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弧度制

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1.1.2 弧度制
【目标】
① 了解弧度制,能进行弧度与角度的换算.
② 认识弧长公式,能进行简单应用. 对弧长公式只要求了解,会进行简单应用,不必在应用方面加深.
③了解角的集合与实数集建立了一一对应关系,培养学生学会用函数的观点分析、解决问题.
【重难点】
重点:了解弧度制,并能进行弧度与角度的换算.
难点:弧度的概念及其与角度的关系.
【教学过程】
(一)复习引入.
复习初中学习过的知识:角的度量、圆心角的度数与弧的度数及弧长的关系
提出问题:
①初中的角是如何度量的?度量单位是什么?

② 1°的角是如何定义的?弧长公式是什么?

③ 角的范围是什么?如何分类的?
(二)概念形成
初中学习中我们知道角的度量单位是度、分、秒,它们是60进制,角是否可以用其它单位度量,是否可以采用10进制?
1.自学课本第7、8页.通过自学回答以下问题:
(1)角的弧度制是如何引入的?

(2)为什么要引入弧度制?好处是什么?

(3)弧度是如何定义的?

(4)角度制与弧度制的区别与联系?

2.学生动手画图来探究:
(1)平角、周角的弧度数

(2)角的弧度制与角的大小有关,与角所在圆的半径的大小是否有关?


(3)角的弧度与角所在圆的半径、角所对的弧长有何关系?

3.角度制与弧度制如何换算?

rad 1 =
归纳:把角从弧度化为度的方法是:
把角从度化为弧度的方法是:
一些特殊角的度数与弧度数的互相转化,请补充完整
30°90°120°150°270°
0

例1、把下列各角从度化为弧度:
(1) (2) (3) (4)

解:(1) (2) (3) (4)
变式练习:把下列各角从度化为弧度:
(1)22 30′ (2)?210 (3)1200
解:(1) (2) (3)
例2、把下列各角从弧度化为度:
(1) (2) 3.5 (3) 2 (4)
解:(1)108 (2)200.5 (3)114.6 (4)45
变式练习:把下列各角从弧度化为度:
(1) (2)? (3)
解:(1)15 (2)-240 (3)54

弧度数表示弧长与半径的比,是一个实数,这样在角集合与实数集之间就建立了一个一一对应关系.

弧度下的弧长公式和扇形面积公式
弧长公式:
因为 (其中 表示 所对的弧长),所以,弧长公式为.

扇形面积公式:.

说明:以上公式中的 必须为弧度单位.

例3、知扇形的周长为8 ,圆心角 为2rad,,求该扇形的面积。
解:因为2R+2R=8,所以R=2,S=4
变式练习:
1、半径为120mm的圆上,有一条弧的长是144mm,求该弧所对的圆心角的弧度数。
答案:
2、半径变为原来的 ,而弧长不变,则该弧所对的圆心角是原来的  2  倍。
3、若2弧度的圆心角所对的弧长是 ,则这个圆心角所在的扇形面积是 4cm2  .
4、以原点为圆心,半径为1的圆中,一条弦 的长度为 , 所对的圆心角
的弧度数为     .

(三)课堂小结:
1、弧度制的定义;
2、弧度制与角度制的转换与区别;
3、牢记弧度制下的弧长公式和扇形面积公式,并灵活运用;

(四)作业布置 习题1.1A组第7,8,9题。

(五)课后检测
1.在 中,若 ,求A,B,C弧度数。
答案:A= B= C=
2.直径为20cm的滑轮,每秒钟旋转 ,则滑轮上一点经过5秒钟转过的弧长是多少?
答案:
3.选做题
如图,扇形 的面积是 ,它的周长是 ,求扇形的中心角及弦 的长。
答案:

〖板书设计〗

1.1.2 弧度制
(一)复习引入
(二)概念形成 例1 例2
(三)弧度下的弧长公式和扇形面积公式
例3
小结:
1.1.2 弧度制

课前预习学案
一、预习目标:
1.了解弧度制的表示方法;
2.知道弧长公式和扇形面积公式.
二、预习内容
初中学习中我们知道角的度量单位是度、分、秒,它们是60进制,角是否可以用其它单位度量,是否可以采用10进制?
自学课本第7、8页.通过自学回答以下问题:
1、角的弧度制是如何引入的?

