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函数的最值

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j.Co M 数学必修1:函数的最大(小)值
目的 :(1)理解函数的最大(小)值及其几何意义;
(2)学会运用函数图象理解和研究函数的性质;
重点:函数的最大(小)值及其几何意义.
教学难点:利用函数的单调性求函数的最大(小)值.
教学过程:
一、引入课题
画出下列函数的图象,并根据图象解答下列问题:
○1说出y=f(x)的单调区间 ,以及在各单调区间上的单调性;
○2指出图象的最高点或最低点,并说明它能体现函数的什么特征?
(1) (2)
(3) (4)
二、新课教学
(一)函数最大(小)值定义
1.最大值
一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:
(1)对于任意的x∈I,都有f(x)≤M;
(2)存在x0∈I,使得f(x0)=M
那么,称M是函数y=f(x)的最大值(MaximumValue).
思考:仿照函数最大值的定义,给出函数y=f(x)的最小值(MinimumValue)的定义.(学生活动)
注意:
○1函数最大(小)首先应该是某一个函数值,即存在x0∈I,使得f(x0)=M;
○2函数最大(小)应该是所有函数值中最大(小)的,即对于任意的 x∈I,都有f(x)≤M(f(x)≥M).
2.利用函数单调性的判断函数的最大(小)值的方法
○1利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值
○2利用图象求函数的最大(小)值
○3利用函数单调性的判断函数的最大(小)值[来源:Z#xx#k.Com]
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,在区间[ b,c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b);
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上单调递增则函数y=f(x)在x= b处有最小值f(b);
(二)典型例题
例1.(教材P36例3)利用二次函数的性质确定函数的最大(小)值.
解:( 略)
说明:对于具有实际背景的问题,首先要仔细审清题意,适当设出变量,建立适当的函数模型,然后利 用二次函数的性质或利用图象确定函数的最大(小)值.
巩固练习:如图,把截面半径为
25cm的圆形木头锯成矩形木料,
如果矩形一边长为x,面积为y
试将y表示成x的函数,并画出
函数的大致图象,并判断怎样锯
才能使得截面面积最大?
例2.(新题讲解)
旅馆定价
一个星级旅馆有150个标准房,经过一段时间的经营,经理得到一些定价和住房率的数据如下:
房价(元)住房率(%)
16055
14065
12075
10085
欲使每天的的营业额最 高,应如何定价?
解:根据已知数据,可假设该客房的最高价为160元,并假设在各价位之间,房价与住房率之间存在线性关系.
设 为旅馆一天的客房总收入, 为与 房价 160相比降低的房价,因此 当房价为 元时,住房率为 ,于是得
=15 0? ? .
由于 ≤1,可知0≤ ≤90.
因此问题转化为:当0≤ ≤90时,求 的最大值的问题.
将 的两边同除以一个常数0.75,得 1=- 2+50 +17600.
由于二次函数 1在 =25时取得最大值,可知 也在 =25时取得最大值,此时房价定位应是160-25=135(元),相应的住房率为67.5%,最大住房总收入为13668.75(元).
所以该客房定价应为135元.(当然为了便于管理,定价140元也是比较合理的)
例3.(教材P37例4)求函数 在区间[2,6]上的最大值 和最小值.
解:(略)
注意:利用函数的单调性求函数的最大(小)值的方法与格式.
巩固练习:(教材P38练习4)
三、归纳小结,强化思想
函数的单调性一般是先根据图象判断,再利用定义证明.画函数图象通常借助计算机,求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域,单调性的证明一般分五步:
取值→作差→变形→定号→下结论
四、作业布置
1.书面作业:课本P45习题1.3(A组)第6、7、8题.
提高作业:快艇和轮船分别从A地和C地同时开出,如下图,各沿箭头方向航行,快艇和轮船的速度分别是45km/h和15km/h,已知AC=150km,经过多少时间后,快艇和轮船之间的距离最短?
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