课时6 向量的概念及表示
【学习目标】
要求学生掌握向量的意义、表示方法以及有关概念，并能作一个向量与已知向量相等，根据图形判定向量是否平行、共线、相等。
一、知识梳理
1．数量：仅用一个实数就可以表示的量叫数量。如距离、时间、面积等。
2． 向量： 叫向量。如物理中的位移、速度、力等。
3．向量的表示：常用一条有向线段来表示，
有向线段的长度表示向量的大小，箭头表示所指的方向。
以A为起点。以B为终点的向量记为 ，也可以用 来表示。如
注：两个向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小。
4．向量 的 叫向量的模。记为
5．特殊向量：零向量：
单位向量：
6、平行向量：
规定：零向量与任一向量平行
7、相等向量：
8、共线向量：任意一组平行向量都可以平移到同一条直线上。 故平移向量又称共线向量
9、相反向量：我们把与 的向量叫做 的相反向量-
规定：零向量的相反向量仍是零向量
二、基础训练
1．下列各题中，哪些是数量，哪些是向量？
质量，密度，角，位移，距离，浮力，速度，功，加速度，温度，电流强度，浓度，向心力
2．判断下列说法是否正确，并说明理由。
（1）温度有零上和零下之分。所以温度是向量 （ ）
（2） =0 （ ）
（3）共线向量就是平行向量 （ ）
（4）若 ， 为非零向量，且 = ，则 = （ ）
（5）若 =- 则 ∥ （ ）
（6）对任意向量 ， ， ，若 = ， = ，则 = （ ）
（7）对任意向量 ， ， ，若 ∥ ， ∥ ，则 ∥ （ ）
（8）平行向量方向一定相同 （ ）
（9）共线向量一定在同一条直线上 （ ）
（10）若 = 则 ∥ （ ）
三、典型例题
例1．已知O为正六边形ABCDEF的中心，在图中所标出的向量中；
（1）试找出与 共线的向量
（2）确定与 相等的向量
（3） 与 相等吗？
例2、如图，△ABC和△ 是在各边的 相交的
两个全等的正三角形，设正△ABC的边长为a，图
中列出了长度均为 的若干个向量。
求：（1）与 相等的向量；
（2）与 共线的向量；
（3）与 平行的向量。
例3、在图4 5的方格纸中有一个向量 ，分别以图中的格点为起点和终点，其中：（1）与 相等的向量有多少？（2）与 长度相等的共线向量有多少？(3) 与 共线的向量有多少？（ 除外）
三．课后作业：
1、下列命题中，正确的是
A B
C D
2、下列命题中真命题为
①向量 的长度与向量 的长度相等；② ，则 的方向相同或相反；
③两个有共起点且相等的向量，其终点必相同；④两个有共起点且相等的向量，一定是共线向量；⑤ 与 是共线向量，则点A、B、C、D必在同一直线上；
⑥有向线段就是向量，向量就是有向线段。
3、设O为 的重心，则 是
A 相等向量 B 平行向量 C 模相等向量 D 终点相同的向量
4、设ABCD为正方形，则可用同一条有向线段表示的两个向量为
A 和 B 和 C 和 D 和
5、若 是两个不平行的非零向量，并且 ，则 =
6、已知ABCD为菱形， =1， ，求 ，
7、在梯形ABCD中，若E，F分别为腰AB、DC的三等分点，且 =2， =5，求 。
8、在直角坐标系中，画出下列向量：
（1） =2， 的方向与x轴正方向的夹角为 ，与y轴正方向的夹角为 ；
（2） =4， 的方向与x轴正方向的夹角为 ，与y轴正方向的夹角为 ；
（3） =4 ， 的方向与x轴正方向的夹角为 ，与y轴正方向的夹角为 ；
9、如图，D、E、F分别是 的三边AB、BC、AC的中点，以A、B、C、D、E、F中的一点为始点，而另一点为终点的向量中：
（1）写出与 相等的向量；
（2）写出与 共线的向量。
10、如下图，每格点边长为0.5，以图中各格点为起点和终点的向量中，与向量 相等的向量共有几个？与向量 平行且模为 的向量共有几个？与向量 方向相同且模为 的向量共有几个？
11、一辆汽车从A点出发向西行驶了100公里到达B点，然后又改变方向向西偏北 走了200公里到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100公里到达D点。（1）作出向量 ； （2）求 。
