题目 第九章(B)直线、平面、简单几何体 空间角
高考要求
1 掌握直线和直线、直线和平面、平面和平面所成的角的概念
2 会求直线和直线、直线和平面、平面和平面所成的角
知识点归纳
1．异面直线所成的角：已知两条异面直线 ，经过空间任一点 作直线 ， 所成的角的大小与点 的选择无关，把 所成的锐角（或直角）叫异面直线 所成的角（或夹角）．为了简便，点 通常取在异面直线的一条上
异面直线所成的角的范围：
2．求异面直线所成的角的方法：（1）几何法；（2）向量法
3．直线和平面所成角
（1）定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角
一直线垂直于平面，所成的角是直角
一直线平行于平面或在平面内，所成角为0?角
直线和平面所成角范围： ?0， ?
（2）定理：斜线和平面所成角是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角
4．公式：平面?的斜线a与?内一直线b相交成θ角，且a与?相交成?1角，a在?上的射影c与b相交成?2角，则有
5 二面角：平面内的一条直线把平面分为两个部分，其中的每一部分叫做半平面；从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面 若棱为 ，两个面分别为 的二面角记为 ；
6．二面角的平面角：
（1）过二面角的棱上的一点 分别在两个半平面内作棱的两条垂线 ，则 叫做二面角 的平面角
（2）一个平面垂直于二面角 的棱 ，且与两半平面交线分别为 为垂足，则 也是 的平面角
说明：①二面角的平面角范围是 ；
②二面角的平面角为直角时，则称为直二面角，组成直二面角的两个平面互相垂直
7．二面角的求法：⑴几何法；⑵向量法
8 求二面角的射影公式： ，
其中各个符号的含义是： 是二面角的一个面内图形F的面积， 是图形F在二面角的另一个面内的射影， 是二面角的大小
9．三种空间角的向量法计算公式：
⑴异面直线 所成的角 ： ；
⑵直线 与平面 (法向量 )所成的角 ： ；
⑶锐二面角 ： ，其中 为两个面的法向量
题型讲解
例1 直三棱柱A1B1C1?ABC，∠BCA=90°，点D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
解法一：(几何法)如图，连结D1F1，
则D1F1
BC ∴D1F1
设点E为BC中点
∴D1F1 BE EF1
∴∠EF1A或补角即为所求
由余弦定理可求得cos∠EF1A= ．
解法二：(向量法)建立如图所示的坐标系，设BC=1
则A（－1，0，0），F1（－ ，0，1），
B（0，－1，0），D1（－ ，－ ，1）
即 =（ ，0，1）， =（－ ， ，1）
∴cos< ， >=
点评： 解法一与解法二从两个不同角度求异面直线所成的角．解法一体现传统方法作?证?算；解法二把角的求解转化为向量运算，应注意体会两种方法的特点．
例2 在正四面体ABCD中，E为AD的中点，求直线CE与平面BCD成的角．
分析:求线面角的关键在于找出斜线在平面内的射影，即找垂面，有了垂面即可在垂面内作交线的垂线，线面角即可作出，然后转化到三角形中求解．
解法一: 取BC的中点F，连结AF、DF
∵正四面体ABCD
∴BC⊥AF，BC⊥DF
∴BC⊥面AFD，
而BC 平面BCD
∴面AFD⊥面BCD
过E作EH⊥DF于H，
而DF 平面BCD，则EH⊥面BCD
则∠ECH为CE与面BCD所成的角．
在Rt△CEH中，sin∠ECH= ．
即CE与平面BCD成的角为arcsin ．
解法二：如图建立以三角形BCD的中心O为原点，,OD,OA依次为y轴，z 轴 X轴平行于BC
设正四面体ABCD的棱长为 ，
则
∴
∵E为AD的中点，∴
∴
又因为平面BCD的法向量为 ，
∴即CE与平面BCD成的角 满足：
