinA＞ ”的必要不充分条件.
答案：B
4.若条件p:a＞4，q:5＜a＜6，则p是q的______________.
解析：a＞4 5＜a＜6，如a=7虽然满足a＞4，但显然a不满足5＜a＜6.
答案：必要不充分条件
5.（2005年春季上海，16）若a、b、c是常数，则“a＞0且b2－4ac＜0”是“对任意x∈R，有ax2+bx+c＞0”的
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
解析：若a＞0且b2－4ac＜0，则对任意x∈R，有ax2+bx+c＞0，反之，则不一定成立.如a=0，b=0且c＞0时，也有对任意x∈R，有ax2+bx+c＞0.因此应选A.
答案：A
●典例剖析
【例1】使不等式2x2－5x－3≥0成立的一个充分而不必要条件是
A.x＜0B.x≥0
C.x∈{－1，3，5}D.x≤－ 或x≥3
剖析：∵2x2－5x－3≥0成立的充要条件是x≤－ 或x≥3，∴对于A当x=－ 时 2x2－5x－3≥0.同理其他也可用特殊值验证.
答案：C
【例2】求证：关于x的方程ax2+bx+c=0有一根为1的充分必要条件是a+b+c=0.
证明：（1）必要性，即“若x=1是方程ax2+bx+c=0的根，则a+b+c=0”.
∵x=1是方程的根，将x=1代入方程，得a?12+b?1+c=0，即a+b+c=0.
（2）充分性，即“若a+b+c=0，则x=1是方程ax2+bx+c=0的根”.
把x=1代入方程的左边，得a?12+b?1+c=a+b+c.∵a+b+c=0，∴x=1是方程的根.
综合（1）（2）知命题成立.
深化拓展
求ax2+2x+1=0（a≠0）至少有一负根的充要条件.
证明：必要性：
（1）方程有一正根和一负根，等价于
a＜0.
（2）方程有两负根，等价于
0＜a≤1.
综上可知，原方程至少有一负根的必要条件是a＜0或0＜a≤1.
充分性：由以上推理的可逆性，知当a＜0时方程有异号两根；当0＜a≤1时，方程有两负根.故a＜0或0＜a≤1是方程ax2+2x+1=0至少有一负根的充分条件.
答案：a＜0或0＜a≤1.
【例3】下列说法对不对?如果不对，分析错误的原因.
（1）x2＝x＋2是x =x2的充分条件；
（2）x2＝x＋2是x =x2的必要条件.
解：（1）x2=x+2是x =x2的充分条件是指x2=x+2 x =x2.
但这里“ ”不成立，因为x=－1时，“ ”左边为真，但右边为假.得出错误结论的原因可能是应用了错误的推理：x2=x+2 x= x2=x .
这里推理的第一步是错误的（请同学补充说明具体错在哪里）.
（2）x2=x+2是x =x2的必要条件是指x =x2 x2=x+2.
但这里“ ”不成立，因为x=0时，“ ”左边为真，但右边为假.得出错误结论的原因可能是用了错误的推理:x =x2 =x x+2=x2.
这里推理的第一步是错误的（请同学补充说明具体错在哪里）.
评述：此题的解答比较注重逻辑推理.事实上，也可以从真值集合方面来分析：x2=x+2的真值集合是{－1，2}，x =x2的真值集合是{0，2}，{－1，2} {0，2}，而{0，2} {－1，2}，所以（1）（2）两个结论都不对.
●闯关训练
夯实基础
1.（2004年重庆，7）已知p是r的充分不必要条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，那么p是q成立的
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
解析：依题意有p r，r s，s q，∴p r s q.但由于r p，∴q p.
答案：A
2.（2003年北京高考题）“cos2α=－ ”是“α=kπ+ ，k∈Z”的
A.必要不充分条件B.充分不必要条件
C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件
解析：cos2α=－ 2α=2kπ± α=kπ± .
答案：A
3.（2005年海淀区第一学期期末练习）在△ABC中，“A＞B”是“cosA＜cosB”的
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
解析：在△ABC中，A＞B cosA＜cosB（余弦函数单调性）.
答案：C
4.命题A：两曲线F（x，y）＝0和G（x，y）=0相交于点P（x0，y0），命题B：曲线F（x，y）+λG（x，y）＝0（λ为常数）过点P（x0，y0），则A是B的__________条件.
答案：充分不必要
5.（2004年北京，5）函数f（x）=x2－2ax－3在区间［1，2］上存在反函数的充分必要条件是
A.a∈（－∞，1］B.a∈［2，+∞）
C.α∈［1，2］D.a∈（－∞，1］∪［2，+∞）
解析：∵f（x）=x2－2ax－3的对称轴为x=a，∴y=f（x）在［1，2］上存在反函数的充要条件为［1，2］ （－∞，a］或［1，2］ ［a，+∞），即a≥2或a≤1.