【学习目标】
要求学生掌握向量的意义、表示方法以及有关概念，并能作一个向量与已知向量相等，根据图形判定向量是否平行、共线、相等。
一、知识梳理
1．数量：仅用一个实数就可以表示的量叫数量。如距离、时间、面积等。
2． 向量： 叫向量。如物理中的位移、速度、力等。
3．向量的表示：常用一条有向线段来表示，
有向线段的长度表示向量的大小，箭头表示所指的方向。
以A为起点。以B为终点的向量记为 ，也可以用 来表示。如
注：两个向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小。
4．向量 的 叫向量的模。记为
5．特殊向量：零向量：
单位向量：
6、平行向量：
规定：零向量与任一向量平行
7、相等向量：
8、共线向量：任意一组平行向量都可以平移到同一条直线上。 故平移向量又称共线向量
9、相反向量：我们把与 的向量叫做 的相反向量-
规定：零向量的相反向量仍是零向量
二、基础训练
1．下列各题中，哪些是数量，哪些是向量？
质量，密度，角，位移，距离，浮力，速度，功，加速度，温度，电流强度，浓度，向心力
2．判断下列说法是否正确，并说明理由。
（1）温度有零上和零下之分。所以温度是向量 （ ）
（2） =0 （ ）
（3）共线向量就是平行向量 （ ）
（4）若 ， 为非零向量，且 = ，则 = （ ）
（5）若 =- 则 ∥ （ ）
（6）对任意向量 ， ， ，若 = ， = ，则 = （ ）
（7）对任意向量 ， ， ，若 ∥ ， ∥ ，则 ∥ （ ）
（8）平行向量方向一定相同 （ ）
（9）共线向量一定在同一条直线上 （ ）
（10）若 = 则 ∥ （ ）
三、典型例题
例1．已知O为正六边形ABCDEF的中心，在图中所标出的向量中；
（1）试找出与 共线的向量
（2）确定与 相等的向量
（3） 与 相等吗？
例2、如图，△ABC和△ 是在各边的 相交的
两个全等的正三角形，设正△ABC的边长为a，图
中列出了长度均为 的若干个向量。
求：（1）与 相等的向量；
（2）与 共线的向量；
（3）与 平行的向量。
例3、在图4 5的方格纸中有一个向量 ，分别以图中的格点为起点和终点，其中：（1）与 相等的向量有多少？（2）与 长度相等的共线向量有多少？(3) 与 共线的向量有多少？（ 除外）
三．课后作业：
1、下列命题中，正确的是
A B
C D
2、下列命题中真命题为
①向量 的长度与向量 的长度相等；② ，则 的方向相同或相反；
③两个有共起点且相等的向量，其终点必相同；④两个有共起点且相等的向量，一定是共线向量；⑤ 与 是共线向量，则点A、B、C、D必在同一直线上；
⑥有向线段就是向量，向量就是有向线段。
3、设O为 的重心，则 是
A 相等向量 B 平行向量 C 模相等向量 D 终点相同的向量
4、设ABCD为正方形，则可用同一条有向线段表示的两个向量为
A 和 B 和 C 和 D 和
5、若 是两个不平行的非零向量，并且 ，则 =
6、已知ABCD为菱形， =1， ，求 ，
7、在梯形ABCD中，若E，F分别为腰AB、DC的三等分点，且 =2， =5，求 。
8、在直角坐标系中，画出下列向量：
（1） =2， 的方向与x轴正方向的夹角为 ，与y轴正方向的夹角为 ；
（2） =4， 的方向与x轴正方向的夹角为 ，与y轴正方向的夹角为 ；
（3） =4 ， 的方向与x轴正方向的夹角为 ，与y轴正方向的夹角为 ；
9、如图，D、E、F分别是 的三边AB、BC、AC的中点，以A、B、C、D、E、F中的一点为始点，而另一点为终点的向量中：
（1）写出与 相等的向量；
（2）写出与 共线的向量。
10、如下图，每格点边长为0.5，以图中各格点为起点和终点的向量中，与向量 相等的向量共有几个？与向量 平行且模为 的向量共有几个？与向量 方向相同且模为 的向量共有几个？
11、一辆汽车从A点出发向西行驶了100公里到达B点，然后又改变方向向西偏北 走了200公里到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100公里到达D点。（1）作出向量 ； （2）求 。