点评：求线面角的两种方法
例3 如图，在长方体ABCD?A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝BB1＝1，E为D1C1的中点，求二面角E?BD?C的正切值．
解法一：∵ABCD?A1B1C1D1是长方体，
∴作EF⊥面BCD，而E为 的中点，则F为CD的中点，过F作FM⊥BD交BD于M，连EM，由三垂线定理知EM⊥BD，
∴∠EMF就是二面角E?BD?C的平面角，〕又∵AB＝2，BB1＝BC＝1，EF＝1，
FM＝1× ＝
∴tan∠EMF＝ ．
解法二：∵S△BDF＝S△EBD?cosθ
而S△BDF＝ BD?FM＝ ? ? ＝ ，
又BD＝ ，ED＝ ，BE＝
∴ED2+BE2＝BD2
∴DE⊥EB 故S△EBD＝ ED?EB＝
∴cosθ＝ ；tanθ＝ ．
解法三：过E作棱BD的垂线EM交BD于M，过C点作棱BD的垂线CN交BD于N，E、C是异面直线EM、CN上两点，CE＝ ．EM＝ ，
而FM⊥BD，CN⊥BD，F为CD中点，
∴MN＝DM＝
∴2＝ cosθ
cosθ＝ ，tanθ＝ ．
解法四：如图，建立坐标系，则D(0,0,0),B(1,2,0),E(0,1,1)
设平面DBE的方程为： （过原点D=0）
则
∴平面DBE的一个法向量为
又因为平面BCD的一个法向量为
二面角E?BD?C的余弦值为：
∴
点评： 选此题意在通过此题使学生掌握二面角平面角的作法及求法．即三垂线定理及逆定理法，投影法，利用异面直线上两点间的距离公式法．
例4 正方体ABCD-EFGH的棱长为a，点P在AC上，Q在BG上，且AP=BQ=a,
⑴求直线PQ与平面ABCD所成的角的正切值；
⑵求直线PQ与AD所成的角
分析：（1）先作出PQ在面ABCD内的射影，由于面BFGC⊥面ABCD，作QM⊥BC于M，则MP就是QP在面ABCD内的射影，∠QPM就是要求的角，也可以先求出面ABCD的法向量 与 的角，然后再求它的余角即得
（2）（向量法）解：建立坐标系后，求出
可由cos 求解，
解（1）作QM⊥BC于M，连MP，则∠QMP就是直线PQ与平面ABCD所成的角则易得：QM= ， MP=（1-
tan∠QPM=
（2）建立空间直角坐标系如图，则
Q（0， P（
A（a,0,0）,D(a,a,0),
, =(0,a,0)
QP与AD所成的角为90°
例5 如图，在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中，∠ABC=90°，SA⊥平面ABCD，SA=AB=BC=1，AD= ，求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值
分析：此题中二面角的棱没有画出，按常规解可延长BA，CD相交于E，则SE是二面角的棱，因为DA⊥面ABS，过点A作SE的垂线交SE于F，连结DF，则∠ADF就是所求二面角的平面角
若用向量法求解，就是要求两个面的法向量所成的角或补角
解：如图建立空间直角坐标系，则依题意可知D（ ，C（1，1，0），
S（0，0，1），可知 是面SAB的法向量
设平面SCD的法向量 =（x，y，z）
=0，
可推出 令x=2,则有y=-1,z=1, =（2，-1，1）
设所求二面角的大小为θ，则
cosθ= =
, tan
例6 已知平行六面体ABCD?A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD
（1）证明：C1C⊥BD；
（2）当 的值为多少时，能使A1C⊥平面C1BD 请给出证明
证明：如设∠C1CB=θ，由题设，∠C1CD=∠BCD=θ 令 = ， = ， = ， =1， =x，因为四边形ABCD为菱形，所以 =1，
（1）∵ -
∴ ? = ?( - )= ? - ?