答案：D
6.已知数列{an}的前n项和Sn=pn+q（p≠0且p≠1），求数列{an}成等比数列的充要条件.
分析：先根据前n项和公式，导出使{an}为等比数列的必要条件，再证明其充分条件.
解：当n=1时，a1=S1=p+q；
当n≥2时，an=Sn－Sn－1=（p－1）?pn－1.
由于p≠0，p≠1，∴当n≥2时，{an}是等比数列.要使{an}（n∈N*）是等比数列，则 =p，即（p－1）?p=p（p+q），∴q=－1，即{an}是等比数列的必要条件是p≠0且p≠1且q=－1.
再证充分性：
当p≠0且p≠1且q=－1时，Sn=pn－1，
an=（p－1）?pn－1， =p（n≥2），
∴{an}是等比数列.
培养能力
7.（2004年湖南，9）设集合U=｛（x，y）｜x∈R，y∈R｝，A=｛（x，y）2x－y+m＞0｝，B=｛（x，y）x+y－n≤0｝，那么点P（2，3）∈A∩（ UB）的充要条件是
A.m＞－1，n＜5B.m＜－1，n＜5
C.m＞－1，n＞5D.m＜－1，n＞5
解析：∵ UB=｛（x，y）｜n＜x+y｝，将P（2，3）分别代入集合A、B取交集即可.∴选A.
答案：A
8.已知关于x的一元二次方程mx2－4x+4=0，①
x2－4mx+4m2－4m－5=0.②
求使方程①②都有实根的充要条件.
解：方程①有实数根的充要条件是Δ1=（－4）2－16m≥0，即m≤1；
方程②有实数根的充要条件是Δ2=（4m）2－4（4m2－4m－5）≥0，即m≥－ .
∴方程①②都有实数根的充要条件是－ ≤m≤1.
9.已知a、b、c是互不相等的非零实数.
求证：三个方程ax2+2bx+c=0，bx2+2cx+a=0，cx2+2ax+b=0至少有一个方程有两个相异实根.
证明：反证法：
假设三个方程中都没有两个相异实根，
则Δ1=4b2－4ac≤0，Δ2=4c2－4ab≤0，Δ3=4a2－4bc≤0.
相加有a2－2ab+b2+b2－2bc+c2+c2－2ac+a2≤0，
（a－b）2+（b－c）2+（c－a）2≤0.①
由题意a、b、c互不相等，∴①式不能成立.
∴假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根.
探究创新
10.若x、y、z均为实数，且a=x2－2y+ ，b=y2－2z+ ，c=z2－2x+ ，则a、b、c中是否至少有一个大于零？请说明理由.
解：假设a、b、c都不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0，则a+b+c≤0.
而a+b+c=x2－2y+ +y2－2z+ +z2－2x+ =（x－1）2+（y－1）2+（z－1）2+π－3，
∵π－3＞0，且无论x、y、z为何实数，（x－1）2+（y－1）2+（z－1）2≥0，
∴a+b+c＞0.这与a+b+c≤0矛盾.因此，a、b、c中至少有一个大于0.
●思悟小结
1.要注意一些常用的“结论否定形式”，如“至少有一个”“至多有一个”“都是”的否定形式是“一个也没有”“至少有两个”“不都是”.
2.证明充要性要从充分性、必要性两个方面来证明.
●教师下载中心
点睛
1.掌握常用反证法证题的题型，如含有“至少有一个”“至多有一个”等字眼多用反证法.
2.强调反证法的第一步，要与否命题分清.
3.要证明充要性应从充分性、必要性两个方面来证.
拓展题例
【例题】指出下列命题中，p是q的什么条件.
（1）p:0＜x＜3，q:x－1＜2；
（2）p:（x－2）（x－3）=0，q:x=2；
（3）p:c=0，q:抛物线y=ax2+bx+c过原点.
解：（1）p:0＜x＜3，q:－1＜x＜3.p是q的充分但不必要条件.
（2）p q，q p.p是q的必要但不充分条件.
（3）p是q的充要条件.
1.充分条件：如果p q，则p叫q的充分条件，原命题（或逆否命题）成立，命题中的条件是充分的，也可称q是p的必要条件.
2.必要条件：如果q p，则p叫q的必要条件，逆命题（或否命题）成立，命题中的条件为必要的，也可称q是p的充分条件.
3.充要条件：如果既有p q，又有q p，记作p q，则p叫做q的充分必要条件，简称充要条件，原命题和逆命题（或逆否命题和否命题）都成立，命题中的条件是充要的.
4.反证法：当直接证明有困难时，常用反证法.
●点击双基
1.ac2＞bc2是a＞b成立的
A.充分而不必要条件B.充要条件
C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件
解析：a＞b ac2＞bc2，如c=0.