2、为什么要引入弧度制?好处是什么?

3、弧度是如何定义的?

4、角度制与弧度制的区别与联系?

三、提出疑惑
1、平角、周角的弧度数?

2、角的弧度制与角的大小有关,与角所在圆的半径的大小是否有关?

3、角的弧度与角所在圆的半径、角所对的弧长有何关系?


课内探究学案
一、学习目标
1.理解弧度制的意义;
2.能正确的应用弧度与角度之间的换算;
3.记住公式 ( 为以. 作为圆心角时所对圆弧的长, 为圆半径);
4.熟练掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式及其应用。
二、重点、难点
弧度与角度之间的换算;
弧长公式、扇形面积公式的应用。
三、学习过程
(一)复习:初中时所学的角度制,是怎么规定 角的?角度制的单位有哪些,是多少进制的?
(二)为了使用方便,我们经常会用到一种十进制的度量角的单位制??弧度制。
<我们规定> 叫做1弧度的角,用符号 表示,读作 。
练习:圆的半径为 ,圆弧长为 、 、 的弧所对的圆心角分别为多少?
<思考>:圆心角的弧度数与半径的大小有关吗?
由上可知:如果半径为r的园的圆心角 所对的弧长为 ,那么,角 的弧度数的绝对值是:

, 的正负由 决定。
正角的弧度数是一个 ,负角的弧度数是一个 ,零角的弧度数是 。
<说明>:我们用弧度制表示角的时候,“弧度”或 经常省略,即只写一实数表示角的度量。
例如:当弧长 且所对的圆心角表示负角时,这个圆心角的弧度数是

(三)角度与弧度的换算


rad 1 =
归纳:把角从弧度化为度的方法是:
把角从度化为弧度的方法是:

<试一试>:一些特殊角的度数与弧度数的互相转化,请补充完整
30°90°120°150°270°
0

例1、把下列各角从度化为弧度:


变式练习:把下列各角从度化为弧度:
(1)22 30′ (2)?210 (3)1200

例2、把下列各角从弧度化为度:
(1) (2) 3.5 (3) 2 (4)

变式练习:把下列各角从弧度化为度:
(1) (2)? (3)

(四)弧度数表示弧长与半径的比,是一个实数,这样在角集合与实数集之间就建立了一个一一对应关系.


(五)弧度下的弧长公式和扇形面积公式
弧长公式:
因为 (其中 表示 所对的弧长),所以,弧长公式为 .
扇形面积公式:.

说明:以上公式中的 必须为弧度单位.

例3、知扇形的周长为8 ,圆心角 为2rad,,求该扇形的面积。

变式练习 1、半径为120mm的圆上,有一条弧的长是144mm,求该弧所对的圆心角的弧度数。


2、半径变为原来的 ,而弧长不变,则该弧所对的圆心角是原来的    倍。

3、若2弧度的圆心角所对的弧长是 ,则这个圆心角所在的扇形面积是      .


4、以原点为圆心,半径为1的圆中,一条弦 的长度为 , 所对的圆心角
的弧度数为    .
(六)课堂小结:
1、弧度制的定义;
2、弧度制与角度制的转换与区别;
3、牢记弧度制下的弧长公式和扇形面积公式,并灵活运用;

(七)作业布置 习题1.1A组第7,8,9题。


课后练习与提高

1.在 中,若 ,求A,B,C弧度数。

2.直径为20cm的滑轮,每秒钟旋转 ,则滑轮上一点经过5秒钟转过的弧长是多少?


3.选做题
如图,扇形 的面积是 ,它的周长是 ,求扇形的中心角及弦 的长。



参考答案:
例1解:(1) (2) (3) (4)
变式练习:解:(1) (2) (3)
例2、解:(1)108 (2)200.5 (3)114.6 (4)45
变式练习:解:(1)15 (2)-240 (3)54
例3、解:因为2R+2R=8,所以R=2,S=4
变式练习:
1、 ,2、2,3、4cm2 ,4、
课后练习与提高
1.答案:A= B= C=
2.答案:
221381
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