=1?x?cosθ-1?x?cosθ=0
∴ C1C⊥BD
（2）假设A1C⊥平面C1BD成立
则A1C⊥C1D，从而 ? =0
由于 = - ， = + +
因此
? =( + + )?( - )
= 2+ ? + ? - ?c- ? - 2
= 2+ ? + ? - 2=1+1?1?cosθ-1?x?cosθ-x2
=（1-x）(1+x+cosθ)
从而(1-x)?(1+x+cosθ)=0
由于1+x+cosθ＞0，因此，x=1
也就是说 时，A1C⊥平面C1BD成立
点评：平行六面体的12条棱共分三组，每组四条棱两两平行，故可取共顶点的三条棱作为空间向量的基底，此题中 ， ， 三个共点向量为基底，其余向量可由此三个向量生成
小结：
空间角的求解有两种方法一种是几何法，另一种是向量法．
1．几何法一般要有三个步骤．
（1）作图：如上例中作出二面角的平面角及题中涉及的有关图形等；
（2）证明：证明所给图形是符合题设要求的；
（3）计算：在证明的基础上计算得出结果．
2．向量法是把求角的问题转化为求两向量的夹角．这里平面的法向量常用待定系数法求解，平面的法向量是关键．
学生练习
1．异面直线a与b所成的角为50°，P为空间一点，则过P点且与a、b所成的角都是30°的直线有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
解析：将a、b平移到点P，则过P与a、b所成的角都是30°的直线为2条．
答案：B
2．平面α的斜线与α所成的角为30°，则此斜线和α内所有不过斜足的直线中所成的角的最大值为（ ）
A．30° B．60° C．90° D．150°
解析：本题易误选D，因斜线和α内所有不过斜足的直线为异面直线，故最大角为90°．
答案：C
3．在边长为a的正三角形ABC中，AD⊥BC于D，沿AD折成二面角B?AD?C后，BC＝ a，这时二面角B?AD?C的大小为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
解析：折起后△BCD为正三角形．
答案：C
4．四面体ABCD中，E、F分别是AC、BD的中点，若CD=2AB，EF⊥AB，则EF与CD所成的角等于（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
解析：取AD中点G，连结EG、GF，则GE CD，GE= AB
∵CD=2AB ∴GE=2GF，∵EF⊥AB，∴EF⊥GF．
∴∠GEF=30°
答案：A
5．在正方体A?C1中，E、F分别为D1C1与AB的中点，则A1B1与截面A1ECF所成的角为（ ）
A．arctan B．arccos C．arcsin D．都不对
解：（向量法）建立以D为原点，DA,DC,DD1分别为x,y,z轴的坐标系，设棱长为1
设平面A1FCE的法向量 =（x，y，z）, 则 ? =0， ? =0
∵ =（－1， ，0）， =（0，－ ，1）
∴ ,令y=2 , ∴ =（1，2，1）
又∵ =（0，1，0） ∴cos< , >=
∴A1B1与平面A1FCE成的角为arcsin 答案：A
6．一条直线与直二面角的两个面所成的角分别是α和β，则α＋β的范围是_____．
解：设A、B分别为平面M、N内任一点，过A、B分别作AC⊥ ，BD⊥ 垂足为C、D．则∠BAD=α，∠ABC=β,α+β≤α+∠ABD=90°
又∵α+β≥0°,∴α+β∈[0°，90°]
答案：[0°，90°]
7．在平面角为锐角的二面角α?EF?β中，A∈EF，AG α，∠GAE＝45°，若AG与β所成角为30°，则二面角α?EF?β的平面角为______．
答案：45°
8．二面角α? ?β的平面角为120°，A、B∈ ，AC α，BD β，AC⊥ ，BD⊥ ，若AB＝AC＝BD＝ ，则CD的长为 ．
解析：∵ ，AC⊥ ，BD⊥ ．AB∈ ．
∴ ，
∴
答案：2
9．在直角坐标系中，设A（－2，3），B（3，－2），沿x轴把直角坐标平面折成大小为θ的二面角后，｜AB｜＝4 ，则θ的值为 ．
答案：60°
高考要求
1 掌握直线和直线、直线和平面、平面和平面所成的角的概念
2 会求直线和直线、直线和平面、平面和平面所成的角
知识点归纳
1．异面直线所成的角：已知两条异面直线 ，经过空间任一点 作直线 ， 所成的角的大小与点 的选择无关，把 所成的锐角（或直角）叫异面直线 所成的角（或夹角）．为了简便，点 通常取在异面直线的一条上
异面直线所成的角的范围：
2．求异面直线所成的角的方法：（1）几何法；（2）向量法
3．直线和平面所成角
（1）定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角
一直线垂直于平面，所成的角是直角
一直线平行于平面或在平面内，所成角为0?角
直线和平面所成角范围： ?0， ?