答案：A
2.（2004年湖北，理4）已知a、b、c为非零的平面向量.甲：a?b=a?c，乙：b=c，则
A.甲是乙的充分条件但不是必要条件
B.甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.甲是乙的充要条件
D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
解析：命题甲:a?b=a?c a?（b－c）=0 a=0或b=c.
命题乙:b=c，因而乙 甲，但甲 乙.
故甲是乙的必要条件但不是充分条件.
答案：B
3.（2004年浙江，8）在△ABC中，“A＞30°”是“sinA＞ ”的
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
解析：在△ABC中，A＞30° 0＜sinA＜1 sinA＞ ，sinA＞ 30°＜A＜150°
A＞30°.∴“A＞30°”是“sinA＞ ”的必要不充分条件.
答案：B
4.若条件p:a＞4，q:5＜a＜6，则p是q的______________.
解析：a＞4 5＜a＜6，如a=7虽然满足a＞4，但显然a不满足5＜a＜6.
答案：必要不充分条件
5.（2005年春季上海，16）若a、b、c是常数，则“a＞0且b2－4ac＜0”是“对任意x∈R，有ax2+bx+c＞0”的
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
解析：若a＞0且b2－4ac＜0，则对任意x∈R，有ax2+bx+c＞0，反之，则不一定成立.如a=0，b=0且c＞0时，也有对任意x∈R，有ax2+bx+c＞0.因此应选A.
答案：A
●典例剖析
【例1】使不等式2x2－5x－3≥0成立的一个充分而不必要条件是
A.x＜0B.x≥0
C.x∈{－1，3，5}D.x≤－ 或x≥3
剖析：∵2x2－5x－3≥0成立的充要条件是x≤－ 或x≥3，∴对于A当x=－ 时 2x2－5x－3≥0.同理其他也可用特殊值验证.
答案：C
【例2】求证：关于x的方程ax2+bx+c=0有一根为1的充分必要条件是a+b+c=0.
证明：（1）必要性，即“若x=1是方程ax2+bx+c=0的根，则a+b+c=0”.
∵x=1是方程的根，将x=1代入方程，得a?12+b?1+c=0，即a+b+c=0.
（2）充分性，即“若a+b+c=0，则x=1是方程ax2+bx+c=0的根”.
把x=1代入方程的左边，得a?12+b?1+c=a+b+c.∵a+b+c=0，∴x=1是方程的根.
综合（1）（2）知命题成立.
深化拓展
求ax2+2x+1=0（a≠0）至少有一负根的充要条件.
证明：必要性：
（1）方程有一正根和一负根，等价于
a＜0.
（2）方程有两负根，等价于
0＜a≤1.
综上可知，原方程至少有一负根的必要条件是a＜0或0＜a≤1.
充分性：由以上推理的可逆性，知当a＜0时方程有异号两根；当0＜a≤1时，方程有两负根.故a＜0或0＜a≤1是方程ax2+2x+1=0至少有一负根的充分条件.
答案：a＜0或0＜a≤1.
【例3】下列说法对不对?如果不对，分析错误的原因.
（1）x2＝x＋2是x =x2的充分条件；
（2）x2＝x＋2是x =x2的必要条件.
解：（1）x2=x+2是x =x2的充分条件是指x2=x+2 x =x2.
但这里“ ”不成立，因为x=－1时，“ ”左边为真，但右边为假.得出错误结论的原因可能是应用了错误的推理：x2=x+2 x= x2=x .
这里推理的第一步是错误的（请同学补充说明具体错在哪里）.
（2）x2=x+2是x =x2的必要条件是指x =x2 x2=x+2.
但这里“ ”不成立，因为x=0时，“ ”左边为真，但右边为假.得出错误结论的原因可能是用了错误的推理:x =x2 =x x+2=x2.
这里推理的第一步是错误的（请同学补充说明具体错在哪里）.
评述：此题的解答比较注重逻辑推理.事实上，也可以从真值集合方面来分析：x2=x+2的真值集合是{－1，2}，x =x2的真值集合是{0，2}，{－1，2} {0，2}，而{0，2} {－1，2}，所以（1）（2）两个结论都不对.
●闯关训练
夯实基础
1.（2004年重庆，7）已知p是r的充分不必要条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，那么p是q成立的
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
解析：依题意有p r，r s，s q，∴p r s q.但由于r p，∴q p.
答案：A
2.（2003年北京高考题）“cos2α=－ ”是“α=kπ+ ，k∈Z”的
A.必要不充分条件B.充分不必要条件
C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件
解析：cos2α=－ 2α=2kπ± α=kπ± .
答案：A
3.（2005年海淀区第一学期期末练习）在△ABC中，“A＞B”是“cosA＜cosB”的
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
解析：在△ABC中，A＞B cosA＜cosB（余弦函数单调性）.
