人教版高中数学选修系列：4.2复数的运算(备课资料)
备课资料
(一)补充例题?
［例1］已知f(z)=2z+z-3i,f(z+i)=6-3i,求f(-z)的值.?
分析：欲求f(-z)的值，说明z一定是一个常数，由已知所给的条件可观察出，实质上是通过复合函数的求法建立以z为变量的复数方程来求解z.?
解：∵f(z)=2z+ -3i,?
∴f( +i)=2( +i)+ -3i??
=2 +z-2i,?
又f( +i)=6-3i,?
∴2 +z-2i=6-3i,即2 +z=6-i.?
设z=a+bi(a、b∈R),则将 =a-bi代入上式得3a-bi=6-i.?
由两复数相等的充要条件得
∴z=2+i.故f(-z)=f(-2-i)=2(-2-i)+(-2+i)-3i=-6-4i.?
解题回顾：本题是牵涉面较广的一道题，我们在学习过程中，一定要注意知识之间的横、纵联系.?
［例2］已知复数z1、z2满足｜z1｜=｜z2｜=1,z1+z2= ,求z1、z2值.?
分析一：由已知｜z1｜=1可设出z1=a+bi(a、b∈R),代入z1+z2求出z2.再根据｜z2｜=1又得出一实数方程，联立即可求解.?
解法一：设z1=a+bi(a、b∈R),则a2+b2=1.①?
∵z1+z2= ,?
∴z2= -a+( -b)i.?
∵｜z2｜=1,∴ ,?
即a+ b=1.②?
将a=1- b代入①,解得b=0或 .?
将b=0代入②得a=1;?
将 代入②得 .?
∴ 或 .?
分析二：从几何角度入手分析这个题，由于｜z1｜=｜z2｜=｜z1+z2｜=1，所以z1、z2、z1+z2所对应的点都在以原点为圆心，1为半径的圆上.再结合z1+z2实部、虚部的特殊性不难从图中直接观察出z1或z2.?
解法二：由｜z1｜=｜z2｜=｜z1+z2｜=1,故z1、z2、z1+z2均在
图4-5
单位圆上，如图,由z1+z2= + ,不难找出相应点为Z.又因z1+z2实部是 ,故图中θ=6°.又｜z1｜=｜z2｜=1，z1+z2对应 ，又是和向量，所以可看出z1=1或z2=1,?
即 或
解题回顾：（1）对本题的解法一，若是设z1=a+bi,z2=c+di,则a2+b2=1,c2+d2=1,再根据z1+z2= 又得两个方程，这样，相当于解一个四元二次方程，变量设的太多，不利于解题，所以我们在解题时，注意巧设，尽量减少变量.?
(2)解法二由复数几何意义进行数形结合求解，是一种很重要的思维方法.?
［例3］（1）复数z满足｜z+5-12i｜=3,求z的轨迹；?
(2)复数z满足2｜z-3-3i｜=｜z｜,求z的轨迹；?
(3)已知｜z｜=2,试求z+3-4i对应点的轨迹.?
（1）解：由｜z-z0｜意义可知｜z+5-12i｜=3表示动点Z到定点Z0距离为定值3，故z轨迹为以（-5+12i）对应点为圆心，3为半径的圆.?
(2)解：本题由方程直接看不出z满足的条件，故可设
z=x+yi(x、y∈R)，代入2｜z-3-3i｜=｜z｜得?到方程为
(x-4)2+(y-4)2=8.故z轨迹为?以(4,4)为圆心，22为半径的圆.?
(3)解法一：设ω=z+3-4i,ω=x+yi(x,y∈R),z=a+bi(a、b∈R).?
∴x+yi=a+3+(b-4)i.?
∴ 即
∵a2+b2=4,?
∴(x-3)2+(y+4)2=4.?
故z轨迹为以(3,-4)为圆心，2为半径的圆.?
解法二：设ω=z+3-4i?,?
则z=ω-3+4i.?
∵｜z｜=2,∴｜ω-3+4i｜=2.?
故z轨迹为以3-4i对应点为圆心，2为半径的圆.?
解题回顾：（1）本题属于求轨迹问题.方法与我们解析几何中求轨迹方法一样，有直接法、代入法和消参法.?
