不等式证明

第七教时
教材：不等式证明二（比较法、综合法）
目的：加强比商法的训练，以期达到熟练技巧，同时要求学生初步掌握用综合法证明不等式。
过程：
一、比较法：
1．复习：比较法，依据、步骤
比商法，依据、步骤、适用题型
2．例一、证明： 在 是增函数。
证：设2≤x1∵x2 ? x1 > 0, x1 + x2 ? 4 > 0 ∴
又∵y1 > 0， ∴y1 > y2 ∴ 在 是增函数
二、综合法：
定义：利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质，推导出所要证明的不等式，这个证明方法叫综合法。
例二、已知a, b, c是不全相等的正数，
求证：a(b2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2 + b2) > 6abc
证：∵b2 + c2 ≥ 2bc , a > 0 , ∴a(b2 + c2) ≥ 2abc
同理：b(c2 + a2) ≥ 2abc , c(a2 + b2) ≥ 2abc
∴a(b2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2 + b2) ≥ 6abc
当且仅当b=c,c=a,a=b时取等号，而a, b, c是不全相等的正数
∴a(b2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2 + b2) > 6abc
例三、设a, b, c ? R，
1?求证：
2?求证：
3?若a + b = 1, 求证：
证：1?∵ ∴
∴
2?同理： ，
三式相加：
3?由幂平均不等式：

∴
例四、a , b, c?R, 求证：1?
2?
3?
证：1?法一： , , 两式相乘即得。
法二：左边
≥ 3 + 2 + 2 + 2 = 9
2?∵

两式相乘即得
3?由上题：
∴
即：
三、小结：综合法
四、作业： P15―16 练习 1，2
P18 习题6.3 1，2，3


补充：
1．已知a, b?R+且a ? b，求证： （取差）
2．设??R，x, y?R，求证： （取商）
3．已知a, b?R+，求证：
证：∵a, b?R+ ∴ ∴
∴
∴
∴
∴
4．设a>0, b>0，且a + b = 1，求证：