答案：C
4.命题A：两曲线F（x，y）＝0和G（x，y）=0相交于点P（x0，y0），命题B：曲线F（x，y）+λG（x，y）＝0（λ为常数）过点P（x0，y0），则A是B的__________条件.
答案：充分不必要
5.（2004年北京，5）函数f（x）=x2－2ax－3在区间［1，2］上存在反函数的充分必要条件是
A.a∈（－∞，1］B.a∈［2，+∞）
C.α∈［1，2］D.a∈（－∞，1］∪［2，+∞）
解析：∵f（x）=x2－2ax－3的对称轴为x=a，∴y=f（x）在［1，2］上存在反函数的充要条件为［1，2］ （－∞，a］或［1，2］ ［a，+∞），即a≥2或a≤1.
答案：D
6.已知数列{an}的前n项和Sn=pn+q（p≠0且p≠1），求数列{an}成等比数列的充要条件.
分析：先根据前n项和公式，导出使{an}为等比数列的必要条件，再证明其充分条件.
解：当n=1时，a1=S1=p+q；
当n≥2时，an=Sn－Sn－1=（p－1）?pn－1.
由于p≠0，p≠1，∴当n≥2时，{an}是等比数列.要使{an}（n∈N*）是等比数列，则 =p，即（p－1）?p=p（p+q），∴q=－1，即{an}是等比数列的必要条件是p≠0且p≠1且q=－1.
再证充分性：
当p≠0且p≠1且q=－1时，Sn=pn－1，
an=（p－1）?pn－1， =p（n≥2），
∴{an}是等比数列.
培养能力
7.（2004年湖南，9）设集合U=｛（x，y）｜x∈R，y∈R｝，A=｛（x，y）2x－y+m＞0｝，B=｛（x，y）x+y－n≤0｝，那么点P（2，3）∈A∩（ UB）的充要条件是
A.m＞－1，n＜5B.m＜－1，n＜5
C.m＞－1，n＞5D.m＜－1，n＞5
解析：∵ UB=｛（x，y）｜n＜x+y｝，将P（2，3）分别代入集合A、B取交集即可.∴选A.
答案：A
8.已知关于x的一元二次方程mx2－4x+4=0，①
x2－4mx+4m2－4m－5=0.②
求使方程①②都有实根的充要条件.
解：方程①有实数根的充要条件是Δ1=（－4）2－16m≥0，即m≤1；
方程②有实数根的充要条件是Δ2=（4m）2－4（4m2－4m－5）≥0，即m≥－ .
∴方程①②都有实数根的充要条件是－ ≤m≤1.
9.已知a、b、c是互不相等的非零实数.
求证：三个方程ax2+2bx+c=0，bx2+2cx+a=0，cx2+2ax+b=0至少有一个方程有两个相异实根.
证明：反证法：
假设三个方程中都没有两个相异实根，
则Δ1=4b2－4ac≤0，Δ2=4c2－4ab≤0，Δ3=4a2－4bc≤0.
相加有a2－2ab+b2+b2－2bc+c2+c2－2ac+a2≤0，
（a－b）2+（b－c）2+（c－a）2≤0.①
由题意a、b、c互不相等，∴①式不能成立.
∴假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根.
探究创新
10.若x、y、z均为实数，且a=x2－2y+ ，b=y2－2z+ ，c=z2－2x+ ，则a、b、c中是否至少有一个大于零？请说明理由.
解：假设a、b、c都不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0，则a+b+c≤0.
而a+b+c=x2－2y+ +y2－2z+ +z2－2x+ =（x－1）2+（y－1）2+（z－1）2+π－3，
∵π－3＞0，且无论x、y、z为何实数，（x－1）2+（y－1）2+（z－1）2≥0，
∴a+b+c＞0.这与a+b+c≤0矛盾.因此，a、b、c中至少有一个大于0.
●思悟小结
1.要注意一些常用的“结论否定形式”，如“至少有一个”“至多有一个”“都是”的否定形式是“一个也没有”“至少有两个”“不都是”.
2.证明充要性要从充分性、必要性两个方面来证明.
●教师下载中心
点睛
1.掌握常用反证法证题的题型，如含有“至少有一个”“至多有一个”等字眼多用反证法.
2.强调反证法的第一步，要与否命题分清.
3.要证明充要性应从充分性、必要性两个方面来证.
拓展题例
【例题】指出下列命题中，p是q的什么条件.
（1）p:0＜x＜3，q:x－1＜2；
（2）p:（x－2）（x－3）=0，q:x=2；
（3）p:c=0，q:抛物线y=ax2+bx+c过原点.
解：（1）p:0＜x＜3，q:－1＜x＜3.p是q的充分但不必要条件.
（2）p q，q p.p是q的必要但不充分条件.
（3）p是q的充要条件.
