2012版高三数学一轮精品复习学案：第八章 平面解析几何
第二节 直线与圆
【高考目标导航】
一、圆的方程
（一）考纲点击
1、掌握确定圆的几何要素，掌握确定圆的标准方程与一般方程；
2、初步了解用代数方法处理几何问题的思想。
（二）热点提示
1、圆的标准方程和一般方程以及圆的几何性质是高考考查的重点；
2、多以选择、填空的形式出现，属中低档题目。
二、直线、圆的位置关系
（一）考纲点击
1、能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系；
2、能用直线和圆的方程解决一些简单的问题；
3、初步了解用代数方法处理几何问题的思想。
（二）热点提示
1、直线与圆，圆与圆的位置关系特别是直线与圆相切一直是高考考查的重点和热点，主要考查：
（1）方程中含有参数的直线与圆的位置关系的判断；
（2）利用相切或相交的条件确定参数的值或取值范围；
（3）利用相切或相交求圆的切线或弦长。
2、本部分在高考试题中多为选择、填空题，有时在解答题中考查直线与圆位置关系的综合问题。
【考纲知识梳理】
一、圆的方程
1．圆的定义
（1）在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。
（2）确定一个圆的要素是圆心和半径。
2．圆的方程
圆的标准方程圆的一般方程
方程
圆心坐标（a,b）
半径r
注：方程 表示圆的充要条件是
3．点与圆的位置关系
已知圆的方程为 ，点 。则：
（1）点在圆上： ；
（2）点在圆外： ；
（3）点在圆内： 。
4．确定圆的方程方法和步骤
确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为：
（1）根据题意，选择标准方程或一般方程；
（2）根据条件列出关于a,b,r或D、E、F的方程组；
（3）解出a,b,r或D、E、F代入标准方程或一般方程。
注：用待定系数法求圆的方程时，如何根据已知条件选择圆的方程？（当条件中给出的是圆上几点坐标，较适合用一般方程，通过解三元方程组求相应系数；当条件中给出的是圆心坐标或圆心在某条直线上、圆的切线方程、圆弦长等条件，适合用标准方程。对于有些题，设哪种形式都可以，这就要求根据条件具体问题具体分析。）
二、直线、圆的位置关系
1．直线与圆的位置关系
位置关系相离相切相交
公共点个数0个1个2个
几何特征（圆心到直线的距离 ，半径 ）
代数特征（直线与圆的方程组成的方程组）无实数解有两组相同实数解有两组不同实数解
注：在求过一定点的圆的切线方程时，应首先判断这点与圆的位置关系，若点在圆台上，则该点为切点，切线只有一条；若点在圆外，切线应有两条，谨防漏解。
2．圆与圆的位置关系
位置关系外离外切相交内切内含
公共点个数01210
几何特征（圆心距 ，两圆半径 ， ， ）
代数特征（两个圆的方程组成的方程组）无实数解一组实数解两组实数解一组实数解无实数解
【要点名师透析】
一、圆的方程
（一）圆的方程的求法
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1．确定圆的方程的主要方法是待定系数法。如果选择标准方程，即列出关于a、b、r的方程组，求a、b、r或直接求出圆心（a,b）和半径r.
2．如果已知条件中圆心的位置不能确定，则选择圆的一般方程。圆的一般方程也含有三个独立的参数，因此，必须具备三个独立的条件，才能确定圆的一般方程，其方法仍采用待定系数法。设所求圆的方程为： 由三个条件得到关于D、E、F的一个三元一次方程组，解方程组确定D、E、F的值。
3．以 为直径的两端点的圆的方程为
注：在求圆的方程时，常用到圆的以下必修性质：
（1）圆心在过切点且与切线垂直的直线上；
（2）圆心在任一弦的中垂直上；
（3）两圆心或外切时，切点与两圆圆心三点共线。
※例题解析※
〖例〗求与x轴相切，圆心在直线3x-y=0上，且被直线x-y=0截得的弦长为 的圆的方程。
思路解析：由条件可设圆的标准方程求解，也可设圆的一般方程，但计算较繁琐。
解答：（方法一） 设所求的圆的方程是 ，
则圆心(a,b)到直线x-y=0的距离为 ，
∴ ,
即 ………………………………………………①
由于所求的圆与x轴相切，∴ ………………………………②
又因为所求圆心在直线3x-y=0上，
∴3a-b=0………………………………………………………………③
联立①②③，解得a=1,b=3, =9或a=-1,b=-3, =9.