（2）定理：斜线和平面所成角是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角
4．公式：平面?的斜线a与?内一直线b相交成θ角，且a与?相交成?1角，a在?上的射影c与b相交成?2角，则有
5 二面角：平面内的一条直线把平面分为两个部分，其中的每一部分叫做半平面；从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面 若棱为 ，两个面分别为 的二面角记为 ；
6．二面角的平面角：
（1）过二面角的棱上的一点 分别在两个半平面内作棱的两条垂线 ，则 叫做二面角 的平面角
（2）一个平面垂直于二面角 的棱 ，且与两半平面交线分别为 为垂足，则 也是 的平面角
说明：①二面角的平面角范围是 ；
②二面角的平面角为直角时，则称为直二面角，组成直二面角的两个平面互相垂直
7．二面角的求法：⑴几何法；⑵向量法
8 求二面角的射影公式： ，
其中各个符号的含义是： 是二面角的一个面内图形F的面积， 是图形F在二面角的另一个面内的射影， 是二面角的大小
9．三种空间角的向量法计算公式：
⑴异面直线 所成的角 ： ；
⑵直线 与平面 (法向量 )所成的角 ： ；
⑶锐二面角 ： ，其中 为两个面的法向量
题型讲解
例1 直三棱柱A1B1C1?ABC，∠BCA=90°，点D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
解法一：(几何法)如图，连结D1F1，
则D1F1
BC ∴D1F1
设点E为BC中点
∴D1F1 BE EF1
∴∠EF1A或补角即为所求
由余弦定理可求得cos∠EF1A= ．
解法二：(向量法)建立如图所示的坐标系，设BC=1
则A（－1，0，0），F1（－ ，0，1），
B（0，－1，0），D1（－ ，－ ，1）
即 =（ ，0，1）， =（－ ， ，1）
∴cos< ， >=
点评： 解法一与解法二从两个不同角度求异面直线所成的角．解法一体现传统方法作?证?算；解法二把角的求解转化为向量运算，应注意体会两种方法的特点．
例2 在正四面体ABCD中，E为AD的中点，求直线CE与平面BCD成的角．
分析:求线面角的关键在于找出斜线在平面内的射影，即找垂面，有了垂面即可在垂面内作交线的垂线，线面角即可作出，然后转化到三角形中求解．
解法一: 取BC的中点F，连结AF、DF
∵正四面体ABCD
∴BC⊥AF，BC⊥DF
∴BC⊥面AFD，
而BC 平面BCD
∴面AFD⊥面BCD
过E作EH⊥DF于H，
而DF 平面BCD，则EH⊥面BCD
则∠ECH为CE与面BCD所成的角．
在Rt△CEH中，sin∠ECH= ．
即CE与平面BCD成的角为arcsin ．
解法二：如图建立以三角形BCD的中心O为原点，,OD,OA依次为y轴，z 轴 X轴平行于BC
设正四面体ABCD的棱长为 ，
则
∴
∵E为AD的中点，∴
∴
又因为平面BCD的法向量为 ，
∴即CE与平面BCD成的角 满足：
点评：求线面角的两种方法
例3 如图，在长方体ABCD?A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝BB1＝1，E为D1C1的中点，求二面角E?BD?C的正切值．
解法一：∵ABCD?A1B1C1D1是长方体，
∴作EF⊥面BCD，而E为 的中点，则F为CD的中点，过F作FM⊥BD交BD于M，连EM，由三垂线定理知EM⊥BD，