（2）对于（3）题的两种解法均为代入法，从上述解法可看出，有时就用复数直接代入还是很方便的.?
［例4］已知｜｜z-(3-4i)｜-1｜=1且z≠3-4i.?
(1)求｜z｜的最大值和最小值；?
(2)求｜z-1｜2+｜z+1｜2的最大值和最小值.?
(1)分析：由｜z｜的几何意义可知，只需弄清z的轨迹即可.?
解法一：∵｜｜z-(3-4i)｜-1｜=1且z≠3-4i,??
∴｜z-(3-4)i｜=2,z轨迹如图46,以z0=3-4i为圆心，2为半径的圆.?
图4-6
故｜z｜max?=2+9+16=7,｜z｜min=5-2=3.?
分析：由模的性质｜｜z1｜-｜z2｜｜≤｜z1+z2｜≤｜z1｜+｜z2｜知，只要存在λ使得z-(3-4i)=λ(3-4i)(λ＞0有最大值，λ＜0有最小值)即可.?
解法二：｜z｜=｜［z-(3-4i)］+(3-4i)｜≤｜z-(3-4i)｜+｜3-4i｜≤2+5=7,当且仅当z-(3-4i)=λ(3-4i)(λ＞0)时，等号成立.?
∵｜z-(3-4i)｜=2,∴｜λ(3-4i)｜=2.?
∴ ，?
即当 时，｜z｜max=7.?
又∵｜z｜=｜［z-(3-4i)］+(3-4i)｜≥｜｜z-(3-4i)｜-｜3-4i｜｜=｜2-5｜=3,当且仅当z-(3-4i)=λ(3-4i)(λ＜0)时，等号成立，即 .?
∴当 时，｜z｜min=3.?
解题回顾：本题可拓宽到求｜z-z1｜的最值，相当于在圆上求一点到z1对应点距离的最值，此时，不论z1点与圆位置如何，均有?
｜z-z1｜max=｜z1-z0｜+r,?
｜z-z1｜min=｜｜z1-z0｜-r｜.?
(2)分析：此问题实质上是在圆上求一点P，使P到两点（-1，0）、（1，0）距离和最大.此问题，若用圆的参数方程解时较繁，此时可利用向量加、减法几何意义将问题转化为（1）来求解.?
图4-7
解：如图,设A（1，0），B（-1，0），在图上任取一点P，以PA、PB为邻边作平行四边形，则由模性质得?
｜PA｜2+｜PB｜2
= ［｜AB｜2+(2｜OP｜)2］?
= ［｜AB｜2+4｜OP｜2］,?
而｜AB｜2=4，欲求｜PA｜2+｜PB｜2的最值，只需求｜OP｜2最值即可.?
由（1）知｜OP｜max=7,｜OP｜min=3,?
故｜z-1｜2+｜z+1｜2最大值为100，最小值为20.?
解题回顾：本题可拓宽到求｜z-z1｜2+?｜z-z2｜2的最值.设z1、z2对应点仍为A、B，线段AB中点为C，则｜z-z1｜2+｜z-z2｜2= ［｜AB｜+4｜PC｜2］,问题转化为在图上求点P到点C的最大、最小值.?
（二）名篇欣赏?
对挖掘数学课本知识的实践与思考?
方均斌（浙江温州师范学院 325027）?
一个有经验的教师，应该对挖掘课本知识非常重视.笔者经常在各种中学数学杂志上看到诸如《谈课本某某知识的挖掘》《要重视课本知识的挖掘》《要挖掘数学知识的思想方法》等等之类的文章，笔者非常同意这些作者的观点.但在如何把握挖掘数学知识的度，挖掘的过程中应注意的事项以及挖掘课本知识的策略方面，谈得不多.为此，笔者想借贵刊一角谈谈自己的一点想法，供大家参考.?
1.“典型、适时、有度”地挖掘 充分调动学生的积极性?
1.1 “挖”得典型减轻负担?