故所求的圆的方程是：
（方法二）设所求的圆的方程是x2+y2+Dx+Ey+F=0，圆心为 ，半径为 令y=0，得x2+ Dx+ F =0，由圆与x轴相切，得?=0，即D2-4F……④
又圆心 到直线x-y=0的距离为 ,
由已知，得 ,
即 = …………………………………………⑤
又圆心 在直线3x-y=0上，∴3D-E=0…………………………⑥
联立④⑤⑥，解得
D=-1，E=-6，F=1或D=2，E=6，F=1。
故所求圆的方程是 =0或
（二）与圆有关的最值问题
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1．求与圆有关的最值问题多采用几何法，就是利用一些代数式的几何意义进行转化。如（1）形如m= 的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；（2）形如t=ax+by的最值问题，可转化为直线在y轴上的截距的最值问题；（3）形如m= 的最值问题，可转化为两点间的距离平方的最值问题。
2．特别要记住下面两个代数式的几何意义：
表示点(x,y)与原点（0，0）连线的直线斜率， 表示点（x,y）与原点的距离。
※例题解析※
〖例〗已知实数 、 满足方程 。
（1）求 的最大值和最小值；
（2）求 - 的最大值和最小值；
（3）求 的最大值和最小值。
思路解析：化 ， 满足的关系为 理解 ， - ， 的几何意义 根据几何意义分别求之。
解答：（1）原方程可化为 ，表示以（2，0）为圆心， 为半径的圆， 的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设 = ，即 。当直线 与圆相切时，斜率 取最大值或最小值，此时 ，解得 =± 。
所以 的最大值为 ，最小值为?
（2） - 可看作是直线y=x+b在y轴上的截距，当直线y=x+b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时 ，解得 。所以 - 的最大值为 ，最小值为 。
（3） 表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值。又圆心到原点的距离为 ，所以 的最大值是 ， 的最小值是 。
（三）与圆有关的轨迹问题
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1．解决轨迹问题，应注意以下几点：
（1）求方程前必须建立平面直角坐标系（若题目中有点的坐标，就无需建系），否则曲线就不可转化为方程。
（2）一般地，设点时，将动点坐标设为（x,y），其他与此相关的点设为 等。
（3）求轨迹与求轨迹方程是不同的，求轨迹方程得出方程即可，而求轨迹在得出方程后还要指出方程的曲线是什么图形。
2．求轨迹方程的一般步骤：
（1）建系：设动点坐标为（x,y）；
（2）列出几何等式；
（3）用坐标表示得到方程；
（4）化简方程；
（5）除去不合题意的点，作答。
※例题解析※
〖例〗设定点M（-3，4），动点N在圆 上运动，以OM、ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹。
思路解析：先设出P点、N点坐标，根据平行四边形对角线互相平分，用P点坐标表示N点坐标，代入圆的方程可求。
解答：如图所示，
设P（x,y），N ，则线段OP的中点坐标为 ，线段MN的中点坐标为 。因为平行四边形的对角线互相平分，故 。N（x+3,y-4）在圆上，故 。因此所求轨迹为圆： ，担应除去两点： （点P在OM所在的直线上时的情况）。
（四）有关圆的实际应用
〖例〗有一种大型商品，A、B两地都有出售，有价格相同，某地居民从两地之一购得商品后运回的费用是：A地每公里的运费是B地每公里运费的3倍。已知A、B两地距离为10公里，顾客选择A地或B地购买这件商品的标准是：包括运费和价格的总费用较低。求P地居民选择A地或B地购物总费用相等时，点P所在曲线的形状，并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购物地点？
思路解析：根据条件，建立适当坐标系，求出点P的轨迹方程，进而解决相关问题。
解答：如图，
以A、B所在的直线为x轴，线段AB的中点为原点建立直角坐标系，∵AB?=10，∴A（-5，0），B（5，0）。设P（x,y）,P到A、B两地购物的运费分别是3a、a（元/公里）。当由P地到A、B两地购物总费用相等时，有：价格+A地运费=价格+B地运费，
∴3a? =a? .
