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向量的概念及表示

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课时6 向量的概念及表示
【学习目标】
要求学生掌握向量的意义、表示方法以及有关概念,并能作一个向量与已知向量相等,根据图形判定向量是否平行、共线、相等。
一、知识梳理
1.数量:仅用一个实数就可以表示的量叫数量。如距离、时间、面积等。
2. 向量: 叫向量。如物理中的位移、速度、力等。
3.向量的表示:常用一条有向线段来表示,
有向线段的长度表示向量的大小,箭头表示所指的方向。
以A为起点。以B为终点的向量记为 ,也可以用 来表示。如


注:两个向量的模可以比较大小,但向量不能比较大小。
4.向量 的 叫向量的模。记为
5.特殊向量:零向量:
单位向量:
6、平行向量:
规定:零向量与任一向量平行
7、相等向量:
8、共线向量:任意一组平行向量都可以平移到同一条直线上。 故平移向量又称共线向量
9、相反向量:我们把与 的向量叫做 的相反向量-
规定:零向量的相反向量仍是零向量
二、基础训练
1.下列各题中,哪些是数量,哪些是向量?
质量,密度,角,位移,距离,浮力,速度,功,加速度,温度,电流强度,浓度,向心力



2.判断下列说法是否正确,并说明理由。
(1)温度有零上和零下之分。所以温度是向量 ( )
(2) =0 ( )
(3)共线向量就是平行向量 ( )
(4)若 , 为非零向量,且 = ,则 = ( )
(5)若 =- 则 ∥ ( )
(6)对任意向量 , , ,若 = , = ,则 = ( )
(7)对任意向量 , , ,若 ∥ , ∥ ,则 ∥ ( )
(8)平行向量方向一定相同 ( )
(9)共线向量一定在同一条直线上 ( )
(10)若 = 则 ∥ ( )
三、典型例题
例1.已知O为正六边形ABCDEF的中心,在图中所标出的向量中;
(1)试找出与 共线的向量
(2)确定与 相等的向量
(3) 与 相等吗?



例2、如图,△ABC和△ 是在各边的 相交的
两个全等的正三角形,设正△ABC的边长为a,图
中列出了长度均为 的若干个向量。
求:(1)与 相等的向量;
(2)与 共线的向量;
(3)与 平行的向量。


例3、在图4 5的方格纸中有一个向量 ,分别以图中的格点为起点和终点,其中:(1)与 相等的向量有多少?(2)与 长度相等的共线向量有多少?(3) 与 共线的向量有多少?( 除外)

三.课后作业:
1、下列命题中,正确的是
A B
C D
2、下列命题中真命题为
①向量 的长度与向量 的长度相等;② ,则 的方向相同或相反;
③两个有共起点且相等的向量,其终点必相同;④两个有共起点且相等的向量,一定是共线向量;⑤ 与 是共线向量,则点A、B、C、D必在同一直线上;
⑥有向线段就是向量,向量就是有向线段。
3、设O为 的重心,则 是
A 相等向量 B 平行向量 C 模相等向量 D 终点相同的向量

4、设ABCD为正方形,则可用同一条有向线段表示的两个向量为
A 和 B 和 C 和 D 和
5、若 是两个不平行的非零向量,并且 ,则 =

6、已知ABCD为菱形, =1, ,求 ,


7、在梯形ABCD中,若E,F分别为腰AB、DC的三等分点,且 =2, =5,求 。

8、在直角坐标系中,画出下列向量:
(1) =2, 的方向与x轴正方向的夹角为 ,与y轴正方向的夹角为 ;
(2) =4, 的方向与x轴正方向的夹角为 ,与y轴正方向的夹角为 ;
(3) =4 , 的方向与x轴正方向的夹角为 ,与y轴正方向的夹角为 ;


9、如图,D、E、F分别是 的三边AB、BC、AC的中点,以A、B、C、D、E、F中的一点为始点,而另一点为终点的向量中:
(1)写出与 相等的向量;
(2)写出与 共线的向量。


10、如下图,每格点边长为0.5,以图中各格点为起点和终点的向量中,与向量 相等的向量共有几个?与向量 平行且模为 的向量共有几个?与向量 方向相同且模为 的向量共有几个?


11、一辆汽车从A点出发向西行驶了100公里到达B点,然后又改变方向向西偏北 走了200公里到达C点,最后又改变方向,向东行驶了100公里到达D点。(1)作出向量 ; (2)求 。


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