要“挖”得典型，“挖”是为了教师今后“不挖”，重在教会学生“如何挖”.数学发展到现在，已经形成一门体系庞大的科学，就算经过长期实践和论证而纳入中学生必须学习的数学知识，如果教师处理不当 ，也会让学生负担过重而苦不堪言.例如对每一个定理、公式都进行推广和变形的挖掘,由于这种挖掘都是教师一厢情愿下进行的，对学生来说是被动的，这些经教师挖掘出来的内容，将成为学生的一种新的负担.挖掘课本知识的根本目的在于让学生学会探索性学习，培养他们的探索能力和创新精神，教师应教会学生掌握对问题采用诸如归纳、类比、演绎、映射与反演、普遍化和特殊化、开放性处理以及条件的变更等挖掘知识的方法,而并非是让学生掌握挖掘出来的知识，否则将增加学生的负担.因此，挖掘课本知识要选择典型的内容.那么到底哪些内容需要挖掘，哪些知识不需要挖掘呢？一般说来，这样的几个内容需要挖掘：（1）方法典型，培养学生的创新能力效果较好的内容；（2）思想蕴涵丰富的内容；（3）实际应用较广的内容；（4）对后续知识学习作用较大的内容.当然，教师应着重考虑课程标准（或大纲）范围内的内容.?
［例1］判断下列函数是否具有奇偶性：（高中数学第一册（上）试验修订本?必修P61例4）
（1）f(x)=x3+2x;(2)f(x)=2x4+3x2.?
该题教师要不要对奇偶函数经过四则运算后的函数奇偶性判断的一般规律进行挖掘？笔者认为，需要挖掘.因为挖掘过程可以培养学生运用一般化的思想方法，而且学生也容易得出结论，对提高判断函数的奇偶性的速度大有好处.但是要让学生记住“非空公共定义域内非零奇函数与非零偶函数的和为非奇非偶函数” “非空公共定义域内奇函数和为奇函数”等等，恐怕就可能增加学生的不必要负担了.其实学生如果记不住，只要简单推导一下就可以了.至于是否在讲解该例时就马上进行挖掘，恐怕还为时过早.笔者认为，应该在学生完成习题2.3第7题后的作业评讲或在小结课时进行总结和挖掘较好.如何把握好挖掘课本知识的时机是本文要讨论的另一个话题.?
［例2］求下列两条直线的交点：（高中数学第二册（上）修订本?必修P50例8）?
l1:3x+4y-2=0,l2:2x+y+2=0.?
有的教师感觉每一次都要求两条直线的交点较麻烦，干脆将一般化的方程组：?
(A1B2-A2B1≠0)的通解 告诉学生，让学生记住结论.虽然这样做可以避免每一次都要解二元一次方程组的麻烦,但是增加了学生记忆公式的负担（因为该公式容易记混，尽管有些教师采用行列式帮助学生记忆），而且会削弱学生解一次方程组的变形能力.当然，学生如果自己产生挖掘的需要，那就另当别论了.教师应积极鼓励学生去挖掘，不要以高考不作要求为由，阻止学生对课本知识的挖掘.因为学生探索新知识的兴趣和欲望是至关重要的.只要教师正确引导，相信一定能培养出具有强烈好奇心和探索能力的创新人才.?
1.2 把握时机 恰到好处?
判断哪些知识需要挖掘，需要较多的经验积累，而如何在恰当的时机进行挖掘，更需要教师有一个实践的过程.一般说来，刚传授的新知识不宜马上进行挖掘，需要学生有一个接触和熟悉新知识的过程.这些新知识对学生来说是一片未开发的处女地，让学生在学习和熟悉新知识的过程中去感悟，给学生一点自由的开发时间和空间，教师最多只能做一些暗示、表扬等一些外围工作.此外，教师应充分感悟教材编者的意图，课本中的例题、练习、习题等陆续重复出现的类似问题和结论，很可能是编者有意识地安排并暗示学生进行挖掘的内容，以培养学生的创新和发现能力.教师切勿在学生刚开始学习或在学习中途就一挖到底，来个赶尽杀绝！?
［例3］如何处理以下来自教材（高中数学第二册（上）试验修订本?必修）的类题？?
1.求证： + <2 .（P12例6）?
2.求证：（1） + <4；?
(2) > -2.(P17习题6.3第4题)?
3.已知a≥3,求证： - > - .(P17习题6.3第5题)?
4.已知a>b>0,求证： - < .(P30复习参考题六A组第6题)?
5.求证： + >1+ .(P30复习参考题六A组第7题)?