∴∠EMF就是二面角E?BD?C的平面角，〕又∵AB＝2，BB1＝BC＝1，EF＝1，
FM＝1× ＝
∴tan∠EMF＝ ．
解法二：∵S△BDF＝S△EBD?cosθ
而S△BDF＝ BD?FM＝ ? ? ＝ ，
又BD＝ ，ED＝ ，BE＝
∴ED2+BE2＝BD2
∴DE⊥EB 故S△EBD＝ ED?EB＝
∴cosθ＝ ；tanθ＝ ．
解法三：过E作棱BD的垂线EM交BD于M，过C点作棱BD的垂线CN交BD于N，E、C是异面直线EM、CN上两点，CE＝ ．EM＝ ，
而FM⊥BD，CN⊥BD，F为CD中点，
∴MN＝DM＝
∴2＝ cosθ
cosθ＝ ，tanθ＝ ．
解法四：如图，建立坐标系，则D(0,0,0),B(1,2,0),E(0,1,1)
设平面DBE的方程为： （过原点D=0）
则
∴平面DBE的一个法向量为
又因为平面BCD的一个法向量为
二面角E?BD?C的余弦值为：
∴
点评： 选此题意在通过此题使学生掌握二面角平面角的作法及求法．即三垂线定理及逆定理法，投影法，利用异面直线上两点间的距离公式法．
例4 正方体ABCD-EFGH的棱长为a，点P在AC上，Q在BG上，且AP=BQ=a,
⑴求直线PQ与平面ABCD所成的角的正切值；
⑵求直线PQ与AD所成的角
分析：（1）先作出PQ在面ABCD内的射影，由于面BFGC⊥面ABCD，作QM⊥BC于M，则MP就是QP在面ABCD内的射影，∠QPM就是要求的角，也可以先求出面ABCD的法向量 与 的角，然后再求它的余角即得
（2）（向量法）解：建立坐标系后，求出
可由cos 求解，
解（1）作QM⊥BC于M，连MP，则∠QMP就是直线PQ与平面ABCD所成的角则易得：QM= ， MP=（1-
tan∠QPM=
（2）建立空间直角坐标系如图，则
Q（0， P（
A（a,0,0）,D(a,a,0),
, =(0,a,0)
QP与AD所成的角为90°
例5 如图，在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中，∠ABC=90°，SA⊥平面ABCD，SA=AB=BC=1，AD= ，求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值
分析：此题中二面角的棱没有画出，按常规解可延长BA，CD相交于E，则SE是二面角的棱，因为DA⊥面ABS，过点A作SE的垂线交SE于F，连结DF，则∠ADF就是所求二面角的平面角
若用向量法求解，就是要求两个面的法向量所成的角或补角
解：如图建立空间直角坐标系，则依题意可知D（ ，C（1，1，0），
S（0，0，1），可知 是面SAB的法向量
设平面SCD的法向量 =（x，y，z）
=0，
可推出 令x=2,则有y=-1,z=1, =（2，-1，1）
设所求二面角的大小为θ，则
cosθ= =
, tan
例6 已知平行六面体ABCD?A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD
（1）证明：C1C⊥BD；
（2）当 的值为多少时，能使A1C⊥平面C1BD 请给出证明
证明：如设∠C1CB=θ，由题设，∠C1CD=∠BCD=θ 令 = ， = ， = ， =1， =x，因为四边形ABCD为菱形，所以 =1，
（1）∵ -
∴ ? = ?( - )= ? - ?