化简整理，得
（1）当P点在以（- ，0）为圆心、 为半径的圆上时，居民到A地或B地购物总费用相等。
（2）当P点在上述圆内时，
当P点在上述圆外时，
注：在解决实际问题时，关键要明确题意，掌握建立数学基本模型的方法将实际问题转化为数学问题解决。
二、直线、圆的位置关系
（一）直线和圆的位置关系
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直线和圆的位置关系的判定有两种方法
（1）第一种方法是方程的观点，即把圆的方程和直线的方程联立组成方程组，转化为一元二次方程，再利用判别式?来讨论位置关系，即
?>0 直线与圆相交;
?=0 直线与圆相切;
?<0 直线与圆相离.
（2）第二种方法是几何的观点，即将圆心到直线的距离d与半径r比较来判断，即
d
d=r 直线与圆相离。
※例题解析※
〖例〗已知圆
（1）求证：不论m为何值，圆心在同一直线上；
（2）与 平行的直线中，哪些与圆相交、相切、相离；
（3）求证：任何一条平行于 且与圆相交的直线被各圆截得的弦长相等。
思路解析：用配方法将圆的一般方程配成标准方程，求出圆心坐标，消去m就得关于圆心的坐标间的关系，就是圆心的轨迹方程；判断直线与圆相交、相切、相离，只需比较圆心到直线的距离d与圆半径的大小即可；证明弦长相等时，可用几何法计算弦长。
解答：（1）配方得： 设圆心为(x,y)，则 ，消去m得 则圆心恒在直线 。
（2）设与 平行的直线是： ，
（3）对于任一条平行于 且与圆相交的直线 ： ，由于圆心到直线 的距离
（与m无关）。弦长=
∴任何一条平行于 且与圆相交的直线被各圆截得的弦长相等。
（二）圆与圆的位置关系
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1．判断两圆的位置关系常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差之间的关系，一般不采用代数法；
2．若两圆相交，则两圆公式弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去 项即可得到；
3．两圆公切线的条数（如下图）
（1）两圆内含时，公切线条数为0；
（2）两圆内切时，公切线条数为1；
（3）两圆相交时，公切线条数为2；
（4）两圆外切时，公切线条数为3；
（5）两圆相离时，公切线条数为4。
因此求两圆的公切线条数主要是判断两圆的位置关系，反过来知道两圆公切线的条数，也可以判断出两圆的位置关系。
※例题解析※
〖例〗求经过两圆 和 的交点，且圆心在直线x－y－4=0上的圆的方程
思路解析：根据已知，可通过解方程组 得圆上两点，由圆心在直线x－y－4=0上，三个独立条件，用待定系数法求出圆的方程；也可根据已知，设所求圆的方程为 ，再由圆心在直线x－y－4=0上，定出参数λ，得圆方程
解答：因为所求的圆经过两圆（x+3）2+y2=13和x2+（y+3）2=37的交点，
所以设所求圆的方程为
展开、配方、整理，得 + = +
圆心为 ，代入方程x－y－4=0，得λ=－7
故所求圆的方程为
注：圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0，圆C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0，若圆C1、C2相交，那么过两圆公共点的圆系方程为（x2+y2+D1x+E1y+F1）+λ（x2+y2+D2x+E2y+F2）=0（λ∈R且λ≠－1）它表示除圆C2以外的所有经过两圆C1、C2公共点的圆
（三）圆的切线及弦长问题
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1．求圆的切线的方法
（1）求圆的切线方程一般有两种方法：
①代数法：设切线方程为 与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式?=0进而求得k。