备课资料
(一)补充例题?
［例1］已知f(z)=2z+z-3i,f(z+i)=6-3i,求f(-z)的值.?
分析：欲求f(-z)的值，说明z一定是一个常数，由已知所给的条件可观察出，实质上是通过复合函数的求法建立以z为变量的复数方程来求解z.?
解：∵f(z)=2z+ -3i,?
∴f( +i)=2( +i)+ -3i??
=2 +z-2i,?
又f( +i)=6-3i,?
∴2 +z-2i=6-3i,即2 +z=6-i.?
设z=a+bi(a、b∈R),则将 =a-bi代入上式得3a-bi=6-i.?
由两复数相等的充要条件得
∴z=2+i.故f(-z)=f(-2-i)=2(-2-i)+(-2+i)-3i=-6-4i.?
解题回顾：本题是牵涉面较广的一道题，我们在学习过程中，一定要注意知识之间的横、纵联系.?
［例2］已知复数z1、z2满足｜z1｜=｜z2｜=1,z1+z2= ,求z1、z2值.?
分析一：由已知｜z1｜=1可设出z1=a+bi(a、b∈R),代入z1+z2求出z2.再根据｜z2｜=1又得出一实数方程，联立即可求解.?
解法一：设z1=a+bi(a、b∈R),则a2+b2=1.①?
∵z1+z2= ,?
∴z2= -a+( -b)i.?
∵｜z2｜=1,∴ ,?
即a+ b=1.②?
将a=1- b代入①,解得b=0或 .?
将b=0代入②得a=1;?
将 代入②得 .?
∴ 或 .?
分析二：从几何角度入手分析这个题，由于｜z1｜=｜z2｜=｜z1+z2｜=1，所以z1、z2、z1+z2所对应的点都在以原点为圆心，1为半径的圆上.再结合z1+z2实部、虚部的特殊性不难从图中直接观察出z1或z2.?
解法二：由｜z1｜=｜z2｜=｜z1+z2｜=1,故z1、z2、z1+z2均在
图4-5
单位圆上，如图,由z1+z2= + ,不难找出相应点为Z.又因z1+z2实部是 ,故图中θ=6°.又｜z1｜=｜z2｜=1，z1+z2对应 ，又是和向量，所以可看出z1=1或z2=1,?
即 或
解题回顾：（1）对本题的解法一，若是设z1=a+bi,z2=c+di,则a2+b2=1,c2+d2=1,再根据z1+z2= 又得两个方程，这样，相当于解一个四元二次方程，变量设的太多，不利于解题，所以我们在解题时，注意巧设，尽量减少变量.?
(2)解法二由复数几何意义进行数形结合求解，是一种很重要的思维方法.?
［例3］（1）复数z满足｜z+5-12i｜=3,求z的轨迹；?
(2)复数z满足2｜z-3-3i｜=｜z｜,求z的轨迹；?
(3)已知｜z｜=2,试求z+3-4i对应点的轨迹.?
（1）解：由｜z-z0｜意义可知｜z+5-12i｜=3表示动点Z到定点Z0距离为定值3，故z轨迹为以（-5+12i）对应点为圆心，3为半径的圆.?
(2)解：本题由方程直接看不出z满足的条件，故可设
z=x+yi(x、y∈R)，代入2｜z-3-3i｜=｜z｜得?到方程为
(x-4)2+(y-4)2=8.故z轨迹为?以(4,4)为圆心，22为半径的圆.?
(3)解法一：设ω=z+3-4i,ω=x+yi(x,y∈R),z=a+bi(a、b∈R).?
∴x+yi=a+3+(b-4)i.?
∴ 即
∵a2+b2=4,?
∴(x-3)2+(y+4)2=4.?
故z轨迹为以(3,-4)为圆心，2为半径的圆.?
解法二：设ω=z+3-4i?,?
则z=ω-3+4i.?
∵｜z｜=2,∴｜ω-3+4i｜=2.?
故z轨迹为以3-4i对应点为圆心，2为半径的圆.?
解题回顾：（1）本题属于求轨迹问题.方法与我们解析几何中求轨迹方法一样，有直接法、代入法和消参法.?