=1?x?cosθ-1?x?cosθ=0
∴ C1C⊥BD
（2）假设A1C⊥平面C1BD成立
则A1C⊥C1D，从而 ? =0
由于 = - ， = + +
因此
? =( + + )?( - )
= 2+ ? + ? - ?c- ? - 2
= 2+ ? + ? - 2=1+1?1?cosθ-1?x?cosθ-x2
=（1-x）(1+x+cosθ)
从而(1-x)?(1+x+cosθ)=0
由于1+x+cosθ＞0，因此，x=1
也就是说 时，A1C⊥平面C1BD成立
点评：平行六面体的12条棱共分三组，每组四条棱两两平行，故可取共顶点的三条棱作为空间向量的基底，此题中 ， ， 三个共点向量为基底，其余向量可由此三个向量生成
小结：
空间角的求解有两种方法一种是几何法，另一种是向量法．
1．几何法一般要有三个步骤．
（1）作图：如上例中作出二面角的平面角及题中涉及的有关图形等；
（2）证明：证明所给图形是符合题设要求的；
（3）计算：在证明的基础上计算得出结果．
2．向量法是把求角的问题转化为求两向量的夹角．这里平面的法向量常用待定系数法求解，平面的法向量是关键．
学生练习
1．异面直线a与b所成的角为50°，P为空间一点，则过P点且与a、b所成的角都是30°的直线有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
解析：将a、b平移到点P，则过P与a、b所成的角都是30°的直线为2条．
答案：B
2．平面α的斜线与α所成的角为30°，则此斜线和α内所有不过斜足的直线中所成的角的最大值为（ ）
A．30° B．60° C．90° D．150°
解析：本题易误选D，因斜线和α内所有不过斜足的直线为异面直线，故最大角为90°．
答案：C
3．在边长为a的正三角形ABC中，AD⊥BC于D，沿AD折成二面角B?AD?C后，BC＝ a，这时二面角B?AD?C的大小为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
解析：折起后△BCD为正三角形．
答案：C
4．四面体ABCD中，E、F分别是AC、BD的中点，若CD=2AB，EF⊥AB，则EF与CD所成的角等于（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
解析：取AD中点G，连结EG、GF，则GE CD，GE= AB
∵CD=2AB ∴GE=2GF，∵EF⊥AB，∴EF⊥GF．
∴∠GEF=30°
答案：A
5．在正方体A?C1中，E、F分别为D1C1与AB的中点，则A1B1与截面A1ECF所成的角为（ ）
A．arctan B．arccos C．arcsin D．都不对
解：（向量法）建立以D为原点，DA,DC,DD1分别为x,y,z轴的坐标系，设棱长为1
设平面A1FCE的法向量 =（x，y，z）, 则 ? =0， ? =0
∵ =（－1， ，0）， =（0，－ ，1）
∴ ,令y=2 , ∴ =（1，2，1）
又∵ =（0，1，0） ∴cos< , >=
∴A1B1与平面A1FCE成的角为arcsin 答案：A
6．一条直线与直二面角的两个面所成的角分别是α和β，则α＋β的范围是_____．
解：设A、B分别为平面M、N内任一点，过A、B分别作AC⊥ ，BD⊥ 垂足为C、D．则∠BAD=α，∠ABC=β,α+β≤α+∠ABD=90°
又∵α+β≥0°,∴α+β∈[0°，90°]
答案：[0°，90°]
7．在平面角为锐角的二面角α?EF?β中，A∈EF，AG α，∠GAE＝45°，若AG与β所成角为30°，则二面角α?EF?β的平面角为______．
答案：45°
8．二面角α? ?β的平面角为120°，A、B∈ ，AC α，BD β，AC⊥ ，BD⊥ ，若AB＝AC＝BD＝ ，则CD的长为 ．
解析：∵ ，AC⊥ ，BD⊥ ．AB∈ ．
∴ ，
∴
答案：2
9．在直角坐标系中，设A（－2，3），B（3，－2），沿x轴把直角坐标平面折成大小为θ的二面角后，｜AB｜＝4 ，则θ的值为 ．
答案：60°