②几何法：设切线方程为 利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，然后令d=r，进而求出k。
两种方法，一般来说几何法较为简洁，可作为首选。
注：在利用点斜式求切线方程时，不要漏掉垂直于x轴的切线，即斜率不存在时的情况。
（2）若点 在圆 上，则M点的圆的切线方程为 。
2．圆的弦长的求法
（1）几何法：设圆的半径为r，弦心距为d，弦长为L，则 。
（2）代数法：设直线与圆相交于 两点，解方程组 消y后得关于x的一元二次方程，从而求得 则弦长为
。
（四）直线、圆位置关系的综合应用
〖例〗如图，矩形 的两条对角线相交于点 ， 边所在直线的方程为 , 点 在 边所在直线上．
（I）求 边所在直线的方程；
（II）求矩形 外接圆的方程；
（III）若动圆 过点 ，且与矩形 的外接圆外切，求动圆 的圆心的方程．
解答：（I）因为 边所在直线的方程为 ，且 与 垂直，
所以直线 的斜率为 ．又因为点 在直线 上，
所以 边所在直线的方程为 ． ．-----------------3分
（II）由 解得点 的坐标为 ， ------------4分
因为矩形 两条对角线的交点为 ．
所以 为矩形 外接圆的圆心． -----------------6分
又 ．
从而矩形 外接圆的方程为 ．----------------------9分
（III）因为动圆 过点 ，所以 是该圆的半径，又因为动圆 与圆 外切，
所以 ，即 ．------------------------11分
故点 的轨迹是以 为焦点，实轴长为 的双曲线的左支．
因为实半轴长 ，半焦距 ．
所以虚半轴长 ．
从而动圆 的圆心的轨迹方程为 ． -----------------14分
【感悟高考真题】
1．（2011?安徽高考文科?Ｔ4）若直线 过圆 的圆心，则 的值为（ ）
（A）-1 （B） 1 （C）3 （D）-3
【思路点拨】将圆的方程化为标准形式，得到圆心坐标，代入直线方程求出 .
【精讲精析】选B.圆的方程 可变形为 ，所以圆心坐标为（-1,2），代入直线方程得 .
2．（2011?江西高考理科?Ｔ9）若曲线 ： ?2 =0与曲线 : 有四个不同的交点，则实数m的取值范围是 （ ）
(? ， ） B. （? ，0）∪（0， ）
C. [? ， ] D.( －∞, － )∪( ,+∞)
【思路点拨】先根据方程y(y-mx-m)=0,得出y=0或y-mx-m=0，再根据直线与圆的位置关系，易得m的取值范围.
【精讲精析】选B.
3．（2011?江苏高考?Ｔ14）设集合 , , 若 则实数m的取值范围是______________
【思路点拨】本题考查的是直线与圆的位置关系，解题的关键是找出集合所代表的几何意义，然后结合直线与圆的位置关系，求得实数m的取值范围.
【精讲精析】答案： 由 得， ，所以 或 .当 时， ，且 ，又 ，所以集合A表示的区域和集合B表示的区域无公共部分；当 时，只要 或 解得 或 ，所以，实数 的取值范围是 .
4．（2011?新课标全国高考文科?Ｔ20）在平面直角坐标系xOy中，曲线 与坐标轴的交点都在圆C上
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）若圆C与直线 交于A，B两点，且 ，求a的值.
【思路点拨】第（1）问，求出曲线 与坐标轴的3个交点，然后通过3个点的坐标建立方程或方程组求得圆C的方程;
第（2）圆，设 ， ，利用直线方程 与圆的方程联立，化简 ，最后利用待定系数法求得 的值.
【精讲精析】（Ⅰ）曲线 与坐标轴的交点为（0,1）（3
故可设圆的圆心坐标为（3， t）则有 +
解得t=1,则圆的半径为 .
所以圆的方程为 .
（Ⅱ）设A( B( 其坐标满足方程组
消去y得到方程
由已知可得判别式△=56-16a-4 >0
由韦达定理可得 ， ①
由 可得 又 .所以
2 ②
由①②可得a=-1,满足△>0，故a=-1.