（2）对于（3）题的两种解法均为代入法，从上述解法可看出，有时就用复数直接代入还是很方便的.?
［例4］已知｜｜z-(3-4i)｜-1｜=1且z≠3-4i.?
(1)求｜z｜的最大值和最小值；?
(2)求｜z-1｜2+｜z+1｜2的最大值和最小值.?
(1)分析：由｜z｜的几何意义可知，只需弄清z的轨迹即可.?
解法一：∵｜｜z-(3-4i)｜-1｜=1且z≠3-4i,??
∴｜z-(3-4)i｜=2,z轨迹如图46,以z0=3-4i为圆心，2为半径的圆.?
图4-6
故｜z｜max?=2+9+16=7,｜z｜min=5-2=3.?
分析：由模的性质｜｜z1｜-｜z2｜｜≤｜z1+z2｜≤｜z1｜+｜z2｜知，只要存在λ使得z-(3-4i)=λ(3-4i)(λ＞0有最大值，λ＜0有最小值)即可.?
解法二：｜z｜=｜［z-(3-4i)］+(3-4i)｜≤｜z-(3-4i)｜+｜3-4i｜≤2+5=7,当且仅当z-(3-4i)=λ(3-4i)(λ＞0)时，等号成立.?
∵｜z-(3-4i)｜=2,∴｜λ(3-4i)｜=2.?
∴ ，?
即当 时，｜z｜max=7.?
又∵｜z｜=｜［z-(3-4i)］+(3-4i)｜≥｜｜z-(3-4i)｜-｜3-4i｜｜=｜2-5｜=3,当且仅当z-(3-4i)=λ(3-4i)(λ＜0)时，等号成立，即 .?
∴当 时，｜z｜min=3.?
解题回顾：本题可拓宽到求｜z-z1｜的最值，相当于在圆上求一点到z1对应点距离的最值，此时，不论z1点与圆位置如何，均有?
｜z-z1｜max=｜z1-z0｜+r,?
｜z-z1｜min=｜｜z1-z0｜-r｜.?
(2)分析：此问题实质上是在圆上求一点P，使P到两点（-1，0）、（1，0）距离和最大.此问题，若用圆的参数方程解时较繁，此时可利用向量加、减法几何意义将问题转化为（1）来求解.?
图4-7
解：如图,设A（1，0），B（-1，0），在图上任取一点P，以PA、PB为邻边作平行四边形，则由模性质得?
｜PA｜2+｜PB｜2
= ［｜AB｜2+(2｜OP｜)2］?
= ［｜AB｜2+4｜OP｜2］,?
而｜AB｜2=4，欲求｜PA｜2+｜PB｜2的最值，只需求｜OP｜2最值即可.?
由（1）知｜OP｜max=7,｜OP｜min=3,?
故｜z-1｜2+｜z+1｜2最大值为100，最小值为20.?
解题回顾：本题可拓宽到求｜z-z1｜2+?｜z-z2｜2的最值.设z1、z2对应点仍为A、B，线段AB中点为C，则｜z-z1｜2+｜z-z2｜2= ［｜AB｜+4｜PC｜2］,问题转化为在图上求点P到点C的最大、最小值.?
（二）名篇欣赏?
对挖掘数学课本知识的实践与思考?
方均斌（浙江温州师范学院 325027）?
一个有经验的教师，应该对挖掘课本知识非常重视.笔者经常在各种中学数学杂志上看到诸如《谈课本某某知识的挖掘》《要重视课本知识的挖掘》《要挖掘数学知识的思想方法》等等之类的文章，笔者非常同意这些作者的观点.但在如何把握挖掘数学知识的度，挖掘的过程中应注意的事项以及挖掘课本知识的策略方面，谈得不多.为此，笔者想借贵刊一角谈谈自己的一点想法，供大家参考.?
1.“典型、适时、有度”地挖掘 充分调动学生的积极性?
1.1 “挖”得典型减轻负担?
要“挖”得典型，“挖”是为了教师今后“不挖”，重在教会学生“如何挖”.数学发展到现在，已经形成一门体系庞大的科学，就算经过长期实践和论证而纳入中学生必须学习的数学知识，如果教师处理不当 ，也会让学生负担过重而苦不堪言.例如对每一个定理、公式都进行推广和变形的挖掘,由于这种挖掘都是教师一厢情愿下进行的，对学生来说是被动的，这些经教师挖掘出来的内容，将成为学生的一种新的负担.挖掘课本知识的根本目的在于让学生学会探索性学习，培养他们的探索能力和创新精神，教师应教会学生掌握对问题采用诸如归纳、类比、演绎、映射与反演、普遍化和特殊化、开放性处理以及条件的变更等挖掘知识的方法,而并非是让学生掌握挖掘出来的知识，否则将增加学生的负担.因此，挖掘课本知识要选择典型的内容.那么到底哪些内容需要挖掘，哪些知识不需要挖掘呢？一般说来，这样的几个内容需要挖掘：（1）方法典型，培养学生的创新能力效果较好的内容；（2）思想蕴涵丰富的内容；（3）实际应用较广的内容；（4）对后续知识学习作用较大的内容.当然，教师应着重考虑课程标准（或大纲）范围内的内容.?
［例1］判断下列函数是否具有奇偶性：（高中数学第一册（上）试验修订本?必修P61例4）
（1）f(x)=x3+2x;(2)f(x)=2x4+3x2.?
该题教师要不要对奇偶函数经过四则运算后的函数奇偶性判断的一般规律进行挖掘？笔者认为，需要挖掘.因为挖掘过程可以培养学生运用一般化的思想方法，而且学生也容易得出结论，对提高判断函数的奇偶性的速度大有好处.但是要让学生记住“非空公共定义域内非零奇函数与非零偶函数的和为非奇非偶函数” “非空公共定义域内奇函数和为奇函数”等等，恐怕就可能增加学生的不必要负担了.其实学生如果记不住，只要简单推导一下就可以了.至于是否在讲解该例时就马上进行挖掘，恐怕还为时过早.笔者认为，应该在学生完成习题2.3第7题后的作业评讲或在小结课时进行总结和挖掘较好.如何把握好挖掘课本知识的时机是本文要讨论的另一个话题.?
［例2］求下列两条直线的交点：（高中数学第二册（上）修订本?必修P50例8）?
l1:3x+4y-2=0,l2:2x+y+2=0.?
有的教师感觉每一次都要求两条直线的交点较麻烦，干脆将一般化的方程组：?
(A1B2-A2B1≠0)的通解 告诉学生，让学生记住结论.虽然这样做可以避免每一次都要解二元一次方程组的麻烦,但是增加了学生记忆公式的负担（因为该公式容易记混，尽管有些教师采用行列式帮助学生记忆），而且会削弱学生解一次方程组的变形能力.当然，学生如果自己产生挖掘的需要，那就另当别论了.教师应积极鼓励学生去挖掘，不要以高考不作要求为由，阻止学生对课本知识的挖掘.因为学生探索新知识的兴趣和欲望是至关重要的.只要教师正确引导，相信一定能培养出具有强烈好奇心和探索能力的创新人才.?
1.2 把握时机 恰到好处?
判断哪些知识需要挖掘，需要较多的经验积累，而如何在恰当的时机进行挖掘，更需要教师有一个实践的过程.一般说来，刚传授的新知识不宜马上进行挖掘，需要学生有一个接触和熟悉新知识的过程.这些新知识对学生来说是一片未开发的处女地，让学生在学习和熟悉新知识的过程中去感悟，给学生一点自由的开发时间和空间，教师最多只能做一些暗示、表扬等一些外围工作.此外，教师应充分感悟教材编者的意图，课本中的例题、练习、习题等陆续重复出现的类似问题和结论，很可能是编者有意识地安排并暗示学生进行挖掘的内容，以培养学生的创新和发现能力.教师切勿在学生刚开始学习或在学习中途就一挖到底，来个赶尽杀绝！?
［例3］如何处理以下来自教材（高中数学第二册（上）试验修订本?必修）的类题？?
1.求证： + <2 .（P12例6）?
2.求证：（1） + <4；?
(2) > -2.(P17习题6.3第4题)?
3.已知a≥3,求证： - > - .(P17习题6.3第5题)?
4.已知a>b>0,求证： - < .(P30复习参考题六A组第6题)?
5.求证： + >1+ .(P30复习参考题六A组第7题)?