【考点精题精练】
一、选择题
1．已知圆 与 轴的两个交点为 、 ，若圆内的动点 使 、 、 成等比数列，则 的取值范围为--------------（ ）
（A） （B） （C） （D）
答案:B
2．已知圆C与圆(x－1)2＋y2＝1关于直线y＝－x对称，则圆C的方程为（ ）
A.(x＋1)2＋y2＝1 B.x2＋y2＝1
C.x2＋(y＋1)2＝1 D.x2＋(y－1)2＝1
答案:C
3．直线 与圆 相切，则 的值为（ ）
A. 0 B. C.2 D.
答案:A
4．已知 为圆 的两条互相垂直的弦， 交于点 ，则四边形 面积的最大值为-----（ ）
A 4 B 5 C 6 D 7
答案:B
5．两圆 的位置关系是（ ）
A．内切B．外切C．相离D．内含
答案:B
6．直线x+y+1=0与圆 的位置关系是 （ ）
A.相交 B.相离 C.相切 D.不能确定
答案：C提示：圆心 ，
7．已知圆的方程为 ，设圆中过点 的最长弦与最短弦分别为 、 ，则直线 与 的斜率之和为（ ）
(A) (B) (C) (D)
答案:B
8．经过圆 的圆心且斜率为1的直线方程为（ ）
A． B． C. D．
答案:A
9．若直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝1相交于P、Q两点，且∠POQ＝120°(其中O为原点)，则k的值为（ ）
A、±12 B、±32 C、±33 D、±3
答案:A
10．已知点P（x，y）是直线kx + y + 4 = 0（k > 0）上一动点，PA、PB是圆C： 的两条切线，A、B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k的值为（ ）
A．3B． C． D．2
答案：D
11．已知圆的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，且与直线 相切，则圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
答案:A
12．如图，点P(3，4)为圆 上的一点，点E，F为y轴上的两点，△PEF是以点P为顶点的等腰三角形，直线PE，PF交圆于D，C两点，直线CD交y轴于点A，则sin∠DAO的值为 ( )
A． B． C． D．
答案:A
二、填空题
13．如图，点A、B、C是圆O上的点，且AB=4， ，则圆O的面积等于
答案:
14．圆C: （ 为参数）的圆心坐标是 ；若直线 与圆C相切，则 的值为 .
答案: 0
15．已知直线 与圆 相交于 、 两点， ，则 ? =
答案:
16．已知实数 成等差数列，点 在直线 上的射影是Q，则Q的轨迹方程是________。
答案:
三、解答题
17．已知A是圆 上任一点，AB垂直于x轴，交x轴于点B．以A为圆心、AB为半径作圆交已知圆于C、D，连结CD交AB于点P.
(1)求点P的轨迹方程;
(2)若(1)所求得的点P的轨迹为M,过点Q( ,0)作直线l交轨迹M于E、G两点，O为坐标原点，求△EOG的面积的最大值，并求出此时直线l的倾斜角.
解答:(1)设点A的坐标为A(2cos?，2sin?)，
则以A为圆心、AB为半径的圆的方程为
(x－2cos?)2 + (y－2sin?)2 = 4sin2?．……………… 1分
联立已知圆x2 + y2 = 4的方程，相减，
可得公共弦CD的方程为
xcos? + ysin? = 1+ cos2?． (1) ………………3分
而AB的方程是 x = 2cos?． (2)
所以满足(1)、(2)的点P的坐标为(2cos?，sin?)，消去?，即得
点P的轨迹方程为x2 + 4y2 = 4． ……………… 5分
说明： 设A(m，n)亦可类似地解决．
(2) △EOG的最大面积为1. ……………… 9分
此时直线l的倾斜角为45或135. ……………… 10分
18．设 、 为坐标平面 上的点，直线 （ 为坐标原点）与抛物线 交于点 (异于 ).
若对任意 ，点 在抛物线 上，试问当 为何值时，点 在某一圆上，并求出该圆方程 ；
若点 在椭圆 上，试问：点 能否在某一双曲线上，若能，求出该双曲线方程，若不能，说明理由；
对（1）中点 所在圆方程 ，设 、 是圆 上两点，且满足 ，试问：是否存在一个定圆 ，使直线 恒与圆 相切.
解答：（1） ，-------------2分
代入 -非所问------ 4分
当 时，点 在圆 上- --------5分
（2） 在椭圆 上，即
可设 -- -------------------7分
又 ，于是
（令 ）
点 在双曲线 上 ------------10分
（3） 圆 的方程为
设 由
--------------------------12分
又
， ------------14分
又原点 到直线 距离 ，即原点 到直线 的距离恒为
直线 恒与圆 相切。
